第二章 有理数的运算 章末测试 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学第二章有理数运算单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，覆盖倒数、科学记数法等核心知识点，通过规律探究（如乘方个位数字）、实际应用（水位变化）等题设计，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|倒数、科学记数法、运算辨析|结合计算器按键考查数学语言（如第5题）| |填空题|5/15|绝对值、相反数、新定义运算|融入符号意识（如第14题魔术盒运算）| |解答题|5/55|混合运算、简便计算、实际应用、规律探究|以水位变化（第19题）体现应用意识，规律归纳（第20题）培养推理能力|

第二章 有理数的运算 章末模拟测试卷 （时间：60 分钟 满分：100 分） 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．的倒数是（ ） A． B． C． D． 2．2025 年某省国庆假期文旅接待游客总量突破 27380000 人次，将数据 27380000 用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．现有下列四个算式： ① ；② ；③ ；④。其中正确的有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 4．某市 2025 年财政收入预算为元，关于近似数，下列说法正确的是（ ） A．精确到百分位 B．精确到百位 C．精确到千位 D．精确到万位 5．与科学计算器的按键顺序： （ − 1 2 ） xy 4 ÷ 5 xy 2 对应的计算任务是（ ） A． B． C． D． 6．若有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 7．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．小宇在计算 “” 时，误将 “” 看成 “”，结果得 30，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．从，，，，这五个数中任取两个数相乘，若所得积中的最大值为，最小值为，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．计算：，，，，，…，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．计算： 。 12．若的绝对值是 5，的相反数是，则的值为 。 13．甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说 “一个数的相反数等于它本身”，乙说 “一个数的倒数等于它本身”，则 。 14．数学家发明了一个魔术盒，当任意 “数对”进入其中时，会得到一个新的数：。例如把放入其中，得到。现将 “数对”放入其中后，得到的数是 。 15．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为 3，则输出的值为 。 三、解答题（共 55 分） 16．（10 分）计算： （1）； （2）。 17．（12 分）用简便方法计算： （1）；； （2）。 18．（8 分）定义新运算：，如。 根据定义，计算下列各式：（1）；（2）。 19．（12 分）某水库管理员记录了某一周内水库水位的变化情况（上周日水位达到警戒水位 100 米，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，单位：米）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （1）本周哪一天水库水位最高？哪一天最低？它们位于警戒水位之上还是之下？ （2）与上周日相比，本周日水库水位是上升了还是下降了？变化了多少米？ （3）以警戒水位为 0 点，写出每天的水位数值（相对于警戒水位的高度）。 20．（13 分）观察下列等式： 第 1 个等式：； 第 2 个等式：； 第 3 个等式：； …… （1）请写出第 4 个等式： ； （2）请写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性； （3）计算：的值。 参考答案与逐题解析 一、选择题 1．【考点：倒数的定义】答案：B 解析：乘积为 1 的两个数互为倒数，，因此的倒数是。 易错点：混淆倒数与相反数的概念，易误选 D。 2．【考点：科学记数法表示较大的数】答案：D 解析：科学记数法的形式为，其中，为整数。将 27380000 的小数点向左移动 7 位得到，因此。 易错点：的取值不符合的要求，或的位数计算错误。 3．【考点：有理数四则与乘方运算辨析】答案：C 解析：逐一判断： ① ，计算正确； ② ，计算错误； ③ ，计算正确； ④ ，计算错误。 综上，正确的有①③，共 2 个。 易错点：乘方的符号判断错误，尤其是负号在括号外的运算优先级混淆。 4．【考点：近似数的精确度】答案：D 解析：将还原为原数：，末位有效数字 “5” 对应万位，因此该近似数精确到万位。 易错点：误将科学记数法中的末位数位当作精确度，错选 A。 5．【考点：计算器按键与有理数运算的对应】答案：D 解析：按键先输入括号包裹的，再计算 4 次方，接着除以 5 的 2 次方，对应算式为。 易错点：忽略括号的作用，误将当成，错选 B。 6．【考点：数轴与有理数运算的符号判断】答案：B 解析：由数轴可知，且： 选项 A：异号两数相乘得负，，结论正确； 选项 B：异号两数相加，取绝对值较大的符号，，结论错误； 选项 C：，两个负数相加得负，，结论正确； 选项 D：，，同号相乘得正，，结论正确。 易错点：有理数加法的符号法则掌握不牢，误判的符号。 7．【考点：非负数的性质与有理数乘方】答案：A 解析：绝对值和平方数均为非负数，两个非负数的和为 0，则两数分别为 0： ，解得；，解得。 因此。 易错点：忽略负数的偶次幂为正，误选 B。 8．【考点：有理数混合运算的错中求解】答案：B 解析：先根据错误的运算求出方框中的数： 误将 “÷” 看成 “+”，算式变为， 解得，即。 代入原式计算：。 易错点：运算顺序混淆，错误地先算加法再算乘法。 9．【考点：有理数乘法的最值与除法运算】答案：C 解析：先确定积的最大值与最小值： 最大值：同号两数相乘为正，，，故； 最小值：异号两数相乘为负，绝对值越大值越小，，故。 因此。 易错点：忽略两个负数相乘得正，错误判断最大值；或最小值计算失误。 10．【考点：乘方的个位数字规律探究】答案：A 解析：观察计算结果的个位数字：2，8，6，0，2，8，6，0…，呈现周期为 4 的循环规律。 ，余数为 1，对应周期内第 1 个数字，即个位数字为 2。 易错点：周期计算错误，或余数对应的位置判断错误。 二、填空题 11．【考点：绝对值化简与有理数加法】答案： 解析：先计算绝对值，再计算加法：。 12．【考点：绝对值、相反数的定义与有理数加法】答案：或 解析：由得或；由的相反数是得。 当时，；当时，。 易错点：容易漏写的情况，只写出一个解。 13．【考点：相反数、倒数的特殊值与绝对值计算】答案： 解析：相反数等于本身的数只有 0，故； 倒数等于本身的数为和，故。 因此。 14．【考点：新定义下的有理数混合运算】答案： 解析：根据定义，将，代入公式： 。 易错点：符号处理错误，减去负数时忘记变号。 15．【考点：程序框图型有理数混合运算】答案： 解析：输入值为 3，，执行 “先加 3，再乘 4” 的流程： 。 三、解答题 16．【考点：有理数的混合运算（常规运算顺序）】 答案：（1）；（2） 解析：（1）先算乘除，再算加减： 原式= （2）先算乘方，再算括号内的运算，接着算乘除，最后算加减： 原式= 易错点：运算顺序混乱，符号处理出错，尤其是的符号判断。 17．【考点：有理数的简便运算（乘法分配律）】 答案：（1）；（2）7 解析：（1）利用乘法分配律展开计算： 原式= （2）先将带分数拆成整数与分数的和，再利用乘法分配律简便计算（除以等价于乘）： 原式= 易错点：拆分带分数时符号出错，或分配律应用时漏乘项。 18．【考点：嵌套型新定义运算】 答案：（1）；（2） 解析：（1）根据定义直接代入计算： （2）先算括号内的新定义运算，再计算外层： 易错点：绝对值的处理失误，以及运算顺序（先内后外）混淆。 19．【考点：有理数运算的实际应用（水位变化）】 答案：(1) 周三水位最高，周日水位最低；周三位于警戒水位之上，周日与警戒水位持平；(2) 水位没有变化，变化量为 0 米；(3) 见解析 解析： 先计算每天的实际水位（单位：米）： 周一： 周二： 周三： 周四： 周五： 周六： 周日： （1）对比可知，周三水位最高（100.6 米），周日水位最低（100.0 米）；周三水位在警戒水位之上，周日水位与警戒水位持平。 （2）本周日水位为 100.0 米，与上周日相同，因此水位没有上升也没有下降，变化量为 0 米。 （3）以警戒水位为 0 点，每天水位数值（单位：米）： 周一：；周二：；周三：；周四：；周五：；周六：；周日：。 20．【考点：有理数运算的规律探究与归纳验证】 答案：（1）；（2）见解析；（3） 解析： （1）观察前 3 个等式的规律，第 4 个等式左边有 8 项，正负交替，右边有 4 项，从开始： （2）第个等式： 验证：左边将所有正项合并，减去所有负项的 2 倍，化简后与右边形式一致，等式成立。 （3）对应第 50 个等式（，即），因此： 易错点：规律总结时项数对应错误，与等式中分数个数的关系判断失误。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $