4.2 角 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

本讲义聚焦“角”这一核心知识点，系统梳理角的概念、表示方法、度量单位（度分秒）及平角、周角等基础内容，延伸至钟面角、方向角等实际应用，构建从概念理解到计算比较的完整学习支架。 该资料以题型为导向，每个题型含解题知识、典例及变式，结合生活实例（如钟面时间计算、方向角判断）培养几何直观与空间观念，通过度分秒换算、角的和差运算提升运算能力与推理意识，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固查漏。

第4章 4.2 角 内 容 导 航 题型1 角的概念 题型2 钟面角 题型3 方向角 题型4 度分秒的换算 题型5 角的计算 题型6 角的大小比较 考 点 演 练 题型1 角的概念 解｜题｜知｜识 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 【典例1】下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】一个角的度数是30°，用10倍的放大镜观察，此时这个角的度数是　 　 ． 【变式2】下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 题型2 钟面角 解｜题｜知｜识 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 【典例1】周末早上，小兰9：00从家里出发去图书馆看书，上午10：30回到家中，这段时间内，钟面上的时针转了（　　） A．37.5° B．45° C．52.5° D．60° 【变式1】某学校每天下午放学时间为17：20，这个时间时针与分针夹角的度数是　 　 ． 【变式2】北京时间2025年11月25日12时11分，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．当钟表上的时间为12时11分的时候，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是　 　 ． 题型3 方向角 解｜题｜知｜识 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 【典例1】如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它的北偏东70°的方向上，观测到小岛B在它的南偏西15°的方向上，则∠AOB的度数是（　　） A．85° B．105° C．115° D．125° 【变式1】如图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是（　　） A．OC的方向是南偏西25° B．OB的方向是北偏西15° C．OA的方向是北偏东35° D．OD的方向是东南方向 【变式2】已知广场在学校北偏西30°的方向上，则如图表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知古塔在小明的北偏东30°方向，且距离小明2km，符合条件的示意图是（　　） A． B． C． D． 题型4 度分秒的换算 解｜题｜知｜识 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 【典例1】如图，将一个三角板的60°角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知∠1＝28°40'，则∠2的大小是（　　） A．31°20' B．58°40' C．57°20' D．62°40' 【变式1】比较大小：52°15′ 　 52.15°．（填“＞”“＜”或“＝”） 【变式2】计算：72°36′+18°30′＝　 　 ． 【变式3】72°24'＝　 °． 题型5 角的计算 解｜题｜知｜识 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 【典例1】如图，∠AOB与∠EO′F，分别以O，O′为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A′，B′，交O′E，O′F于点E′，F′．以B′为圆心，以E′F′长为半径画弧，交弧A′B′于点H．下列结论不正确的是（　　） A．∠AOB＝2∠EO′F B．∠AOB＞∠EO′F C．∠HOB＝∠EO′F D．∠AOH＝∠AOB﹣∠EO′F 【变式1】如图，在∠AOC内部作了一条射线OB，下列说法正确的是（　　） A．∠AOC可以用∠O表示 B．∠1＝∠2 C．∠2与∠COB是同一个角 D．∠AOC＝∠1+∠AOB 【变式2】如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE，BF折叠，使边AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，则∠EBF等于（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 【变式3】下列选项中哪个角度不能借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算画出（　　） A．15° B．55° C．75° D．105° 题型6 角的大小比较 解｜题｜知｜识 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB＝∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′． 【典例1】若∠A＝25°18′，∠B＝25°19′1″，∠C＝25.31°，则（　　） A．∠B＞∠C＞∠A B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠B＞∠C D．∠B＞∠A＞∠C 过 关 验 收 1．如图，学校A在点P的北偏东32°方向上，图书馆B在点P的南偏东46°方向上，则∠APB的度数为　 　 ． 2．小铭先沿东偏北60°方向走了25米，再沿南偏东30°方向走了25米，他现在的位置在起点的　 　 方向　 　 米处． 3．如图，王叔叔在快递站向北偏东30°方向行驶30米就可以将快递送达A栋楼．　 　 （判断对错） 4．3600''＝　 　 °；45.48°＝　 　 °　 　 ′　 　 ″． 5．1小时40分＝　 　 分；吨＝　 　 千克． 6．用度、分、秒表示20.23°为 　 　 ． 7．如图，将两块同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，若∠DAB＝101°，则∠CAE＝（　　） A．17° B．19° C．21° D．23° 8．如图，圆的四条半径分别是OA，OB，OC，OD，其中点O，A，B在同一条直线上，∠AOD＝90°，∠AOC＝3∠BOC，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（　　） A．1：2：2：3 B．3：2：2：3 C．4：2：2：3 D．1：2：2：1 9．如图，已知，且∠COD＝10°，则∠AOB等于　 　 ． 10．如图1，在长方形ABCD中，E点在边AD上，并且∠ABE＝27°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图2，若图2中∠AED＝10°，则∠DEC的度数为 　 　 °． 11．如图，请填出符合下列等式的角： （1）∠AOB+∠BOC＝　 ； （2）∠BOC＝∠BOD﹣　 ； （3）∠AOD＝∠AOB+∠COD+　 ； （4）∠DOB＝∠DOA﹣∠COA+　 ． 12．如图，将一张纸条折叠，若∠1＝62°，则∠2的度数为 　 　 ． 13．已知△ABC的高AD与AB，AC的夹角分别是50°和20°，则∠BAC的度数是　 　 ． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数； （2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数． 15．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边BA和边BE重合摆成图①的形状，则∠CBD＝　 　 ； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE为多少度时，∠CBD＝90°．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD是∠ABE的两倍，请直接写出∠ABE的度数． 16．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　 　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 17．【问题情境】O为直线AB上一点，过点O在直线AB上方作射线OC，将一块三角板DOE的直角顶点与点O重合，射线OC和三角板DOE均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线AB上方）． 【操作探究】 （1）如图1，若∠BOC＝68°，当三角板的直角边OE与OB重合时，∠COD＝　 　 °，∠AOC＝　 　 °； （2）在（1）的条件下，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时OE恰好是∠BOC的平分线，试说明OD也是∠AOC的平分线； （3）如图3，旋转射线OC和三角板DOE，始终满足OC平分∠BOD，当∠AOD＝78°时，求∠COE的度数，并根据结果猜想旋转过程中∠AOD与∠COE之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 4.2 角 内 容 导 航 题型1 角的概念 题型2 钟面角 题型3 方向角 题型4 度分秒的换算 题型5 角的计算 题型6 角的大小比较 考 点 演 练 题型1 角的概念 解｜题｜知｜识 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 【典例1】下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：对于选项A，图中的∠1，还可以用∠AOB表示，不能用∠O表示， 故选A不符合题意； 对于选项B，图中∠1，还可以∠AOB，不能用∠O表示， 故选B不符合题意； 对于选项C，图中的∠1，能用∠AOB和∠O表示， 故选C符合题意； 对于选项D，图中的∠1，能用∠AOB，不能用∠O表示， 故选D不符合题意； 故选：C． 【变式1】一个角的度数是30°，用10倍的放大镜观察，此时这个角的度数是　30°　 ． 【答案】30°． 【解答】解：角的度数不变，仍为30°． 故答案为：30°． 【变式2】下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故此选项不符合题意； B、图中的∠AOB不能用∠1表示，故此选项不符合题意； C、图中的∠AOB不能用∠O表示，故此选项不符合题意； D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故此选项符合题意； 故选：D． 题型2 钟面角 解｜题｜知｜识 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 【典例1】周末早上，小兰9：00从家里出发去图书馆看书，上午10：30回到家中，这段时间内，钟面上的时针转了（　　） A．37.5° B．45° C．52.5° D．60° 【答案】B 【解答】解：如图，钟面上的时针转过的角度就是∠AOC， 由钟面角的定义可知，∠AOB，15°， ∴∠AOC＝30°+15°＝45°． 故选：B． 【变式1】某学校每天下午放学时间为17：20，这个时间时针与分针夹角的度数是　40°　 ． 【答案】40°． 【解答】解：∵分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°， ∴当分针指向20时，分针旋转的角度为：20×6°＝120°， 当时针指向5时，时针旋转的角度为5×30°＝150°， 当17：20时，时针从指向5开始，又旋转了20×0.5＝10°， 故17：20时，时针角度为150+10＝160°， 故某学校每天下午放学时间为17：20，这个时间两针的夹角为160°﹣120°＝40°． 故答案为：40°． 【变式2】北京时间2025年11月25日12时11分，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．当钟表上的时间为12时11分的时候，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是　60.5　 °． 【答案】60.5． 【解答】解：钟面一圈是360度， ∵时针12小时转一圈，即60×12＝720分钟转360°， ∴时针每分钟转360÷720＝0.5°， ∴11分钟时针转0.5×11＝5.5°， ∵分针60分钟转一圈， ∴分针每分钟转360°÷60°＝6°， ∴11分钟分针转6°×11＝66°， ∴12时11分的时候，时针与分针所组成的小于平角的角的度数是66﹣5.5°＝60.5°． 故答案为：60.5． 题型3 方向角 解｜题｜知｜识 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 【典例1】如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它的北偏东70°的方向上，观测到小岛B在它的南偏西15°的方向上，则∠AOB的度数是（　　） A．85° B．105° C．115° D．125° 【答案】D 【解答】解：如图，由题意得：∠1＝70°，∠2＝15°， ∴∠3＝90°﹣70°＝20°， ∴∠AOB＝∠2+∠3+90°＝15°+20°+90°＝125°． 故选：D． 【变式1】如图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是（　　） A．OC的方向是南偏西25° B．OB的方向是北偏西15° C．OA的方向是北偏东35° D．OD的方向是东南方向 【答案】C 【解答】解：由图中的各个方向角可知， OC的方向是南偏西25°，因此选项A不符合题意； OB的方向是北偏西90°﹣75°＝15°，因此选项B 不符合题意； OA的方向是北偏东90°﹣35°＝55°，因此选项C符合题意； OD的方向为南偏东45°，即东南方向，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2】已知广场在学校北偏西30°的方向上，则如图表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵广场在学校北偏西30°的方向上， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【变式3】已知古塔在小明的北偏东30°方向，且距离小明2km，符合条件的示意图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得：小明的北偏东30°方向，且距离小明2km， 符合条件的示意图是：． 故选：B． 题型4 度分秒的换算 解｜题｜知｜识 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 【典例1】如图，将一个三角板的60°角的顶点，与另一个三角板的直角顶点重合，已知∠1＝28°40'，则∠2的大小是（　　） A．31°20' B．58°40' C．57°20' D．62°40' 【答案】B 【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝28°40′， ∴∠EAC＝31°20′， ∵∠EAD＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣31°20′＝58°40′； 故选：B． 【变式1】比较大小：52°15′　＞　 52.15°．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞． 【解答】解：∵52.15°＝52°+0.15×60'＝52°9'， ∴52°15'＞52°9'， ∴52°15'＞52.15°． 故答案为：＞． 【变式2】计算：72°36′+18°30′＝　91°6′　 ． 【答案】91°6′． 【解答】解：原式＝90°66′ ＝91°6′． 故答案为：91°6′． 【变式3】72°24'＝　72.4　 °． 【答案】72.4． 【解答】解：24÷60＝0.4°， ∴72°24'＝72.4°， 故答案为：72.4． 题型5 角的计算 解｜题｜知｜识 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 【典例1】如图，∠AOB与∠EO′F，分别以O，O′为圆心，以同样长为半径画弧，分别交OA，OB于点A′，B′，交O′E，O′F于点E′，F′．以B′为圆心，以E′F′长为半径画弧，交弧A′B′于点H．下列结论不正确的是（　　） A．∠AOB＝2∠EO′F B．∠AOB＞∠EO′F C．∠HOB＝∠EO′F D．