2.1 认识一元二次方程 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程概念，通过复习一元一次方程、二元一次方程及分式方程，结合地毯铺设等实际问题引出新方程，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际问题情境培养数学眼光，引导观察方程共同特点抽象定义发展数学思维，融入数学文化及几何画板动态演示，课堂练习分层且联系生活，帮助学生建立模型意识，教师可提升教学效率。

2.1 认识一元二次方程 北师版九年级上册 第二章 一元二次方程 第1课时 一元二次方程 1 复习导入 1. 我们学过的方程有哪些？ 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 2. 判断下列方程是我们学过的哪类方程？ （1）5x+3 = 8 （2）x + y = 8 （3） 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 分析题中已知什么，求什么?有哪些事物在什么方面产生关系? 设未知数(直接设，间接设)，包括单位名称. 一个相等关系.（和/倍/不同方案间不变量的相等） 把相等关系中各个量转化成代数式，从而列出方程. 解方程，求出未知数的值（x = a），代入方程检验. 检验所求解是否符合题意，写出答案. 审 找 列 设 答 解 方程 x + y = 8 5x+3 = 8 ? 二元一次方程 一元一次方程 一元二次方程 分式方程 幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。 8 m 5 m 已知量： 未知量： 矩形地面的长、宽 地毯的面积 地毯的长、宽 条形区域的宽 探究新知 8 m 5 m 已知量： 未知量： 矩形地面的长、宽 地毯的面积 地毯的长、宽 条形区域的宽 你能找出地毯问题中的相等关系吗？ 地毯的长×宽 = 18m2 地毯的长+2倍条形区域的宽 = 8m 地毯的宽+2倍条形区域的宽 = 5m 8 m 5 m 你能求出这个宽度吗？ 如果设所求的宽为 x m ， 那么地毯的长为 m， 宽为　 m， 根据题意，可得方程： （ 8－2x ） （ 5－2x ） (8－2x )(5－2x ) = 18 幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。 观察·思考 观察下面等式： 102＋112＋122 ＝132＋142 　　你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 已知量： 未知量： 五个数是连续整数 这五个数的具体数值 前三个数的平方和等于后两个数的平方和 相等关系： 如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为：_______，_______，_______， _______。 根据题意，可得方程： x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 x＋1 x＋2 x＋3 x＋4 102＋112＋122 ＝132＋142 如图，一架长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m。如果梯子顶端下滑 1 m，那么梯子底端滑动多少米？ 10 m 8 m 几何画板.GSP 尝试·思考 如图，一架长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m。如果梯子顶端下滑 1 m，那么梯子底端滑动多少米？ 7 m 1 m 10 m 6 m 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　m. 6 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙_______m. （x＋6） 根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2 ＝ 102 观察·交流 (8－2x )(5－2x ) = 18 x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 72＋(x＋6)2 ＝ 102 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： 将上面三个方程进行去括号、移项、合并同类项。 (8－2x )(5－2x ) = 18 40 - 16x -10x + 4x2 = 18 2x2 -13x +11 = 0 （去括号） （移项、合并同类项） x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 去括号、移项、合并同类项 x2 - 8x -20 = 0 72＋(x＋6)2 ＝ 102 x2 ＋12 x －15 ＝ 0 (8－2x )(5－2x ) = 18 2x2 -13x +11 = 0 x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 x2 - 8x -20 = 0 72＋(x＋6)2 ＝ 102 x2 ＋12 x －15 ＝ 0 上述三个方程有什么共同特点？ 都只含有一个未知数 x 1 未知数的最高次数是2 2 3 整式方程 (8－2x )(5－2x ) = 18 2x2 -13x +11 = 0 x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 x2 - 8x -20 = 0 72＋(x＋6)2 ＝ 102 x2 ＋12 x －15 ＝ 0 上述三个方程有什么共同特点？ 上面的方程都是只含有一个未知数 x 的整式方程， 并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式， 这样的方程叫作一元二次方程。 一元二次方程 我们把 ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式. ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 为什么ax2＋bx＋c＝0要限制a≠0，b、c可以为零呢? 想一想 当a=0时 bx＋c＝0 一元一次方程 当a≠0，b=0时 ax2＋c＝0 二元一次方程 当a≠0，c=0时 ax2＋bx＝0 二元一次方程 当a≠0，b=c=0时 ax2＝0 二元一次方程 总结：只要满足a≠0，b，c可以为任意实数. 课堂小结 只含有一个未知数 x 的整式方程， 并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式， 这样的方程叫作一元二次方程。 ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 1. 若关于x的方程ax2－3x－6＝0是一元二次方程，则（　A　） A. a≠0 B. a＞0 C. a≥0 D. a＝1 A —— 课堂练习 —— A层基础练 2. 下列方程是一元二次方程的是（　C　） C A层基础练 3. 一元二次方程2x2－3x－1＝0的一次项系数、常数项分别为 （　C　） A. 2，－1 B. 2，1 C. －3，－1 D. 3，1 C A层基础练 4. 将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数a、 一次项系数b及常数项c。 一元二次方程 一般形式 a b c 4x2＝5－x 4x2＋x－5＝0 4 1 －5 4＝x（x－5） x2－5x－4＝0 1 －5 －4 (x＋2)(x－2)＝0 x2－4＝0 1 0 －4 4x2＋x－5＝0 4 1 －5 x2－5x－4＝0 1 －5 －4 x2－4＝0 1 0 －4 A层基础练 5. 已知关于x的方程（m－4）x2＋（m＋4）x＋2m＋3＝0。 （1）当m取何值时，此方程是一元二次方程； 解：（1）∵关于x的方程（m－4）x2＋（m＋4）x＋2m＋3 ＝0是一元二次方程， ∴m－4≠0。解得m≠4。 解：（1）∵关于x的方程（m－4）x2＋（m＋4）x＋2m＋3＝0 是一元二次方程， ∴m－4≠0。解得m≠4。 （2）当m取何值时，此方程是一元一次方程。＝4。 （2）∵关于x的方程（m－4）x2＋（m＋4）x＋2m＋3＝0 是一元一次方程， ∴ 即 ∴m＝4。 A层基础练 6. 在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的 面积为1.6 m2。已知床单的长是2 m，宽是1.4 m，求花边的宽 度。请根据题意列出方程。（方程无需化简） 解：设花边的宽度为x m，则由图可知剩下部分的长为（2－ 2x）m，剩下部分的宽为（1.4－2x）m。 ∵剩下部分的面积为1.6 m2， ∴可列方程为（2－2x）（1.4－2x）＝1.6。 A层基础练 7. 若关于x的方程x2－2kx＝4x－1化成一般形式后不含有x的 一次项，则k的值为（　B　） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 B B层 提升练 8. 若关于x的一元二次方程（a－2）x2＋4x＋a2－4＝0的常 数项为0，则a的值为 ⁠。 －2　 B层 提升练 9. 【创新点·数学文化】填空： （1）我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段， 圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等。问方 （面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一 块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与 圆形田的直径相等。问正方形田的边长和圆形田的直径各为多 少？设正方形田的边长为x，则可列方程为 ； x2＋π ＝252　 B层 提升练 （2）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了 这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十 步，问阔及长各几步？”其大意是：一个矩形的面积为864平 方步，其中一条宽与一条长的和为60步，问宽和长各几步？设 矩形的长为x步，则根据题意，可列方程为 ⁠ （化成一般形式）。 x2－60x＋864＝0 B层 提升练 10. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记 成 ，定义 ＝ad－bc。那么 ＝22表示 的方程是一元二次方程吗？如果是，请写出它的一般形式。 解：是一元二次方程。 根据题意，得（x＋1）·2x－（x－2）（x＋2）＝22。 整理，得2x2＋2x－x2＋4＝22， 即x2＋2x－18＝0。 解：是一元二次方程。 根据题意，得（x＋1）·2x－（x－2）（x＋2）＝22。 整理，得2x2＋2x－x2＋4＝22， 即x2＋2x－18＝0。 B层 提升练 11. 已知关于x的方程（m－2）x｜m｜＋2x－2m＝0是一元二次方程，求不等式（m＋1）x－m＞1的解集。 解：∵（m－2）x｜m｜＋2x－2m＝0是一元二次方程， ∴｜m｜＝2，且m－2≠0。解得m＝－2。 ∴原不等式为－x＋2＞1。解得x＜1。 解：∵（m－2）x｜m｜＋2x－2m＝0是一元二次方程， ∴｜m｜＝2，且m－2≠0。解得m＝－2。 ∴原不等式为－x＋2＞1。解得x＜1。 C层 拓展练 $