基础集训08 数列 -2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列核心知识，融合杨辉三角垛文化情境与走楼梯概率模型，适配新高考I卷一轮复习，实现基础巩固与逻辑推理能力提升 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/32|等差等比基本量、前n项和、通项公式|第4题考查由Sn求an，强化基础回归课本| |多选题|3/18|等差性质、等比综合、文化情境|第11题结合南宋“三角垛”，体现数学文化传承| |填空题|3/15|等差数列求和、概率递推、局部等比|第13题以走楼梯为背景构建递推模型，培养应用意识| |解答题|5/85|构造等比、错位相减、Sn最值|第15题通过构造数列证明等比，第16题错位相减求和，贴合新高考解答题命题趋势，发展推理能力|

2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训08 数列部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：数列部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题 1．在等比数列中，，，则（   ） A．9 B．12 C．24 D．36 【答案】B 【详解】在等比数列中，， 结合，，则. 2．已知数列为等差数列，若，，则数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公差的计算公式即可求解． 【详解】． 3．已知等差数列前项和为，若，，则（    ） A．110 B．55 C．25 D．13 【答案】B 【分析】利用等差数列的项的性质，由条件求得，再求，并根据等差数列求和公式化简计算即得. 【详解】因是等差数列，故，解得， 又，所以， 则. 4．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，故. 5．在正项等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意设等比数列的公比为，， 由，可得， 又由，可得， 解得或（舍去）， 故． 6．在等差数列中，，则（    ） A．17 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质先求出，再结合条件求出，得到等差数列的公差，代入通项公式即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，根据等差中项的性质，得， 又，所以，代入，得， 所以，因此等差数列的通项为， 所以. 7．若数列的前6项满足恒等式，则的前5项和为（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据二项式定理求出，求和即可. 【详解】由二项式定理，得， 所以. 的所有项依次为，5，，10，，1， 则的前5项和为. 8．已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 【答案】D 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误. 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号且，结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， A：，，故，错误； B：等比中项公式得， 因为，则，即，错误； C：因为，数列单调递减，又， 当时，当时， 所以，， 因此最大项是，不是，错误； D：若，则最小值为， 等比数列性质，， 因为===， 所以， 已知，故； 因为===， ，故最小值为 4051，正确. 二、多选题 9．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（ ） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】ABD 【分析】根据等差等比数列定义，通项公式以及前项和可得答案 【详解】已知是等差数列，，按步骤计算判断： 选项A： ，，由得： 因此A选项正确 选项B:由等差数列通项公式，代入得： 因此B选项正确 选项C:等差数列前项和公式，代入得： ,因此C选项错误 选项D:令，则公比，因此是公比为2的等比数列，D选项正确 10．已知等比数列的公比且，，，记数列的前n项和为，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A：由得. 因为，可得，解得或. 结合，得，A正确； 选项B：由，B正确； 选项C：，因为，则，C正确； 选项D：因， ，两者显然不相等，D错误. 11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”从上向下数，第一层有1个球，第二层比第一层多2个球，第三层比第二层多3个球，第四层比第三层多4个球，以此类推，设各层球数为，则下列说法正确的是（    ） A．若该“三角垛”共5层，则小球总数为35个 B． C．设，则的前项之和为 D．若该“三角垛”的每个小球半径都为，则当层数为层时，该“三角垛”的高度为 【答案】ABD 【分析】根据题意列举出前5项求和判断A，由题意及等差数列的前n项和公式求判断B，由题设得相邻两项之和，再应用累加及等差数列的前n项和公式判断C，根据已知上层的一个球恰好落在下层三个相邻球构成的凹槽中，且球心构成一个棱长为的正四面体，求出该四面体的高，结合100层的特征求总高度判断D. 【详解】A：由题意，各层球数为，，，，， 若共5层，小球总数个，正确， B：由题意，第层的球数为前个正整数的和，即，正确， C：由，则，，，，， 相邻两项之和，， 则 ，显然与不相等，错误， D：每增加一层，上层的一个球恰好落在下层三个相邻球构成的凹槽中，四个球的球心构成一个棱长为的正四面体， 正四面体的高为， 则第一层球的球心到第层球心间的距离为， 故该“三角垛”的总高度为，正确. 三、填空题 12．等差数列的前项和为，，则_____________． 【答案】 【详解】因为为等差数列，所以，所以 因此. 13．高二学生尤至奎走楼梯时，有的概率迈一级台阶，的概率迈两级台阶．现在他从地面(记为第0级台阶)开始上楼，记事件 尤至奎登上第级台阶．易得，则 ________．登上第级台阶的概率表达式 ____________. 【答案】 【分析】根据已知条件推出递推式，利用递推式求出，对递推式变形推出为等比数列，再利用等比数列前项和公式结合累加法求． 【详解】设，由题意知， 登上第级，只能从第级迈到第级，或由第级迈到第级， 故， ， 故； 由得， 则是首项为，公比为的等比数列， 故，由累加法得 ， 故． 14．若数列不是等比数列，且使得，那么称数列为“局部等比数列”．若从集合中抽取个数构成一个数列，则数列为“局部等比数列”的概率为__________． 【答案】 【分析】充分理解“局部等比数列”的概念，运用排列求总数，然后分类讨论即可 【详解】从集合中抽取个数构成一个数列，共有种情况， 若数列为“局部等比数列”，则数列中仅连续三项等比， 这三项共有四类： 第一类：2，4，8或8，4，2，此时共有6种情况， 分别是：2，4，8，32或16，2，4，8或32，2，4，8， 8，4，2，16或8，4，2，32或32，8，4，2； 第二类：4，8，16或16，8，4，此时共有4种情况， 分别是：4，8，16，2或32，4，8，16， 16，8，4，32或2，16，8，4； 第三类：8，16，32或32，16，8，此时共有6种情况， 分别是：8，16，32，2或8，16，32，4或2，8，16，32， 32，16，8，2或2，32，16，8或4，32，16，8； 第四类：2，8，32或32，8，2，此时共有8种情况， 分别是：2，8，32，4或2，8，32，16或4，2，8，32或16，2，8，32， 32，8，2，4或32，8，2，16或4，32，8，2或16，32，8，2； 所以若数列为“局部等比数列”，则共有种情况， 故数列为“局部等比数列”的概率为. 四、解答题 15．已知数列满足，，设. (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)由条件可得，即， 又，所以是首项为，公比为2的等比数列． 于是，， 又，所以， 解得． 【分析】（1）根据递推公式，赋值求解即可； （2）利用定义，求得，由的通项公式即可求得的通项公式. 【详解】（1）由条件可得． 将代入得，，而，所以． 从而， ． （2）略 16．已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知数列为等差数列，直接用即可求出公差，进而可求得通项公式. （2）使用裂项相消法即可求得的前项和. 【详解】（1），则公差， 则. （2）， 则， 即， 则 . 17．已知数列的前项和为，其中． (1)若，记数列的前30项和为，求证：； (2)求的最大值； 【答案】(1)因为所以 因此 即 故 ． (2) 【分析】（1）先求出 ，再将 裂项，利用裂项相消法求 ； （2）由 ，根据 的正负判断 的增减情况，从而求出最大值． 【详解】（1）略 （2）由可知当 时，； 当 时，； 当 时，． 所以数列 先递增，在 ， 时取得相同的最大值，此后递减． 又. 且 ，故 的最大值为 ． 18．已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且 (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前10项和 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等比数列前两项和条件求公比，再结合等差数列两项关系求公差，代入通项公式即得； （2）按奇偶分项处理，奇数项为等比数列求和，偶数项裂项相消，两部分相加即得前10项和． 【详解】（1）令公比为且，则， 整理，解得，或（舍去）， 故， 又，令的公差为，则， 所以，可得， 故． （2）由， 所以． 19．已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为， （i）求； （ii）若不等式对任意正整数都成立，求的取值范围． 【答案】(1)由，得， 则，即， 又， 所以，是首项和公比均为的等比数列 (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）只要证为常数即可； （2）由（i）知，分组求和即可； （ii）由，得，所以．设，利用作差法，判断出数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）略 （2）（i）由（1）得， 则． 则 令， 相减可得， 整理得， 故． （ii）由，得， 所以．设， 则． 当时，；当时，；当时，， 可得； 故当或4时，有最大值为， 所以． 试卷第14页，共14页 试卷第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 基础集训08 数列部分 (时间：120分钟分值：150分) 注意事项： 1.本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考 I卷 2.本试卷测试范围：数列部分 3.本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题 1.在等比数列a,}中，4=3,4=6，则4=（) A.9 B.12 C.24 D.36 2.已知数列a为等差数列，若4,4=4， 则数列 ’的公差为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.已知等差数列a,前”顶和为5，若4+a,=8,4=5,则5。=（) A.110 B.55 C.25 D.13 4.已知数对a,的前”项和5。=+2-1，则数列a的通项公式为《) A.a,=n+1 B.4=2n 「2，n=1 2，n=1 c.a.={2n-1m≥2 D.4= 2n+1,n≥2 5.在正项等比数列，中，aa=16,a+a,=24 ,则() 1 A.q=-1 B.q=2 C.q=1 D.q=2 试卷第1页，共14页 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 6.在等差数列a,中，4+a+4=21a4,=70 ,则。=() A.17 B.19 C.20 D.21 7.若数列a,}的前6项满足恒等式 --2a ,则a,}的前5项和为() A.-5 B.1 C.0 D.-1 8已知等比数列a,的公比为9，其前”项和为，前”项积为了，且满足>1，as>1, 42025-1 <0 a2026-1,则() S2025>S2026 B.42024006-1<0 c.Tms是数列 }中的最大项 D.若7<1 ,则”的最小值为4051 二、多选题 9.已知等差数列a,}的首项4=1，且4+a=6,下列说法正确的有() A.数列 }的公差d=1 B.数列a的通项公式为0，=” C.数列a,的前”项和5，=m+n D.数列2}是公比为2的等比数列 10.已知等比数列a,的公比9>0且91，a>0,3a,=4-2 {an} {an} 2,记数列的前n项和为○”，则下列 正确的是() 1 3 A.9=3 an+an=I B.an+a 3 c.S,<4 D.2S2=S+S 11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛” 从上向下数，第一层有1个球，第二层比第一层多2个球，第三层比第二层多3个球，第四层比第三层多 试卷第2页，共14页 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 4个球，以此类推…，设各层球数为”，则下列说法正确的是（) A.若该“三角垛”共5层，则小球总数为35个 B.a,=u(n+1) 2 20262-1 C.设b,=(-1少a,’则{b,}的前2026项之和为4 D。若该“三角垛”的每个小球半径都为，则当层数为10层时，该“三角垛”的高度为 6W6+2 三、填空题 12.等差数列a,}的前”项和为S,4+a,=8,则，-5，= 13.高二学生尤至奎走楼梯时，有3的概率迈一级台阶，3的概率迈两级台阶.现在他从地面（记为第0级 、3 台阶)开始上楼，记事件4：尤至奎登上第，级台阶.易得P(4)=3,则P(4) 一·登上第n级台 阶的概率表达式 P(4)= 14.若数列a}不是等比数列，且k∈N使得4a=a,那么称数列a为“局部等比数列”.若从 集合24816,32中拍取4个数构成个数列}，则数列为“局部等比数列”的概率为 四、解答题 试卷第3页，共14页 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 15,已加数别a满足4=1(a+a4=2a+2a,设么=品 (1)求，的值： @证明：数列么为等比数列，并求数列a,的通项公式 16。己知数列a}为等差数列， 4=l,a2m=2an+1 )求数列a,} 的通项公式： 1 b= ②)令”a,a1,求数列凸，}的前n项和T. 17。已知数列a的前”项和为，其中4，=+10m 1 0)若6=4，+12，记数列公的前30项和为7，求证：工，< 10: S (2)求"的最大值： 18,已知数列a,}为等差数列，数列，}为公比大于0的等比数列，且4=6=山么+b=6,a+a,=26, a)求数列a和私 的通项公式： n为奇数 2)设9= 1 a,an2 内偶数，求数列，}的前10明和。 3 3a 19.已知数列a,}的首项4=4，且满足 dei 201EN 1 (1)证明：数列an 是等比数列： 2n-1 (2)记数列anJ的前n项和为Tn, 试卷第4页，共14页 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 (i)求； (i)若不等式 r+n-nI)+2n-3>2n-3 a,对任意正整数n都成立，求元的取值范围. 试卷第5页，共14页