2.1《认识一元二次方程》第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程近似解的估计，通过小明洛阳旅游中的酒店铺地毯、消防梯子滑动等实际问题导入，衔接上节课方程概念，以“问题链”引导学生从方程定义过渡到解的估计，搭建“概念-问题-求解”的学习支架。 其亮点在于情境化设计与逼近思想渗透，借助旅游问题链让学生用数学眼光观察现实，消防梯子问题用二分法缩小范围培养数学思维，跳水运动员实例强化数学语言表达。采用问题驱动与协作探究，学生提升建模和估算能力，教师可依托完整流程高效教学。

第二章 一元二次方程 第1课 认识一元二次方程 新版北师大数学九年级上册数学 第2课时 一元二次方程的近似解 学习目标 1.通过解决小明一家洛阳旅游中酒店铺地毯、消防梯子滑动的实际问题,经历用列表法、代入验证法估计一元二次方程解的过程，体会解的实际意义. 2.通过对比有理数解和无理数解的估计方法,理解一元二次方程解的多样性,初步感受用缩小解的范围的核心思路。 3.通过将实际问题转化为方程解的估计问题,提升数学建模和估算能力,感受“生活-数学-生活”的转化思想. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 上节课我们跟随小明一家的洛阳之旅,从酒店铺地毯、景区门票编号、消防梯子滑动三个问题中抽象出了一元二次方程的概念.返程的大巴上,小明看着窗外突然发问：“爸爸,我们列出了那么多方程,可是地毯到底要留多宽的边？梯子到底滑动了几米呀？”今天我们就带着这些问题,一起探究如何估计一元二次方程的解. 你还记得方程的解是怎样定义的吗？ 问题构建 问题1:谁能快速说出上节课我们得到的三个一元二次方程的一般形式？ ①4x²-26x+22=0；②x²-8x-20=0；③x²+12x-15=0 问题2:我们先看最简单的门票编号方程x²-8x-20=0.你能尝试代入一些整数,看看哪些数能使方程左右两边相等吗？ 当x=10时,左边=10²-8×10-20=0； 当x=-2时,左边=(-2)²-8×(-2)-20=0. 所以x=10和x=-2都是这个方程的解. 追问:这两个解都符合门票编号的实际意义吗？为什么？ x=-2不符合,因为门票编号是正整数,所以这五个连续整数是10、11、12、13、14. 问题构建 接下来解决酒店铺地毯的问题,方程是(8-2x)(5-2x)=18 问题3:x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由. 都不可能.x表示条形区域的宽度,不能为负数；若x>4,地毯的长8-2x<0；若x>2.5,地毯的宽5-2x<0,均无实际意义.因此x的取值范围是0<x<2.5. 请填写下表,计算不同x值对应的地毯面积,观察结果的变化规律. x 0.5 1 1.5 2 (8-2x)(5-2x) 28 18 10 4 问题构建 追问1:从表格中你能直接看出地毯的宽度x是多少吗？为什么？ x 0.5 1 1.5 2 (8-2x)(5-2x) 28 18 10 4 x=1米.因为当x=1时,地毯面积正好等于18平方米,符合题意. 追问2:你还有其他的求解方法吗？与同伴交流. 对等式右边结果18进行因数分解：1×18=18,2×9=18,3×6=18 依据8-2x＞5-2x,去对照18的两个因数，可以得出8-2x=6 解得：x=1 问题构建 问题4:最后看消防梯子滑动的方程x²+12x-15=0.x可能小于0吗？为什么？ 不可能.x表示梯子底端滑动的距离,不能为负数,因此x>0. 追问1:小明认为底端滑动了1米，他的说法正确吗？为什么？ 不正确.当x=1时,左边=1²+12×1-15=-2≠0，所以x=1不是方程的解. 追问2:底端滑动的距离可能是2米吗？可能是3米吗？为什么？ 都不可能. 当x=2时,左边=4+24-15=13>0； 当x=3时,左边= 9+36-15=30>0. 结合x=1时左边=-2<0,可知方程的解在1和2之间. 问题构建 追问3:小亮用下面的表格进一步缩小范围,请补充完整并说说你的发现? x 1.1 1.2 1.3 1.4 x²+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 所以：1＜x＜1.5 所以：1.1＜x＜1.2 问题构建 问题5:由此你能确定x的整数部分是几？十分位是几吗？ 整数部分是1，十分位是1 追问:如果要把x的小数部分精确到百分位,应该怎么做？ 继续在1.1和1.2 之间取中间值（如1.15），计算对应的方程左边的值,判断解在哪个更小的范围内,重复这个过程直到达到所需精度.这种“不断取中间值缩小范围”的方法叫做二分法,是数学中常用的逼近方法.请课下阅读课本P34《用二分法确定一元二次方程的近似解》. 协作破冰 问题6:回顾我们估计三个方程解的过程,一元二次方程的解有哪些可能的情况？与一元一次方程有什么不同？ 一元二次方程可能有两个有理数解（如门票编号问题）、一个有理数解（如铺地毯问题）,也可能有无理数解（如梯子滑动问题）,还有可能没有实数解（下节课学习）.而一元一次方程只有一个. 追问:生活中你还见过哪些用“逐步缩小范围”的方法解决问题的例子？ 无理数学习过程中估计的近似值、物理学中找电路故障点、猜价格游戏、测量不规则物体的体积等. 协作破冰 问题7:为什么我们在估计方程解的时候,首先要结合实际意义确定x的取值范围？这一步有什么作用？ 可以排除不符合实际的解,大大缩小估计的范围,提高计算效率,同时保证解的实际意义. 估计方程x²+2x-7=0的正解范围（精确到十分位） 1.确定范围: x>0,x=1时左边=-4<0， x=2时左边=1>0,故1<x<2. 2.缩小范围: x=1.5时左边=-1.75<0,故1.5<x<2； x=1.7时左边=-0.71<0,故1.7<x<2； x=1.8时左边=-0.16<0， x=1.9时左边= 0.41>0，故1.8<x<1.9 3.确定精度： 精确到十分位,x≈1.8 教师示范 课本P35第5题 一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必须在距水面5 m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后到水面的距离h（单位:m）与运动时间t（单位:s）满足关系:h=10+2.5−5.这名运动员最多有多长时间完成规定动作？ 解:当运动员距水面5米时,h=5,代入方程：10+2.5−5=5 整理方程:得5+2.5𝑡−5=0 将方程改写为： 52.5𝑡+5 两边除以5：=0.5𝑡+1 接下来我们通过尝试不同的t值，使等式左右两边尽可能接近： 教师示范 t 左边 右边0.5t+1 比较结果 1 1 1.5 左<右 1.5 2.25 1.75 左>右 1.2 1.44 1.6 左<右 1.3 1.69 1.65 左>右 1.28 ≈1.638 ≈1.64 几乎相等 结论:通过试值法可知,当t≈1.28s时,运动员高度恰好为5米. 这名运动员最多有约1.28秒​完成规定动作. 巩固拓展 问题解决:一个长方形的广告牌,长比宽多2米，面积是24平方米.我们列出了方程x²+2x-24=0,请你估计这个广告牌的长和宽分别是多少米? 当x=4时,左边=16+8-24=0,所以x=4是方程的解.因此广告牌的宽是4米，长是6米. 观察代数式x²+2x-24,回顾八年级下册《分解因式》中学习过的分解方法中有没有可以分解它的方法？要如何做？ 十字相乘法， x²+2x-24=(x+6)(x-4) 该方法和你上面得到的结果是否一致？你有怎样的思考？猜测明天将要学习怎样的知识？ 当堂检测 下列关于方程x²-3x-4=0的解的说法正确的是（ ） 只有一个解x=4 B. 只有一个解x=-1 C. 有两个解x=4和x=-1 D. 没有实数解 C 请你和同学分享你的判断方法？ 当堂检测 2.方程(x-1)(x+3)=4的一个正解在整数____和____之间. 2 1 代入值 判断结果 1 -4 负 2 1 正 3 8 正 当堂检测 3.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm²，求这个正方形原来的边长. 解：设这个正方形原来的边长为xcm 根据题意列方程得：(x+2)²-x²=24 展开得：x²+4x+4-x²=24 化简得：4x=20 解得：x=5 答：这个正方形原来的边长为5cm. 当堂检测 4.已知方程x²-2x-1=0 （1）判断x=1+和x=1- 是不是方程的解； （2）估计这个方程的正解的大致范围（精确到十分位） （1）当x=1+时,左边=(1+)²-2(1+ )-1=1+2+2-2-2 -1=0，所以x=1+ 是解；当 x=1-时,左边=(1-)²-2 (1- )-1=1-2+2-2+2-1=0，所以 x=1-是解. （2）当x=2时,左边=4-4-1=-1<0；当x=3时,左边=9-6-1=2>0,故 2<x<3 当x=2.4时，左边=5.76-4.8-1=-0.04<0； 当x=2.5时，左边=6.25-5-1=0.25>0，故2.4<x<2.5. 精确到十分位，正解约为2.4. 反思总结 1.本节课我们学习了用哪些方法估计一元二次方程的解？这些方法的核心思路是什么？ 2.结合本节课的学习,说说一元二次方程的解与一元一次方程的解有什么本质区别？ 3.“逐步缩小范围”的逼近思想在生活和数学中还有哪些应用？请举一个例子. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第35页 第3，4题 二、素养类作业 用二分法估计的近似值（精确到百分位）,并记录你的计算过程. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $