2.1《认识一元二次方程》第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程概念，通过小明一家洛阳旅游的酒店铺地毯、景区门票编号、消防梯子滑动三个实际问题导入，回顾一元一次方程等旧知，引导学生列方程并观察共同特征，构建从生活情境到数学概念的学习支架。 其亮点是以“生活-数学-生活”转化思想为主线，通过问题构建、协作破冰等环节，培养数学建模（数学语言）和抽象能力（数学眼光），如从实际问题抽象出方程特征形成概念，教师示范环节规范整理方程强化推理意识（数学思维）。学生提升数学建模与抽象能力，教师可借助结构化流程高效开展概念教学。

第二章 一元二次方程 第1课 认识一元二次方程 新版北师大数学九年级上册数学 第1课时 一元二次方程的概念 学习目标 1.通过解决酒店铺地毯、景区门票编号、消防梯子滑动三个实际问题,经历列方程表示等量关系的过程,体会一元二次方程的现实意义. 2.通过观察、对比、归纳所列方程的共同特征,抽象出一元二次方程的概念,能识别一元二次方程并确定其各项及系数. 3.通过将实际问题转化为数学方程的过程,提升数学建模能力，感受“生活-数学-生活”的转化思想. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 回顾一元一次方程、二元一次方程、分式方程的学习过程，一般的研究路径是怎样的？ 情境 概念 解法 应用 拓展 问题构建 同学们,国庆假期小明一家计划去洛阳旅游.在准备和游玩的过程中,他们遇到了几个有趣的数学问题,今天我们就一起用数学知识来帮助他们解决这些问题. 问题1:小明妈妈预订了一间长方形的酒店房间,长8米,宽5米.这个房间的周长是多少？面积是多少？ 周长=(8+5)×2=26米；面积=8×5=40平方米 问题2:小明爸爸开车从郑州到洛阳,全程约 140千米,计划2小时到达.如果设平均车速为x千米/小时,你能列出方程吗？这是什么方程？ 2x=140；这是一元一次方程,只含有一个未知数,未知数的最高次数是1的整式方程. 问题构建 故事片段1:酒店房间铺地毯小明妈妈觉得酒店房间的地板太凉,想在房间正中间铺一块地毯,让大家光脚玩耍. 问题3:房间长8米,宽5米,要在正中间铺一块面积为18平方米的地毯,四周留出宽度相同的条形区域.如果设这个宽度为x米,那么地毯的长和宽分别是多少米？ 地毯的长为(8-2x)米，宽为(5-2x)米 追问:根据“地毯面积为18平方米”这个数据,你能列出方程吗？ (8-2x)(5-2x)=18 问题构建 故事片段2：景区门票编号 第二天,小明一家去龙门石窟游玩.他们买了5张连号的门票,小明发现了一个有趣的现象. 问题4:如果把这5个连续整数中的第一个数设为x,那么其余四个数分别怎么表示？ x+1，x+2，x+3，x+4 追问:小明发现前三个数的平方和等于后两个数的平方和.根据这个等量关系,你能列出方程吗？ x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)² 问题构建 故事片段3：景区消防演练 在景区游玩时,正好遇到消防队员进行安全演练.一架长10米的梯子斜靠在墙上 问题5:梯子顶端到地面的垂直距离为8米，你能计算出滑动前梯子底端到墙的距离吗？ 设梯子底端到墙的距离为y米,则y²+8²=10²,解得y=6米 追问1:如果梯子顶端下滑1米,设梯子底端滑动x米,那么滑动后梯子底端到墙的距离是多少米？梯子顶端到地面的距离是多少米？ 滑动后梯子底端到墙的距离为(6+x)米,梯子顶端到地面的距离为7米 追问2:梯子的长度不变,仍然是10米.根据勾股定理,你能列出方程吗？ (6+x)²+7²=10² 问题构建 问题6:我们刚才列出了三个方程： ①(8-2x)(5-2x)=18②x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)²③(6+x)²+7²=10² 请把这三个方程整理成左边是多项式,右边是0的形式. ①4x²-26x+22=0②x²-8x-20=0③x²+12x-15=0 追问1:观察这三个整理后的方程,它们有什么共同特点？（从未知数的个数、未知数的最高次数、方程的类型三个方面思考） ①都只含有一个未知数x ②未知数的最高次数都是2 ③都是整式方程 问题构建 追问2:对比我们之前学过的一元一次方程,这些新方程有什么不同？ 一元一次方程未知数的最高次数是1,而这些新方程未知数的最高次数是2. 追问3：根据这些共同特点,你能给这类方程起个名字吗？ 一元二次方程.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 追问4:一元二次方程的一般形式是什么？其中各部分的名称分别是什么？ 一般形式是ax²+bx+c=0（a，b，c 为常数，a≠0）.其中ax²是二次项,a是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数；c是常数项. 协作破冰 追问5:为什么一般形式中要规定a≠0？ 如果a=0,那么方程就变成了bx+c=0,这是一元一次方程,不再是一元二次方程了. 例:判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由 x²+5x=0 3x²=4 2x(x-1)=2x²+3 x²+=2 x³+2x=1 (1)是,符合一元二次方程的定义 (2)是,符合一元二次方程的定义 (3)不是,整理后为-2x-3=0,是一元一次方程(4)不是,是分式方程,不是整式方程 (5)不是,未知数的最高次数是3 协作破冰 问题7:将一元二次方程3x (x-1)=2(x+2)-4化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 一般形式:3x²-5x=0 二次项系数:3,一次项系数-5,常数项0 故事片段四:返程途中的数学思考（回归生活+拓展探究） 小明一家结束了愉快的洛阳之旅,在返程的车上，他们还在回味着旅途中遇到的数学问题.爸爸提议,我们来做几个数学小游戏,看看谁能最快列出方程 问题8:我们先来解决酒店铺地毯的问题.刚才我们列出了方程 (8-2x)(5-2x)=18,现在请大家把它化成一元二次方程的一般形式,并指出各项系数? 展开得:40-16x-10x+4x²=18 整理得:4x²-26x+22=0二次项系数：4，一次项系数：-26，常数项：22 教师示范 问题9:再来看看景区门票编号的问题.我们列出的方程是 x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)²,请把它化成一般形式,并指出各项系数 展开得：x²+x²+2x+1+x²+4x+4=x²+6x+9+x²+8x+16 合并同类项得:3x²+6x+5=2x²+14x+25 整理得:x²-8x-20=0 二次项系数:1，一次项系数:-8，常数项:-20 问题10:最后是消防梯子滑动的问题.我们列出的方程是 (6+x)²+7²=10²，请把它化成一般形式.并指出各项系数. 展开得：36+12x+x²+49=100 整理得：x²+12x-15=0 二次项系数：1，一次项系数：12，常数项：-15 教师示范 问题11:小明说:“我发现这三个方程的二次项系数都是正数.”妈妈问：一元二次方程的二次项系数一定是正数吗？请你判断小明的说法是否正确,并举例说明. 小明的说法不正确.例如方程-2x²+3x-1=0 也是一元二次方程,它的二次项系数是-2，是负数.我们通常会把二次项系数化为正数，但这不是必须的. 追问:爸爸又问:“如果方程(m-1)x²+3x-2=0 是关于x的一元二次方程,那么m的取值范围是什么？” 根据一元二次方程的定义,二次项系数不能为0,所以m-1≠0,即m≠1 巩固拓展 问题12:小明看到路边有一个长方形的广告牌,长比宽多2米,面积是24 平方米.请你设出适当的未知数，列出一元二次方程，并化成一般形式. 设广告牌的宽为x米，则长为(x+2)米. 根据题意列方程得：x(x+2)=24 整理得：x²+2x-24=0 问题13:妈妈说："我们已经会列一元二次方程了，那这些方程有解吗？比如x²-8x-20=0，你能猜出它的一个解吗？" 请你尝试代入一些整数，看看哪些数能使方程左右两边相等 当x=10时,左边=10²-8×10-20=100-80-20=0右边, 所以x=10是方程的一个解. 当x=-2时,左边=(-2)²-8×(-2)-20=4+16-20=0=右边, 所以x=-2也是方程的一个解 巩固拓展 问题14:爸爸接着问："一元一次方程只有一个解，那一元二次方程会有几个解呢？是不是所有的一元二次方程都有两个解？" 请大家思考一下这个问题，我们下节课将专门学习如何解一元二次方程。 一元二次方程可能有两个解，也可能有一个解，还可能没有实数解.这是我们下节课要探究的内容 今天我们帮助小明一家解决了旅途中遇到的三个数学问题 ①通过列方程、观察、归纳，得出了一元二次方程的概念 ②我们知道了一元二次方程是只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,它的一般形式是ax²+bx+c=0（a≠0）. 数学来源于生活，又服务于生活，希望大家在今后的生活中能够善于发现数学问题，并用我们所学的数学知识去解决它们! 当堂检测 下列方程中,是一元二次方程的是（ ） 2x+1=0 y²+x=1 x²+1=0 D. +x²=1 C 你能说出其他几个方程的名称吗？ 当堂检测 2. 填空题一元二次方程 2x²-3x=5的一般形式是 ________ ，其中二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________. 2x²-3x-5=0 2 -3 -5 要得到一个一元二次方程的一般形式，有时候需要化简，通常二次项系数优先正系数. 当堂检测 3. 一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加39cm²，求这个正方形原来的边长.（只列方程，不求解） 解：设这个正方形原来的边长为xcm， 根据题意列方程得：(x+3)²-x²=39 对以上方程进行化简，要用到哪些旧知识？化简后的结果是什么方程？ 当堂检测 4. 将方程 (x+2)(x-3)=1化成一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 展开左边得：x²-3x+2x-6=1 整理得：x²-x-7=0 二次项系数：1， 一次项系数：-1， 常数项：-7 反思总结 1.本节课我们学习了什么是一元二次方程,它与一元一次方程的本质区别是什么？ 2.列一元二次方程解决实际问题的关键是什么？我们经历了怎样的过程？ 3.你能举出生活中可以用一元二次方程解决的其他例子吗？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第32页 第1，2题 二、素养类作业 查阅一元二次方程发现历史，并和同学们分享. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $