27.1 反比例函数的概念同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦反比例函数概念，分层覆盖基础定义到综合应用，梯度合理，通过情境化问题培养抽象能力与模型观念，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|反比例函数定义、表达式及判定|单选题1-5直接考查定义辨析，填空题8规范表达式，夯实抽象能力| |中档应用|图像上点的特征、简单数量关系|填空题9结合杠杆原理，解答题12-14联系行程等实际情境，培养模型观念| |综合提升|跨知识综合及新定义问题|解答题15-16融合二次函数与“近轴点”等新定义，通过推理与探究发展创新意识|

27.1 反比例函数的概念 同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列四个关系式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 4．若函数是反比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 6．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A、B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为（    ） A．5 B． C． D．以上都不对 7．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是(   ) ①；②；③． A．① B．② C．③ D．①②③ 二、填空题 8．反比例函数的解析式有三种表现形式，分别是_______，________，______．（为常数，且）． 9．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是_____ 10．已知函数（为整数），当为_____时，是的反比例函数． 11．从这些数中任选两个不同的数分别记作和，那么点在反比例函数图象上的概率是___________． 三、解答题 12．北京到杭州铁路线长为．一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为，火车行驶的平均速度为，你能完成表吗？y与x有什么数量关系？能用一个函数表达式表示吗？ 12 15 17 22 87.4 13．已知函数是反比例函数，求m的值． 14．写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数． (1)火车从石家庄驶往相距约的北京，若火车的平均速度为，求火车距石家庄的距离与行驶的时间之间的函数关系式． (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数关系式． (3)一个游泳池容积为，注满游泳池所用的时间随注水速度x的变化而变化，求y与x之间的函数关系式． 15．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 16．【概念感知】 在平面直角坐标系中，关于点和函数图象，给出如下定义：过点作轴的垂线交函数图象于点，点与点的纵坐标之差称为点到函数图象的有向量． 【概念理解】 (1)如图1，点在直线上，函数图像对应的解析式为． 若点的横坐标是，则点到函数图像的有向量等于______； 若点到函数图像的有向量等于，求点的坐标； 【概念应用】 (2)如图，函数图像对应的解析式为；函数图像对应的解析式为，点的坐标为，其中，若点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于，且的最大值为，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B B A A B C 1．【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了根据定义判断是否是反比例函数，解题关键是掌握反比例函数的定义并能运用来求解． 根据反比例函数的定义，（k为常数，），判断各选项是否符合． 【详解】解：反比例函数的形式为（k为常数，）， ，分母为，不是x的一次方，故A不符合； ，符合形式，故B符合； ，是一次函数，故C不符合； ，分母为，不是x的一次方，故D不符合； 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题利用反比例函数的性质，反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积恒等于k，据此计算乘积即可判断. 【详解】解：∵ ∴在反比例函数图象上的是. 3．【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 4．【答案】A 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式 反比例函数的一般形式为（），即，因此指数必须为． 【详解】函数是反比例函数， ， ， ． 故选：A． 5．【答案】A 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】求反比例函数值、由平移方式确定点的坐标、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数，坐标的平移，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，然后根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴，， 设平移后点A、B的对应点分别为、， ∵将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度， ∴，， ∵平移后的A、B两点恰好都落在函数的图象上， ∴把点代入， 得，即， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】由反比例函数值求自变量、求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，分别计算各函数与两坐标轴的交点，与增减性结合即可求解． 【详解】解：①当时，， 当时，， ， 与两坐标的交点分别为和， 当时，； 当时，； 函数的图象上不存在“近轴点”； ② 中，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，， 函数的图象上不存在“近轴点”； ③ ， 当时，；当时，； 函数的图象上存在“近轴点”； 故选：C． 8．【答案】 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的概念，只需根据反比例函数的定义整理出其三种常见的表现形式即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义，反比例函数是形如（为常数，）的函数， 对该式变形可得到另外两种表现形式， 将根据负整数指数幂的定义变形可得（为常数，）； 将两边同乘变形可得（为常数，）． 9．【答案】甲 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】利用杠杆原理，得到力的大小与对杆的压力的作用点到支点的距离成反比关系，再通过比较力的大小，即可得到正确答案． 【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，力的大小与对杆的压力的作用点到支点的距离成反比， ∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度， ∴甲同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要是考查了反比关系，利用反比关系，比较不同量的大小，熟练掌握反比关系，是求解该题的关键． 10．【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据（）是反比例函数，可得答案． 【详解】解：函数（为整数）是反比例函数， ，且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义和定义的条件是解本题的关键． 11．【答案】 【知识点】列举法求概率、根据概率公式计算概率、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查列举法求概率，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，读懂题意，准确列举符合题意的点是解决问题的关键 根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上需满足，从中任选两个数记作和，考虑所有有序对，计算满足的概率即可得到答案． 【详解】解：从中任选两个数记作和，所有可能的有序对共有种，列举如下： 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 时，可取，有三种； 满足的有序对有、、、，共四种， 点在反比例函数图象上的概率为， 故答案为：． 12．【答案】表格见解析，y与x的函数关系式为 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数值、用反比例函数描述数量关系 【分析】根据路程=速度×时间可进行求解． 【详解】解：当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；当时，则； ∴补全表格如下： 12 15 17 19 22 138.4 110.7 97.7 87.4 75.5 ∴y与x的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义及路程=速度×时间是解题的关键． 13．【答案】1 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 14．【答案】(1)，是正比例函数，比例系数为 (2)，是反比例函数，比例系数为 (3)，是反比例函数，比例系数为 【知识点】正比例函数的定义、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】(1)根据题意即可写出函数关系式； (2)根据题意即可写出函数关系式； (3)根据题意即可写出函数关系式； 【详解】（1）解：由题意可得：，是正比例函数，比例系数为； （2）解：由题意可得：，是反比例函数，比例系数为； （3）解：由题意可得：，是反比例函数，比例系数为． 【点睛】本题考查了根据题意写函数解析式，理解题意，正确写出函数关系式是解决本题的关键． 15．【答案】(1) (2)不存在“双倍点”，理由见解析 (3)或 (4)的值为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的最值、求反比例函数值 【分析】（1）根据“双倍点”的定义设直线上的“双倍点”的坐标，可得，解方程求出的值即可； （2）设在反比例函数图象上，把代入可得，根据平方的非负数性质得出得出该方程无实数解，可得不存在“双倍点”； （3）根据二次函数解析式得出与轴的交点坐标是，根据“双倍点”的定义得出，根据“双倍二次函数”的定义得出顶点坐标为，根据“双倍点”的定义求出或，即可得出答案； （4）根据“双倍二次函数”的得出及“双倍点”的定义求出二次函数解析式为，分，，三种情况，利用二次函数的性质分别求解即可得答案． 【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． （2）解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． （3）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． （4）解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 16．【答案】(1)    或 (2)或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、求反比例函数值 【分析】（1）根据“有向量”的定义计算即可求解； 设，过点作轴的垂线交函数图像于点，则，然后根据“有向量”的定义计算即可求解； （2）由题意得：点到函数图像的有向量为，点到函数图像的有向量为，因为点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于，所以得到，化简得，分两种情况讨论：当时，即时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；即可解答． 【详解】（1）解：将点的横坐标代入，得， 将点的横坐标代入，得， 点到函数图像的有向量等于， 故答案为：； 点在直线上， 可设，过点作轴的垂线交函数图像于点，则， 点到函数图象的有向量等于， ， 解得或， 或； （2）解：由题意得：点到函数图像的有向量为，点到函数图像的有向量为， 点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于， ， ， ， 当时，即时，随的增大而减小， 当时，的最大值等于， ， 解得或， （舍去）， ； 当时，随的增大而增大， 当时，的最大值等于， ， 解得或， （舍去）， ， 综上所述或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的图像和性质、解一元一次方程、解一元二次方程等知识点，根据题意理解“有向量”的定义以及掌握以上知识点是解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $