2.2 第2课时 配方法(2)（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“配方法解二次项系数不为1的一元二次方程”，通过复习直接开平方法及二次项系数为1的配方法，对比方程引导学生思考转化策略，搭建从已知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型意识），如小球高度问题将实际情境转化为方程，周瑜年龄问题培养应用意识。小结系统归纳步骤，反馈题覆盖基础与应用，帮助学生提升运算和解决问题能力，教师可直接用于教学，提高效率。

第2课时 配方法(2) 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 北师版 九年级（上） 1.会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程；（重点） 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点） 素养目标 (1) 9x2 = 1 ； (2) (x - 2)2 = 2. 2.下列方程能用直接开平方法来解吗? 1.用直接开平方法解下列方程： (1) x2 + 6x + 9 = 5； (2) x2 + 3x - 4 = 0. 把两题转化成 (x + m)2 = n(n≥0)的 形式，再利用开平方 复习导入 问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0； ② 3x2 + 8x - 3 = 0. 问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 . 解：移项，得 x2 + 6x = -8， 配方，得 (x + 3)2 = 1. 开平方，得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 ， x2 = -4. 想一想怎么来解3x2 + 8x - 3 = 0. 探究点1：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 新知探究 试一试：解方程： 3x2 + 8x - 3 = 0. 可以先将二次项系数化为 1. 解：两边同除以 3，得 开方，得 即 所以 x1 = ，x2 = -3. 配方，得 即 移项，得 探究点1：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 新知探究 配方，得 由此可得 二次项系数化为 1，得 解：移项，得 2x2 - 3x = -1. 即 移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换呢? 例1 解下列方程： (1) 2x2 + 1 = 3x； 探究点1：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 新知探究 配方，得 ∵ 实数的平方不会是负数， ∴ x 取任何实数时，上式都不成立． ∴ 原方程无实数根． 解：移项，得 3x2 - 6x = -4. 二次项系数化为 1，得 为什么方程两边都加 12？ 即 (2) 3x2 - 6x + 4 = 0. 探究点1：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 新知探究 7 思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. 移项时需注意改变符号. ①移项，二次项系数化为 1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方式； ④降次； ⑤解一次方程. 探究点1：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 新知探究 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x + m)2 = n. ①当 n＞0 时，则 ，方程的两个根为 ②当 n = 0 时，则(x + m)2 = 0，x + m = 0，开平方得方程的两个根为 x1 = x2 = -m. ③当 n＜0 时，则方程 (x + m)2 = n 无实数根. 【归纳总结】 探究点1：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 新知探究 【思考·交流】 一个小球从地面上以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (单位：m) 与时间 t (单位：s) 满足关系： h = 15t - 5t2. 小球何时能达到 10 m 高？ 解：将 h = 10 代入方程中 15t - 5t2 = 10. 两边同时除以 -5，得 t2 - 3t = -2. 配方，得 t2 - 3t + = - 2. 探究点2：配方法的应用 新知探究 即 移项，得 = 即 t - = 或 t - = . 所以 t1 = 2 ， t2 = 1 . 即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10 m 高. 探究点2：配方法的应用 新知探究 1. 关于 x 的方程 2x2 - 3m - x + m2 + 2 = 0 有一根为 x = 0，则 m 的值为（ ） A. 1 B.1 C.1 或 2 D.1 或 -2 C 【练一练】 探究点2：配方法的应用 新知探究 类别 解题策略 1.求最值或证 代数式的值恒正（或负） 将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n. 2.完全平方式中的配方 如：已知 x2 - 2mx + 16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于 16，即 m2 = 16，m = ±4. 3.利用配方构成非负式的和的形式 对于含有多个未知数的二次式等式，求未知数的值，可考虑配方成多个完全平方式的和为 0，再根据非负式大于等于 0，则各式均为 0，进而求解. 如：a2＋b2－4b＋4 = 0，即 a2＋(b－2)2 = 0，则 a = 0，b = 2. 探究点2：配方法的应用 新知探究 13 例2 读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.） 大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？ 探究点2：配方法的应用 新知探究 解：设个位数字为 x，则十位数字为 (x - 3). x1 = 6，x2 = 5 x2 - 11x = -30 x2 - 11x + 5.52 = -30 + 5.52 (x - 5.5)2 = 0.25 x - 5.5 = 0.5 或 x - 5.5 = -0.5 依题列方程 x2 = 10(x - 3) + x ∴这个两位数为 36 或 25. ∴周瑜去世的年龄为 36 岁. ∵周瑜 30 岁还攻打过东吴， 探究点2：配方法的应用 新知探究 配方法 定义 步骤 一 移常数项且二次项系数化为 1； 二 配方[配上 ]； 三 写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )； 四 开平方解方程 应用 求代数式的最值或证明 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为 x2 + px + q = 0 的形式. 在方程两边都配上 课堂小结 1. 用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形 为(　C　) A. (x－3)2＝ B. 3(x－1)2＝ C. (x－1)2＝ D. (3x－1)2＝1 C 当堂反馈 2. [典型应用]对任意实数x，多项式－x2＋6x－10 的值是一个(　B　) A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 无法确定 B 当堂反馈 3. 将2x2－12x－12＝0变形为(x－m)2＝n的形式， 则m＋n＝ ⁠. 4. 将x2＋6x＋4进行配方变形后，可得该多项式的 最小值为 ⁠. 18　 －5　 当堂反馈 5. 用配方法解方程： (1)(2x－1)2＝4x＋9； 解：整理，得 ⁠. 二次项系数化为1，得 ⁠. 配方，得 ⁠， ⁠. 4x2－8x－8＝0　 x2－2x－2＝0　 x2－2x＋1－1－2＝0　 (x－1)2－3＝0　 书写通关 当堂反馈 移项，得(　 　)2＝ ⁠. 两边开平方，得 ⁠， 即 　x－1＝ 　，或 　x－1＝－ 　. 所以x1＝ 　1＋ 　，x2＝ 　1－ 　. x－1　 3　 x－1＝± 　 x－1＝ 　 x－1＝－ 　 1＋ 　 1－ 　 书写通关 当堂反馈 (2)4x2－2x－1＝0； 解：x1＝ ，x2＝ . (3)－ x2＋ x－ ＝0； 解：x1＝ ，x2＝ . (4)2x2＋8x＝4042. 解：x1＝43，x2＝－47. 解：x1＝ ，x2＝ . 解：x1＝ ，x2＝ . 解：x1＝43，x2＝－47. 5. 用配方法解方程： 当堂反馈 6. 已知x2＋y2＋10y－6x＋34＝0，求yx的值. 解：原方程整理得(x－3)2＋(y＋5)2＝0， 又∵(x－3)2≥0，(y＋5)2≥0， ∴x－3＝0，y＋5＝0， 解得x＝3，y＝－5. ∴yx＝(－5)3＝－125. ∴yx的值是－125. 解：原方程整理得(x－3)2＋(y＋5)2＝0， 又∵(x－3)2≥0，(y＋5)2≥0， ∴x－3＝0，y＋5＝0， 解得x＝3，y＝－5. ∴yx＝(－5)3＝－125. ∴yx的值是－125. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $