第一次阶段性检测自编模拟试题-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册（范围：第1-3章）

**基本信息** 高一数学阶段性检测覆盖集合、不等式、函数等核心内容，以《几何原本》无字证明渗透文化传承，结合理财投资情境强化应用意识，适配必修一前三章基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、命题否定、不等式性质|第7题以几何图形证明代数定理，培养数学眼光| |多选题|3/18|基本不等式、命题真假判断|第10题结合正实数关系考查多维度最值，发展数学思维| |填空题|3/15|补集、方程实根、命题否定|第14题通过假命题求参数范围，强化逻辑推理| |解答题|5/77|集合综合、函数应用、不等式恒成立|第17题理财投资情境构建函数模型，体现数学语言表达现实世界；第19题类比解法探究最值，培养创新意识|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年高一第一次阶段性检测 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教A版2024必修一第1,2,3章 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】由题意可得. 2．（本题5分）命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由全称命题的否定相关概念可得答案. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：D. 3．（本题5分）已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【详解】，， 则， 则的元素个数为16. 4．（本题5分）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质即可得出判断． 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C错误； 对于D，因为，所以，故D错误； 故选：A． 5．（本题5分）已知，则的最大值是（   ） A．-1 B．1 C．4 D．7 【答案】B 【分析】构造基本不等式，转化后可得，即可求得最大值. 【详解】由题意可得：， 因为，所以，当且仅当时取等号， 即 故选：B 6．（本题5分）若函数在上的最大值为6，则（    ） A．或1 B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用二次函数的单调性，讨论端点处函数值，再进行检验即可. 【详解】∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在上的最大值会在区间的端点或处取到， 又，，若，则， 此时对称轴，且，符合条件； 若，则，此时对称轴，且，符合条件， 综上所述，或1. 7．（本题5分）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 8．（本题5分）已知正实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用基本不等式对进行变形，然后结合的取值范围求解其最小值. 【详解】由基本不等式，可得， 要使下界最小，只需分母最大，分子最小即可，即， 此时， 验证等号条件，，即，当时，， 即，满足条件，故的最小值为. 故选：B. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于选项A：若，则，可得，故为假命题； 对于选项B：例如，但，故为假命题； 对于选项C：若，则，可得，故为真命题； 对于选项D：若，则，故为真命题. 10．（本题6分）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 11．（本题6分）已知三个不同的实数满足，且，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】将两边平方后结合可判断A的正误，利用基本不等式以及可判断B，C的正误，最后利用，将变为关于的二次函数可判断D的正误. 【详解】对于A，由题意得 ，故A正确； 对于B，由题意得 ， 因为是不同实数，所以， 即， 整理得，解得. 同理可得，又因为，所以， 所以，即，解得或. 若，又，，所以， 与矛盾，故必有. 所以综上所述，，故B正确； 对于C，同理得，解得，故C正确； 对于D，， 代入， 得， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴，且， 对称轴在区间内，所以最小值在处取得， 即最小值为，故D错误. 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知全集，集合，则________． 【答案】 【分析】根据补集的定义，在全集中剔除集合的所有元素，即可求得的补集 【详解】已知全集，集合， 则，即 13．（本题5分）关于的方程有实数根，则的最大整数值是________． 【答案】5 【详解】关于的方程有实数根， 当时，方程有实数根， 当时，需满足，解得，且， 综上，，则实数的最大整数值是5． 14．（本题5分）“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 【答案】6 【分析】首先利用命题的否定将命题变为真命题，分离参数后结合均值不等式求的最大值. 【详解】因“，”是假命题，故命题的否定为，为真命题， 分离参数可得： 令，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以的最大值为6. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合． (1)当时，求． (2)当时，求． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）解一元二次方程组求解集合，然后利用并集运算求解即可； （2）分类讨论求解集合B，然后利用交集运算求解即可． 【详解】（1）当时，， 又，所以； （2），即， 当时，，此时； 当时，， 若时，，此时； 若时，，此时； 若且且，，，此时； 综上，当时， ；当时， ； 当且时， . 16．（本题15分）已知全集， ，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由集合的补集与交集运算求解即可； （2）将“”是“”的充分条件转化为集合的关系：，然后由集合的包含关系求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）若，， 所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，即实数m的取值范围是． 17．（本题15分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资万元时，两类产品的收益分别为万元和万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系. (2)该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？ 【答案】(1)投资债券等稳健型产品的收益与投资额的函数关系为， 投资股票等风险型产品的收益与投资额的函数关系为. (2)投资债券等稳健型产品万元，投资股票等风险型产品万元时，收益最大，为万元. 【分析】（1）由题意设出函数解析式，待定系数法可求解. （2）将所求转化为求两个函数和的最大值问题，进行求解. 【详解】（1）设投资万元时，投资债券等稳健型产品的收益为万元，投资股票等风险型产品 的收益为万元，由题可知，，所以， 投资债券等稳健型产品的收益与投资额的函数关系为， 投资股票等风险型产品的收益与投资额的函数关系为. （2）设投资债券等稳健型产品万元，投资股票等风险型产品万元，由题得，投资收益 .令，则， ，则原问题即为求的最大值. 所以当二次函数取对称轴时，，此时即. 故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元时，收益最大，为3万元. 18．（本题17分）已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的关系可求两个未知数； （2）根据恒成立可从开口方向和判别式得出限制条件，从而可求答案. 【详解】（1）因为的解集为， 所以， 解得，经检验知符合题意. （2）当时，显然不合题意； 当时，因为对一切实数恒成立， 所以， 解得. 19．（本题17分）（1）已知，求函数的最小值，并求出取最小值时x的值； （2）问题：正数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即，时取等号.学习上述解法，并解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m值. 【答案】（1）当时，函数有最小值； （2），当且仅当且，同号时等号成立 （3）时，取得最小值 【分析】（1）变形得，运用基本不等式，结合分式的性质进行求解即可； （2）根据，再作差并结合完全平方式即可证明； （3）根据（2）的结论，结合待定系数法进行求解即可. 【详解】（1），因为， 所以，即 当且仅当时取等号， 所以当时，函数有最小值； （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且，同号时等号成立.此时，满足； （3）令，， 设，因为， 所以设，， 因为，所以， 所以M， 当且仅当时取等号，即，，即， 所以时，取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年高一第一次阶段性检测 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教A版2024必修一第1,2，3章 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（本题5分）已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 4．（本题5分）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知，则的最大值是（   ） A．-1 B．1 C．4 D．7 6．（本题5分）若函数在上的最大值为6，则（    ） A．或1 B． C． D．1 7．（本题5分）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 8．（本题5分）已知正实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（本题6分）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 11．（本题6分）已知三个不同的实数满足，且，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知全集，集合，则________． 13．（本题5分）关于的方程有实数根，则的最大整数值是________． 14．（本题5分）“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合． (1)当时，求． (2)当时，求． 16．（本题15分）已知全集， ，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 17．（本题15分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资万元时，两类产品的收益分别为万元和万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系. (2)该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？ 18．（本题17分）已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 19．（本题17分）（1）已知，求函数的最小值，并求出取最小值时x的值； （2）问题：正数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即，时取等号.学习上述解法，并解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m值. 学科网（北京）股份有限公司 $