∠AOH＝∠AOB﹣∠EO′F 【答案】A 【解答】解：根据作图可知∠EO′F＝∠HOB， A．不能判断∠AOB＝2∠EOF，故该选项不正确，符合题意； B．由于∠AOB＞∠HOB，即∠AOB＞∠EO'F，故该选项正确，不符合题意； C．∠HOB＝∠EO'F，故该选项正确，不符合题意； D．∠AOH＝∠AOB﹣∠HOB＝∠AOB﹣∠EOF，故该选项正确，不符合题意． 故选：A． 【变式1】如图，在∠AOC内部作了一条射线OB，下列说法正确的是（　　） A．∠AOC可以用∠O表示 B．∠1＝∠2 C．∠2与∠COB是同一个角 D．∠AOC＝∠1+∠AOB 【答案】C 【解答】解：A、∠AOC不可以用∠O表示，当点O为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，错误，不符合题意； B、从图中可直观看出，射线OB更靠近射线OA，因此∠1明显小于∠2，错误，不符合题意； C、根据角的表示法，∠2与∠COB都指的是由射线OB和OC组成的同一个角，正确，符合题意； D、∠AOC＝∠1+∠2，错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE，BF折叠，使边AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，则∠EBF等于（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 【答案】C 【解答】解：由折叠性质得， ∠DBF，∠DBE， ∠EBF（∠ABD+∠CBD）45°． 故选：C． 【变式3】下列选项中哪个角度不能借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算画出（　　） A．15° B．55° C．75° D．105° 【答案】B 【解答】解：∵15°＝45°﹣30°， ∴15°可以借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算画出， 故A选项不符合题意； ∵75°＝45°+30°， ∴75°可以借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算画出， 故C选项不符合题意； ∵105°＝45°+60°， ∴105°可以借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算画出， 故D选项不符合题意； 55°不可以借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算画出， 故B选项符合题意． 故选：B． 题型6 角的大小比较 解｜题｜知｜识 （1）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． （2）表示法： ①∠AOB＞∠A′O′B′， ②∠AOB＝∠A′O′B′， ③∠AOB＜∠A′O′B′． 【典例1】若∠A＝25°18′，∠B＝25°19′1″，∠C＝25.31°，则（　　） A．∠B＞∠C＞∠A B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠B＞∠C D．∠B＞∠A＞∠C 【答案】A 【解答】解：因为∠C＝25.31°＝25°18′36″，25°19′1″＞25°18′36″＞25°18′， 所以∠B＞∠C＞∠A． 故选：A． 过 关 验 收 1．如图，学校A在点P的北偏东32°方向上，图书馆B在点P的南偏东46°方向上，则∠APB的度数为　102°　 ． 【答案】102°． 【解答】解：根据题意可知，∠APB＝180°﹣32°﹣46°＝102°． 故答案为：102°． 2．小铭先沿东偏北60°方向走了25米，再沿南偏东30°方向走了25米，他现在的位置在起点的　正东　 方向　25　 米处． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AC，由题意得，∠CAB＝60°，∠SBC＝30°，AB＝BC＝25米， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BC＝25米， ∴现在的位置点C在起点A的正东方向25米处． 故答案为：正东；25． 3．如图，王叔叔在快递站向北偏东30°方向行驶30米就可以将快递送达A栋楼．　×　 （判断对错） 【答案】×． 【解答】解：由图可知，王叔叔在快递站向北偏东60°方向行驶30米就可以将快递送达A栋楼， ∴王叔叔在快递站向北偏东30°方向行驶30米就可以将快递送达A栋楼，是错误的， 故答案为：×． 4．3600''＝　1　 °；45.48°＝　45　 °　28　 ′　48　 ″． 【答案】1，45，28，48． 【解答】解：3600''＝（3600÷60）′＝60′＝（60÷60）°＝1°； ∵0.48°＝28.8′，0.8′＝48''， ∴45.48°＝45°28′48″． 故答案为：1，45，28，48． 5．1小时40分＝　100　 分；吨＝　2625　 千克． 【答案】100，2625． 【解答】解：1小时＝60分，1吨＝1000千克， 1小时40分＝60+40＝100分，吨千克， 故答案为：100，2625． 6．用度、分、秒表示20.23°为 　20°13′48″　 ． 【答案】20°13′48″ 【解答】解：∵0.23°＝0.23×60′＝13.8′，0.8′＝0.8×60″＝48″， ∴20.23°＝20°13′48″． 故答案为：20°13′48″． 7．如图，将两块同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，若∠DAB＝101°，则∠CAE＝（　　） A．17° B．19° C．21° D．23° 【答案】B 【解答】解：∵∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB， ∴∠DAB+∠CAE＝∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE＝∠DAC+∠BAE＝120°， ∵∠DAB＝101°， ∴∠CAE＝120°﹣101°＝19°， 故选：B． 8．如图，圆的四条半径分别是OA，OB，OC，OD，其中点O，A，B在同一条直线上，∠AOD＝90°，∠AOC＝3∠BOC，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是（　　） A．1：2：2：3 B．3：2：2：3 C．4：2：2：3 D．1：2：2：1 【答案】A 【解答】解：∵点O，A，B在同一条直线上，∠AOD＝90°， ∴∠BOD＝90°， ∵∠AOC＝3∠BOC， ∴∠BOC180°＝45°，∠AOC＝3×45°＝135°， ∴S扇形BOC：S扇形BOD：S扇形AOD：S扇形AOC＝45：90：90：135＝1：2：2：3． 故选：A． 9．如图，已知，且∠COD＝10°，则∠AOB等于　120°　 ． 【答案】120°． 【解答】解：∵，，且∠COD＝10°， ∴， ∴∠AOB＝12∠COD＝120°， 故答案为：120°． 10．如图1，在长方形ABCD中，E点在边AD上，并且∠ABE＝27°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图2，若图2中∠AED＝10°，则∠DEC的度数为 　32　 °． 【答案】32 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴∠A＝90°， 由折叠的性质得：A'BE＝∠ABE＝27°，∠A'EB＝∠AEB，∠DEC＝∠D'EC， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°﹣∠ABE＝90°﹣27°＝63°， ∴∠A'EB＝∠AEB＝63°， ∵∠AED＝10°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝63°﹣10°＝53°， ∴∠A'ED＝∠A'EB+∠BED＝63°+53°＝116°， ∴∠DED'＝180°﹣∠A'ED＝180°﹣116°＝64°， ∴∠DEC＝∠D'EC∠DED'64°＝32°．． 故答案为：32． 11．如图，请填出符合下列等式的角： （1）∠AOB+∠BOC＝　∠AOC ； （2）∠BOC＝∠BOD﹣　∠COD ； （3）∠AOD＝∠AOB+∠COD+　∠BOC ； （4）∠DOB＝∠DOA﹣∠COA+　∠BOC ． 【答案】（1）∠AOC； （2）∠COD； （3）∠BOC； （4）∠BOC． 【解答】解：（1）∠AOB+∠BOC＝∠AOC， 故答案为：∠AOC； （2）∠BOC＝∠BOD﹣∠COD， 故答案为：∠COD； （3）∠AOD＝∠AOB+∠COD+∠BOC， 故答案为：∠BOC； （4）∠DOB＝∠DOA﹣∠COA+∠BOC， 故答案为：∠BOC． 12．如图，将一张纸条折叠，若∠1＝62°，则∠2的度数为 　56°　 ． 【答案】56° 【解答】解：设∠2＝x°， 根据折叠的性质可知：180°﹣∠1＝∠1+∠2， 即180°﹣62°＝62°+x°， 解得：x＝56． 故答案为：56°． 13．已知△ABC的高AD与AB，AC的夹角分别是50°和20°，则∠BAC的度数是　70°或30°　 ． 【答案】70°或30°． 【解答】解：已知△ABC的高AD与AB，AC的夹角分别是50°和20°，分两种情况讨论： ①当D在线段BC上时，如图1，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°； ②当D在线段BC的延长线上时，如图2，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°． 故答案为：70°或30°． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数； （2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC， ∴∠AOC∠EOC70°＝35°， ∴∠BOD＝∠AOC＝35°； （2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°， ∴∠EOC＝2x＝72°， ∴∠AOC∠EOC72°＝36°， ∴∠BOD＝∠AOC＝36°． 15．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边BA和边BE重合摆成图①的形状，则∠CBD＝　105°　 ； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE为多少度时，∠CBD＝90°．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD是∠ABE的两倍，请直接写出∠ABE的度数． 【答案】（1）105°； （2）∠ABE＝165°或∠ABE＝15°时，∠CBD＝90°； （3）20°或60°． 【解答】解：（1）∵是三角板， ∴∠ABC＝45°，∠ABD＝60°， ∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+60°＝105°， 故答案为：105°； （2）∠ABE＝165°或∠ABE＝15°． 理由：如图①， ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝∠EBD+∠ABC﹣∠CBD＝60°+45°﹣90°＝15°； 如图②， ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝360°﹣（∠EBD+∠ABC+∠CBD）＝360°﹣（60°+45°+90°）＝165°； （3）当边BE在边AB右侧时， 如图③，设∠ABE＝x， 则有2x＝x+60°， 解得x＝60°， 即此时∠ABE＝60°， 当边BE在边AB左侧时，如图④， 设∠ABE＝x， 则有x+2x＝60°， 解得x＝20°， 即此时∠ABE＝20°； 综上所述，∠ABE的度数为20°或60°． 16．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　20°　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角， ∴∠COD∠AOB＝35°， ∵∠AOC＝15°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°； 故答案为：20°． （2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α， ∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即63°﹣α， 解得α＝21°， 当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角； （3）能，理由如下， 由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下三种情况： ①当射线OC在∠AOB内，如图4， 此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即30°﹣3t°（30°+3t°）， 解得t（秒）； ②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即3t°﹣30°（30°+3t°）， 解得t＝30（秒）； 如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°， 则∠AOD是∠BOC的内半角， ∴∠AOD∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°（360°﹣3t°+30°）， 解得t＝90（秒）； 综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒． 17．【问题情境】O为直线AB上一点，过点O在直线AB上方作射线OC，将一块三角板DOE的直角顶点与点O重合，射线OC和三角板DOE均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线AB上方）． 【操作探究】 （1）如图1，若∠BOC＝68°，当三角板的直角边OE与OB重合时，∠COD＝　22　 °，∠AOC＝　112　 °； （2）在（1）的条件下，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时OE恰好是∠BOC的平分线，试说明OD也是∠AOC的平分线； （3）如图3，旋转射线OC和三角板DOE，始终满足OC平分∠BOD，当∠AOD＝78°时，求∠COE的度数，并根据结果猜想旋转过程中∠AOD与∠COE之间的数量关系． 【答案】（1）22，112； （2）∵OE是∠BOC的平分线， ∴∠COE＝∠BOE， ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOD+∠BOE＝∠COD+∠COE＝90°， ∴∠AOD＝∠COD， ∴OD也是∠AOC的平分线； （3）∠COE＝39°；猜想2∠COE＝∠AOD，2∠COE＝∠AOD， ∵OC平分∠BOD， ∴∠COD＝∠BOC， ∴∠COD＝∠COE+∠BOE，即∠BOE＝∠COD﹣∠COE， ∵∠EOD＝90°， ∴∠COD＝90°﹣∠COE， ∴∠BOE＝90°﹣∠COE﹣∠COE＝90°﹣2∠COE， ∵∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝90°， ∴∠BOE＝90°﹣∠AOD， ∴90°﹣2∠COE＝90°﹣∠AOD， ∴2∠COE＝∠AOD． 【解答】解：（1）由题意得，∠DOB＝90°， ∴∠∠AOC＝180°﹣∠BOC＝112°，COD＝∠DOB﹣∠BOC＝22°， 故答案为：22，112； （2）∵OE是∠BOC的平分线， ∴∠COE＝∠BOE， ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOD+∠BOE＝∠COD+∠COE＝90°， ∴∠AOD＝∠COD， ∴OD也是∠AOC的平分线； （3）∵∠DOE＝90°，∠AOD＝78°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝102°，∠BOE＝180°﹣∠DOE﹣∠AOD＝12°， ∵OC平分∠BOD， ∴∠COD＝∠BOC＝51°， ∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝39°； 猜想：2∠COE＝∠AOD， ∵OC平分∠BOD， ∴∠COD＝∠BOC， ∴∠COD＝∠COE+∠BOE，即∠BOE＝∠COD﹣∠COE， ∵∠EOD＝90°， ∴∠COD＝90°﹣∠COE， ∴∠BOE＝90°﹣∠COE﹣∠COE＝90°﹣2∠COE， ∵∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝90°， ∴∠BOE＝90°﹣∠AOD， ∴90°﹣2∠COE＝90°﹣∠AOD， ∴2∠COE＝∠AOD． 学科网（北京）股份有限公司 $