限时规范训练(2) 第1章 第2讲 常用逻辑用语（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(二) A级　基础落实练 1．(2024·辽宁名校联盟联考)命题“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定是(　　) A．∃x＞0，x2－2|x|≥0 B．∃x≤0，x2－2|x|≥0 C．∀x＞0，x2－2|x|≥0 D．∀x≤0，x2－2|x|≥0 解析：C　由存在量词命题的否定为全称量词命题知，∃x＞0，x2－2|x|＜0的否定为∀x＞0，x2－2|x|≥0.故选C. 2．(2024·德州模拟)在△ABC中，“A＞”是“sin A＞”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 解析：B　在△ABC中，A∈(0，π)， 由sin A＞，得＜A＜， 所以“A＞”是“sin A＞”的必要不充分条件．故选B. 3．(2024·连云港模拟)已知x∈R，则“－3≤x≤4”是“lg (x2－x－2)≤1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：B　lg (x2－x－2)≤1⇒0＜x2－x－2≤10，解得－3≤x＜－1或2＜x≤4.故选B. 4．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4　　 B．a≥5 C．a≤4　　 D．a≤5 解析：B　因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题， 所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4， 结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 5．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．所有的素数都是奇数 B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0 C．“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件 D．命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2＞0” 解析：CD　2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题； 对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8＜0， 所以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题； 由α＝β⇒sin α＝sin β，但由sin α＝sin β不能得到α＝β，故“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件，所以C是真命题； 根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2＞0”，所以D是真命题． 6．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：B　甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B. 7．(2024·佛山模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　若数列{an}是等差数列，则S3＝a1＋a2＋a3＝3a2；当数列{an}的前n项和满足S3＝3a2时，数列不一定是等差数列，如：a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，显然S3＝3a2，而a4－a3≠a3－a2，{an}不是等差数列，所以“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的必要不充分条件，故选B. 8．(2023·云南名校大联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(　　) A．[－1，0]　　 B．(－1，0) C．[4，＋∞)　　 D．(4，＋∞) 解析：A　法一：由题意，x2－x－2<0，解得－1<x<2，则A＝{x|－1<x<2}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集，所以且等号不同时成立，解得－1≤a≤0，所以a的取值范围为[－1，0]，故选A. 法二：集合A＝{x|－1<x<2}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集，当a＝－1时，B＝{x|－3<x<2}，符合题意，排除B，C，D，故选A. 9．(多选)若“∃x∈(0，2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．3 解析：AB　由题意可知，命题“∀x∈(0，2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题， 所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋， 当x∈(0，2)时，由基本不等式可得 2x＋≥2＝2， 当且仅当x＝时，等号成立， 所以λ≤2. 10．(多选)下列说法正确的是(　　) A．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是“∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0” B．∀x∈R，2x>x2 C．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为1 D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件 解析：ACD　全称量词命题的否定是存在量词命题，易知A正确． B项中，当x＝2时，2x＝x2，则B错误． ∀x∈，tan x≤1，故实数m的最小值为1，C正确． D项中，由不等式性质，a>1，b>1⇒ab>1，知D正确． 11．命题“∀x∈(1，＋∞)，x2＋x>2”的否定是__________． 答案：∃x∈(1，＋∞)，x2＋x≤2 12．(2024·南京第一次联考)已知“a≤x≤a2＋1”是“－2≤x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 解析：设A＝{x|a≤x≤a2＋1}，B＝[－2，5]. 依题设，AB， 则且等号不同时成立． 解得，－2<a≤2. 答案：(－2，2] B级　能力提升练 13．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 解析：B　令x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y〉，可知充分性不成立．当〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y＋n，m，n∈[0，1)，则|x－y|＝|n－m|<1，可知必要性成立，所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件． 14．(多选)若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　) A．(－∞，－5)　　 B．(－3，－1] C．(3，＋∞)　　 D．[0，3] 解析：AB　∵∃x∈M，x>3为假命题， ∴∀x∈M，x≤3为真命题， 可得M⊆(－∞，3]， 又∀x∈M，|x|>x为真命题， 可得M⊆(－∞，0)，∴M⊆(－∞，0). 15．(2024·遂宁一诊)若命题：“∃x∈R，使(m2－1)x2－(m＋1)x＋1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为________． 解析：由题意得，“∀x∈R，使(m2－1)x2－(m＋1)x＋1>0”是真命题，令m2－1＝0，得m＝±1，易得当m＝－1时命题成立；当m＝1时命题不成立．当m2－1<0，即m∈(－1，1)时，抛物线开口向下，命题不成立；当m2－1>0，即m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，命题等价于Δ＝(m＋1)2－4(m2－1)＝－3m2＋2m＋5<0，解得m<－1或m>.所以实数m的取值范围为(－∞，－1]∪. 答案：(－∞，－1]∪ 16．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥2}，p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是_________________． 解析：由y＝x2－x＋1＝＋， 0≤x≤2，得≤y≤2，∴A＝. 又由题意知A⊆B， ∴2－m2≤，∴m2≥. ∴m≥或m≤－. 答案：∪ 学科网（北京）股份有限公司 $$