第16讲角暑假预习讲义（知识点+题型精讲）2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第16讲 角 目录 知识点1 角的定义 2 知识点2 角的四种表示方法 3 知识点3 角的分类（按大小） 3 知识点4 角度制与单位换算 4 知识点5 角的大小比较与和差 4 知识点6 角平分线与n等分线 4 知识点7 余角与补角 4 知识点8 特殊模型与作图 4 题型 1 角的概念理解 5 题型 2 角的表示方法 7 题型 3 角的分类 9 题型 4 画特殊角 11 题型 5 钟面角 15 题型 6 方向角的表示 17 题型 7 与方向角有关的计算题 19 题型 8 角的单位与角度制 21 题型 9 角的度数大小比较 23 题型 10 角的比较 24 题型 11 三角板中角度计算问题 27 题型 12 几何图形中角度计算问题 29 题型 13 角度的四则运算 31 题型 14 实际问题中角度计算问题 32 题型 15 尺规作一个角等于已知角 36 题型 16 角平分线的有关计算 38 题型 17 角 n 等分线的有关计算 41 题型 18 求一个角的余角 43 题型 19 求一个角的补角 45 题型 20 与余角、补角有关的计算 46 题型 21 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 48 解答题 49 1. 知识目标：理解角的静态、动态定义，掌握角的表示、分类、度分秒换算，熟练掌握角平分线、n等分线、余角补角核心概念与性质。 2. 能力目标：会比较角的大小、进行角度四则运算，能解决钟面角、方向角、三角板组合角计算，掌握尺规作角、角度综合计算题型解法。 3. 素养目标：建立角度几何直观，规范几何语言推理，培养数形结合、等量代换的几何思维，夯实几何计算基础。 知识点1 角的定义 1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点是顶点，两条射线是角的两边。 图2 图1 2. 动态定义：一条射线绕着它的端点旋转形成的图形，始边、终边组成角的轮廓。 3. 必备条件：公共顶点、两条射线边，二者缺一不可。 知识点2 角的四种表示方法 1. 三个大写字母：∠AOB，顶点字母必须写在中间，通用无限制。 2. 一个大写字母：∠O，仅适用于顶点处只有唯一一个角的情况。 3. 数字表示：∠1、∠2，需在角内部画弧线标注数字。 4. 希腊字母表示：∠α、∠β，多用于复杂图形标注。 知识点3 角的分类（按大小） 1. 锐角：0°＜α＜90° 2. 直角：α=90° 3. 钝角：90°＜α＜180° 4. 平角：α=180°，两边成一条直线 5. 周角：α=360°，两边重合 知识点4 角度制与单位换算 1. 角度单位：度（°）、分（′）、秒（″），60进制，与时间进制一致。 2. 换算关系：1°=60′，1′=60″，1°=3600″。 3. 换算规则：大换小乘60，小换大除60。 知识点5 角的大小比较与和差 1. 比较方法：度量法（量角度数对比）、叠合法（顶点重合、一边重合对比开口）。 2. 角的和差：同一顶点的相邻角，可根据位置进行加减运算，满足图形位置关系。 知识点6 角平分线与n等分线 1. 角平分线：从角的顶点出发，将一个角分成两个相等角的射线。若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=∠AOB。 2. 角n等分线：将一个角平均分成n等份的射线，每一份角度相等。 知识点7 余角与补角 1. 余角：两个角和为90°，互为余角。 2. 补角：两个角和为180°，互为补角。 3. 核心性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。 知识点8 特殊模型与作图 1. 三角板角度：一副三角板含30°、60°、90°、45°四种基础角度，可组合出15°整数倍角度。 2. 尺规作角：可作一个角等于已知角，保留作图痕迹，无需量角器。 3. 方向角：以正南、正北为基准，描述偏向角度，格式规范、唯一。 题型 1 角的概念理解 解题技巧（双条件判定、动静结合、精准识别） 1. 判定两角必备要素：公共端点、两条射线边，缺一不是角。 2. 区分直线、平角：平角有顶点和两边，直线无顶点，二者不相等。 3. 区分射线、周角：周角有旋转过程，射线只是单一图形。 4. 结合静态、动态定义，规避概念混淆错误。 1．用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，放大镜仅放大图形的边长，不改变角两边的张开程度，因此角的度数不变． 【详解】解：∵角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，放大镜只改变角两边的长度，不改变两边张开程度， ∴用7倍放大镜看的角，看到的角的度数仍为． 2．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：图中的角有，，，，，，，，，，，共11个角． 3．如图，在的内部从O引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出10条射线，有_______个角； 【答案】66 【分析】首先数出引出3条射线或4条或5条射线时，一共有多少个角，再找出规律，求出答案． 【详解】解：在的内部从O引出3条射线，图中共有角的个数：， 如果引出4条射线，则图中共有角的个数：； 如果引出5条射线，则图中共有角的个数：； 如果引出n条射线，则图中共有角的个数：， ∴如果引出10条射线，有个角． 4．下图中几何图形共有________个角． 【答案】9 【分析】观察图形，该几何图形是一个五边形，内部有一条连接两个不相邻顶点的线段（对角线）. 数角时，需要分别数出每个顶点处的角，包括基本角和由基本角组成的组合角，对于没有被内部线段分割的顶点，只有1个角；对于被内部线段分割的顶点，有2个基本角和1个组合角，共3个角． 【详解】解：设五边形的顶点顺时针依次为（上）、（右）、（右下）、（左下）、（左）， 内部线段连接顶点和,在顶点处，有1个角：； 在顶点处，有1个角：； 在顶点处，内部线段将分为两个角，故共有3个角：、、； 在顶点处，有1个角：； 在顶点处，内部线段将分为两个角，故共有3个角：、、 综上所述，图中共有个角． 题型 2 角的表示方法 解题技巧（看顶点个数、规范选用、杜绝错写） 1. 顶点多角时，严禁用单字母表示，必须用三字母表示。 2. 三字母表示顶点居中，顺序不可颠倒。 3. 数字、字母标注角，仅对应单一局部角，不跨区域使用。 4. 根据图形复杂程度，灵活选择最简、规范表示法。 5．如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【答案】C 【详解】解：根据题意得：与表示同一个角，与表示同一个角，不可以用表示，一共有三个角，故A，B，D正确，不符合题意；C错误，符合题意． 6．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项B、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； 选项C、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项D、图中的不能用表示，故本选项不符合题意． 7．如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键． 直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可． 【详解】解：由图可得，与是同一个角；图中共有三个角：，，；与是同一个角；不可用来表示， ∴①③④正确， 故答案为：①③④． 8．如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 【答案】 ， ，， ，， 【分析】本题主要考查角的表示方法，需要根据角的顶点处角的数量情况，选择合适的表示方法； 本题考查了角的表示方法，掌握当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示；当顶点处有多个角时，需用三个大写字母或数字、希腊字母表示角，根据这些规则确定符合条件的角是解题的关键． 【详解】解：（1）能用一个大写字母表示的角：当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示。图中顶点处各只有一个角，所以能用一个大写字母表示的角有，故①处填； （2）以为顶点的角：以为顶点的角有，所以②处填； （3）以为边的角：以为边的角有，所以③处填． 故答案为：，；，，；，，． 题型 3 角的分类 解题技巧（对照区间、精准归类、排除临界） 1. 严格对照角度区间判定类型，不凭视觉主观判断。 2. 90°为直角、180°为平角、360°为周角，不属于锐角、钝角。 3. 钝角必须大于90°且小于180°，两端临界值均不包含。 4. 多个角组合后，重新计算度数再分类判定。 9．下列四个角中，是直角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察各选项图形，结合直角、平角、锐角、钝角的特征进行判断． 【详解】解：A、图形为平角，不是直角，不符合题意； B、图形为锐角，不是直角，不符合题意； C、图形的角度等于，是直角，符合题意； D、图形为钝角，不是直角，不符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查了直角的定义，解题关键是掌握直角、平角、锐角、钝角的特征，通过图形特征判断角的类型． 10．一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【答案】C 【分析】本题考查锐角，钝角，根据锐角小于，钝角小于即可解答． 【详解】解：∵锐角小于，钝角小于， ∴一个锐角加上一个钝角的和一定小于． 故选：C． 11．如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有_____________个锐角． 【答案】10/十 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角的定义是解题关键．根据锐角的定义求解即可． 【详解】解：图中的锐角有、、、、、、、、、，共10个， 故答案为：10． 12．给出下列判断： ①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角； ③如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； ④锐角和钝角一定互补． 其中正确的有______个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了余角补角的定义，同（等）角的余（补）角相等，角的分类等知识点，熟练掌握余角、补角、锐角、钝角的定义和性质是解题的关键． 要判断两角的关系，可根据：两角互余，和为，两角互补，和为，对各选项逐项分析判断即可． 【详解】解：①锐角的补角一定是钝角，正确； ②一个角的补角一定大于这个角，不正确； ③如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，正确； ④的角与的角满足一个是锐角一个是钝角，但是不互补，故不正确； 故其中正确的有：，共个， 故答案为：2． 题型 4 画特殊角 解题技巧（工具匹配、精准取值、规范画图） 1. 常规特殊角（30°、45°、60°、90°）直接用三角板绘制。 2. 任意度数特殊角用量角器，对点、对线、读数三步规范操作。 3. 组合特殊角（15°、75°、105°）通过三角板拼接、叠合绘制。 4. 画图后标注顶点、两边、角度数值，保证完整规范。 13．如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，熟练掌握角的和差是解题关键．根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴可以用这副三角尺画出来的是①③④， 故选：D． 14．用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【答案】C 【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出． 【详解】解：105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画； 75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画； 110°角用一副三角板不能画出； 135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画。 故选：C． 【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍． 15．如图， 点O在直线上，， 是直角． (1)根据题意，补全图形； (2)求的度数． 【答案】(1) 如图所示： (2)或 【分析】本题考查了角的计算，角的作图以及平角的定义，掌握角的计算，角的作图以及平角的定义是解本题的关键． （1）根据题意作图即可． （2）根据（1）可得有两种情况：点C在的内部，点C在的外部，再利用平角的定义计算即可． 【详解】（1）略 （2）若点C在的内部， ， 是直角， ， 若点C在的外部， ， 是直角， ． 综上的度数为或． 16．已知，以为边画． (1)请按照题意补全图形； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的余角的度数． 【答案】(1) 当在内部时，如图所示： 当在外部时，如图所示： (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了角的和差计算，角平分线定义，求一个角的余角，解题的关键是注意进行分类讨论． （1）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形即可； （2）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别求出结果即可； （3）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形，根据角平分线的定义和余角的定义，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当在内部时， ； 当在外部时， ； （3）解：当在内部时， ∵平分， ∴， ∴的余角度数为： ； 当在外部时， ∵平分， ∴， ∴的余角度数为： ； 综上分析可知：的余角度数为：或． 题型 5 钟面角 解题技巧（熟记转速、算清夹角、取小不取大） 1. 基础转速：分针每分钟转6°，时针每小时转30°、每分钟转0.5°。 2. 先分别算出时针、分针对应角度，再求角度差值。 3. 钟面夹角取0°～180°之间的最小角，超过180°用360°差值替换。 4. 整点、半点、任意时刻均可用转速公式通用计算。 17．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】钟面每个大格为，时针每分钟走的角度为，分针每分钟走的角度为，再结合9点15分时，时针和分针分别走的格数，进而求出它们的夹角． 【详解】解：9点时，时针与分针的夹角为：， 9点15分时，时针从9点开始又走了15分钟， ∴时针15分钟走的度数为：， 分针15分钟走的度数为：， ∴此时时针与分针的夹角为：（大于平角）， 最小夹角为：． 18．如图，上午8：30，时针与分针的夹角是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 【答案】A 【分析】求出时时针和分针的位置，计算夹角即可． 【详解】解：分针每分钟转过 ， ∴从8点到8点30分分针转过， 时，分针指向数字6， 钟面被分成12个大格，每格为 ， 时针每小时走1个大格， ∴时针每分钟转动 ， 从8点到8点30分时针转过了， 时，时针位于数字8和9的正中间， 此时时针与分针的夹角为 ． 故选A． 19．计算3点整时，时针和分针的夹角________． 【答案】 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是． 3点整时，时针指到3上，分针指到12上，时针和分针夹角是3份, ． ∴时钟上3点整时，时针和分针的夹角是． 20．钟面上指针指示的时刻是10点45分，此时时针与分针的夹角是________度． 【答案】 【分析】钟面一圈，12大格，每大格；分针每分钟走，时针每小时走，每分钟走；45分时分针正对9刻度；10点时，时针指向10，10点45分时针从10向11走了45分钟，可求出时针走的度数，即可求出夹角． 【详解】解：时针每小时走，每分钟走， ， 夹角：， 所以，此时时针与分针的夹角是． 题型 6 方向角的表示 解题技巧（南北为基、偏向为辅、格式标准） 1. 方向角统一以正北、正南为基准，不以东、西为开头。 2. 标准格式：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西+角度。 3. 45°特殊方向可简称东北、西北、东南、西南。 4. 角度为基准线与射线的夹角，不可反向读数。 21．如图，若，可知B处在O处的（     ） A．南偏西方向上 B．南偏东方向上 C．北偏西方向上 D．北偏东方向上 【答案】A 【分析】先求出，再根据方向角定义进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴B处在O处的南偏西方向上． 22．如图，点相对于点的方向为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】B 【详解】解：由题意得：点相对于点的方向为北偏东 23．如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 【答案】南偏东 【分析】根据方位角的定义，通常以正北或正南方向为基准线，图中给出了与正东方向的夹角，利用互余关系求出与正南方向的夹角即可确定方向． 【详解】解：由图可知，射线与正东方向的夹角为， 正东方向与正南方向互相垂直，夹角为， 射线与正南方向的夹角为， 货船B在港口A的南偏东方向． 24．如图，请准确描述：科技馆在小方家______方向______处． 【答案】 北偏东 800 【分析】先求出，，得到科技馆在小方家北偏东方向处，即可解答． 【详解】解：由图可知，， ∴科技馆在小方家北偏东方向处． 题型 7 与方向角有关的计算题 解题技巧（画图定位、平移转化、角度叠加） 1. 先画十字方位坐标，标注各点位置与对应方向角。 2. 利用平行线、直角关系，转化未知角度。 3. 多段方位运动，分段拆解角度，累加或作差求解总夹角。 4. 严格结合图形，杜绝纯文字主观臆断角度。 25．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 26．如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】利用角度的和差关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线的方向为：北偏西． 27．如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它的北偏东的方向上，小岛在它的南偏东的方向上，则的度数是____． 【答案】 【分析】根据南北轴线为平角，从平角中减去北偏东、南偏东两个方位角，即可得到中间夹角的值．度分秒减法不够减时，从高位借位：，再计算． 【详解】解：． 28．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时观测到轮船B在南偏东的方向，则的大小是_______ 【答案】 【分析】根据方向角的定义，可得与的度数，利用余角的性质求出，再根据角的和差关系，可得答案． 【详解】解：如图，设正北方向为射线，正西方向为射线，正南方向为射线 由题意，得 ∴ ∴ ． 题型 8 角的单位与角度制 解题技巧（牢记60进制、大小互化、分步换算） 1. 核心进制：度分秒为60进制，区别于100进制，大化小乘60，小化大除60。 2. 度转度分秒：小数度×60得分，分的小数再×60得秒。 3. 度分秒转度：秒÷60化为分，分÷60化为度，逐级合并。 4. 换算过程分步书写，避免跳步出错。 29．角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 30．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 31．角的有关概念和性质：1周角______，1平角_______，1直角_____， _______，_______．若，则的余角等于______． 【答案】 【分析】先根据角的基本定义得到周角、平角、直角的度数，以及度分秒的进率，再根据余角的定义，用减去已知角的度数，按照度分秒的60进制规则计算即可． 【详解】解：根据角的基本定义可知，周角，平角，直角； 度分秒为60进制，因此，； 根据余角的定义，两个角和为时两角互余，因此的余角为：． 32．如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据齿轮的齿数计算夹角即可． 【详解】解：15个齿的齿轮：； 22个齿的齿轮：． 题型 9 角的度数大小比较 解题技巧（统一单位、统一格式、数值对比） 1. 所有角度统一化为度或统一化为度分秒格式。 2. 先比度数、再比分、最后比秒，逐级对比大小。 3. 杜绝不同格式直接比较，防止进制混淆。 33．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据量角器上各射线对应的刻度，利用角的和差关系分别计算出 、、、 的度数，比较大小即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，射线、、、、对应量角器外圈的刻度分别为、、、、， ，，，， ， 最大． 34．若，，则这两个角的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据的换算关系将两个角度统一单位，再比较大小． 【详解】解：因为， 所以， 又因为，， 所以． 35．已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 【答案】 【分析】先根据角度单位的换算规则，将三个角统一单位，再比较角度大小，即可得到排序结果． 【详解】根据角度单位换算规则，可得，． 对进行换算：． ，即． 36．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】取格点E，作射线，则．由图可得，，进而可得出． 【详解】解：如图所示，取格点E，作射线，则． 由图可得，， ． 题型 10 角的比较 解题技巧（度量定量、叠合定性、双重验证） 1. 度量法：量出具体度数，数值大则角大，精准无误。 2. 叠合法：顶点重合、始边重合，终边外侧的角更大。 3. 开口越大、角度越大，与角的边长长短无关。 4. 复杂图形结合和差关系，间接比较角度大小。 37．如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 将平移，使和的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，使和的顶点重合，如图， 可知比大，于是有． 故选A． 38．如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键；如图所示，明确与三角尺的的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C ． 39．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，解题的关键是添加适当的辅助线．取格点E，使，作射线，则，然后比较和的大小，根据等量代换，即可作答． 【详解】解：如图，取格点E，使，作射线， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 40．如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】题考查网格中角度的比较，掌握正方形网格的性质是解题的关键． 先连接小正方形对角线，根据小正方形的性质推出，直接比较即可求解． 【详解】解：如图，连接小正方形对角线， ∵、是小正方形的对角线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型 11 三角板中角度计算问题 解题技巧（熟记基础角、拼接加减、锁定15°倍数） 1. 固定基础角：30°、45°、60°、90°。 2. 拼接叠加求两角和，重叠相减求角度差。 3. 所有三角板组合角均为15°的整数倍，可快速验算。 4. 直角拼接模型优先利用90°垂直关系列式。 41．一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 42．如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于， ， ， ． 43．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 44．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为_____． 【答案】/75度 【分析】先根据邻补角定义求出，再根据三角形内角和求出，然后利用角的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型 12 几何图形中角度计算问题 解题技巧（看图找关系、和差列式、等量代换） 1. 观察图形，确定目标角由哪些已知角组合而成。 2. 利用直角、平角、周角固定度数搭建等式。 3. 结合角平分线、等分线性质进行等量替换。 4. 分步推理，规范书写几何步骤，不跳步。 45．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设，根据比例关系表示，利用平角定义及角平分线性质表示，结合已知条件列方程求解． 【详解】解：设， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， 解得， ． 46．自行车尾灯采用特殊的反射棱镜，能将光线反射回去，提高夜间骑行安全．已知光的反射现象中反射角等于入射角，其简化光路图如图所示，表示自行车尾灯的一个反射平面，为法线，且，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，再根据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，即， ∴， 解得， ∴． 47．如图，，，，则__________ 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 48．如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据角的平分线，平角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 题型 13 角度的四则运算 解题技巧（度分秒分开算、满60进1、借1当60） 1. 加减运算：度、分、秒分别对应运算，互不干扰。 2. 加法：秒满60进1分，分满60进1度。 3. 减法：秒不够向分借1、分不够向度借1，借位为60。 4. 乘除运算：逐级运算，最后统一进位、退位化简。 49．计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算度、分与乘数的乘积，再根据进率进位即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． ∴的值为． 50．，，则___________. 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 51．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 52．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查度数的加减运算，解题的关键是掌握运算法则． 根据度数的加法运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 题型 14 实际问题中角度计算问题 解题技巧（剥离场景、转化模型、几何求解） 1. 剔除文字场景包装，还原为基础角度和差、折叠、方位模型。 2. 折叠问题利用折叠前后角度相等的性质。 3. 运动、转动问题找准旋转角度、初始角度、终止角度。 4. 结合生活常识，验证角度结果合理性。 53．如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：． 54．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 55．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【答案】(1)度 (2)如图，在长方形的台球桌面上，，如果，那么等于多少度？ 解：∵， ∴， ∴， 答等于度． 【分析】根据题目所给的求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答等于度． （2）略 56．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 【答案】(1) (2)①分钟； ②与的数量关系：． 理由：由（1）得相邻两根辐条夹角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据题意，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，一周是，即可解答； （2）①根据角平分线的定义，求出，进而求出，根据水车以固定速度转一周需分钟，求出水车每分钟可以转动的角度，即可解答； ②推出，再根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴相邻两根辐条夹角的度数为； （2）解：①∵的平分线与水轮边缘交于点，，， ∴， ∴， ∵水车以固定速度转一周需分钟， ∴水车每分钟可以转动：， ∴所需时间为：（分钟）， 答：从竹筒装满水到开始倒水需要分钟； ②略 题型 15 尺规作一个角等于已知角 解题技巧（五步作图、保留痕迹、对应相等） 1. 核心原理：利用圆规截取等弧，保证角度相等。 2. 作图步骤：画射线→截弧→截等弧→定点→画终边。 3. 全程只用无刻度直尺、圆规，禁止用量角器度量。 4. 必须保留所有作图弧线痕迹，是得分关键。 57．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可知，， ， ． 58．如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交射线左侧弧于点，连接，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：根据作图可知，， 所以． 59．按要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，如图，已知线段和． (1)作； (2)在射线上截取线段． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求， 【详解】（1）略 （2）略 60．如图，已知与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)作； (2)在的两边分别作； (3)连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据尺规作图作角的方法作图即可； （2）以A为圆心，为半径，在的两边画弧即可； （3）连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：如图所示，线段即为所求， 题型 16 角平分线的有关计算 解题技巧（平分等角、倍分互换、逐层推导） 1. 核心结论：角平分线分角为两个完全相等的角。 2. 知大角求小角：÷2；知小角求大角：×2。 3. 多角平分线叠加，逐级拆分、等量代换。 4. 结合和差关系，构建方程求解未知角度。 61．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 62．如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的倍数关系得到，进而得到，根据角平分线的定义得到，继而得到． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 63．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 【答案】56 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：，，三点共线， ， 平分， ． 64．如图，O是直线上一点，，平分，则图中与互余的角有________个． 【答案】3 【分析】相加等于90度的两个角互余． 【详解】， ， ， 平分， ， ， ， ， 与互余的角有、、共3个． 题型 17 角 n 等分线的有关计算 解题技巧（均分等角、份数对应、比例计算） 1. n等分线将角平均分为n份，每份角度完全相等。 2. 单份角度=总角度÷n，k份角度=总角度×k÷n。 3. 多等分线共存时，按份数差求夹角。 4. 结合平分线、和差关系综合运算。 65．已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线是的三等分线之一，，因此可能是或，但不可能是． 【详解】解：是的三等分线之一，且， 被分成三个相等的角，每个角为 的位置有两种可能：靠近时，；靠近时， 因为等于本身，作为三等分线应在角内部． 不可能为， 故选：C． 66．射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵射线是的四等分线，， ∴， ∴， 故选：B． 67．已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据题意可分四种情况：①；②；③；④，根据角之间的关系讨论求解即可． 【详解】解：当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或； 故答案为：或或． 68．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】本题考查角的三等分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先求出，根据图中所有的锐角之和为，得到，则，求出，即可解答． 【详解】解：∵射线是的三等分线， ∴， ∴， ∵图中所有的锐角之和为， ∴， 即 ， 解得． 故答案为：． 题型 18 求一个角的余角 解题技巧（固定公式、快速求解、取值判定） 1. 余角公式：一个角α的余角=90°−α。 2. 只有锐角有余角，钝角、直角、平角无余角。 3. 角度含分秒时，规范借位计算，保证精度。 69．若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：若，则的余角为． 70．一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个角的度数为，根据一个角的补角比这个角的余角的3倍少列一元一次方程求解即可，准确理解余角补角的概念是解题关键． 【详解】解：设这个角为，则这个角的余角为，补角为， ∵补角比这个角的余角的倍少， ∴列方程得：， 展开整理得：， 解得， ∴这个角为． 71．一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 【答案】/35度 【分析】先根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角的度数. 【详解】解：∵ 互为补角的两个角的和为，这个角的补角是， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互为余角的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为 . 72．一个角的补角是，则这个角的余角的度数是________． 【答案】 【分析】根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角，注意度分的进率为，借位计算时1度换算为60分． 【详解】解：∵ 已知这个角的补角是，互补两角的和为， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互余两角的和为， ∴ 这个角的余角的度数为 ． 题型 19 求一个角的补角 解题技巧（通用公式、全员适用、精准换算） 1. 补角公式：一个角α的补角=180°−α。 2. 任意小于180°的角均有补角。 3. 已知余角可间接求补角，利用角度关系转化计算。 73．一个角的度数是，则它的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵若两个角互补，则两角的度数和为， 已知该角的度数为， ∴它的补角度数为． 74．如图，的补角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由量角器得出的度数，再用即可得出． 【详解】由图中量角器可知，， 的补角为． 75．若的余角是，则它的补角是________． 【答案】/142度 【分析】先根据余角定义求出的度数，再根据补角定义计算即可． 【详解】解：由题意得，， 的补角为． 76．已知，则的补角是________°． 【答案】 【详解】解：的补角是． 题型 20 与余角、补角有关的计算 解题技巧（设未知量、列方程、代数求解） 1. 遇倍数、和差关系，优先设这个角为x°。 2. 用含x式子表示余角、补角。 3. 根据题干数量关系列一元一次方程求解。 4. 求出结果后，验证是否符合余补角取值范围。 77．已知和互为余角，且，则的补角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角为． 78．如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互余的定义求出的度数，结合已知条件得出的度数，最后根据平角的定义计算黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角的大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 库边是一条直线，即平角为 ， 黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为：． 79．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【分析】已知和互补，可得，根据余角定义，若两个角和为则互余，逐一验证每个式子即可． 【详解】解：∵和互补，且， ∴， 可得． ①：的余角定义为，因此①符合要求． ②：，（），因此②不符合要求． ③：，刚好是的余角，因此③符合要求． ④：，刚好是的余角，因此④符合要求． 综上，能表示余角的式子是①③④． 80．如果一个角的余角的3倍比它的补角多，这个角是________度． 【答案】 【分析】设这个角的度数为，根据互余两角和为，互补两角和为，表示出该角的余角和补角，再根据题干的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵ 互余两角之和为，互补两角之和为， ∴该角的余角为，补角为， 根据题意列方程得： 展开得： 移项整理得： 解得： 即这个角的度数是 题型 21 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 解题技巧（抓公共角、等量代换、秒判等角） 1. 同角的余角相等：同一个角的两个余角大小相等。 2. 等角的余角相等：相等的角，对应的余角相等。 3. 补角性质同理，可快速推导角度相等，无需逐一度数计算。 4. 几何证明、角度推理高频万能性质，简化解题步骤。 81．如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用角度和差表示出角的数量关系，利用互余的定义求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即与互余． 82．已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“同角的补角相等”即可推出与的关系，即可求解． 【详解】解∶∵和互为补角，和互为补角， ∴． 83．若，，则，理由是________ 【答案】同角的补角相等 【分析】和都与同一个角互补，根据补角的性质即可推出结论． 【详解】解：，， （同角的补角相等）． 故答案为：同角的补角相等 84．如果与互补，与互补，且，，那么____． 【答案】55 【详解】解：与互补，与互补， ，， ， ， 又， ． 解答题 85．如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由如下 ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴平分． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而求出的度数； （2）运用角的和差关系求得，从而得到平分． 【详解】（1）∵，平分 ∴ ∴； （2）略 86．如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和的度数． (2)设，，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由与互余，可得，由平分，可得，即可求解； （2）由与互余，可用表示，由平分，可用表示，即可求解． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即． 87．综合与实践 【问题情境】 某校六年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)平分， ∴∠BOE=∠COE， ， ，， ， 是的平分线， (3)， 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求解即可； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得、，进而得到即可说明； （3）根据、，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，，． （2）略 （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 88．如图，点在直线上，与互补，且． (1)求、的度数； (2)若，猜想与的数量关系并说明理由； (3)在（2）的条件下，平分时，在内部作射线，使，求的度数． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由题意设，再由与互补，建立方程求解即可； （2）根据平角的定义结合，以及，求解即可； （3）设，则由（2）知，由角平分线可得，则由，得到，解得，再分两种情况，根据角的和差计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴设 ∵与互补， ∴ 解得 ∴，； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，则由（2）知 ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得， ∴， ①当在内部时， ∵ ∴ ∴； ②当在内部时， ∵ ∴ ∴， 综上：的度数为或． 89．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断图（1）中与的大小关系，并说明理由； (2)在图（1）中若，求的度数； (3)在图（1）中猜想与的数量关系，并说明理由； (4)若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 (4)结论仍然成立，理由见解析 【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明两角相等； （2）先求，再通过角的和差计算即可； （3）用两个直角的和减去重叠角，即可推导两角互补； （4）利用周角减去两个直角的和，即可证明互补结论仍成立． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （4）解：结论仍然成立 ∵， ∴， 又∵， ∴． 90．“时钟里的数学”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，时钟上的时针和分针都绕其轴心顺时针旋转，分针每分钟旋转一周（），时针每分钟旋转． 我们规定：旋转速度旋转角度旋转时间． (1)分针的旋转速度为每分钟转__________度，时针的旋转速度为每分钟转__________度； (2)如图1，时钟的时间为，我们可以理解成如图2的数学模型，将时针抽象为以钟表轴心为端点的射线、分针抽象为同端点的射线． ①求经过多少分钟，射线与射线第一次重合； ②如图3，在时，在的左侧作在后、分针与时针旋转的过程中，保持不动，平分始终成立、直接写出，在后、经过多少分钟，与第一次重合． 【答案】(1) (2)①经过分钟后，射线与射线第一次重合；②经过分钟，与第一次重合 【分析】（1）根据分针转一圈为，分钟以及时针转一圈为小时求解即可； （2）①设经过分钟后，射线与射线第一次重合，根据（1）的结果将的旋转角度表示出来，再根据两者之间的关系列式求解；②根据题意将的旋转角度表示出来，再根据两者之间的关系列式求解． 【详解】（1）解：分针转一圈为，分钟， ∴分针的旋转速度为每分钟转； 时针转一圈为小时， ∴时针的旋转速度为每小时转， 则时针的旋转速度为每分钟转． （2）解：①在时，时针与分针之间的夹角为， 设经过分钟后，射线与射线第一次重合， 由题意列式为：， 解得， ∴经过分钟后，射线与射线第一次重合 ②在时，时针与分针之间的夹角为， 设经过分钟，与第一次重合， ∵，每分钟旋转，每分钟转， ∴当与第一次重合时， 旋转度，旋转度， 此时， ∵平分始终成立， ∴， 在时，， ∴以点的位置为起始位置，运动的角度为， ∵与重合， ∴，解得， ∴在后、经过分钟，与第一次重合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 角 目录 知识点1 角的定义 2 知识点2 角的四种表示方法 3 知识点3 角的分类（按大小） 3 知识点4 角度制与单位换算 4 知识点5 角的大小比较与和差 4 知识点6 角平分线与n等分线 4 知识点7 余角与补角 4 知识点8 特殊模型与作图 4 题型 1 角的概念理解 5 题型 2 角的表示方法 6 题型 3 角的分类 7 题型 4 画特殊角 8 题型 5 钟面角 9 题型 6 方向角的表示 10 题型 7 与方向角有关的计算题 11 题型 8 角的单位与角度制 12 题型 9 角的度数大小比较 13 题型 10 角的比较 13 题型 11 三角板中角度计算问题 14 题型 12 几何图形中角度计算问题 16 题型 13 角度的四则运算 17 题型 14 实际问题中角度计算问题 17 题型 15 尺规作一个角等于已知角 19 题型 16 角平分线的有关计算 20 题型 17 角 n 等分线的有关计算 21 题型 18 求一个角的余角 22 题型 19 求一个角的补角 22 题型 20 与余角、补角有关的计算 23 题型 21 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 24 解答题 24 1. 知识目标：理解角的静态、动态定义，掌握角的表示、分类、度分秒换算，熟练掌握角平分线、n等分线、余角补角核心概念与性质。 2. 能力目标：会比较角的大小、进行角度四则运算，能解决钟面角、方向角、三角板组合角计算，掌握尺规作角、角度综合计算题型解法。 3. 素养目标：建立角度几何直观，规范几何语言推理，培养数形结合、等量代换的几何思维，夯实几何计算基础。 知识点1 角的定义 1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点是顶点，两条射线是角的两边。 图2 图1 2. 动态定义：一条射线绕着它的端点旋转形成的图形，始边、终边组成角的轮廓。 3. 必备条件：公共顶点、两条射线边，二者缺一不可。 知识点2 角的四种表示方法 1. 三个大写字母：∠AOB，顶点字母必须写在中间，通用无限制。 2. 一个大写字母：∠O，仅适用于顶点处只有唯一一个角的情况。 3. 数字表示：∠1、∠2，需在角内部画弧线标注数字。 4. 希腊字母表示：∠α、∠β，多用于复杂图形标注。 知识点3 角的分类（按大小） 1. 锐角：0°＜α＜90° 2. 直角：α=90° 3. 钝角：90°＜α＜180° 4. 平角：α=180°，两边成一条直线 5. 周角：α=360°，两边重合 知识点4 角度制与单位换算 1. 角度单位：度（°）、分（′）、秒（″），60进制，与时间进制一致。 2. 换算关系：1°=60′，1′=60″，1°=3600″。 3. 换算规则：大换小乘60，小换大除60。 知识点5 角的大小比较与和差 1. 比较方法：度量法（量角度数对比）、叠合法（顶点重合、一边重合对比开口）。 2. 角的和差：同一顶点的相邻角，可根据位置进行加减运算，满足图形位置关系。 知识点6 角平分线与n等分线 1. 角平分线：从角的顶点出发，将一个角分成两个相等角的射线。若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=∠AOB。 2. 角n等分线：将一个角平均分成n等份的射线，每一份角度相等。 知识点7 余角与补角 1. 余角：两个角和为90°，互为余角。 2. 补角：两个角和为180°，互为补角。 3. 核心性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。 知识点8 特殊模型与作图 1. 三角板角度：一副三角板含30°、60°、90°、45°四种基础角度，可组合出15°整数倍角度。 2. 尺规作角：可作一个角等于已知角，保留作图痕迹，无需量角器。 3. 方向角：以正南、正北为基准，描述偏向角度，格式规范、唯一。 题型 1 角的概念理解 解题技巧（双条件判定、动静结合、精准识别） 1. 判定两角必备要素：公共端点、两条射线边，缺一不是角。 2. 区分直线、平角：平角有顶点和两边，直线无顶点，二者不相等。 3. 区分射线、周角：周角有旋转过程，射线只是单一图形。 4. 结合静态、动态定义，规避概念混淆错误。 1．用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 3．如图，在的内部从O引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出10条射线，有_______个角； 4．下图中几何图形共有________个角． 题型 2 角的表示方法 解题技巧（看顶点个数、规范选用、杜绝错写） 1. 顶点多角时，严禁用单字母表示，必须用三字母表示。 2. 三字母表示顶点居中，顺序不可颠倒。 3. 数字、字母标注角，仅对应单一局部角，不跨区域使用。 4. 根据图形复杂程度，灵活选择最简、规范表示法。 5．如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 6．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 7．如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是________（填序号）． 8．如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 题型 3 角的分类 解题技巧（对照区间、精准归类、排除临界） 1. 严格对照角度区间判定类型，不凭视觉主观判断。 2. 90°为直角、180°为平角、360°为周角，不属于锐角、钝角。 3. 钝角必须大于90°且小于180°，两端临界值均不包含。 4. 多个角组合后，重新计算度数再分类判定。 9．下列四个角中，是直角的是（   ） A． B． C． D． 10．一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 11．如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有_____________个锐角． 12．给出下列判断： ①锐角的补角一定是钝角； ②一个角的补角一定大于这个角； ③如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； ④锐角和钝角一定互补． 其中正确的有______个． 题型 4 画特殊角 解题技巧（工具匹配、精准取值、规范画图） 1. 常规特殊角（30°、45°、60°、90°）直接用三角板绘制。 2. 任意度数特殊角用量角器，对点、对线、读数三步规范操作。 3. 组合特殊角（15°、75°、105°）通过三角板拼接、叠合绘制。 4. 画图后标注顶点、两边、角度数值，保证完整规范。 13．如图所示，是一副三角尺，上边三角尺的三个角分别为，，，下边三角尺的三个角分别为，，，那么，在①；②；③；④中，可以用这副三角尺画出来的是（      ） A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④ 14．用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 15．如图， 点O在直线上，， 是直角． (1)根据题意，补全图形； (2)求的度数． 16．已知，以为边画． (1)请按照题意补全图形； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的余角的度数． 题型 5 钟面角 解题技巧（熟记转速、算清夹角、取小不取大） 1. 基础转速：分针每分钟转6°，时针每小时转30°、每分钟转0.5°。 2. 先分别算出时针、分针对应角度，再求角度差值。 3. 钟面夹角取0°～180°之间的最小角，超过180°用360°差值替换。 4. 整点、半点、任意时刻均可用转速公式通用计算。 17．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 18．如图，上午8：30，时针与分针的夹角是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 19．计算3点整时，时针和分针的夹角________． 20．钟面上指针指示的时刻是10点45分，此时时针与分针的夹角是________度． 题型 6 方向角的表示 解题技巧（南北为基、偏向为辅、格式标准） 1. 方向角统一以正北、正南为基准，不以东、西为开头。 2. 标准格式：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西+角度。 3. 45°特殊方向可简称东北、西北、东南、西南。 4. 角度为基准线与射线的夹角，不可反向读数。 21．如图，若，可知B处在O处的（     ） A．南偏西方向上 B．南偏东方向上 C．北偏西方向上 D．北偏东方向上 22．如图，点相对于点的方向为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 23．如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 24．如图，请准确描述：科技馆在小方家______方向______处． 题型 7 与方向角有关的计算题 解题技巧（画图定位、平移转化、角度叠加） 1. 先画十字方位坐标，标注各点位置与对应方向角。 2. 利用平行线、直角关系，转化未知角度。 3. 多段方位运动，分段拆解角度，累加或作差求解总夹角。 4. 严格结合图形，杜绝纯文字主观臆断角度。 25．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 26．如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 27．如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它的北偏东的方向上，小岛在它的南偏东的方向上，则的度数是____． 28．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时观测到轮船B在南偏东的方向，则的大小是_______ 题型 8 角的单位与角度制 解题技巧（牢记60进制、大小互化、分步换算） 1. 核心进制：度分秒为60进制，区别于100进制，大化小乘60，小化大除60。 2. 度转度分秒：小数度×60得分，分的小数再×60得秒。 3. 度分秒转度：秒÷60化为分，分÷60化为度，逐级合并。 4. 换算过程分步书写，避免跳步出错。 29．角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 30．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 31．角的有关概念和性质：1周角______，1平角_______，1直角_____， _______，_______．若，则的余角等于______． 32．如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 题型 9 角的度数大小比较 解题技巧（统一单位、统一格式、数值对比） 1. 所有角度统一化为度或统一化为度分秒格式。 2. 先比度数、再比分、最后比秒，逐级对比大小。 3. 杜绝不同格式直接比较，防止进制混淆。 33．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 34．若，，则这两个角的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 35．已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 36．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 题型 10 角的比较 解题技巧（度量定量、叠合定性、双重验证） 1. 度量法：量出具体度数，数值大则角大，精准无误。 2. 叠合法：顶点重合、始边重合，终边外侧的角更大。 3. 开口越大、角度越大，与角的边长长短无关。 4. 复杂图形结合和差关系，间接比较角度大小。 37．如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 38．如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 39．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 40．如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 题型 11 三角板中角度计算问题 解题技巧（熟记基础角、拼接加减、锁定15°倍数） 1. 固定基础角：30°、45°、60°、90°。 2. 拼接叠加求两角和，重叠相减求角度差。 3. 所有三角板组合角均为15°的整数倍，可快速验算。 4. 直角拼接模型优先利用90°垂直关系列式。 41．一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 42．如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 43．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 44．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为_____． 题型 12 几何图形中角度计算问题 解题技巧（看图找关系、和差列式、等量代换） 1. 观察图形，确定目标角由哪些已知角组合而成。 2. 利用直角、平角、周角固定度数搭建等式。 3. 结合角平分线、等分线性质进行等量替换。 4. 分步推理，规范书写几何步骤，不跳步。 45．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 46．自行车尾灯采用特殊的反射棱镜，能将光线反射回去，提高夜间骑行安全．已知光的反射现象中反射角等于入射角，其简化光路图如图所示，表示自行车尾灯的一个反射平面，为法线，且，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 47．如图，，，，则__________ 48．如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 题型 13 角度的四则运算 解题技巧（度分秒分开算、满60进1、借1当60） 1. 加减运算：度、分、秒分别对应运算，互不干扰。 2. 加法：秒满60进1分，分满60进1度。 3. 减法：秒不够向分借1、分不够向度借1，借位为60。 4. 乘除运算：逐级运算，最后统一进位、退位化简。 49．计算的值为（    ） A． B． C． D． 50．，，则___________. 