2.1认识一元二次方程第2课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解的概念及用估算法求近似解，通过矩形花坛面积问题情境引入，回顾一元二次方程定义，衔接上节课未铺地毯区域宽度、梯子滑动距离等问题，搭建从概念理解到实际应用的学习支架。 其亮点在于以真实问题驱动探究，如通过梯子滑动距离估算培养数学眼光，列表逐步缩小范围的夹逼法发展数学思维，结合典例分析与巩固练习强化模型意识。教学方法注重情境创设与分层训练，小结系统梳理知识，助力学生提升估算能力与应用意识，为教师提供结构化教学资源。

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 第2课时 学 习 目 标 1.理解一元二次方程解的概念，会判定一元二次方程解的情况；(重点) 3.能用估算的方法求一元二次方程的近似解，进一步培养估算的的意识和能力.（难点） 知识回顾 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的定义 只含有 未知数x的 方程，并且都可以化为 (a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程有关的概念 一个 整式 ax2+bx+c=0 ax2 + bx + c = 0（a，b，c为常数，a≠0） 二次项系数 一次项系数 常数项 二次项 一次项 情境引入 问题：某学校要建一个面积为 120 m2的矩形花坛，已知花坛的长比宽多 2 m，求花坛的长和宽各是多少？你能列方程求解吗？ 120 m2 思考：如何确定这个方程中 x 的值，即如何找到方程的解呢？ 整理得到 x² + 2x - 120 = 0. 解：设花坛的宽为 x m，则长为 (x+2) m. (x+2)m x m 根据题意可得方程 x (x + 2)=120， 新知探究 探究一：一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）. 一元二次方程的解 思考：下面哪些数是方程 x2 – 4x +3 = 0 的解? -2，0，1，2，3，4. 解：1和3. 你注意到了吗？一元二次方程的根可能不止一个. 方法归纳：判断一个数是不是一元二次方程的解，只需将此数代入这个一元二次方程，若等式成立，则这个数就是一元二次方程的解，否则不是． 新知探究 方法总结：求一元二次方程中某参数的值时，先把已知一元二次方程的解代入，再解关于该参数的方程，即可求出该参数的值． 1.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9 对于上一节课第一个问题，你能设法估计四周未铺地毯的条形区域的宽度x（单位：m）吗？ x x x x 新知探究 探究二：用估算法求一元二次方程的近似解 (1) x可能小于0吗?x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由. 解：x不可能小于0 ； 根据题意，8-2x和5-2x分别表示地毯的长和宽， 所以8-2x>0，5-2x>0， 因此 x 不可能大于 4，也不可能大于 2.5. 我们知道x满足方程（8-2x）（5-2x）=18. 新知探究 x 0.5 1 1.5 2 (8-2x)(5-2x) (2)你能确定x的大致范围吗？ x 的大致范围是 0<x<2.5. (3)填写下表： 28 18 10 4 (4)你知道所求宽度x(单位：m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流． 因为所求宽度 x 的大致范围是 0<x<2.5，所以所求宽度是 1 m 时，可使方程(8-2x)(5-2x)=18成立 . 还可以将 18 分解因数为 6×3，用 8-2x ＝ 6 和 5-2x ＝ 3 的方法求出其解为 x ＝ 1. 在上一节课的问题中，梯子底端滑动的距离x(单位：m)满足方程 （x+6）2+72=102, 也就是 x2 +12 x - 15 = 0. （1）小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？ 新知探究 解：(1)不正确，因为x=1不满足方程x2 +12 x - 15 = 0. 新知探究 （3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？ （2）底端滑动的距离可能是 2 m 吗？可能是 3 m 吗？为什么？ (2)不可能是2m，也不可能是3m. 因为x=2和x=3同样都不满足方程x2 +12 x - 15 = 0. (3)能，可列下表： 猜测1<x<2. x 0 1 2 3 x2 + 12x - 15 -15 -2 13 30 新知探究 （4）x 的整数部分是几？十分位是几？ 依照(3)再列下表： 所以1.1＜x＜1.2, 所以x的整数部分是1，十分位是1. x 1 1.1 1.2 x2 + 12x - 15 - 2 -0.59 0.84 新知探究 ∴1<x<1.5. 进一步计算： 所以1.1＜x＜1.2, 因此x整数部分是1 ,十分位是1. x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2 + 12x - 15 - 0.59 0.84 2.29 3.76 x 0 0.5 1 1.5 2 x2+12x - 15 -15 - 8.75 - 2 5.25 13 小亮求解上述“尝试·思考”问题的过程如下： 新知探究 （1）你明白小亮估算一元二次方程的解的想法吗？与同伴进行交流. (1)要估算一元二次方程 ax2+bx+c=0的解，则要估计x的取值范围，使ax2+bx+c的值出现负，可判断ax2+bx+c=0时x的大致范围，再进一步缩小范围确定ax2+bx+c的值接近0时x的值. （2）如果要把x的小数部分精确到百分位，应该怎么做？说说你的想法. (2)因为当x=1.1时，x2+12x-15的值为-0.59，当x=1.2时,x2+12x-15的值为0.84，所以取1.1~1.2中的数且偏向于1.1，比如取x=1.14与1.15，分别计算出对应的x2+12x-15的值，若值一正一负，则百分位应为4。 新知探究 知识归纳 一元二次方程的近似解 一元二次方程解的估算依据是代数式的值的求法，当x的某一取值使得这个方程中的ax2 +bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的值无限接近于0时，x的这个值可看成关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的一个解. 新知探究 知识归纳 用估算法求一元二次方程近似解的步骤 （1）根据实际问题确定解的大致范围，并据此合理列表，算出对应的ax2 +bx+c值； （2）根据表格确定解的范围，当相邻两个数，一个使ax2 +bx+c＞0，一个使ax2 +bx+c＜0，那么ax2 +bx+c=0的解就在这两个数之间. 这种方法叫作逐步逼近法(或夹逼法) 新知探究 2.小亮同学在探究一元二次方程 ax2 +bx+c ＝ 0（a ≠ 0）的近似解时，填好了下面的表格： 根据以上信息，请你确定方程ax2 +bx+c ＝ 0的一个解的范围是 . 3.24<x<3.25 典例分析 若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0,有一个根为0，求m的值. 例1 解：将x=0代入方程m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. 典例分析 解：（1）列表.依次取x=0,1,2,3,… 由上表可发现，当2＜x＜3时, -1＜ x2 - 2x -1 ＜2. 请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根（精确到0.1）. 例2 x 0 1 2 3 … x2 - 2x - 1 -1 -2 -1 2 … （2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,… 由表可发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜ x2 - 2x - 1 ＜0.25. x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … x2 - 2x - 1 -0.79 -0.56 -0.31 -0.04 0.25 … （3）取x=2.45,则x2 - 2x - 1≈0.1025. ∴2.4＜x＜2.45,∴x≈2.4. 巩固练习 1.若关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值是（ ） A. 1 B. -1 C . 1或-1 D. 2.方程x2=3x的根是（ ） A.x = 3 B.x = 0 C.x1 =-3, x2 =0 D.x1 =3, x2 = 0 3.若方程 ax2 +bx+c＝0(a ≠ 0)中，a,b,c满足a+b+c＝0和a-b+c＝0，则方程的根是（ ） A.1，0 B.-1，0 C.1，-1 D.无法确定 B D C 巩固练习 4.输入一组数，按如图所示的程序进行计算，输出结果如下表: 分析表格中的数据，估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为( ) A. 20.5<x<20.6 B.20.6<x<20.7 C.20.7<x<20.8 D.20.8<x<20.9 C 6.小亮同学在探究关于x的一元二次方程ax2 +bx+c＝0(a ≠ 0)的近似解时,填好了下面的表格: 根据以上信息,请你确定方程ax2 +bx+c＝0的一个解的大致范围: . 巩固练习 5.已知关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是1，则m的值为 . 2 3.24<x<3.25 巩固练习 7.已知一元二次方程x2－2x－4＝0，求它的近似解.(精确到个位) 解：列表计算： 所以－2<x<－1或3<x<4. 所以x≈－1或x≈3. 进一步计算： x －2 －1 0 1 2 3 4 x2－2x－4 4 －1 －4 －5 －4 －1 4 x -1.1 -1.2 -1.3 -1.4 x2－2x－4 -0.59 -0.16 0.29 0.76 x 3.1 3.2 3.3 3.4 x2－2x－4 -0.59 -0.16 0.29 0.76 8.如图所示,学校有一个面积为180m2的长方形活动场地,场地一边靠墙(墙长25 m)，另三边用长40m的合金栏网围成。请你估算一下活动场地的宽(即垂直于墙的边长)的范围。(保留两位小数) 巩固练习 解:设活动场地的宽为xm，则长为(40-2x)m. 依题意,得x(40-2x)= 180， 整理，得x2-20x+90 =0。 列表估算方程的解： 由表知 6.8<x<6.9 或 13.1<x<13.2。 巩固练习 因为墙长 25 m， 所以 40-2x≤ 25所以 x≥ 7.5. 所以 6.8<x<6.9 不合题意,舍去。 继续列表计算： 所以 13.16<x<13.17。 因此,活动场地的宽的范围大于 13.16 m 且小于 13.17 m。 课堂小结 认识一元二次方程-第2课时 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(又叫做根). (1)根据实际问题确定解的大致范围，并据此合理列表，算出对应的ax2 +bx+c值； 一元二次方程解的估算 (2)根据表格确定解的范围，当相邻两个数，一个使ax2 +bx+c＞0，一个使ax2 +bx+c＜0，那么ax2 +bx+c=0的解就在这两个数之间. 作业布置 1.必做题：习题2.1第3，4，5题。 2.探究性作业：习题2.1第7题。 感谢聆听! $