3.3 探索与表达规律 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“探索与表达规律”核心知识点，系统涵盖数字变化类（如数列规律探寻、方程应用）和图形变化类（如图形部分变化规律分析）两大题型，承接代数式与数列知识，为函数学习构建从具体到抽象的观察归纳支架。 资料以“杨辉三角”“二维码识别”等实例为载体，引导学生用数学眼光发现规律，通过典例变式训练培养推理意识（数学思维），用通项公式表达规律（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后过关验收帮助学生查漏补缺，强化规律探究能力。

第3章 3.3 探索与表达规律 内 容 导 航 题型1 规律型：数字的变化类 题型2 规律型：图形的变化类 考 点 演 练 题型1 规律型：数字的变化类 解｜题｜知｜识 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【典例1】式子1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2021﹣2022+2023的结果不可能是（　　） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 【变式1】“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为S（n），则S（2026）的末位数字为（　　） 第1行1 第2行 1 1 第3行 1 2 1 第4行 1 3 3 1 第5行 1 4 6 4 1 A．2 B．4 C．8 D．6 【变式2】一个三位数，将它各位上的数字倒序排列后得到一个新数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别是297，397，461，567，四个结果中有且只有一个正确，则四位同学中计算正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3】如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（　　） A． B． C． D． 题型2 规律型：图形的变化类 解｜题｜知｜识 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【典例1】利用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为0110，转换为十进制数就是该生所在班级的序号，其序号为：0×23+1×22+1×21+0×20＝6（规定当a≠0时，a0＝1），表示该生为6班学生，则表示7班学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 【变式1】标志（logo）代表的是一个企业或是产品的文化精髓，朵朵模仿windows95的logo设计思路，自己设计了一个logo，她将图①中的正方形剪开得到图②，再将图②中右上角的正方形剪开得到图③，继续将图③中右上角的正方形剪开得到图④，…；如此下去她用正方形代表窗口，一直按照这样的规律剪下去代表窗口可以根据需要一直增加，按照朵朵的设计思路、图⑥中正方形的个数是（　　） A．13 B．16 C．19 D．22 【变式2】如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，…，按此规律摆下去，若第n个图中有93颗黑色棋子，则n的值为（　　） A．28 B．31 C．29 D．30 【变式3】下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（　　） A．24 B．27 C．30 D．33 过 关 验 收 1．小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，⋯，那么第2025次输出的结果是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．《庄子•天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，则第1天到第5天一共截取的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．我们做一个游戏：从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→...的顺序依次数正整数1，2，3，4，5，...，如图：第1次数到中指时，数到的数为3，第2次数到中指时，数到的数为7，第3次数到中指时，数到的数为11；…，当第50次数到中指时，恰好数到的数是（　　） A．407 B．399 C．203 D．199 4．有2025个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么这2025个数的和为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 5．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．已知，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2025是（　　） A．﹣2 B． C． D． 6．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的﹣2025所对应的点与圆周上哪个字母所对应的点重合（　　） A．A B．B C．C D．D 7．如图，某大学的“启智书店”把Wi﹣Fi密码做成了数学题．小明同学在书店购买图书时，思索了一会儿，输入密码，手机顺利地连接到了“启智书店”的网络，那么他输入的密码是（　　） A．212840 B．282140 C．282133 D．402128 8．我们可以用符号f（a）表示代数式．当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，f（a）＝0.5a；如果a为奇数，f（a）＝5a+1．例如：f（20）＝10，f（5）＝26．设a1＝6，a2＝f（a1），a3＝f（a2）…；依此规律进行下去，得到一列数：a1，a2，a3，a4…（n为正整数），则2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+⋯+a2013﹣a2014+a2015＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．按一定规律排列的代数式：，…，第n个代数式是（　　） A． B． C． D． 10．在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0，b0，C0，记为G0＝（a0，b0，c0）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作．（若有两个或三个盘子中的糖果数相同，则游戏结束）．n次操作后的糖果数记为Gn＝（an，bn，cn）．小明发现：如果G0＝（4，8，18），那么游戏将永远无法结束，则G2024＝　 　 ． 11．若有一列单项式﹣x2、2x3、﹣3x4、4x5、…则第n个单项式为 　 ． 12．做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数n1＝3，计算得a1＝2； 第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算得a2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算得a3； 以此类推，a3＝　 　 ，a2024＝　 　 ． 13．定义n个关于x的一次整式A1，A2，…，An，存在不等于零的数k1，k2，…，kn，使k1A1+k2A2+⋯+knAn＝a，其中a是常数，我们称这n个一次整式为常数a的“相关整式”． 例如：对于一次整式x﹣4，﹣3x+8，﹣x﹣1，存在k1＝1，k2＝﹣1，k3＝4，使（x﹣4）﹣（﹣3x+8）+4（﹣x﹣1）＝﹣16，我们就称一次整式x﹣4，﹣3x+8，﹣x﹣1为常数﹣16的“相关整式”． 数学理解 （1）若整式A1＝x，A2＝3x+1，A3＝x+4为常数a的“相关整式”，其中k1＝k2＝1，则常数a＝　 　 ，k3＝　 　 ； （2）若整式A1＝px+q，A2＝x+1，为常数2的“相关整式”，其中k1＝1，k2＝﹣1，k3＝3，求p，q的值； 尝试探究 （3）若整式A1＝m1x+n1，A2＝m2x+n2为常数0的“相关整式”，则等式①m1n1＝m2n2；②m1n2＝m2n1中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式A1＝x+3，A2＝2x+6，A3＝mx+7为常数0的“相关整式”，直接写出m的值． 14．主题式学习：数形规律探究学习 （1）发现规律，猜想说理． 以此类推，我们发现1+2+3+4+…+n的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设S＝1+2+3+4+…+n， 则2S＝1+2+3+4+…+n+1+…（n﹣3）+（n﹣2）+（n﹣1）+n． 我们可以看出此等式的右边是若干个（1+n）的和， ∴2S＝ 　 ，则1+2+3+4+…+n＝　 ． （2）运用规律，计算表达． 求3+4+5+6+7+8+9…+100的值． 15．观察下列图形，它们是按照一定的规律排列的，第1个图形有6颗星，第2个图形有8颗星，第3个图形有10颗星，则第8个图有（　　）颗星． A．18 B．20 C．22 D．24 16．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，图①有2个三角形，图②有7个三角形，图③有14个三角形，图④有23个三角形，…按照此规律排列下去，第100个图中三角形的个数是（　　） A．10199 B．10200 C．10201 D．10202 17．如图，是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数是（　　） A．40 B．41 C．31 D．19 18．图1有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a100的值为（　　） A．393 B．397 C．400 D．401 19．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，第2种如图②有2个碳原子6个氢原子，第3种如图③有3个碳原子8个氢原子，第n种化合物的分子结构模型中碳原子、氢原子的个数分别是（　　） A．n，2n﹣2 B．n，2n C．n，2n+2 D．n，n+3 20．如图，在边长为1的正方形网格纸中连接相邻格点构造“回形线”，“回形线”交射线OA于点A1，A2，A3，…，An．从点O到点A1的“回形线”（O﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A1）记为第1圈，其长度为7．从点A1到点A2的“回形线”记为第2圈，依次类推，则“回形线”第n圈的长度有可能是（　　） A．99 B．144 C．480 D．799 21．如图，是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第20个化合物的分子式为（　　） A．C20H40 B．C20H41 C．C20H42 D．C20H43 22．观察下列图形：第1个图形有6根小棍，第2个图形有11根小棍，第3个图形有16根小棍…，则第n（n为正整数）个图形中小棍根数共有（　　） A．5（n﹣1） B．6n C．5n+1 D．6n﹣1 23．如图，电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB＝12，AC＝16，BC＝20，电子跳蚤开始时在BC边上的P0点，BP0＝2，跳蚤沿B→C→A→B的方向跳动，第一步跳蚤从P0到P1点，经过的路程是BP0长度的两倍；第二步跳蚤从P1跳到P2点，经过的路程是上一次经过路程的三倍；第三步跳蚤从P2跳到P3点，经过的路程是上一次经过路程的四倍；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为Pn，则P2025与C之间的距离是 　 　 ． 24．先数一数下面每个图中各有多少个白色小正方形和黑色小正方形． 照这样接着画，第n个图有　 　 个黑色小正方形． 25．班级板报有一正六边形区域，为展现数学之美，现要将其规划为“低多边形风格”，构造过程如下：在正六边形内取一定数量的点，连同正六边形的6个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到正六边形内所有区域都变成三角形．如图，当正六边形内有100个点时，可分为 　 个三角形． 26．将一根绳子折成4段，按如图①所示方式，剪一刀，绳子变为5段；如图②，剪两刀，绳子变为9段；如图③，…，按照这样的规律，若想要剪得2025段绳子，则需要剪　 刀． 27．如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第n个图案中有　 　 个涂有阴影的小正方形．（用含有n的代数式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 3.3 探索与表达规律 内 容 导 航 题型1 规律型：数字的变化类 题型2 规律型：图形的变化类 考 点 演 练 题型1 规律型：数字的变化类 解｜题｜知｜识 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 【典例1】式子1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2021﹣2022+2023的结果不可能是（　　） A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数 【答案】A 【解答】解：1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+2021﹣2022+2023 ＝（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+…+（2021﹣2022）+2023 ＝﹣1+（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）+2023 ＝﹣1×1011+2023 ＝1012． 则1012不可能是奇数． 故选：A． 【变式1】“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为S（n），则S（2026）的末位数字为（　　） 第1行1 第2行 1 1 第3行 1 2 1 第4行 1 3 3 1 第5行 1 4 6 4 1 A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】A 【解答】解：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第n行的数字之和记为S（n）， ∵杨辉三角第n行数字之和S（n）＝2n﹣1， ∴S（2026）＝22025， ∵21末位2，22末位4，23末位8，24末位6，此后循环， ∴2的幂的末位数字周期为4， 2025＝506×4+1，余数为1， ∴22025的末位数字与21相同，为2， 故选A． 【变式2】一个三位数，将它各位上的数字倒序排列后得到一个新数，用新的三位数减去原来的三位数．甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果分别是297，397，461，567，四个结果中有且只有一个正确，则四位同学中计算正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解答】解：由题知， 令原来的三位数为100a+10b+c， 则新数可表示为100c+10b+a， 所以新三位数与原来三位数的差可表示为：99c﹣99a， 则这个计算结果为99的整数倍， 显然所给四个计算结果中只有297是99的整数倍． 故选：A． 【变式3】如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于的结果再乘， 则第8行第3个数（从左往右数）为（）； 故选：B． 题型2 规律型：图形的变化类 解｜题｜知｜识 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【典例1】利用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为0110，转换为十进制数就是该生所在班级的序号，其序号为：0×23+1×22+1×21+0×20＝6（规定当a≠0时，a0＝1），表示该生为6班学生，则表示7班学生的识别图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题知， A选项中第一行数字从左往右记为0101， 则0×23+1×22+0×21+1×20＝5， 所以该生为5班学生． 故A选项符合题意． B选项中第一行数字从左往右记为1010， 则1×23+0×22+1×21+0×20＝10， 所以该生为10班学生． 故B选项不符合题意． C选项中第一行数字从左往右记为1001， 则1×23+0×22+0×21+1×20＝9， 所以该生为9班学生． 故C选项不符合题意． D选项中第一行数字从左往右记为0111， 则0×23+1×22+1×21+1×20＝7， 所以该生为7班学生． 故D选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】标志（logo）代表的是一个企业或是产品的文化精髓，朵朵模仿windows95的logo设计思路，自己设计了一个logo，她将图①中的正方形剪开得到图②，再将图②中右上角的正方形剪开得到图③，继续将图③中右上角的正方形剪开得到图④，…；如此下去她用正方形代表窗口，一直按照这样的规律剪下去代表窗口可以根据需要一直增加，按照朵朵的设计思路、图⑥中正方形的个数是（　　） A．13 B．16 C．19 D．22 【答案】B 【解答】解：由所给图形可知， 图①中正方形的个数为：1＝1×3﹣2； 图②中正方形的个数为：4＝2×3﹣2； 图③中正方形的个数为：7＝3×3﹣2； …， 所以图n中正方形的个数为（3n﹣2）个． 当n＝6时， 3n﹣2＝3×6﹣2＝16（个）， 即图⑥中正方形的个数为16个． 故选：B． 【变式2】如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有12颗黑色棋子，…，按此规律摆下去，若第n个图中有93颗黑色棋子，则n的值为（　　） A．28 B．31 C．29 D．30 【答案】D 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图中黑色棋子的颗数为：6＝1×3+3； 第2个图中黑色棋子的颗数为：9＝2×3+3； 第3个图中黑色棋子的颗数为：12＝3×3+3； …， 所以第n个图中黑色棋子的颗数为（3n+3）颗． 令3n+3＝93， 解得n＝30， 所以n的值为30． 故选：D． 【变式3】下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（　　） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【解答】解：由题知，第①个图形中一共有2×3＝6个小圆圈， 第②个图形中一共有3×3＝9个小圆圈， 第③个图形中一共有4×3＝12个小圆圈， …， ∴第n个图形中一共有（n+1）×3个小圆圈， ∴第⑧个图形中小圆圈的个数为9×3＝27（个）， 故选：B． 过 关 验 收 1．小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，⋯，那么第2025次输出的结果是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：因为第一次输入x的值为2， 所以第1次输出的结果是1， 第2次输出的结果是4， 第3次输出的结果是2， 第4次输出的结果是1， …， 由此可见，这列数从第1次输出的结果开始按1，4，2循环． 因为2025÷3＝675， 所以第2025次输出的结果是2． 故选：B． 2．《庄子•天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，则第1天到第5天一共截取的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解答】解：第1天截取的长度为米， 第2天截取的长度为米， 第3天截取的长度为米， 第4天截取的长度为米， 第5天截取的长度为米， 故第1天到第5天一共截取的长度为（米）． 故选：A． 3．我们做一个游戏：从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指→...的顺序依次数正整数1，2，3，4，5，...，如图：第1次数到中指时，数到的数为3，第2次数到中指时，数到的数为7，第3次数到中指时，数到的数为11；…，当第50次数到中指时，恰好数到的数是（　　） A．407 B．399 C．203 D．199 【答案】D 【解答】解：根据题意，第1次数到中指时，数到的数为3， 第2次数到中指时，数到的数为7＝3+4＝3+（2﹣1）×4， 第3次数到中指时，数到的数为11＝3+8＝3+（3﹣1）×4； 第4次数到中指时，数到的数为15＝3+12＝3+（4﹣1）×4； …， 第n次时，数到的数是3+（n﹣1）×4＝4n﹣1， 当n＝50时，4n﹣1＝4×50﹣1＝199， 故选：D． 4．有2025个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么这2025个数的和为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】C 【解答】解：根据题意发现第三个数是1，第四个数是0，第五个数是﹣1，第六个数是﹣1，第七个数是0，第八个数是1，…， ∴排列为0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，...，周期为6， ∴一个周期内和为0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）＝0， ∵2025÷6＝337余3， ∴前2022项和为337×0＝0， ∵剩余3项为第2023、2024、2025项，对应周期位置为第1、2、3项，值分别为0、1、1， ∴剩余项和为0+1+1＝2， ∴总和为0+2＝2． 故选：C． 5．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，﹣1的差倒数是．已知，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，则a2025是（　　） A．﹣2 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：， ， ， ， ， a6＝﹣2， a7， …， 通过结果发现，三个数一个循环， ∵2025÷3＝675， ∴a2025＝a3＝﹣2． 故选：A． 6．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的﹣2025所对应的点与圆周上哪个字母所对应的点重合（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【解答】解：圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合， 依题意，则点B与数字0对应，点C与数字﹣1对应，点D与数字﹣2对应，点A与数字﹣3对应，点B与数字﹣4对应， ∵圆的周长为4个单位长度， ∴4个数字为一个循环，且这4个数字为﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，即字母B，C，D，A 则|﹣2025|÷4＝506……1， ∴﹣2025对应的字母是C． 故选：C． 7．如图，某大学的“启智书店”把Wi﹣Fi密码做成了数学题．小明同学在书店购买图书时，思索了一会儿，输入密码，手机顺利地连接到了“启智书店”的网络，那么他输入的密码是（　　） A．212840 B．282140 C．282133 D．402128 【答案】C 【解答】解：某大学的“启智书店”把Wi﹣Fi密码做成了数学题． 观察第一个式子，5×8＝40，4×5＝20，4×（5+8）＝52， 然后依次摆放得：402052． 后面两个式子，规律也一样， ∵7×4＝28，3×7＝21，3×（7+4）＝33， 故密码是282133． 故选：C． 8．我们可以用符号f（a）表示代数式．当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，f（a）＝0.5a；如果a为奇数，f（a）＝5a+1．例如：f（20）＝10，f（5）＝26．设a1＝6，a2＝f（a1），a3＝f（a2）…；依此规律进行下去，得到一列数：a1，a2，a3，a4…（n为正整数），则2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+⋯+a2013﹣a2014+a2015＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：观察，发现规律：a1＝6，a2＝f（a1）＝3，a3＝f（a2）＝16，a4＝f（a3）＝8，a5＝f（a4）＝4，a6＝f（a5）＝2，a7＝f（a6）＝1，a8＝f（a7）＝6，…， ∴数列a1，a2，a3，a4…（n为正整数）每7个数一循环， ∴a1﹣a2+a3﹣a4+…+a13﹣a14＝0， ∵2015＝2016﹣1＝144×14﹣1， ∴2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2013﹣a2014+a2015＝a1+a2016+（a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2015﹣a2016）＝a1+a7＝6+1＝7． 故选：C． 9．按一定规律排列的代数式：，…，第n个代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由所给代数式可知， 它们的分子依次为2，4，8，16，…， 所以第n个代数式的分子可表示为2n； 它们的分母依次为x，x3，x5，x7，…， 所以第n个代数式的分母可表示为x2n﹣1． 又因为第偶数个式子前面是负号， 所以第n个代数式可表示为：． 故选：B． 10．在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0，b0，C0，记为G0＝（a0，b0，c0）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作．（若有两个或三个盘子中的糖果数相同，则游戏结束）．n次操作后的糖果数记为Gn＝（an，bn，cn）．小明发现：如果G0＝（4，8，18），那么游戏将永远无法结束，则G2024＝　（9，10，11）　 ． 【答案】（9，10，11）． 【解答】解：由题知， 因为G0＝（4，8，18）， 所以G1＝（5，9，16）， G2＝（6，10，14）， G3＝（7，11，12）， G4＝（8，12，10）， G5＝（9，10，11）， G6＝（10，11，9）， G7＝（11，9，10）， G8＝（9，10，11）， … 由此可见，从G5开始，括号内数的排列按（9，10，11），（10，11，9），（11，9，10）循环出现， 又因为（2024﹣4）÷3＝673余1， 所以G2024＝（9，10，11）． 故答案为：（9，10，11）． 11．若有一列单项式﹣x2、2x3、﹣3x4、4x5、…则第n个单项式为 　（﹣1）nnxn+1 ． 【答案】（﹣1）nnxn+1． 【解答】解：∵﹣x2＝（﹣1）×1x1+1， 2x3＝（﹣1）2×2x2+1， ﹣3x4＝（﹣1）3×3x3+1， …， ∴第n个单项式为：（﹣1）nnxn+1． 故答案为：（﹣1）nnxn+1． 12．做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数n1＝3，计算得a1＝2； 第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算得a2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算得a3； 以此类推，a3＝　5　 ，a2024＝　65　 ． 【答案】5，65． 【解答】解：取一个自然数n1＝3，计算得a1＝2；算出a1的各位数字之和得n2，计算得a2；算出a2的各位数字之和得n3，计算得a3；则： ∵n1＝3，则， ∴n2＝1+0＝1，则， n3＝2，则， n4＝5，则， n5＝2+6＝8，则， n6＝6+5＝11，则， n7＝1+2+2＝5，则， … ∴所得的数列从第4步开始，以26，65，122每3个循环出现， 由（2024﹣3）÷3＝673…2，即a2024＝a5＝65． 故答案为：5，65． 13．定义n个关于x的一次整式A1，A2，…，An，存在不等于零的数k1，k2，…，kn，使k1A1+k2A2+⋯+knAn＝a，其中a是常数，我们称这n个一次整式为常数a的“相关整式”． 例如：对于一次整式x﹣4，﹣3x+8，﹣x﹣1，存在k1＝1，k2＝﹣1，k3＝4，使（x﹣4）﹣（﹣3x+8）+4（﹣x﹣1）＝﹣16，我们就称一次整式x﹣4，﹣3x+8，﹣x﹣1为常数﹣16的“相关整式”． 数学理解 （1）若整式A1＝x，A2＝3x+1，A3＝x+4为常数a的“相关整式”，其中k1＝k2＝1，则常数a＝　﹣15　 ，k3＝　﹣4　 ； （2）若整式A1＝px+q，A2＝x+1，为常数2的“相关整式”，其中k1＝1，k2＝﹣1，k3＝3，求p，q的值； 尝试探究 （3）若整式A1＝m1x+n1，A2＝m2x+n2为常数0的“相关整式”，则等式①m1n1＝m2n2；②m1n2＝m2n1中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式A1＝x+3，A2＝2x+6，A3＝mx+7为常数0的“相关整式”，直接写出m的值． 【答案】（1）﹣15，﹣4； （2）p＝3，q＝2； （3）②成立，理由详见解析； （4）． 【解答】解：（1）根据题意可得x+3x+1+k3（x+4）＝a， 即（1+3+k3）x+1+4k3＝a， ∵整式A1＝x，A2＝3x+1，A3＝x+4为常数a的“相关整式”， ∴1+3+k3＝0，1+4k3＝a， 解得：k3＝﹣4，a＝﹣15； 故答案为：﹣15，﹣4； （2）根据题意可得， 即（p﹣1﹣2）x+q﹣1+1＝2， ∵整式A1＝px+q，A2＝x+1，为常数2的“相关整式”， ∴p﹣1﹣2＝0，q﹣1+1＝2， 解得：p＝3，q＝2； （3）②成立，理由如下： 根据题意可得k1（m1x+n1）+k2（m2x+n2）＝0， 即（k1m1+k2m2）x+k1n1+k2n2＝0， ∵整式A1＝m1x+n1，A2＝m2x+n2为常数0的“相关整式”， ∴k1m1+k2m2＝0，k1n1+k2n2＝0， ∴k1m1＝﹣k2m2，kp1＝﹣kɔn2， ∴﹣k1k2m1n2＝﹣k1k2m2n1， ∴m1n2＝m2n1； ∴②成立； （4）根据题意可得k1（x+3）+k2（2x+6）+k3（mx+7）＝0， 则（k1+2k2+mk3）x+3k1+6k2+7k3＝0， ∵整式A1＝x+3，A2＝2x+6，A3＝mx+7为常数0的“相关整式”， ∴k1+2k2+mk3＝0，3k1+6k2+7k3＝0， ∴． 14．主题式学习：数形规律探究学习 （1）发现规律，猜想说理． 以此类推，我们发现1+2+3+4+…+n的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设S＝1+2+3+4+…+n， 则2S＝1+2+3+4+…+n+1+…（n﹣3）+（n﹣2）+（n﹣1）+n． 我们可以看出此等式的右边是若干个（1+n）的和， ∴2S＝n（n+1）　 ，则1+2+3+4+…+n＝　　 ． （2）运用规律，计算表达． 求3+4+5+6+7+8+9…+100的值． 【答案】（1）n（n+1），； （2）5047． 【解答】解：（1）设S＝1+2+3+4+…+n， 则2S＝1+2+3+4+…+n+1+…（n﹣3）+（n﹣2）+（n﹣1）+n， 2S＝（1+n）+[2+（n﹣1）]+[3+（n﹣2）]+…+（1+n）， ∴2S＝n（n+1）， 则． 故答案为：n（n+1），； （2）原式＝（1+2+3+4+5+6+7+8+9…+100）﹣（1+2） ＝5050﹣3 ＝5047． 15．观察下列图形，它们是按照一定的规律排列的，第1个图形有6颗星，第2个图形有8颗星，第3个图形有10颗星，则第8个图有（　　）颗星． A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【解答】解：第一个图形2×3＝2×（2+1）； 第二个图形2×4＝2×（2+2）； 第三个图形2×5＝2×（2+3）； …… 第n个图形2×（2+n）＝2n+4． ∴第8个图形有2×8+4＝20（个）， 故选：B． 16．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，图①有2个三角形，图②有7个三角形，图③有14个三角形，图④有23个三角形，…按照此规律排列下去，第100个图中三角形的个数是（　　） A．10199 B．10200 C．10201 D．10202 【答案】A 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图中三角形的个数为：2＝1×2+0， 第2个图中三角形的个数为：7＝2×3+1， 第3个图中三角形的个数为：14＝3×4+2， …， 所以第n个图中三角形的个数为n（n+1）+n﹣1． 当n＝100时， n（n+1）+n﹣1＝100×101+100﹣1＝10199， 即第100个图中三角形的个数为10199． 故选：A． 17．如图，是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数是（　　） A．40 B．41 C．31 D．19 【答案】C 【解答】解：第1个图形中有1×3+1＝4个圆， 第2个图形中有2×3+1＝7个圆， 第3个图形中有3×3+1＝10个圆， …， 第n个图形中有3n+1个圆， 当n＝10时，有3×10+1＝31个圆． 故选：C． 18．图1有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a100的值为（　　） A．393 B．397 C．400 D．401 【答案】B 【解答】解：第一个图形中有1个三角形； 第二个图形中有1+4＝5个三角形； 第三个图形中有1+4×2＝9个三角形； 第四个图形中有1+4×3＝13个三角形； ⋯； 第n个图形中有1+4（n﹣1）＝（4n﹣3）个三角形； 当n＝100时，4×100﹣3＝397， 故选：B． 19．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类化合物中前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，第2种如图②有2个碳原子6个氢原子，第3种如图③有3个碳原子8个氢原子，第n种化合物的分子结构模型中碳原子、氢原子的个数分别是（　　） A．n，2n﹣2 B．n，2n C．n，2n+2 D．n，n+3 【答案】C 【解答】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中碳原子个数为：1，氢原子个数为：4； 第2种化合物的分子结构模型中碳原子个数为：2，氢原子个数为：6； 第3种化合物的分子结构模型中碳原子个数为：3，氢原子个数为：8； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中碳原子个数为n个，氢原子个数为（2n+2）个． 故选：C． 20．如图，在边长为1的正方形网格纸中连接相邻格点构造“回形线”，“回形线”交射线OA于点A1，A2，A3，…，An．从点O到点A1的“回形线”（O﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A1）记为第1圈，其长度为7．从点A1到点A2的“回形线”记为第2圈，依次类推，则“回形线”第n圈的长度有可能是（　　） A．99 B．144 C．480 D．799 【答案】D 【解答】解：第一圈长：1+1+2+2+1＝7， 第二圈长：2+3+4+4+2＝15， 第三圈长：3+5+6+6+3＝23， 第n圈长：n+（2n﹣1）+2n+2n+n＝8n﹣1， 当n＝100时，8n﹣1＝800﹣1＝799， 故选：D． 21．如图，是三种化合物的结构式及分子式，则按其规律第20个化合物的分子式为（　　） A．C20H40 B．C20H41 C．C20H42 D．C20H43 【答案】C 【解答】解：第1个化合物中含有1个C，4个H， 第2个化合物中含有2个C，6个H， 第3个化合物中含有3个C，8个H， ⋯， ∴第n个化合物中含有n个C，（2n+2）个H， ∴第20个化合物中含有20个C，42个H，即C20H42， 故选：C． 22．观察下列图形：第1个图形有6根小棍，第2个图形有11根小棍，第3个图形有16根小棍…，则第n（n为正整数）个图形中小棍根数共有（　　） A．5（n﹣1） B．6n C．5n+1 D．6n﹣1 【答案】C 【解答】解：根据题意可得：摆1个用6根； 摆2个，有一条边是重复的，所以用2×6﹣1＝11根， 摆3个，有两条边是重复的，所以用3×6﹣2＝16根， 拼4个，有3条边是重复的，要6×4﹣3＝21根， …， 摆n个，有（n﹣1）条边是重复的，要用：n•6﹣（n﹣1）＝6n﹣n+1＝5n+1（根）， 故选：C． 23．如图，电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB＝12，AC＝16，BC＝20，电子跳蚤开始时在BC边上的P0点，BP0＝2，跳蚤沿B→C→A→B的方向跳动，第一步跳蚤从P0到P1点，经过的路程是BP0长度的两倍；第二步跳蚤从P1跳到P2点，经过的路程是上一次经过路程的三倍；第三步跳蚤从P2跳到P3点，经过的路程是上一次经过路程的四倍；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为Pn，则P2025与C之间的距离是 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：∵AB＝12，AC＝16，BC＝20， ∴△ABC的周长为12+16+20＝48， ∵BP0＝2，P0P1＝2BP0， ∴第一次跳P0P1＝4， ∴第二次跳P1P2＝3P0P1＝12， ∴第三次跳P2P3＝4P1P2＝48， ∴电子跳蚤第3次跳的路程刚好是△ABC的周长，即P3和P2重合， ∴后续每次跳的路程都是△ABC周长的倍数， ∴P2025与C之间的距离为P3C＝BC﹣BP0﹣P0P1﹣P1P2＝2． 故答案为：2． 24．先数一数下面每个图中各有多少个白色小正方形和黑色小正方形． 照这样接着画，第n个图有　（2n+8）　 个黑色小正方形． 【答案】（2n+8）． 【解答】解：第一个图案中黑色小正方形有10个； 第二个图案中有黑色小正方形12个； 第三个图案中有黑色小正方形14个； ⋯⋯； 第n个图案中有黑色的小正方形（2n+8）个； 故答案为：（2n+8）． 25．班级板报有一正六边形区域，为展现数学之美，现要将其规划为“低多边形风格”，构造过程如下：在正六边形内取一定数量的点，连同正六边形的6个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到正六边形内所有区域都变成三角形．如图，当正六边形内有100个点时，可分为 　204　 个三角形． 【答案】204． 【解答】解：当n＝1时，有6个三角形； 当n＝2时，有6+3﹣1＝6+2＝8个三角形； 当n＝3时，有6+（3﹣1）+（3﹣1）＝10个； ∴规律为6+2（n﹣1）＝（2n+4）个， 当n＝100时，有6+2×（100﹣1）＝204个， 故答案为：204． 26．将一根绳子折成4段，按如图①所示方式，剪一刀，绳子变为5段；如图②，剪两刀，绳子变为9段；如图③，…，按照这样的规律，若想要剪得2025段绳子，则需要剪 　506　 刀． 【答案】506 【解答】解：∵剪1刀，绳子变为5段， 剪2刀，绳子变为9段， 剪3刀，绳子变为13段， …， ∴剪n刀，绳子变为（4n+1）段， ∴4n+1＝2025， 解得：n＝506． 故答案为：506． 27．如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第n个图案中有　（3n+2）　 个涂有阴影的小正方形．（用含有n的代数式表示） 【答案】（3n+2）． 【解答】解：第1个图案有5个涂有阴影的小正方形， 第2个图案有8个涂有阴影的小正方形， 第3个图案有5+3×（3﹣1）＝11个涂有阴影的小正方形， …， 以此类推可知第n个图案有5+3（n﹣1）＝（3n+2）个涂有阴影的小正方形， 故答案为：（3n+2）． 学科网（北京）股份有限公司 $