51．计算： (1)． (2)． 52．计算：． 题型 14 实际问题中角度计算问题 解题技巧（剥离场景、转化模型、几何求解） 1. 剔除文字场景包装，还原为基础角度和差、折叠、方位模型。 2. 折叠问题利用折叠前后角度相等的性质。 3. 运动、转动问题找准旋转角度、初始角度、终止角度。 4. 结合生活常识，验证角度结果合理性。 53．如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 54．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 55．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 56．如图1，水车是我国古代劳动人民发明的一种灌溉工具，它主要由水轮和支撑架等部件组成．某景区打算修建一台水车作为景观，水车的结构如图2所示，在水轮内安装根辐条，每相邻两根辐条的夹角相等，在辐条外端点安装个竹筒，依次记为，，…，，三角形为支撑架，且． (1)求出相邻两根辐条夹角的度数； (2)若水车以固定的速度绕水轮的中心逆时针转动，转动一周需分钟．的平分线与水轮边缘交于点，每个竹筒在处装满水，当装满水的竹筒所在辐条转动到与的夹角为（即）时，竹筒开始倒水． ①计算竹筒从装满水到开始倒水需要几分钟； ②当水轮转动到如图2位置时，判断与的数量关系，说明理由． 题型 15 尺规作一个角等于已知角 解题技巧（五步作图、保留痕迹、对应相等） 1. 核心原理：利用圆规截取等弧，保证角度相等。 2. 作图步骤：画射线→截弧→截等弧→定点→画终边。 3. 全程只用无刻度直尺、圆规，禁止用量角器度量。 4. 必须保留所有作图弧线痕迹，是得分关键。 57．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 58．如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交射线左侧弧于点，连接，则的度数为________． 59．按要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，如图，已知线段和． (1)作； (2)在射线上截取线段． 60．如图，已知与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)作； (2)在的两边分别作； (3)连接． 题型 16 角平分线的有关计算 解题技巧（平分等角、倍分互换、逐层推导） 1. 核心结论：角平分线分角为两个完全相等的角。 2. 知大角求小角：÷2；知小角求大角：×2。 3. 多角平分线叠加，逐级拆分、等量代换。 4. 结合和差关系，构建方程求解未知角度。 61．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 62．如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 63．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 64．如图，O是直线上一点，，平分，则图中与互余的角有________个． 题型 17 角 n 等分线的有关计算 解题技巧（均分等角、份数对应、比例计算） 1. n等分线将角平均分为n份，每份角度完全相等。 2. 单份角度=总角度÷n，k份角度=总角度×k÷n。 3. 多等分线共存时，按份数差求夹角。 4. 结合平分线、和差关系综合运算。 65．已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 66．射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 67．已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 68．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 题型 18 求一个角的余角 解题技巧（固定公式、快速求解、取值判定） 1. 余角公式：一个角α的余角=90°−α。 2. 只有锐角有余角，钝角、直角、平角无余角。 3. 角度含分秒时，规范借位计算，保证精度。 69．若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 70．一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角为（ ） A． B． C． D． 71．一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 72．一个角的补角是，则这个角的余角的度数是________． 题型 19 求一个角的补角 解题技巧（通用公式、全员适用、精准换算） 1. 补角公式：一个角α的补角=180°−α。 2. 任意小于180°的角均有补角。 3. 已知余角可间接求补角，利用角度关系转化计算。 73．一个角的度数是，则它的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 74．如图，的补角的度数为（     ） A． B． C． D． 75．若的余角是，则它的补角是________． 76．已知，则的补角是________°． 题型 20 与余角、补角有关的计算 解题技巧（设未知量、列方程、代数求解） 1. 遇倍数、和差关系，优先设这个角为x°。 2. 用含x式子表示余角、补角。 3. 根据题干数量关系列一元一次方程求解。 4. 求出结果后，验证是否符合余补角取值范围。 77．已知和互为余角，且，则的补角是（    ）． A． B． C． D． 78．如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打黑球，黑球碰撞库边（台球桌四边的边框）后直接入袋．此时，，，则黑球碰撞库边前后的运动路线所夹的角大小为（     ） A． B． C． D． 79．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 80．如果一个角的余角的3倍比它的补角多，这个角是________度． 题型 21 同 (等) 角的余 (补) 角相等的应用 解题技巧（抓公共角、等量代换、秒判等角） 1. 同角的余角相等：同一个角的两个余角大小相等。 2. 等角的余角相等：相等的角，对应的余角相等。 3. 补角性质同理，可快速推导角度相等，无需逐一度数计算。 4. 几何证明、角度推理高频万能性质，简化解题步骤。 81．如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 82．已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 83．若，，则，理由是________ 84．如果与互补，与互补，且，，那么____． 解答题 85．如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 86．如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和的度数． (2)设，，请探究与之间的数量关系． 87．综合与实践 【问题情境】 某校六年级数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 88．如图，点在直线上，与互补，且． (1)求、的度数； (2)若，猜想与的数量关系并说明理由； (3)在（2）的条件下，平分时，在内部作射线，使，求的度数． 89．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断图（1）中与的大小关系，并说明理由； (2)在图（1）中若，求的度数； (3)在图（1）中猜想与的数量关系，并说明理由； (4)若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？并说明理由． 90．“时钟里的数学”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，时钟上的时针和分针都绕其轴心顺时针旋转，分针每分钟旋转一周（），时针每分钟旋转． 我们规定：旋转速度旋转角度旋转时间． (1)分针的旋转速度为每分钟转__________度，时针的旋转速度为每分钟转__________度； (2)如图1，时钟的时间为，我们可以理解成如图2的数学模型，将时针抽象为以钟表轴心为端点的射线、分针抽象为同端点的射线． ①求经过多少分钟，射线与射线第一次重合； ②如图3，在时，在的左侧作在后、分针与时针旋转的过程中，保持不动，平分始终成立、直接写出，在后、经过多少分钟，与第一次重合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $