5.1 分式及其基本性质 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

本讲义聚焦方程的定义、方程的解、一元一次方程的定义三大核心知识点，构建从基础概念（含未知数的等式）到解的应用（代入验证）再到特殊类型（一元一次方程的标准形式）的递进式学习支架。 资料通过“解题知识”模块明确概念要点培养抽象能力（数学眼光），典例与变式题（如已知解求参数）训练推理意识和运算能力（数学思维），“过关验收”强化模型意识（数学语言），课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺。

第5章 5.1 分式及其基本性质 内 容 导 航 题型1 方程的定义 题型2 方程的解 题型3 一元一次方程的定义 考 点 演 练 题型1 方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 【典例1】下列各式中，是方程的是（　　） A．3﹣2＝1 B．y﹣5 C．3m＞2 D．x＝5 【变式1】下列式子中，方程的个数是（　　） ①3×3+1＝5×2；②（y﹣2）2≥0；③3x+1＝5y；④；⑤x+y+z； A．2 B．3 C．4 D．5 题型2 方程的解 解｜题｜知｜识 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 【典例1】若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8 【变式1】小马虎在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是2（x﹣3）﹣●＝x+1，怎么办呢？他想了想便翻看书后的答案，方程的解是x＝9，那么这个被污染的常数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】下列结论： ①若x＝1是关于x的方程a+bx+c＝0的一个解，则a+b+c＝0； ②若a（x﹣1）＝b（x﹣1）有唯一的解，则a≠b； ③若b＝2a，则关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x； ④若﹣a+b+c＝1，且a≠0，则x＝﹣1一定是方程ax+b+c＝1的解． 其中结论正确个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2025﹣6a+2b的值是 　 　 ． 题型3 一元一次方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． ． 【典例1】下列是一元一次方程的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x+y＝5 C．1 D．x＝﹣1 【变式1】下列方程：①x＝3；②x+2y＝1；③2＝0；④1＝x；⑤x2﹣4＝3x．其中是一元一次方程的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】下列各式中，一元一次方程的个数有（　　） ①；②3x＝5；③x+y＝1；④；⑤x2﹣2x+3＝0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】下列方程中属于一元一次方程的是（　　） A．y2＝4 B．26 C．x2+x+1＝0 D．x﹣2y＝1 过 关 验 收 1．7．已知方程y3﹣7y+6＝0，则在y1＝1，y2＝2，y3＝﹣3中， 　 是方程的解． 2．小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 　 ． 3．已知方程mx|m﹣1|+4＝7是关于x的一元一次方程，则m的值（　　） A．2或0 B．0 C．2或﹣2 D．2 4．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．3x﹣1 B． C．x+2y＝1 D．x2﹣4x＝3 5．已知（3﹣m）x|m|﹣2﹣2＝3是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　 ． 6．若关于x的方程是一元一次方程，则k的倒数是　 　 ． 7．关于x的方程（a2﹣4）x2+ax+2x﹣1＝0是一元一次方程，则a＝　 　 ． 8．如果（a+1）x2+4xb﹣2﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求a+b＝　 　 ． 9．已知关于x的方程（a2﹣9）x2+ax﹣3x+4＝0是一元一次方程，则多项式：﹣4a2+7﹣3a+2a+1的值是　 　 ． 10．关于x的方程（a2﹣4）x2+ax﹣2x+5＝0是一元一次方程，则a＝　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 5.1 分式及其基本性质 内 容 导 航 题型1 方程的定义 题型2 方程的解 题型3 一元一次方程的定义 考 点 演 练 题型1 方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 【典例1】下列各式中，是方程的是（　　） A．3﹣2＝1 B．y﹣5 C．3m＞2 D．x＝5 【答案】D 【解答】解：A、3﹣2＝1中不含有未知数，不是方程，不符合题意； B、y﹣5不是等式所以不是方程，不符合题意； C、3m＞2不是等式所以不是方程，不符合题意； D、x＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列式子中，方程的个数是（　　） ①3×3+1＝5×2；②（y﹣2）2≥0；③3x+1＝5y；④；⑤x+y+z； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：①3×3+1＝5×2中不含有未知数，不是方程； ②（y﹣2）2≥0不是等式，不是方程； ③3x+1＝5y、④符合方程的定义； ⑤x+y+z是代数式，不是等式，不是方程． 故选：A． 题型2 方程的解 解｜题｜知｜识 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 【典例1】若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8 【答案】D 【解答】解： 把x＝﹣1代入方程2x+m﹣6＝0 可得：2×（﹣1）+m﹣6＝0， 解得：m＝8， 故选：D． 【变式1】小马虎在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是2（x﹣3）﹣●＝x+1，怎么办呢？他想了想便翻看书后的答案，方程的解是x＝9，那么这个被污染的常数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：设被污染的常数是a， 则被污染的方程是2（x﹣3）﹣a＝x+1， 2x﹣6﹣a＝x+1， 2x﹣x＝1+6+a， x＝7+a， ∵方程的解是x＝9， ∴7+a＝9， ∴a＝2， 故选：B． 【变式2】下列结论： ①若x＝1是关于x的方程a+bx+c＝0的一个解，则a+b+c＝0； ②若a（x﹣1）＝b（x﹣1）有唯一的解，则a≠b； ③若b＝2a，则关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x； ④若﹣a+b+c＝1，且a≠0，则x＝﹣1一定是方程ax+b+c＝1的解． 其中结论正确个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：①把x＝1代入a+bx+c＝0得：a+b+c＝0，故结论正确； ②a（x﹣1）＝b（x﹣1）有唯一的解是x＝1，结论正确； ③b＝2a，则2，方程移项，得：ax＝﹣b，则x2，则结论错误； ④把x＝﹣1代入ax+b+c＝﹣a+b+c＝1，方程一定成立，则x＝﹣1一定是方程ax+b+c＝1的解，结论正确． 故选：B． 【变式3】若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2025﹣6a+2b的值是 　2021　 ． 【答案】2021 【解答】解：∵x＝3是方程ax2﹣bx＝6的解， ∴a×32﹣3b＝6，即3a﹣b＝2， ∴2025﹣6a+2b ＝2025﹣2（3a﹣b） ＝2025﹣2×2 ＝2025﹣4 ＝2021． 故答案为：2021． 题型3 一元一次方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）一元一次方程的定义 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． （2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值） 这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法． ． 【典例1】下列是一元一次方程的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x+y＝5 C．1 D．x＝﹣1 【答案】D 【解答】解：A．x2﹣2x﹣3＝0是一元二次方程，不符合题意； B．2x+y＝5是二元一次方程，不符合题意； C．1，分母中含有未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D．x＝﹣1是一元一次方程，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列方程：①x＝3；②x+2y＝1；③2＝0；④1＝x；⑤x2﹣4＝3x．其中是一元一次方程的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解答】解：①x＝3；④1＝x是一元一次方程， 故选：A． 【变式2】下列各式中，一元一次方程的个数有（　　） ①；②3x＝5；③x+y＝1；④；⑤x2﹣2x+3＝0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①，分母含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； ②3x＝5，只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，是一元一次方程，符合题意； ③x+y＝1，含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； ④，化简得11＝x，是一元一次方程，符合题意； ⑤x2﹣2x+3＝0，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意． 故选：B． 【变式3】下列方程中属于一元一次方程的是（　　） A．y2＝4 B．26 C．x2+x+1＝0 D．x﹣2y＝1 【答案】B 【解答】解：A、不是一元一次方程，故此选项错误； B、是一元一次方程，故此选项正确； C、不是一元一次方程，故此选项错误； D、不是一元一次方程，故此选项错误； 故选：B． 过 关 验 收 1．7．已知方程y3﹣7y+6＝0，则在y1＝1，y2＝2，y3＝﹣3中，y1＝1，y2＝2，y3＝﹣3　 是方程的解． 【答案】y1＝1，y2＝2，y3＝﹣3． 【解答】解：当y＝1时， y3﹣7y+6＝1﹣7+6＝0，等式成立， 所以y1＝1是方程的解， 当y＝2时， 23﹣7•2+6＝8﹣14+6＝0，等式同样成立， 所以y2＝2也是方程的解， 当y＝﹣3时， （﹣3）3﹣7•（﹣3）+6＝﹣27+21+6＝0，等式成立， 所以y3＝﹣3同样是方程的解． 故答案为：y1＝1，y2＝2，y3＝﹣3． 2．小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 x＝﹣3　 ． 【答案】x＝﹣3 【解答】解：∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3， ∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21， 解得：a＝3， 即原方程为6﹣5x＝21， 解得x＝﹣3． 故答案为：x＝﹣3． 3．已知方程mx|m﹣1|+4＝7是关于x的一元一次方程，则m的值（　　） A．2或0 B．0 C．2或﹣2 D．2 【答案】D 【解答】解：由题意得，|m﹣1|＝1，且m≠0， ∴m＝2， 故选：D． 4．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．3x﹣1 B． C．x+2y＝1 D．x2﹣4x＝3 【答案】A 【解答】解：A．3x﹣1是一元一次方程，故本选项符合题意； B．，不是整式方程，故本选项不合题意； C．x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意； D．x2﹣4x＝3，未知数的最高次数2次，不是一元一次方程，故本选项不合题意； 故选：A． 5．已知（3﹣m）x|m|﹣2﹣2＝3是关于x的一元一次方程，则m的值为　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：根据题意得|m|﹣2＝1且3﹣m≠0， 即m＝±3且m≠3， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 6．若关于x的方程是一元一次方程，则k的倒数是　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意可知，， 由|k|﹣1＝1， 得|k|＝2， ∴k＝2或k＝﹣2， 又∵k﹣2≠0，即k≠2， ∴k＝﹣2， ∴k的倒数为． 故答案为：． 7．关于x的方程（a2﹣4）x2+ax+2x﹣1＝0是一元一次方程，则a＝　2　 ． 【答案】2 【解答】解：∵关于x的方程（a2﹣4）x2+ax+2x﹣1＝0是一元一次方程， ∴a2﹣4＝0，且a+2≠0， 解得：a＝2， 故答案为：2 8．如果（a+1）x2+4xb﹣2﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求a+b＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由题意可得：a+1＝0，b﹣2＝1， ∴a＝﹣1，b＝3， ∴a+b＝﹣1+3＝2． 故答案为：2． 9．已知关于x的方程（a2﹣9）x2+ax﹣3x+4＝0是一元一次方程，则多项式：﹣4a2+7﹣3a+2a+1的值是　﹣25　 ． 【答案】﹣25． 【解答】解：根据题意可知，方程的二次项系数a2﹣9＝0，且一次项系数a﹣3≠0， ∴a＝﹣3， ∴﹣4a2+7﹣3a+2a+1＝﹣4a2﹣a+8 ＝﹣4×（﹣3）2﹣（﹣3）+8 ＝﹣36+3+8 ＝﹣25． 故答案为：﹣25． 10．关于x的方程（a2﹣4）x2+ax﹣2x+5＝0是一元一次方程，则a＝　﹣2　 ． 【答案】﹣2 【解答】解：∵关于x的方程（a2﹣4）x2+ax﹣2x+5＝0是一元一次方程， ∴a2﹣4＝0，且a﹣2≠0， 解得：a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $