1.2 集合间的基本关系（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“集合间的基本关系”同步练，以A（巩固）、B（能力）、C（思维）、拓展（中考）分层设计，构建从概念理解到综合应用的知识路径，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|集合关系判断、子集个数等基础概念与单一应用|基础题型为主，如集合相等判断、空集性质辨析| |B组|集合包含关系与参数结合的综合应用|含多知识点综合题，如根据子集关系求参数范围| |C组|创新思维与新定义问题|开放题、逻辑推理题，如“差倍集”“奇子集”新定义| |拓展|中考真题与实际应用|对接高考真题，强化知识迁移与应用意识|

分层作业 1.2集合的基本关系 参考答案 集合间关系的判断题型01 1．A 2．B 3． ②④ 子集、真子集的个数问题题型02 4．D 5．B 6.B 7.B 求集合的子集（真子集）题型03 8．B 9． 10．，，， 判断集合相等题型04 11．B 12．ACD 由集合相等求参数题型05 13．C 14． 15．5 ；6 空集的判断、性质题型06 16． B 17．②④⑥ 18. 根据集合的包含关系求参数（或范围）题型07 19．B 20．D 21．ABD 22. C 根据集合的子集（真子集）的个数求参数（或范围）题型08 22．4或 23．0或4 1．A 2．BCD 3．3 4．72 5． 6．【答案】(1)或;(2) 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 7．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 1． （答案不唯一） 2．3或7 3．或 4． 4 ； 5. 6.【答案】4 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，， 所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，， 所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，，， 若， 则， 故，⑤正确. 所以①②③⑤正确， 故答案为：4 7.【答案】(1)；(2)2或10 【详解】（1）根据差倍集的定义， 当，时，； 当，时，； 当，时，． 由集合中元素的互异性，可得． （2）已知，由集合中元素的互异性可知，且． 当时，的可能取值为2或3． 当时，，， ，， 此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，，， ，， 则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，根据， 可得，，． 由于且，所以且，且． 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时， 满足差倍集中恰好有两个元素，故． 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10． 1．B 2．4 3.2 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 集合间的基本关系 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 集合间关系的判断 题型02 子集、真子集的个数问题 题型03 求集合的子集（真子集） 题型04 判断集合相等 题型05 由集合相等求参数 题型06 空集的判断、性质 题型07 根据集合的包含关系求参数（或范围） 题型08 根据子集（真子集）的个数求参数（或范围） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 集合间关系的判断题型01 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 2．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即， 故选：B 3．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）下列表达式中正确的序号是________. ①；②；③； ④. 【答案】②④ 【详解】因为是无理数，所以，故①错误； 因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 根据集合之间的关系，可得，所以③错误； 由集合为自然数集，为整数集，所以，所以④正确. 故答案为：②④. 子集、真子集的个数问题题型02 4．（25-26高一上·广东湛江·期末）集合，则的子集个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】， 故的子集个数是. 故选：D 5．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【详解】真子集的个数为. 故选：B. 6．（25-26高一下·河北保定·开学考试）集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】B 【详解】集合有3个元素， 故该集合有个子集． 7．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 求集合的子集（真子集）题型03 8．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，若集合，则符合条件的的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由，且， 则符合条件的为：，. 故选：B 9．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 【答案】 【详解】因为，，， 所以集合可以为 10．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 判断集合相等题型04 11．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B 12．（多选）（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：，解得，集合， ，解得，集合， ，即集合表示同一个集合，故A正确； 选项B：集合中的元素是有序数对，顺序不同表示元素不同， 集合表示不同集合，故B错误； 选项C：集合中元素完全相同，集合表示同一个集合，故C正确； 选项D：表示奇数集，也表示奇数集， 集合表示同一个集合，故D正确． 故选：ACD． 由集合相等求参数题型05 13．（易错）（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【详解】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C 14．（易错）（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知,若集合，则的值为_________. 【答案】 【详解】 易知,因此.因此有. 由集合的互异性可知，故 得 因此，. 故答案为：. 15．已知集合，若，则__，__. 【答案】5 ；6 【详解】因为， 所以一元二次方程的两个实数根为， 所以有. 空集的判断、性质题型06 16．（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于是的一个子集，故，B正确，AD错误，C选项，空集不是的元素，故C错误. 故选：B 17．（24-25高一上·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为__________. 【答案】②④⑥ 【详解】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 18．（易错）（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 根据集合的包含关系求参数（或范围）题型07 19．（25-26高一上·福建宁德·期末）设，，，若，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】，，， ，，，解得，即，，符合题意. 故选：B. 20．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为，且， 所以，解得， 故选：D 21．（易错）（多选）（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 22．（易错）（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 根据集合的子集（真子集）的个数求参数（或范围）题型08 23．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 【答案】4或 【详解】集合有且只有一个非空子集，则集合中只有一个元素，即方程只有一个解， 得，解得或. 故答案为：4或. 24．（易错）（25-26高一上·湖北·期中）已知集合的所有子集只有两个，则实数的值为__________. 【答案】0或4 【详解】设集合元素个数为， 由题意可得，所以该集合的元素只有一个， 当时，方程，符合题意； 当时， 要想该集合的元素只有一个，只需一元二次方程的判别式， 即，显然，符合题意， 综上所述实数的值为0或4， 故答案为：0或4 1．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 2．（多选）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【详解】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 3．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 【答案】3 【详解】由题得，. 因为⫋， 所以根据子集的定义，集合C必须含有元素2，5， 所以或或. 故答案为：3 4．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 【答案】72 【详解】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 故答案为：. 5．（2025高一上·江苏南通·专题练习）设集合，，则满足的实数m的值所组成的集合为__________. 【答案】 【详解】，又， 当时，无解，故，满足条件； 若，则或，得或， 故满足条件的实数. 故答案为：. 6．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或;(2) 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 7．（易错）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 1．【开放题】（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知集合，且集合满足如图所示的关系，写出一个符合题意的集合______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由图可知，则中需要包含元素1，2，并且还需要有其他元素， 则，符合题意（答案不唯一，满足，且存在即可）． 故答案为：（答案不唯一） 2．【新定义问题】定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是______. 【答案】3或7 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为. 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：3或7 3．【逻辑推理】（25-26高一上·山东·阶段检测）已知集合，，若，使得，都满足，则__________. 【答案】或 【详解】，或或； ①当或，即或时， 若，则， 此时，即； 若，则，此时， 即； 由得：，； ②当，即时， 若，则，此时，即； 若，则，此时，即； 由得：，； 综上所述：或. 故答案为：或. 4．【新定义问题】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）设集合，若，将A中所有数的和记为A的容量（若A为空集，规定A的容量为0），若A的容量为奇（偶）数，则称A为U的奇（偶）子集． （1）若，则U的奇子集个数为_______； （2）当时，U的偶子集个数（用n表示）为_______． 【答案】 4 ； 【详解】若，， 所以的奇子集有，，，，共4个； 对于给定的中元素1，将的所有偶子集划分为含1和不含1两类，所有含1的偶子集去掉1，则变为不含1的奇子集， 所有不含1的偶子集加入1，则变为含1的奇子集，对所有的奇子集作同样的分析，可得偶子集和奇子集一一对应，故其数量相等， 因为个元素的集合其子集数量为，故偶子集的个数为其一半，即. 故答案为：4； 5．【新定义问题】（25-26高一上·重庆·阶段检测）对于一个由整数组成的集合中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“大和数”为______． 【答案】 【详解】一共有6个元素，全体元素之和为：. 对于集合的任意一个子集，总能找到一个子集，使得， 又当时，，结合集合有个子集，则形如与这样的非空集合对有对，而相互对应的两个集合的元素和为，则的“大和数”为： . 故答案为： 6．【探索型问题】若，则下列结论中正确结论的个数为_______. ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. 【答案】4 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，， 所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，， 所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，，， 若， 则， 故，⑤正确. 所以①②③⑤正确， 故答案为：4 7．【新定义问题】（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； 【答案】(1)；(2)2或10 【详解】（1）根据差倍集的定义， 当，时，； 当，时，； 当，时，． 由集合中元素的互异性，可得． （2）已知，由集合中元素的互异性可知，且． 当时，的可能取值为2或3． 当时，，， ，， 此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，，， ，， 则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故． 当时，根据， 可得，，． 由于且，所以且，且． 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时， 满足差倍集中恰好有两个元素，故． 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10． 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 3．（2023·上海·高考真题）已知集合，且，则_____________． 【答案】2 【详解】因为且， 所以集合中元素相同， 所以， 故答案为：2 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 集合间的基本关系 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 集合间关系的判断 题型02 子集、真子集的个数问题 题型03 求集合的子集（真子集） 题型04 判断集合相等 题型05 由集合相等求参数 题型06 空集的判断、性质 题型07 根据集合的包含关系求参数（或范围） 题型08 根据子集（真子集）的个数求参数（或范围） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 集合间关系的判断题型01 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）下列表达式中正确的序号是________. ①；②；③； ④. 子集、真子集的个数问题题型02 4．（25-26高一上·广东湛江·期末）集合，则的子集个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 6．（25-26高一下·河北保定·开学考试）集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 7．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 求集合的子集（真子集）题型03 8．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，若集合，则符合条件的的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26高一下·四川成都·期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为__________________ 10．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 判断集合相等题型04 11．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选）（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 由集合相等求参数题型05 13．（易错）（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 14．（易错）（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知,若集合，则的值为_________. 15．已知集合，若，则__，__. 空集的判断、性质题型06 16．（25-26高一上·山东济南·期中）下列关系中，正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为__________. 18．（24-25高一上·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是_____. 根据集合的包含关系求参数（或范围）题型07 19．（25-26高一上·福建宁德·期末）设，，，若，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 20．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 21．（易错）（多选）（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 22．（易错）（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 根据集合的子集（真子集）的个数求参数（或范围）题型08 23．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 24．（易错）（25-26高一上·湖北·期中）已知集合的所有子集只有两个，则实数的值为__________. 1．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 2．（多选）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 3．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 4．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为______. 5．（2025高一上·江苏南通·专题练习）设集合，，则满足的实数m的值所组成的集合为__________. 6．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 7．（易错）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 1．【开放题】（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知集合，且集合满足如图所示的关系，写出一个符合题意的集合______． 2．【新定义问题】定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是______. 3．【逻辑推理】（25-26高一上·山东·阶段检测）已知集合，，若，使得，都满足，则__________. 4．【新定义问题】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）设集合，若，将A中所有数的和记为A的容量（若A为空集，规定A的容量为0），若A的容量为奇（偶）数，则称A为U的奇（偶）子集． （1）若，则U的奇子集个数为_______； （2）当时，U的偶子集个数（用n表示）为_______． 5．【新定义问题】（25-26高一上·重庆·阶段检测）对于一个由整数组成的集合中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“大和数”为______． 6．【探索型问题】若，则下列结论中正确结论的个数为_______. ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. 7．【新定义问题】（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”． (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的的值； 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 2．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 3．（2023·上海·高考真题）已知集合，且，则_____________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $