第01讲 集合的概念、关系及运算讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的概念、关系及运算核心知识点，从集合与元素的概念出发，通过元素确定性、互异性、无序性三大特征建立基础，衔接常用数集与表示方法，进而学习子集、真子集等集合间关系，最终掌握交并补运算及子集个数公式，构建完整知识支架。 资料亮点在于5个易错辨析（如空集与含0集合的区别）精准规避认知误区，7类典例精讲（如利用互异性求参数、集合新定义题型）搭配变式训练，培养学生抽象能力与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后作业结合综合题与创新题型，助力学生查漏补缺，提升应用意识。

第01讲 集合的概念、关系及运算 （核心知识+5易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】集合概念与元素特征判断 【题型五】子集个数公式应用 【题型二】利用互异性求参数 【题型六】含参集合运算综合 【题型三】集合关系判断 【题型七】集合的新定义 【题型四】集合交并补基础运算 【知识点01】集合与元素的概念 一般地，把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就称这个整体为集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系只有两种：属于、不属于。 ：元素属于集合 ：元素不属于集合 【知识点02】集合元素三大特征 确定性：对象要么属于集合，要么不属于，模棱两可不能构成集合。 互异性：集合中元素互不重复，任意两个元素不同。 无序性：集合中元素无顺序，。 【知识点03】常用数集 自然数集： 正整数集：或 整数集： 有理数集： 实数集： 【知识点04】集合的表示方法 列举法：把元素一一列举，适合有限集、规律明显集合。 例： 描述法：，适合无限集、取值有范围集合。 例： 【知识点05】集合间的基本关系 （1）子集 若任意，都有，则。 （2）真子集 且，则。 （3）相等 且 （4）空集 不含任何元素的集合，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 【知识点06】集合的基本运算 交集：公共元素 并集：全部元素 补集：全集内剩余元素 【知识点07】子集个数公式 若集合中有个元素： 子集个数： 真子集个数： 非空子集个数： 非空真子集个数： 易错点1：元素与集合、集合与集合符号混淆 元素用，集合包含用；严禁出现、。 易错点2：空集误区 不含元素，含有元素0，二者不相等；空集是子集不是元素。 易错点3：描述法代表元素混淆 是定义域集合，是值域集合，集合完全不同。 易错点4：忽略元素互异性 含参集合求值，求出参数后必须回代检验，保证集合元素互不相同。 易错点5：交并补语言理解错误 交集是“同时满足”，并集是“至少一个满足”，做题切忌颠倒逻辑。 【题型一】集合概念与元素特征判断 【典例1-1】（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 【变式1-1】（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据元素与集合之间的关系即可做出判断. 【详解】对于A，是有理数，故A正确； 对于B，不是正整数，故B错误； 对于C，不是自然数，故C正确； 对于D，=2是整数，故D错误. 故选：AC. 【变式1-3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【答案】B 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴. 【题型二】利用互异性求参数 【典例2-1】（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 【变式2-1】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知,若集合，则的值为_________. 【答案】 【分析】利用集合的互异性、无序性，集合相等的含义解决即可. 【详解】 易知,因此. 因此有. 由集合的互异性可知，故 得 因此，. 故答案为：. 【变式2-2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】ABD 【分析】将四个选项逐一代入验证是否满足集合的三个特性即可. 【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错； 当时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错. 故选：ABD 【变式2-3】（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 【题型三】集合关系判断 【典例3-1】（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，， ，不是的子集，故ABD错误，C正确. 【变式3-1】（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）下列关系说法错误的有（    ） ①    ②    ③⫋    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据元素与集合，集合与集合间的符号表示判断即可. 【详解】①：因为是集合中的元素，所以，表示的符号不正确，故①错误； ②：因为是任何集合的子集，所以，表示的符号不正确，故②错误； ③：因为中含有元素，而且还有其它元素，所以⫋，故③正确； ④：因为是无理数，而是有理数集，所以，故④错误． 故选：C 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别判断集合的元素是否都在集合A里即可. 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数减1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里，所以D选项的集合是集合的子集. 故选：BCD 【变式3-3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）已知集合． (1)判断10，11，12是否属于集合A； (2)若集合，证明：； (3)写出所有满足集合A的偶数构成的集合，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)证明见详解 (3)，理由见详解 【分析】（1）先由平方差公式因数分解，再利用方程组思想确定是否有整数解，从而得出判断； （2）根据题意结合子集关系分析证明即可； （3）利用平方差因数分解，利用奇偶数思想分析，即可得到满足集合中的偶数一定是4的倍数，再证明4的倍数一定是集合中的元素，从而可得集合中的偶数一定是. 【详解】（1）假设， 则，且， 由于，所以或，显然均无整数解， 所以； 由于，满足集合A中元素特征，所以； 由于，满足集合A中元素特征，所以. （2）对任意，均有， 可知，所以. （3）集合，而， ①当和同为奇数和偶数时，均为偶数，所以为4的倍数， 反之当，则不妨令， 可解得，满足集合A中元素特征， 所以满足集合A的偶数为； ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数，不满足题意； 综上所述：所有满足集合A的偶数构成的集合为. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是分类讨论和同为奇数和偶数与和一奇一偶两种情况，结合因式分解即可得解. 【题型四】集合交并补基础运算 【典例4-1】（25-26高一下·河南焦作·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知集合，集合， 所以. 【变式4-1】（25-26高一上·浙江宁波·期中）设全集，若集合，，则______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解. 【详解】依题意，或，而， 所以. 故答案为： 【变式4-2】（多选）（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设集合，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，， 所以，，，． 【变式4-3】（2026高一·全国·专题练习）尝试借助Venn图证明以下两个等式 (1)； (2) 【答案】(1)证明： 、用Venn图都可表示为 (2)证明： 、用Venn图都可表示为 【分析】分别将等式两边的Venn图表示出来，即可证明等式成立. 【详解】（1）略 （2）略 【题型五】子集个数公式应用 【典例5-1】（25-26高一上·广东茂名·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据“若一个集合中有n个元素，则这个集合有个真子集”，即可得出答案. 【详解】真子集的个数为. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·河南·阶段检测）集合的非空子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求得集合A，根据非空子集个数的求法，即可得答案. 【详解】因为，解得，所以， 所以集合A的非空子集的个数为. 故选：A 【变式5-2】（25-26高一上·广西崇左·期末）集合的元素个数为______，子集个数为______． 【答案】 【分析】先利用自然数的概念及集合中满足的条件，确定集合中的元素，再利用集合的子集个数计算公式即可求解. 【详解】，为自然数，故当时满足条件， 故集合的元素个数为， 子集个数为. 故答案为：①；② 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课后作业）定义集合，若，，则的真子集个数为______． 【答案】3 【分析】先分别求出，再根据定义求出，最后求出真子集的个数即可． 【详解】由题意得，所以， 所以其真子集个数为 故答案为：3． 【题型六】含参集合运算综合 【典例6-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 【变式6-1】（25-26高一下·陕西安康·期中）已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】已知集合，，， 则或. 若，因式分解为，解得或. 两种解都满足集合元素互异性. 若，整理得，判别式，无实数解. 故实数的所有取值之和为. 【变式6-2】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知，，且，则的值等于___________. 【答案】/ 【分析】由交集结果得到，从而得到方程，求出，得到，，代入计算得到，求出答案. 【详解】，故， 所以，解得， 故， 又，故，， 所以，解得， . 故答案为； 【变式6-3】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）将问题转化为，即可对讨论求解， （2）对分空集和非空集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】（1）若选，则, 若②，则， 若选③，则， 因此不论选哪一个条件，都需要满足， 接下来求解， 若时，则，解得， 若时，则，解得， 综上可得， （2）当时， 若时，则，解得， 若时，或，解得， 综上可得或. 【题型七】集合的新定义 【典例7-1】（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）定义集合，间的一种运算如下：.已知，，则根据定义，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知中的新定义求解即可. 【详解】由题可知：. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 【答案】010101 【分析】利用集合的新定义得出，再由集合的字符表示即可求解. 【详解】由，，得，则， 因此此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1，其余字符均为0， 所以表示的6位字符串是010101. 故答案为：010101 【变式7-2】（2025高一·全国·专题练习）（多选）设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 【答案】BC 【分析】由集合新定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，则，，显然，故A错误； 对于B，，含有6个元素，故B正确； 对于C，， ， ，含有9个元素，故C正确； 对于D，集合是所有偶数的集合，集合是所有奇数的集合， 因此，包含所有形如（偶数，奇数）的有序对，包含所有形如（奇数，偶数）的有序对， 显然并不能覆盖所有形如（整数，整数）的有序对，因为缺少（偶数，偶数）和（奇数，奇数）的有序对，故D错误． 故选：BC． 【变式7-3】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1)证明见解析. (2)，或. (3) 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【详解】（1）设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 1. 集合与元素三要素 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。确定性判定能否构成集合；互异性是含参集合求值必验条件；无序性说明集合与元素排列顺序无关。 2. 基本符号规则 元素与集合为从属关系：、 集合与集合为包含关系：、、 3. 空集核心性质 空集不含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，注意区分。 4. 集合三大基本运算 交集（公共元素）： 并集（全部元素、去重）： 补集（全集剩余元素）： 5. 子集个数公式 若集合含有个元素：子集个，真子集、非空子集个，非空真子集个。 一、单选题 1．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【详解】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 3．（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据且，建立不等式求解即可. 【详解】因为集合，而且 且，解得. 故选：B 4．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 二、多选题 5．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【答案】AB 【分析】利用元素与集合关系求解判断A；求出集合判断B；根据集合中元素的个数求出参数的值或取值范围，可判断CD选项. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. 6．（25-26高一上·重庆·期中）设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A．是集合的一个“理想元素” B．若“理想集合”恰有4个子集，则 C．集合是一个“理想集合” D．若是集合的一个“理想元素”，则 【答案】ACD 【分析】计算，满足理想元素的定义；先由“理想集合”的子集的个数判断出中元素的个数，再根据理想集合的定义写出的可能情况，或；假设集合中任意两个元素，计算也在集合中，则满足“理想集合的定义； 若是集合的一个“理想元素”， 则，则，得到，所以，利用反证法排除. 【详解】因为，，所以是集合的一个“理想元素”，选项A正确. “理想集合”恰有4个子集，则恰好有两个元素，设， 因为，都有，即，， 则或者即或 则，或； 当 ，则，所以或解得 或（舍去），此时； 当 ，则，所以或解得（舍去）或或，此时或，所以选项B错误； 设，则 ， 因为，所以即可以表示为的形式，所以,故选项C正确； 若是集合的一个“理想元素”， 则 所以, 因为，所以； 若，则，即是7的倍数，除以7余数为6，因此除以7余数为6， 设 ，则，则不是7的倍数，所以，所以，所以选项D正确. 故选：ACD 三、填空题 7．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 8．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【详解】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 9．（25-26高一上·福建三明·期末）已知全集，集合，集合． (1)求集合； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先分别求解集合和集合，再根据并集、补集和交集的定义求解和； （2）先根据集合间的包含关系，分和两种情况讨论，列出关于的不等式组，再求解不等式组得到的取值范围. 【详解】（1）因为， ， 所以或，    所以， . （2）由（1）知， 当时，则有，即，   当时 则有   即，即， 综上所述，实数的取值范围为. 10．（25-26高一上·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是“好集”，理由如下： 由，得. 因为， 所以是“好集”． (2)，，，， 【分析】（1）根据好集的定义判断即可； （2）判断包含于的好集的特征，再求得满足条件的集合A. 【详解】（1）略 （2）由于 所以同时含有1，2；或2，4；或1，3，4；或1，4，5；或2，3，5的集合均不是好集； 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素子集，除和以外的双元素子集，以及三元素子集，，根据定义验证，这些集合都是“好集”． 又因为条件③，所以集合不是其它包含于的“好集”的真子集. 因为空集及单元素好集都是其它双元素好集的真子集，所以空集及单元素好集均不满足条件； 因为好集和的真子集均不满足条件， 所以满足条件的就只能是，，，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念、关系及运算 （核心知识+5易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】集合概念与元素特征判断 【题型五】子集个数公式应用 【题型二】利用互异性求参数 【题型六】含参集合运算综合 【题型三】集合关系判断 【题型七】集合的新定义 【题型四】集合交并补基础运算 【知识点01】集合与元素的概念 一般地，把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就称这个整体为集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系只有两种：属于、不属于。 ：元素属于集合 ：元素不属于集合 【知识点02】集合元素三大特征 确定性：对象要么属于集合，要么不属于，模棱两可不能构成集合。 互异性：集合中元素互不重复，任意两个元素不同。 无序性：集合中元素无顺序，。 【知识点03】常用数集 自然数集： 正整数集：或 整数集： 有理数集： 实数集： 【知识点04】集合的表示方法 列举法：把元素一一列举，适合有限集、规律明显集合。 例： 描述法：，适合无限集、取值有范围集合。 例： 【知识点05】集合间的基本关系 （1）子集 若任意，都有，则。 （2）真子集 且，则。 （3）相等 且 （4）空集 不含任何元素的集合，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 【知识点06】集合的基本运算 交集：公共元素 并集：全部元素 补集：全集内剩余元素 【知识点07】子集个数公式 若集合中有个元素： 子集个数： 真子集个数： 非空子集个数： 非空真子集个数： 易错点1：元素与集合、集合与集合符号混淆 元素用，集合包含用；严禁出现、。 易错点2：空集误区 不含元素，含有元素0，二者不相等；空集是子集不是元素。 易错点3：描述法代表元素混淆 是定义域集合，是值域集合，集合完全不同。 易错点4：忽略元素互异性 含参集合求值，求出参数后必须回代检验，保证集合元素互不相同。 易错点5：交并补语言理解错误 交集是“同时满足”，并集是“至少一个满足”，做题切忌颠倒逻辑。 【题型一】集合概念与元素特征判断 【典例1-1】（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【变式1-1】（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【题型二】利用互异性求参数 【典例2-1】（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【变式2-1】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知,若集合，则的值为_________. 【变式2-2】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2-3】（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【题型三】集合关系判断 【典例3-1】（2026高一·全国·专题练习）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）下列关系说法错误的有（    ） ①    ②    ③⫋    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）已知集合． (1)判断10，11，12是否属于集合A； (2)若集合，证明：； (3)写出所有满足集合A的偶数构成的集合，并说明理由． 【题型四】集合交并补基础运算 【典例4-1】（25-26高一下·河南焦作·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·浙江宁波·期中）设全集，若集合，，则______. 【变式4-2】（多选）（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设集合，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026高一·全国·专题练习）尝试借助Venn图证明以下两个等式 (1)； (2) 【题型五】子集个数公式应用 【典例5-1】（25-26高一上·广东茂名·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 【变式5-1】（25-26高一上·河南·阶段检测）集合的非空子集的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（25-26高一上·广西崇左·期末）集合的元素个数为______，子集个数为______． 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课后作业）定义集合，若，，则的真子集个数为______． 【题型六】含参集合运算综合 【典例6-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【变式6-1】（25-26高一下·陕西安康·期中）已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式6-2】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知，，且，则的值等于___________. 【变式6-3】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. 【题型七】集合的新定义 【典例7-1】（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）定义集合，间的一种运算如下：.已知，，则根据定义，（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 【变式7-2】（2025高一·全国·专题练习）（多选）设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 【变式7-3】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 1. 集合与元素三要素 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。确定性判定能否构成集合；互异性是含参集合求值必验条件；无序性说明集合与元素排列顺序无关。 2. 基本符号规则 元素与集合为从属关系：、 集合与集合为包含关系：、、 3. 空集核心性质 空集不含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，注意区分。 4. 集合三大基本运算 交集（公共元素）： 并集（全部元素、去重）： 补集（全集剩余元素）： 5. 子集个数公式 若集合含有个元素：子集个，真子集、非空子集个，非空真子集个。 一、单选题 1．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 3．（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 6．（25-26高一上·重庆·期中）设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A．是集合的一个“理想元素” B．若“理想集合”恰有4个子集，则 C．集合是一个“理想集合” D．若是集合的一个“理想元素”，则 三、填空题 7．（2026高一·全国·专题练习）已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 8．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______． 四、解答题 9．（25-26高一上·福建三明·期末）已知全集，集合，集合． (1)求集合； (2)若集合，满足，求实数的取值范围． 10．（25-26高一上·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $