专题07 角度中的五类动态模型（几何模型讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题07. 角度中的五类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 2 模型2.旋转中的‌定值模型 16 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 29 模型4.旋转中的分类讨论模型 41 模型5.旋转中的新定义模型 41 17 古希腊时期，欧几里得《几何原本》通过公理化体系奠定了几何演绎基础，隐含了角度变化的静态分析‌。阿基米德利用穷竭法研究曲线与角度关系，为动态模型提供方法论雏形‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，角度动态问题开始与代数结合。现代初中数学教育工作者将角度动态问题被归纳为五类核心模型（动态角度问题类似），即：角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． （24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_____． 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平，求的度数；(3)如图3所示，若，射线，射线分别从出发，并分别以每秒1D和每秒20的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒．当，求的值． 例2（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺（其中）的顶点放在夹角为的两条直线、的交点处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转（即）． (1)如图2，若，则______，_____； (2)若射线是的角平分线，且． ①当旋转到图3的位置，若，求的度数； ②在旋转过程中，若，且，则此时的值． 例3（24-25七年级上·山东临沂·期末）【探究与实践】如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】（1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ；② ． 【问题探究】（2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合；②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】（3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 模型2.旋转中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·湖北十堰·期末）已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．    (1)若①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 例2（24-25七年级上·山西运城·期末）活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 例3（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·河北承德·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，．(1)如图1，当平分时，求的度数． (2)如图2，嘉嘉说：“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说：“你说得不对，的度数能算．且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由．(3)当射线在外绕点旋转且为钝角时，在备用图中画出图形、并探究的度数．（不必写出过程） 例2（24-25七年级上·广东珠海·期末）【问题背景】在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】（1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】（2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，．①当平分时，求的度数．②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】（3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 例3（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．    (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为________； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）．请帮助乐乐求出运动过程中与的数量关系． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·湖南湘西·期末）解决一个问题往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】（1）如图（1），已知，，为的平分线，则的度数为 ；（直接写出答案，不要求写解答过程） 【探索归纳】（2）如图（1），若，，为的平分线，猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】（3）如图（2），若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当某一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．求运动几秒时，、、这三条射线会第一次出现其中某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 例2（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 °； (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 °；(3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度顺时针分别旋转一周后停止，求第几秒时，射线恰好与射线成角？    模型5.旋转中的新定义模型 例1（24-25七年级上·福建厦门·期末）定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线的“双倍和谐线”． (1)如图1，射线是不是射线，的“双倍和谐线”？并说明理由．(2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止．①当射线是射线的“双倍和谐线”时，求t的值． ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线的“双倍和谐线”时，求的度数． 例2（24-25七年级下·浙江金华·开学考试）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角．(1)在图中，的优角有______个．(2)如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．①当旋转的角度为何值时，与互为优角？②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 1．（24-25七年级上·河北·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 2．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）将一副三角板与如图放置，、、三点共线，，，现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度如图，若平分，平分，则的度数是 ． 4．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 5．（24-25七年级上·陕西延安·期末）已知为直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与点重合，直角边与射线重合，然后把三角尺绕点以每秒的速度按顺时针旋转，如图，设旋转时间为秒．(1)当时，___________，当平分时，__________． (2)在旋转过程中，当时，求旋转的时间的值． 6．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．（1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上．②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）直线，相交于点，，射线平分．（本题中所有角的度数均不超过） (1)若直线与直线垂直（即）． ①将绕点旋转至图①的位置，，______． ②将绕点旋转至图②的位置，，求的度数（用含的代数式表示）．(2)如图③，若，将绕点顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中与所有的数量关系． 8．（24-25七年级上·广东湛江·期末）综合与实践 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 【问题情境】（1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分．①当为时，求的度数； ②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由． 【探究实践】（2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示． 【拓展应用】（3）如图3，固定不动，将绕点P按顺时针方向旋转，设，，，作平分，平分，直接写出的大小（用含α，β的代数式表示）． 9．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，平分；将一直角三角板的直角顶点放在点处，设直角三角板两直角边分别为、（，），边在射线上． (1)在图1中，_____；(2)如图2，将直角三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当时，则旋转时间的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点顺时针旋转，当在内部运动时，请写出此时与的数量关系，并说明理由． 10．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）旋转与角度： （1）已知点A、O、B在同一直线上，是直角，平分，求的度数． （2）填空：时钟在5点_____________分，时针和分针夹角是． （3）如图，，射线OM从OA出发绕点O顺时针旋转，每秒转，同时，射线ON从OB出发绕点O逆时针旋转，每秒转转到出发位置时均停止转动．①几秒后OM平分？②几秒后ON平分？ 11．（24-25七年级上·广东清远·期末）【探索新知】 （1）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①一个角的平分线______这个角的“等分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若，且射线是的“等分线”，则_____．（用含的代数式表示出所有可能的结果） 【深入研究】（2）如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒20°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒，当与成180°时停止旋转． ①当t为何值时，射线是的“等分线”． ②射线从位置开始绕点P以每秒10°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时的值． 12．（24-25七年级上·山西朔州·期末）综合与探究：如图，，，射线从初始位置出发，绕点O以/秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．射线分别平分，． (1)当时，求的度数．(2)若在转动的同时，也绕点O从初始位置开始向方向转动，速度为/秒，两射线中的一条转动到时，射线都停止转动，当时，求t的值． 13．（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知，在下列各图中，点为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，求的度数． (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，求的度数．(3)延长线段得到射线，如图3，求、的度数． (4)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值． 14．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当、运动到如图1的位置时，． (1)求的度数；(2)如图2，射线、分别为、的平分线，求的度数． (3)如图3，若、是外部的两条射线，且平分平分，当绕着点旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数；若变化，说明理由． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）【材料阅读】如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1．（1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】（3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】（4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 16．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，比它的补角大，将一直角三角板的直角点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t秒． (1)求的度数；(2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由； (3)若在三角板开始转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度顺时针旋转一周．从旋转开始多长时间．射线平分．直接写出t的值． 17．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知：O 是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图 1，若，求的度数；(2)如图 2，平分，求的度数； (3)当时，绕点 O 以每秒沿逆时针方向旋转 t 秒，请直接写出和之间的数量关系． 18．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）综合与探究 【问题情景】小新将一副直角三角板（含和）按如图①所示方式摆放在直线上（，）． (1)【问题解决】如图①，直接写出的度数为_________； (2)【拓展延伸】如图②，若直角三角板绕着点C以每秒的速度顺时针方向旋转，直角三角板绕着点C以每秒的速度逆时针方向旋转，两块直角三角板同时运动，旋转时间为t秒． ①当秒时，求的度数；②如图③，直线绕着点C以每秒的速度逆时针方向旋转，与两块直角三角板同时运动，当直线转动一周后，全部停止运动．若直线为的三等分线，求t的值． 19．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，O为直线上一点，将一副直角三角尺的两个直角顶点叠合在O处，其中一个直角三角尺的另一顶点落在直线上的B点．(1)如图1，若，求的度数；(2)将直角三角尺从图1的位置绕O点逆时针方向旋转，若，求的度数；(3)将直角三角尺从如图2的位置绕O点逆时针方向旋转一周，射线在内，射线在内，且，，在转动过程中某个位置测得，则______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07. 角度中的五类动态模型 角度的动态（旋转）模型属于七年级上期必考压轴题型，是尖子生必须要攻克的一块重要内容，对考生的综合素养要求较高。绝大部分学生对角度旋转问题信心不足，原因就是很多角度旋转问题需要自己画出图形，与分类讨论思想、数形结合思想等结合得很紧密，思考性强，难度大。本专题重点研究与角有关的旋转模型（角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型）。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 2 模型2.旋转中的‌定值模型 16 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 29 模型4.旋转中的分类讨论模型 41 模型5.旋转中的新定义模型 41 17 古希腊时期，欧几里得《几何原本》通过公理化体系奠定了几何演绎基础，隐含了角度变化的静态分析‌。阿基米德利用穷竭法研究曲线与角度关系，为动态模型提供方法论雏形‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，角度动态问题开始与代数结合。现代初中数学教育工作者将角度动态问题被归纳为五类核心模型（动态角度问题类似），即：角度的和差倍分模型（求值模型）、‌定值模型、存在性模型（探究型）‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上，①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小；②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2)或；27.2或或 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴，∴， ∴是的，∴是的新生线，故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，，∴． ∴，∴． ∵平分，∴； 当时，如图所示， 同理，，∴， ∵平分，∴；综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，，∴， ∴当追上的时间为：，解得：； 当追上的时间为：，解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分，∴． ∵， 当时，∴，解得：； 当时， ，∴，解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时，∵， ∴，∴，解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时，∵， ∴，∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时，∵， ∴， ∵，∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时，∴，解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． （24-25七年级上·江苏淮安·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)如图2，当秒时，求的度数；(2)当____秒时，平分； (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．①当时，求t的值；②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不含t）：_____． 【答案】(1)(2)(3)①或；② 【详解】（1）解：如图2，当秒时，， ，，； （2）解：平分，，， 将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，，解得：，故答案为：； （3）①在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转， ， ，分两种情况：当相遇前时， 解得：； 当相遇后时，解得：； 综上所述，或； ②，理由如下： 分两种情况：当在异侧时，如图：由题意得：， ， ； 当在同侧时，如图：由题意得：， ， ；综上所述，． 1、角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 模型1.旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平，求的度数；(3)如图3所示，若，射线，射线分别从出发，并分别以每秒1D和每秒20的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒．当，求的值． 【答案】(1)(2)(3)当时， 【详解】（1）解：，，， 平分，平分，，， ，，； （2）解：，，，， ，， 平分，，； （3）解：，，， ， ，，，， ， ，，，∴当时候，． 例2（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺（其中）的顶点放在夹角为的两条直线、的交点处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转（即）． (1)如图2，若，则______，_____； (2)若射线是的角平分线，且． ①当旋转到图3的位置，若，求的度数； ②在旋转过程中，若，且，则此时的值． 【答案】(1)；(2)①；②的值为或 【详解】（1）解：由题意得， ∵，∴； ∵，∴， 故答案为：；； （2）解：①∵，，∴， ∵射线是的角平分线，∴，即， 又∵，∴，∴； ②当位于内部时，∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴； 当位于内部时，如图， ∵，，∴， ∵平分，∴，， ∴，， ∵，∴，解得， 综上所述，若，β的值为或． 例3（24-25七年级上·山东临沂·期末）【探究与实践】如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】（1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ；② ． 【问题探究】（2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合；②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】（3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）或 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， ；故答案为：； （2）①设旋转时间为秒，则，， 当与相遇时，，解得：； ②如图，因为，， 所以； （3）设绕点逆时针旋转，时，如图， ，，， 平分，， ，平分，， ，； ②时，如图，，，， 平分，， ，平分，， .综上，或. 模型2.旋转中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·湖北十堰·期末）已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．    (1)若①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 【答案】(1)①150；②，或，(2)不改变，其度数为 【详解】（1）①∵，∴， ∵，，∴，故答案为150； ②(Ⅰ)当在内部时（如图1），设，则， ， 由得，，解得， ∴， ∴；       (Ⅱ) 当在内部时（如图2）， 设，则， 由得，，解得， ，， ∴； （2）不改变，其度数为．设，由条件知，分四种情况： ⅰ)当在内部时（如图3），  ， ，， ∴； ⅱ) 当在内部时（如图4），  ， ，∴； ⅲ)当在内部时（如图5），  ， ，∴； ⅳ)当在外部时（如图6），  ； 综上所述，在旋转过程中，的度数不改变，其度数为． 例2（24-25七年级上·山西运城·期末）活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)，(2)见解析(3)正确，； 【详解】（1）解：， ，故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵,∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，，． 例3（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，则 ； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束、绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)如图3，若射线绕着O点从开始以每秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问：在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)(2)3或(3)当时，；当时， 【详解】（1）解：平分， ，故答案为：； （2） 由题意知，当转到时，两条射线均停止运动 此时（秒）则停止转动时， 即从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧 因此，分以下2种情况： ①当在左侧时， 则由得，解得 ②当在右侧时， 则由得，解得 综上，t的值为3或7.5； （3）射线从开始转动至结束时，转动时间为（秒） 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置 ①当时，如图1所示 此时， 则为定值 ②当时，如图2所示 此时， 则不为定值 ③当时，如图3所示 此时， 则为定值 ④当时，如图4所示 此时， 则不为定值 综上，当或时，为定值． 模型3.旋转中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·河北承德·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，．(1)如图1，当平分时，求的度数． (2)如图2，嘉嘉说：“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说：“你说得不对，的度数能算．且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由．(3)当射线在外绕点旋转且为钝角时，在备用图中画出图形、并探究的度数．（不必写出过程） 【答案】(1)(2)琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由见解析(3)为或 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴，∴； （2）解：琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下： ∵平分，平分，∴，， ∴； （3）解：设旋转角为，①当时，如图， ∵平分，平分，∴． ∵，，∴； ②当时，在的下方，如图， ∵平分，平分，∴． ∵，， ∴；综上分析可知：或． 例2（24-25七年级上·广东珠海·期末）【问题背景】在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】（1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】（2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，．①当平分时，求的度数．②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】（3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 【答案】（1）②③；④；（2）①；②；（3）或 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中，∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分，∴，∴； ②∵平分，∴， ∵平分，∴， ∴ ； （3）当在内部时，如图所示： ∵平分，∴， ∵平分，∴， ∴ ，即此时； 当在外部，且、在上方时，如图所示： ∵平分，∴ ， ∵平分，∴ ∴， 即此时； 当在外部，且在上方，在下方时，如图所示：∵平分， ∴， ∵平分，∴， ∴ ，即此时； 当在外部，且在下方，在下方时，如图所示： ∵平分，∴， ∵平分，∴， ∴， 即此时； 当在外部，且在下方，在上方时，如图所示： ∵平分，∴， ∵平分，∴， ∴，即此时； 综上分析可知：或． 例3（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．    (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为________； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）．请帮助乐乐求出运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90(2)(3) (4)当时，；当时， 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，∴， ∵，∴，故答案为：90； （2）解：∵，设，， ∵平分，∴， ∵A，O，B三点共线，∴，∴，解得：， ∴ （3）解：这个定值是，理由：∵，设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，这个定值是；故答案为： ； （4）解：∵，平分，∴，， 设运动时间为，则，∴， 当点，，A三点共线时，； ∴当时，，，∴； 当时，，，∴， 综上，当时，；当时，． 模型4.旋转中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·湖南湘西·期末）解决一个问题往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】（1）如图（1），已知，，为的平分线，则的度数为 ；（直接写出答案，不要求写解答过程） 【探索归纳】（2）如图（1），若，，为的平分线，猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】（3）如图（2），若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当某一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．求运动几秒时，、、这三条射线会第一次出现其中某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）经过秒时，第一次出现其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线 【详解】解：（1）∵，，∴， ∵为的角平分线，∴， ∴，故答案为：； （2）∵，，∴， ∵为的角平分线，∴， ∴，故答案为：； （3）解：设运动时间为t，延长到E，由题意知，旋转了，旋转了，旋转了， ，， ∴，，， ∴经过9秒射线与直线重合，经过8秒射线与直线重合，经过4秒射线与直线重合， ∴总运动时间为4秒， ①当为，夹角的角平分线，即平分，此时， ∴，，解得：（舍去）； ②当为，夹角的角平分线，即平分，， ∴，∴ 解得：； ∴运动秒时，、、这三条射线会第一次出现其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 例2（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 °； (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 °；(3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度顺时针分别旋转一周后停止，求第几秒时，射线恰好与射线成角？    【答案】(1)22.5(2)144(3)第5秒或25秒或142.5秒或172.5秒 【详解】（1）解：∵，∴， ∵平分，∴， ∵，∴；故答案为：22.5； （2）解：如图3，设，则，       由（1）知：，∴，∴， ∴，故答案为：144； （3）解：三角板运动时间为：，射线运动时间为：， 设运动时间为t秒，当射线与重合时，如图4，有，∴； 当射线恰好与射线成角时，存在以下三种情况：       ①当时，如图5，有，  ∴； ②当时，如图6，有，∴； ③后，射线停止，三角板继续旋转， 有（如图7）或（如图8），∴和； 综上，第5秒或25秒或142.5秒或172.5秒时，射线恰好与射线成角． 模型5.旋转中的新定义模型 例1（24-25七年级上·福建厦门·期末）定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线的“双倍和谐线”． (1)如图1，射线是不是射线，的“双倍和谐线”？并说明理由．(2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止．①当射线是射线的“双倍和谐线”时，求t的值． ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线的“双倍和谐线”时，求的度数． 【答案】(1)射线是射线，的“双倍和谐线”，理由见解析 (2)①当射线是射线、的“双倍和谐线”时，t的值为或；②当射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或 【详解】（1）是，∵平分，∴， ∴射线与射线形成的角是射线与射线组成的角的2倍， ∴射线是射线，的“双倍和谐线”； （2）①解：由题意得：，， ∵射线是射线，的“双倍和谐线”，∴或， 如图所示：当时，则：，解得：； 如图所示：当时，则：，解得：； 综上，射线是射线，的“双倍和谐线”时，t的值为或； ②解：由题意得：，，，， ∵当射线与射线重合时，运动停止，∴此时， ∴，解得：．∴当秒时，运动停止，此时， ∵射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， （i）如图所示：当时， 即：， 则：，解得：，∴； （ii）如图所示：当时，即：， 则：，解得：，∴； 综上，当射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或． 例2（24-25七年级下·浙江金华·开学考试）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角．(1)在图中，的优角有______个．(2)如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．①当旋转的角度为何值时，与互为优角？②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)①或；②或或 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∴，，， ∴的优角为或， ∴、、是的优角，其他角不是的优角， ∴在图中，的优角有个，故答案为：； （2）解：①由（）得，，由旋转得，∴， 当与互为优角时，可列出方程：， ∴或，解得或； ②∵，的角平分线是， ∴，， 根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差． 当时，（），，解得． （），，解得（舍）或（舍）． 当时，（），，解得． （），，解得或（舍）． 综上所述，，或． 1．（24-25七年级上·河北·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【详解】解：由题意，可知：，∴， 当两个三角板不重合时，如图：则：， 当两个三角板有重合部分时，如图：∵，∴， ∴，∴；故甲、乙答案合在一起才完整；故选C． 2．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 【答案】D 【详解】解：∵，∴， 如图，平分，当旋转到直线上时，满足题意， ∴． ∵，， ∴．根据题意得：或， 解得：或，∴t的值为6或24．故选：D． 3．（24-25七年级上·四川成都·期末）将一副三角板与如图放置，、、三点共线，，，现将三角板绕点沿顺时针方向旋转一定角度如图，若平分，平分，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：平分，平分， ，， ， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 【答案】或 【详解】解：设旋转时间为秒， 当时，则，∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分，∴， ∴，解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分，∴， ∴，解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分，∴， ∴，解得：（舍去）． 综上可得，的值为或．故答案为：或． 5．（24-25七年级上·陕西延安·期末）已知为直线上一点，，直角三角尺的直角顶点与点重合，直角边与射线重合，然后把三角尺绕点以每秒的速度按顺时针旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)当时，___________，当平分时，__________． (2)在旋转过程中，当时，求旋转的时间的值． 【答案】(1)42；5(2)的值为5或 【详解】（1）解：当时，， ∵，，∴； ∵，∴， ∵平分，∴，∴， ∴，∴； （2）解：根据题意得：，， 当在下方时，，， ∵，∴，解得：； 当在上方时，在上方时，，， ∵，∴，解得：； 当在上方时，在下方时，，， ∵，∴，∴不可能是； 综上分析可知：当时，旋转的时间的值为5或． 6．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．（1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上．②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【答案】（1）（2）①3 ②（3）或 【详解】（1）解：，，， ，故答案为：； （2）解：①由（1）得，， 当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数， 三角尺绕点逆时针旋转的速度为每秒，，故答案为：3； ②当平分时，图如图所示， 边平分，， 旋转角度为， ，故答案为：； （3）解：由（1）可知两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为， ①边与边相遇前，可得：，解得：； ②边与边相遇后，可得：，解得：， 为或秒时，． 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）直线，相交于点，，射线平分．（本题中所有角的度数均不超过） (1)若直线与直线垂直（即）． ①将绕点旋转至图①的位置，，______． ②将绕点旋转至图②的位置，，求的度数（用含的代数式表示）．(2)如图③，若，将绕点顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过程中与所有的数量关系． 【答案】(1)①70；② (2)或；或． 【详解】（1）解：①∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵射线平分，∴，∴； ②，，， 射线平分，， ， ； （2）解：∵射线平分，∴， 当均在的左侧时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当均在的右侧时，如图， ， ， ∴； 当在的左侧，在的右侧时，如图， ∵ ∴， ， ∴； 当在的上方，在的右侧时，如图， ∵∴， ∵，∴， ， ∴． 综上所述，或；或． 8．（24-25七年级上·广东湛江·期末）综合与实践 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 【问题情境】（1）将两块三角板如图1方式摆放，其中，，作平分，平分．①当为时，求的度数； ②当在内转动时，的度数是否保持不变，请说明理由． 【探究实践】（2）如图2，在内，设，，，作平分，平分，请用含，的代数式表示． 【拓展应用】（3）如图3，固定不动，将绕点P按顺时针方向旋转，设，，，作平分，平分，直接写出的大小（用含α，β的代数式表示）． 【答案】（1）①；②当在内转动时，∠MPN的度数保持不变，理由见解析 （2）（3）或者 【详解】解：（1）①，，， 平分，平分，，， 当时，， 则，， ； ②当在内转动时，的度数保持不变；理由如下： ，，， 平分，平分，，， ， ； （2）当在内转动时，，，， 平分，平分，，， ，． （3）分两种情况：①当在内转动时；由（2）可知：； ②当在外转动时，如图3， ∵，，， 平分，平分，，， ， ．． 9．（24-25七年级上·山东临沂·期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，平分；将一直角三角板的直角顶点放在点处，设直角三角板两直角边分别为、（，），边在射线上． (1)在图1中，_____；(2)如图2，将直角三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当时，则旋转时间的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点顺时针旋转，当在内部运动时，请写出此时与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)旋转时间的值为秒或秒(3)，理由见解析 【详解】（1）解：，， ， 又平分，； （2）当旋转时间为秒时，， 根据题意得：或，解得：或， 旋转时间的值为秒或秒； （3），理由如下： 当在内部运动时，， 又，，． 10．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）旋转与角度： （1）已知点A、O、B在同一直线上，是直角，平分，求的度数． （2）填空：时钟在5点_____________分，时针和分针夹角是． （3）如图，，射线OM从OA出发绕点O顺时针旋转，每秒转，同时，射线ON从OB出发绕点O逆时针旋转，每秒转转到出发位置时均停止转动．①几秒后OM平分？②几秒后ON平分？ 【答案】（1）（2）或（3）①5秒②11秒． 【详解】（1）∵，是直角； ∴，；∴； ∵平分；∴；∴． （2）时针分针以5点整为起点，设时间为； ①当分针未追及时针时，由题意可得；；解得； ②当分针超过时针时，由题意可得；；解得；故答案为或． （3）设时间为，由题意可得；，； ①∵平分；∴； 又∵；∴；解得； ②∵平分；∴，； 又∵；∴；解得． 11．（24-25七年级上·广东清远·期末）【探索新知】 （1）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①一个角的平分线______这个角的“等分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若，且射线是的“等分线”，则_____．（用含的代数式表示出所有可能的结果） 【深入研究】（2）如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒20°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒，当与成180°时停止旋转． ①当t为何值时，射线是的“等分线”． ②射线从位置开始绕点P以每秒10°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时的值． 【答案】①是；②或或 【详解】解：（1）①按照“等分线”的定义可知：一个角的平分线是这个角的“等分线”； 故答案为：是； ②若，且射线是的“等分线”，则由“等分线”的定义可知有三种情况符合题意： ，此时； ，此时； ，此时； 故答案为：或或； （2）①根据题意得：；；，解得；；； ∴t为秒或6秒或9秒时，射线是的“等分线”； ②根据题意得：；；，解得；；； ∴t的值为秒或2秒或3秒时，射线是的“等分线”． 12．（24-25七年级上·山西朔州·期末）综合与探究：如图，，，射线从初始位置出发，绕点O以/秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．射线分别平分，． (1)当时，求的度数．(2)若在转动的同时，也绕点O从初始位置开始向方向转动，速度为/秒，两射线中的一条转动到时，射线都停止转动，当时，求t的值． 【答案】(1)(2)当时，t的值为 【详解】（1）解：当时，， 射线分别平分，． ，，； （2）解：由题意可得，， 射线分别平分，． ，， 当在上方，则，解得； 当在下方，则，解得（舍去）； 当时，t的值为． 13．（24-25七年级上·四川泸州·期末）已知，在下列各图中，点为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，求的度数． (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，求的度数．(3)延长线段得到射线，如图3，求、的度数． (4)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值． 【答案】(1)(2)(3)，(4)或 【详解】（1）解：∵，与互补，∴， ∵，∴. （2）解：∵三角板一边恰好在的角平分线上，，， 又∵，∴， （3）解：∵，，∴， 又∵，∴ （4）解：当直线恰好平分锐角，此时则从图中的位置旋转到射线恰好平分锐角时所旋转的度数为： ， ∵速度为每秒，∴，解得； 当射线的反向延长线恰好平分时， 此时旋转的角度为：， ∵速度为每秒，∴，解得． 14．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当、运动到如图1的位置时，． (1)求的度数；(2)如图2，射线、分别为、的平分线，求的度数． (3)如图3，若、是外部的两条射线，且平分平分，当绕着点旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数；若变化，说明理由． 【答案】(1)(2)(3)不会发生变化， 【详解】（1）解：，， 又，，， 答：的度数为； （2）解：是的平分线，， 又是的平分线，， ， ， 答：的度数为； （3）解：的大小不会发生变化． ，，， ， ， 又平分，平分， ， ， ． 15．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）【材料阅读】如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1．（1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】（3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】（4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 【答案】（1）2；（2）①，，；②不变化，；（3）11秒或19秒；（4）分钟 【详解】解：（1），．故可将点B向左移动2个单位长度．故答案为：2； （2）①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为，，．故答案为：，，； ②点P与点Q之间的距离， 点Q与点R之间的距离， ∴；∴不变化，； （3）∵，平分，∴．（秒）． 设经过x秒后，射线、的夹角为， 当追上前，则解得：． 当追上后，则，解得：． ∴经过11秒或19秒后，射线的夹角为． （4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成， ∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴，解得：，∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 16．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线，比它的补角大，将一直角三角板的直角点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t秒． (1)求的度数；(2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由； (3)若在三角板开始转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度顺时针旋转一周．从旋转开始多长时间．射线平分．直接写出t的值． 【答案】(1)；(2)存在，或19.5，理由见解析；(3)或29 【详解】（1）解：设，则其补角为， 由题意得：，解得：，即； （2）存在，理由如下：①当在直线上方时，此时平分， ∵，∴， 当没有旋转时，， 所以旋转了，则旋转的时间（秒）， ②当在直线下方时，如图， ∵，且，即：， ∵旋转了，∴，∴，解得：， 综上所述，当或19.5时，； （3）①、同时旋转，如图所示，， ∵，∴， ∵，∴，解得：，∴t的值为3， ②∵，， ∴，解得：，∴t的值为29， 综上所述，当或29时，射线平分． 17．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知：O 是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图 1，若，求的度数；(2)如图 2，平分，求的度数； (3)当时，绕点 O 以每秒沿逆时针方向旋转 t 秒，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵是直角，∴，∴， ∵平分，∴，∴； （2）解：∵平分平分，∴， ∴，∵，∴； （3）解：①时，由题意得， ∴， ∵平分，∴， ∴，∴； ②时，由题意得，∴， ∵平分， ∴，∴，∴． 综上，时，；时，． 18．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）综合与探究 【问题情景】小新将一副直角三角板（含和）按如图①所示方式摆放在直线上（，）． (1)【问题解决】如图①，直接写出的度数为_________； (2)【拓展延伸】如图②，若直角三角板绕着点C以每秒的速度顺时针方向旋转，直角三角板绕着点C以每秒的速度逆时针方向旋转，两块直角三角板同时运动，旋转时间为t秒． ①当秒时，求的度数；②如图③，直线绕着点C以每秒的速度逆时针方向旋转，与两块直角三角板同时运动，当直线转动一周后，全部停止运动．若直线为的三等分线，求t的值． 【答案】(1) (2)①；②，，， 【详解】（1）解：∵，， ∴；故答案为：； （2）①当时，， ∴； ②∵，∴， 由题意，得：，，， （ⅰ）如图，当在左侧时，， ， ∵直线为的三等分线，∴或， ∴或，解得：或； （ⅱ）如图，当在左侧时：则：，，∴或， ∴或∴或； 综上：或或或． 19．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，O为直线上一点，将一副直角三角尺的两个直角顶点叠合在O处，其中一个直角三角尺的另一顶点落在直线上的B点．(1)如图1，若，求的度数；(2)将直角三角尺从图1的位置绕O点逆时针方向旋转，若，求的度数；(3)将直角三角尺从如图2的位置绕O点逆时针方向旋转一周，射线在内，射线在内，且，，在转动过程中某个位置测得，则______． 【答案】(1)(2)当时，为或．(3)的值为或． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴； （2）解：∵，∴，如图，          当时，∴，∴， 如图，当时，∴， ∴，∴； 综上：当时，为或． （3）解：如图，∵，，∴， ∵，∴，如图，          ∵，，∴， ∵，∴， 如图，∵，，∴， ∴，即，解得：， 如图，∵，，∴， ∴，即，解得：， 综上：的值为或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $