3.3 幂函数 题型总结讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学幂函数核心知识点，系统梳理定义（解析式特征）、性质（定义域、值域、奇偶性、单调性、定点）、图象特点及幂的大小比较方法，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料亮点在于题型设计全面，涵盖概念辨析、图像识别等六大题型，通过具体题目解析培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与表达。

3.3幂函数 ●知识梳理 一、幂函数的定义与性质 1.一般地，函数y=x“a∈R叫做幂函数. 特别提醒：幂函数的表达式有四个特征： ①解析式的右边是一个幂：②系数为1；③底数为自变量：④指数为常数. 二、幂函数的图象及性质 1.幂函数y=x,y=x,y=x2,y=x2,y=x的性质 y=x y=x2 y=x3 y=x7 y=x-1 图象 定义域 R 及 R [0,+o -0,0U0,+∞ 值域 R [0,+∞ R [0,+o】 -00,0U0,+00 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 -0,0递减 -0∞，0递减 单调性 增 增 增 {0,+o∞递增 0,+∞递减 定点 0,0,1,1 1,1 图象特点 在第一象限内，幂函数的指数越小，其图象越靠近轴 2.幂函数y=x的图象及性质 (1)当a>0时， ①图象都过点0,0,1,1； ②在第一象限内，函数值随x的增大而增大： ③在第一象限内，Q>1时，图象是向下凸的，0<a<1时，图象是向上凸的： ④在第一象限内，过1,1点后，图象向右上方无限伸展. (2)当a<0时， ①图象都过点1,1)； ②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的： ③在第一象限内，图象向左与y轴无限接近，向右与x轴无限接近： ④在第一象限内，过1,1点后，越大，图象下落的速度越快. 三、幂函数的奇偶性 对于幂函数y=x,令&=卫，其中p、q互质，P、9∈乙. (1)若9为奇数，则y=x号的奇偶性取决于p是奇数还是偶数，当P是奇数时，则 y=x是奇函数；当p是偶数时，y=x是偶函数： P (2)若q为偶数，则p必定是奇数，此时y=x9既不是奇函数，也不是偶函数. 四、幂的大小的比较方法 比较两个幂值的大小，关键是构造适当的函数.若指数相同而底数不同，则考虑借助 幂函数的单调性；若指数不同而底数相同，则考虑借助函数的图象来比较， 题型一幂函数的概念（系数为1） 1.若函数f(x)=(2m-1)x"为幂函数，则m等于？ 2.已知幂函数fx)=kx的图象经过点(2，之)，则k-a=? 3.若函数f(x)=(2m-1)xm-2是幂函数，则f(-2=? 4.若幂函数的图像过点(2,2)，则该幂函数的解析式为？ 5.若点(2,4)在幂函数f(x)的图象上，则f(3)=? 题型二图像问题 1.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y=x"和y=x在第一象限内的图象，则下列结 论正确的是() A.n<m<0 B.m<n<0 C.n>m>0 D.m>n>0 2.若四个幂函数y=x,y=x°，y=x,y=x在同一坐标系中的图象如图，则a、b、 c、d的大小关系是() Y=x -Y=x y=x A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d<c<b<a D.a>b>d>c 题型三过定点 1.函数y=(x-2)“+1(a∈R)恒过定点？ 题型四幂函数单调性与奇偶性 1.下列幂函数中是奇函数且在(0，+∞)上单调递增的是(). ①y=x2 ②y=x3 ③y=x是 ④y=x1 2.已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0，+∞)上单调递减，则m的值为？ 3.幂函数f(x)=xm-5(m∈N)在(0，+oo)上是减函数，且f(-x=f(x,则m可能等 于() A.0 B.1C.2 D.3 4.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，+∞)上单调递减的函数是() A.y=x2 B.y=x1 C.y=x2 D.y=x3 5,若函数f(x)=(m-2m-2)xm2是幂函数且在(0，+o∞)是递增的，则m=？ 题型五比大小 1.比较两个幂的值的大小：3与2 2.若(2x-1P<(3xZ,则实数x的取值范围为？ 3.比较大小：1.1与0.92；22与0.32 设=式，b=君，c=日的大小关系是() A.a<b<c B.a>b>c C.c<a<b D.b<a<c 5.当0<x<1时，函数f(x)=x1,g(x)=x°9，h(x)=x2的大小关系是？ 题型六解不等式 1.若m+13<(3-2m,试求实数m的取值范围. 2.已知幂函数f(x)=x2,若f(a+1)<f10-2a,则a的取值范围是？ 3.已知幂函数f(x)=x立，若f(a+1)<f(10-2a,则a的取值范围是？ 4.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2)，且f(a+1)<f(10-2a),则实数a的取值 范围是() A.（-1,5)B.（-∞，3)C.(3,+∞)D.(3,5) 5.已知f(x)=(n-3n+3)x1为幂函数，且f(x)为奇函数. (1)求函数f(x)的解析式： (2)解不等式fx+1)+f(3-2x)>0, 6.若(2x-12<(3x)了，则实数x的取值范围() A.x号B.x-C.(-0,-1u+∞ D.2+o) 答案 题型一幂函数的概念（系数为1) 1.若函数f（x)=(2m-1)x"为幂函数，则m等于？ ·答案：m=1 ·详解：幂函数定义为fx=x(系数为1，指数为常数)，故2m-1=1,解得 m=1。 2.已知幂函数f(x)=kx的图象经过点2,2，则k-a=? ·答案：2 。详解：希函数系数k=1,代入点2，符2-2，故@=1，则 k-=1-(-1)=2。 3.若函数f(x)=(2m-1)xm-2是幂函数，则f(-2=? 。答案：月 。详解：2m-1=1得m=1,故fx=x?=x1，f-2)(-2=- 4若幂函数的图像过点(2,2)，则该幂函数的解析式为？ ·答案：f(x)=x ·详解：设解析式为fx)=x“,代入(2,2)得2“=2，故a=1,解析式为f(x)=x。 5.若点(2,4)在幂函数f(x)的图象上，则f(3)=? ·答案：9 ·详解：设f(x)=x“,2=4=2得α=2，故f（3)=3=9。 题型二图像问题 1如图所示，曲线C1与C2分别是函数y=x"和y=x”在第一象限内的图象，则下列结 论正确的是() 了C, 2 A.n<m<0 B.m<n<0 C.n>m>0 D.m>n>0 ●答案：A ·详解：第一象限内，幂函数指数小于0时，图象在区间0，+∞)上递减，且指数 越小，图象越靠近坐标轴，故n<m<0,选A。 2.若四个幂函数y=x,y=x°，y=x°，y=x在同一坐标系中的图象如图，则a、b、 c、d的大小关系是() Y=x V=x Y=x Y=x A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d<c<b<a D.a>b>d>c ·答案：B ·详解：第一象限内，幂函数图象“指大图高”，即指数越大，图象在(1，+∞)上 越靠上，故a>b>c>d,选B。 题型三过定点 1.函数y=(x-2)“+1(a∈R)恒过定点？ ·答案：(3,2)》 。详解：幂函数y=t恒过1,1)，令x-2=1即x=3,此时y=1+1=2,故恒过(3,2) 题型四幂函数单调性与奇偶性 1.下列幂函数中是奇函数且在(0，+∞)上单调递增的是（填序号）· ①y=x2 ②y=x2 ③y=x2 ④y=x1 ·答案：② 。详解：①偶函数，②奇函数且在(0，+∞)递增，③非奇非偶，④奇函数但在 (0,+∞)递减，故填②。 2.已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0，+oo)上单调递减，则m的值为？ ●答案：m=-1 ·详解：幂函数系数m-m-1=1,解得m=2或m=-1: 单调递减则指数m-1<0,故m=-1。 3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0，+o∞)上是减函数，且f(-x)=f(x),则m可能等 于() A.0 B.1C.2D.3 ·答案：B 。详解：诚南数则3m-5<0m<号meN故m=0,1: 又f(-x)=f(x)即偶函数，指数为偶数，m=0时指数-5（奇函数），m=1时指数-2 (偶函数)，故选B。 4.下列函数中，既是偶函数，又在区间0，+∞)上单调递减的函数是() A.y=x2 B.y=x1 C.y=x2 D.y=x3 ·答案：A ·详解：A偶函数，在(0，+oo)递减；B奇函数；C非奇非偶：D奇函数，故选A。 5.若函数f(x)=(m2-2m-2)xm2是幂函数且在(0，+∞)是递增的，则m=？ 。答案：m=3 。详解：幂函数系数m2-2m-2=1,解得m=3或m=-1: 递增则指数m2-2>0,m=3时指数7>0，m=-1时指数.1<0（错误），故答案m=3 题型五比大小 1,比较两个幂的值的大小：3与2 。答案：32>22 。详解：幂函数y=x在(0，+递增，3>2，故3>2。 2.若(2x-1)F<(3x)7,则实数x的取值范围为？ 。答案： 2x-1≥0 ·详解：幂函数y=x2在[0，+∞)递增，故3x≥0 解得x 2。 2x-1<3x 3.比较大小：1.12与0.92：22与0.32 。答案：1.12>0.92；22<0.32 。详解：y=x在0，+∞)递增，1.1>0.9故1.12>0.92： y=x2在(0，+∞)递减，2>0.3故22<0.32。 数a=克，6=，c=后的大小关系是（) A.a<b<c B.a>b>c C.c<a<b D.b<a<c 。答案：B 。详解：y=在0，+c1道增，子启日故如>b>c,选B, 5.当0<x<1时，函数f(x=x1,gx)=x9,h(x)=x2的大小关系是？ ·答案：fx)<g(x)<h(x) 。详解：0<x<1时，指数越大幂函数值越小，故x1<x9<1,h(x)=x2>1,故 f(x)<g(x)<h(x). 题型六解不等式 1.若(m+13<(3-2m3,试求实数m的取值范围. 。答案：m号 羊解：幂函数y=x在R上递增，故m+1<3-2m,解得m 2.已知幂函数f(x)=x3,若f(a+1)<f(10-2a,则a的取值范围是？ ·答案：3sa<10 a+1≥0 ·详解：fx)=x在[0，+o)递增，故 10-2a≥0 解得3sa<10 +1<10-2a 。 3.已知幂函数f(x)=x立，若f(a+1)<f(10-2a,则a的取值范围是？ ·答案：3<a<5 a+1>0 ·详解：f(x)=x在(0，+o∞)递减，故10-2a>0 ,解得3<a<5。 a+1>10-2a 4.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2)，且f(a+1)<f(10-2a),则实数a的取值 范围是() A.（-1,5)B.（-∞，3)C.(3,+∞)D.(3,5) ·答案：D 。详解：设f(x=X,代入4,2得4=2即c=克x=在0，+e递增，故 a+1≥0 10-2a20 解得3≤a<5,结合选项选D。 a+1<10-2a 5.已知f(x)=(n2-3n+3)x1为幂函数，且f(x)为奇函数. (1)求函数f(x)的解析式： (2)解不等式f(x+1)+f(3-2x)>0, ·答案：(1)f(x=x;(2)x<4 。详解：(1)幂函数系数n2-3n+3=1,解得n=1或n=2； n=1时f(x)=x(偶函数)，n=2时，fx)=x3(奇函数)， 故函数f(x)的解析式为f(x)=x: (2)不等式f(x+1)+f(3-2x)>0-f(x+1)>-f(3-2x) 因f(x)为奇函数-f(x)=f(-x),则-f(3-2x)=f(2x-3), 所以f(x+1)>f(2x-3) 因f(x=x递增，故x+1>2x-3,解得x<4。 6.若(2x-12<(3x)三，则实数x的取值范围（) A 。 B君 c.(-o,-1u(写，+o)D.[3+mj ·答案：D 2x-1≥0 ·详解：fx)=x2在[0，+∞)递增，故3x≥0 解得a≥2，结合选项选D。 2x-1<3x