6.3相交线 暑期讲义 2026年苏科版七年级数学上册

暑期衔接讲义 · 苏科版（2024）七年级数学上册 · 第6章 平面图形的初步认识 苏科版（2024）七年级数学上册 暑 期 衔 接 精 品 讲 义 6.3 相交线 对顶角、垂直、垂线段与点到直线的距离 姓名 ____________________ 班级 ____________________ 完成日期 ____月____日 建议用时 3～4次，每次60～80分钟 依据：义务教育数学课程标准（2022年版）及苏科版七年级上册（2024年版） 图形为几何画板风格原创示意图，适配 Word / WPS 打印与二次编辑 一、学习导航与重难点 模块 核心内容 学习要求 易错提醒 相交线 邻补角、对顶角及性质 会识别并计算 对顶角必须顶点相同、两边互为反向延长线 垂直 定义、符号、画法和唯一性 会作垂线并简单推理 “垂线”是直线，“垂线段”是线段 垂线段 垂线段最短与点到直线距离 会解决最短距离问题 距离是垂线段的长度 综合 角平分线与相交线结合 会列式、方程和说理 每一步写清角的组成关系 暑期使用建议：本节从图形位置关系进入简单几何推理。建议每道题先在图上标已知角，再写出“平角、对顶角、垂直、角平分线”等依据。 二、教材知识点盘点（先独立填写，再对照讲义订正） 1. 两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点且两边互为____的两个角叫对顶角。 ________________________________________________________________________________ 2. 对顶角____；相邻且和为180°的两个角叫____角。 ________________________________________________________________________________ 3. 当两条直线相交所成的一个角是____角时，这两条直线互相垂直，记作____。 ________________________________________________________________________________ 4. 同一平面内，过一点有且只有____条直线与已知直线垂直。 ________________________________________________________________________________ 5. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，____最短。 ________________________________________________________________________________ 6. 点到直线的距离是该点到这条直线的____的长度。 ________________________________________________________________________________ 三、知识结构思维导图 先看“树干”，再逐项补齐“枝叶”，学习更高效。 四、知识点精讲与随堂训练 ◆ 知识点1：相交线、邻补角与对顶角 图1 两条直线相交形成四个角 典例1 图1中若∠1=58°，求其余三个角。 解析：∠3=∠1=58°（对顶角相等）；∠2=∠4=180°-58°=122°。 方法点拨：相交线角度计算通常只有两种数值：x°与(180-x)°。 典例2 两条直线相交，若一组邻补角之比为2:7，求四个角。 解析：设两角为2x、7x，则9x=180，x=20。四角为40°、140°、40°、140°。 方法点拨：邻补角和为180°，对顶角成对相等。 ◆ 随堂练习A：对顶角与邻补角 1. 【读图】图1中，∠1的对顶角是____，邻补角是____。 2. 【填空】两条直线相交，若一个角为72°，则与它相邻的角为____。 3. 【填空】两条直线相交，若一个角为35°，则四个角中钝角共有____个。 4. 【判断】判断：相等的两个角一定是对顶角。 5. 【方程】两直线相交，∠1=3x+10°，其对顶角为5x-30°，求x和∠1。 6. 【分类】两直线相交，∠1与邻补角的差为40°，求∠1的可能值。 7. 【提升】三条直线相交于同一点，最多形成多少对对顶角？ 8. 【作图】请画两条相交直线，并用数字标出两组对顶角。 ◆ 知识点2：垂直、垂线的画法与基本事实 图2 垂直的表示和直角标记 典例3 直线AB与CD相交于O，若∠AOC=90°，说明AB⊥CD。 解析：两条直线相交形成直角，根据垂直定义，AB⊥CD。 方法点拨：垂直既可由“有一个角是90°”判定，也可推出四个角都是90°。 典例4 过直线l外一点P画l的垂线。 解析：把三角板的一条直角边与l重合，沿l平移，直到另一条直角边经过P，沿该边画直线。 方法点拨：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ◆ 随堂练习B：垂直与垂线 9. 【填空】若直线a⊥b，则a与b相交所成的四个角均为____。 10. 【读图】图2中，AB⊥OC，∠AOC=____，∠BOC=____。 11. 【填空】同一平面内，过直线l上一点P能画____条l的垂线；过l外一点Q能画____条。 12. 【判断】判断：若两条直线相交形成四个相等的角，则两直线互相垂直。 13. 【计算】AB⊥CD于O，OE在∠AOC内部，∠AOE=35°，求∠EOC。 14. 【方程】AB⊥CD于O，∠AOC=2x+10°，求x。 15. 【作图】过点P画直线l的垂线，并标出垂足H。 16. 【作图】在方格纸上画一条与已知水平直线垂直的直线，说出判断依据。 ◆ 知识点3：垂线段最短与点到直线的距离 图3 从点P到直线l的各条线段中，PH最短 典例5 图3中PH⊥l，PA=6 cm，PB=5 cm，PH=4 cm。点P到直线l的距离是多少？ 解析：4 cm。距离是垂线段PH的长度，不是PA或PB。 方法点拨：分清“垂线（直线）”“垂线段（线段）”“距离（数值）”。 典例6 河岸可近似看作直线l，村庄P要修一条最短道路到河岸，应怎样确定路线？ 解析：过P作l的垂线，垂足为H，修建PH。 方法点拨：点到直线的所有线段中，垂线段最短。 ◆ 随堂练习C：垂线段与距离 17. 【读图】图3中，点P到直线l的距离是哪条线段的长度？ 18. 【填空】若PH⊥l，PH=7 cm，则P到l的距离为____cm。 19. 【填空】图3中，若PH=3，PA=4，PB=5，则PA、PB、PH中最短的是____。 20. 【判断】判断：点到直线的距离就是点到直线上任意一点的线段长度。 21. 【应用】体育课测跳远成绩时，应从起跳线向落地点作垂线测量，为什么？ 22. 【作图】在直线l上找一点Q，使PQ最短，应怎样作图？ 五、分知识点专题训练（不涉及平行线和多边形） ◆ 专题：相交线、垂直与最短距离综合 23. 【方程】两直线相交，一个角的2倍比它的邻补角少30°，求这个角。 24. 【方程】两直线相交，一个角比其对顶角的补角小20°，求这个角。 25. 【综合】如图4，AB⊥OC，OE平分∠COB。求∠AOE。 26. 【综合】如图4，AB⊥OC，∠AOE=140°，求∠COE。 27. 【说理】直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD。证明OE与OF在同一直线上。 28. 【判定】直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOC，且∠AOE=45°。判断AB与CD的位置关系。 29. 【辨析】点P到直线l的距离为5 cm，能否说P到l上任意一点的距离都为5 cm？ 30. 【作图】在平面内有直线l和两个点P、Q，要在l上找一点H使PH最短，同时找一点K使QK最短。说明作法。 六、综合解答题 31. 【综合】直线AB、CD相交于O，∠AOC=4x+10°，∠BOC=2x+20°。求x及四个角的度数。 32. 【综合】AB⊥CD于O，OE在∠AOC内部，OF平分∠BOE。若∠COE=30°，求∠AOF。 33. 【综合】点P在直线l外，PH⊥l于H。若在l上取A、B两点，PA=8，PB=6，PH=5，比较PA、PB、PH并说明依据。 34. 【探究】两条直线相交，一个角的角平分线与其邻补角的角平分线所成的角是多少？说明理由。 学习自评与错题整理 自评项目 完全掌握 基本掌握 需要复习 概念与符号 □ □ □ 基本事实或性质 □ □ □ 规范作图 □ □ □ 计算与推理 □ □ □ 我的典型错题编号：____________________________________________________________ 错误原因（概念/审题/作图/计算/表达）：__________________________________________ 订正后的关键一句话：____________________________________________________________ 参考答案与解析 说明：几何说理要写依据，如“对顶角相等”“邻补角和为180°”“垂线段最短”。 1. 答案：∠3；∠2和∠4　解析：对顶角隔顶相对，邻补角与其相邻并组成平角。 2. 答案：108°　解析：邻补角和为180°。 3. 答案：2　解析：另两个邻补角为145°，有两个钝角。 4. 答案：错误　解析：对顶角相等，但相等角不一定具有对顶位置关系。 5. 答案：x=20，∠1=70°　解析：对顶角相等，3x+10=5x-30。 6. 答案：70°或110°　解析：设相邻两角x、180-x，|2x-180|=40，得70或110。 7. 答案：6对　解析：共有6个小角，每个小角有一个对顶角，成3对；若考虑由相邻小角组成的较大角，还会增加3对，共6对。 8. 答案：作图略　解析：交点周围四角按顺序标1～4，则1与3、2与4为对顶角。 9. 答案：90°　解析：垂直时四个角都是直角。 10. 答案：90°，90°　解析：垂直定义。 11. 答案：1，1　解析：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 12. 答案：正确　解析：四角和为360°，每个角90°。 13. 答案：55°　解析：∠AOC=90°，所以∠EOC=90-35=55°。 14. 答案：x=40　解析：垂直得∠AOC=90°，2x+10=90。 15. 答案：作图略　解析：规范标注PH⊥l，H为垂足。 16. 答案：作图略　解析：竖直线与水平线相交成90°。 17. 答案：PH　解析：PH垂直于l。 18. 答案：7　解析：距离是垂线段长度。 19. 答案：PH　解析：垂线段最短。 20. 答案：错误　解析：必须是垂线段长度。 21. 答案：垂线段最短且能表示点到直线的距离　解析：成绩要求测落地点到起跳线的最短距离。 22. 答案：过P作l的垂线，垂足Q即所求　解析：垂线段最短。 23. 答案：50°　解析：设角x，2x=(180-x)-30，3x=150。 24. 答案：80°　解析：设角x，其对顶角也是x，补角180-x；x=(180-x)-20，得80。 25. 答案：135°　解析：∠COB=90，∠EOB=45；∠AOE=180-45=135。 26. 答案：50°　解析：∠AOC=90，∠AOE=∠AOC+∠COE，所以∠COE=50。 27. 答案：证明略　解析：∠AOC=∠BOD（对顶角），两半角相等；OE、OF方向相反，组成平角。 28. 答案：AB⊥CD　解析：∠AOC=90°，两直线相交成直角。 29. 答案：不能　解析：只有垂足对应线段长度为5，其余斜线段更长。 30. 答案：分别过P、Q作l的垂线，垂足H、K即所求　解析：分别应用垂线段最短。 31. 答案：x=25；∠AOC=∠BOD=110°，∠BOC=∠AOD=70°　解析：邻补角和180：(4x+10)+(2x+20)=180，解得25。 32. 答案：120°　解析：∠AOE=90°-30°=60°，∠BOE=180°-60°=120°，∠BOF=60°，故∠AOF=180°-60°=120°。 33. 答案：PA>PB>PH　解析：数值8>6>5；且PH为垂线段，必最短。 34. 答案：90°　解析：设相邻角为α、β，α+β=180°，两平分线夹角为α/2+β/2=90°。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $