3.3 探索与表达规律 同步练习-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦“探索与表达规律”，通过基础认知、综合应用、拓展探究三层设计，实现从单一规律识别到跨情境探究的进阶，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|等差规律、图形计数（如第1、7题）|以图形、数列直观呈现，巩固规律归纳基础，发展几何直观| |综合应用层|多步骤规律（如科拉兹猜想、字母排列）|结合实际情境（少数民族服饰花边），深化规律建模，培养应用意识| |拓展探究层|规律推导与证明（如点的总数等式、运算程序）|任务式探究（点的排列规律等式构建），提升推理能力与创新意识|

3.3 探索与表达规律 一．选择题 1．如图，无人机编队的造型均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由2个基本图形组成，第2个图案由5个基本图形组成，第3个图案由8个基本图形组成，第4个图案由11个基本图形组成…按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数是（　　） A．23 B．24 C．26 D．27 2．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点，前n行的点数和可能是以下哪个结果（　　） A．100 B．93 C．86 D．78 3．如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，a+b﹣c的值是（　　） A．﹣34 B．62 C．98 D．﹣190 4．科拉兹猜想又称“3n+1”猜想，是著名的数学趣味问题．对任意一个正整数，按如下规则反复运算：若为偶数，则除以2；若为奇数，则乘3再加1．大量计算表明，无论初始数是多少，最终都会进入一个固定的循环．这个循环是（　　） A．3，1，3 B．4，2，1 C．2，1，2 D．1，3，1 5．将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第2026个图形中“H”的个数是（　　）个． A．4050 B．4054 C．4056 D．4060 6．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第100个图案中的“”的个数是（　　） A．300 B．301 C．310 D．601 7．按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有1个圆点，第②个图中有4个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有10个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（　　） A．13 B．15 C．16 D．19 8．设a1，a2，a3，…，a2025，a2026是从﹣2，0，1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+a3+…+a2025+a2026＝﹣10，，则的值是（　　） A．﹣99 B．﹣100 C．﹣101 D．﹣102 9．有一列数a1，a2，…，an，其中这列数中的每一个数，都只能从1，0，﹣1这三个数中任选一个，设F（n）＝a1+a2+…+an，则下列说法： ①F（3）的值可能是0； ②F（4）的不同的值共有9个； ③若F（20）＝6，且，则a1，a2，…，a20中为0的个数是6． 正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 10．在《设计自己的运算程序》课上，老师设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外）．重新排列各位数字，使其组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用最大的数减去最小的数，得到它们的差．重复这个过程．小星写了一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的两个数的差为（　　） A．6264 B．4174 C．1467 D．6174 二．填空题 1．有一种数字游戏，操作规则如下：随便写一个正整数n，如果它是奇数，就把它变成3n+1，如果它是偶数，就把它变成，一直重复下去，发现它总会进入一个固定的循环里．如果开始写的正整数是20，第一次操作后变成10，第二次操作后变成5，…，则第100次操作后的数字是　 　 ． 2．找规律：，，，，，第8个数是　 　 ． 3．在正m边形里面画一个小的正n边形，用一些不相交的线段联结它们的顶点，得到的三角形总数记为f（m，n）．例如，根据图，有f（5，4）＝11，则f（2026，4）＝　 　 ． 4．少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个基础图形组成的有规律的图案，如图，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，…，依此规律，第26个图案中的基础图形个数为　 　 ． 5．按一定规律排列的数：，，，，…，以此规律排列，第7个数是　 　 ． 三．解答题 1．综合与实践：探究图式之间的内在联系 观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数． 任务一：下列是两位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程． （1）明明将这些点分为两类，一类是实心点构造的正方形点阵，一类是空心点构造的正方形点阵，这样图1点的总数可表示为22+12，图2点的总数可表示为32+22，图3点的总数可表示为42+32，图4点的总数可表示为52+42，…，图n点的总数可表示为　 　 ； （2）欣欣用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为1+3+1，图2的点可以表示为1+3+5+3+1，图3的点可以表示为1+3+5+7+5+3+1，图4的点可以表示为1+3+5+7+9+7+5+3+1，欣欣思考这种连接方式下，图5中最长虚线上共有　 　 个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图n建立的等式：　 　 ； 任务二： （3）由两位同学的探究结果，我们可以获得从1开始，连续n个奇数的和，即1+3+5+…+（2n﹣1）＝　 　 ； 任务三： （4）应用任务二探究得到的结论，计算：47+49+51+…+153． 2．观察下列式子： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： … 根据上述规律，解决下列问题： （1）写出第5个式子：　 　 ； （2）写出第n（n为正整数）个式子：　 　 ； 并说明：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜1． 3．小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗3.1千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗0.2千卡． （1）小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是　 　 （用含t的代数式表示），t分钟总消耗热量是　 　 （用含t的代数式表示）． 提示：若一列数a1，a2，…，an，满足a2﹣a1＝a3﹣a2＝…＝an﹣an﹣1，则a1+a2+…+an． （2）小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量的训练时长，若不能，请说明理由． 4．解答以下问题 （1）填在下列各图形中的3个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是　 　 ． （2）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： ①第5个图形中有　 　 颗黑色棋子； ②若m表示黑色棋子的个数，n表示第n个图形，请写出m关于n的关系式； ③第几个图形中有6081颗黑色棋子？请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：由题意可知：第1个图案由2个基本图形组成， 第2个图案由5个基本图形组成， 第3个图案由8个基本图形组成， 第4个图案由11个基本图形组成，即3×4﹣1＝11； ……， ∴第n个图案中基本图形的个数为3n﹣1； 当n＝8时，基本图形的个数为3×8﹣1＝23． 故选：A． 2．【解答】解：根据题意前n行的点数和为．据此逐项分析判断如下： A、若和为100，则，即n（n+1）＝200，解得：，无正整数解，故A不符合题意； B、若和为93，则，即n（n+1）＝186，解得：，无正整数解，故B不符合题意； C、若和为86，则，即n（n+1）＝172，解得：，无正整数解，故C不符合题意； D、若和为78，则，即n（n+1）＝156，解得n＝12或n＝﹣13（舍去），即前12行的点数之和为78，故D符合题意． 故选：D． 3．【解答】解：由题意易得三角形最下面的数字之间的规律为﹣（﹣2）n﹣1，三角形左边的数字之间的规律为（﹣2）n，三角形右边的数字之间的规律为（﹣2）n+2据此可知： 三角形最下面的数字分别为﹣1＝﹣（﹣2）1﹣1，2＝﹣（﹣2）1，﹣4＝﹣（﹣2）3﹣1，8＝﹣（﹣2）4﹣1，…；所以三角形最下面的数字之间的规律为﹣（﹣2）n﹣1， 三角形左边的数字分别为﹣2＝（﹣2）1，4＝（﹣2）2，﹣8＝（﹣2）3，16＝（﹣2）4，…；所以三角形左边的数字之间的规律为（﹣2）n， 三角形右边的数字分别为0＝﹣2+2，6＝（﹣2）2+2，﹣6＝（﹣2）3+2，18＝（﹣2）4+2，…；所以三角形右边的数字之间的规律为（﹣2）n+2， ∴第⑥个三角形中，a＝（﹣2）6＝64，b＝（﹣2）6+2＝66，c＝﹣（﹣2）6﹣1＝32， ∴a+b﹣c＝64+66﹣32＝98． 故选：C． 4．【解答】解：举例论证：当n＝3时，则3×3+1＝10， 第一步：10÷2＝5， 第二步：5×3+1＝16， 第三步：16÷2＝8， 第四步：8÷2＝4， 第五步：4÷2＝2， 第六步：2÷2＝1， 第七步：1×3+1＝4， 至此：4，2，1循环； 再次举例验证：n＝2时，则3×2+1＝7， 第一步：7×3+1＝22， 第二步：22÷2＝11， 第三步：11×3+1＝34， 第四步：34÷2＝17， 第五步：17×3+1＝52， 第六步：52÷2＝26， 第七步：26÷2＝13， 第八步13×3+1＝40， 第九步：40÷2＝20， 第十步：20÷2＝10， 第十一步：10÷2＝5， 第十二步：5×3+1＝16， 第十三步：16÷2＝8， 第十四步：8÷2＝4， 第十五步：4÷2＝2， 第十六步：2÷2＝1， 第十七步：1×3+1＝4， 至此：4，2，1循环； 故选：B． 5．【解答】解：第1个图形中“H”的个数为4； 第2个图形中“H”的个数为6； 第3个图形中“H”的个数为8； ……， 由此可推出，第n个图形中“H”的个数为2n+2； 当n＝2026时，“H”的个数为2×2026+2＝4054． 故选：B． 6．【解答】解：由所给图形可知， 第1个图案中“”的个数为：4＝1×3+1， 第2个图案中“”的个数为：7＝2×3+1， 第3个图案中“”的个数为：10＝3×3+1， …， 所以第n个图案中“”的个数为3n+1． 当n＝100时， 第100个图案中“”的个数为：3×100+1＝301． 故选：B． 7．【解答】解：观察发现第n个图形中圆点的个数为3n﹣2； ∴第⑥个图中圆点的个数是3×6﹣2＝16． 故选：C． 8．【解答】解：由题知， 设这列数中﹣2的个数为x，0的个数为y，1的个数为2026﹣x﹣y， 则， 解得， 所以这列数中﹣2的个数为15，0的个数为1991，1的个数为20， 则15×（﹣8）+20×1＝﹣100． 故选：B． 9．【解答】解：由题知， 当a1＝a2＝a3＝0时， F（3）＝a1+a2+a3＝0， 故①正确； 由题知， F（4）的最大值为1+1+1+1＝4，最小值为﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4， 当a1，a2，a3，a4中有3个1，1个0时，F（4）＝3，有2个1，2个0时，F（4）＝2，…， 依次类推，F（4）所有不同的取值为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，共9个， 故②正确； 设a1，a2，…，a20中1的个数为x，0的个数为y，﹣1的个数为z， 则， 解得， 所以a1，a2，…，a20中0的个数为6， 故③正确． 故选：A． 10．【解答】解：由题知， 因为7521﹣1257＝6264， 所以第1次得到的两个数的差为6264， 依此类推，第2次得到的两个数的差为4176，第3次得到的两个数的差为6174，第4次得到的两个数的差为6174，…， 由此可见，从第3次得到的两个数的差开始，后面所得两数之差都是6174， 所以第100次得到的两个数的差为6174． 故选：D． 二．填空题 1．【解答】解：随便写一个正整数n，如果它是奇数，就把它变成3n+1，如果它是偶数，就把它变成，一直重复下去， 根据操作规则，依次计算每次操作结果： 第1次操作：， 第2次操作：， 第3次操作：3×5+1＝16， 第4次操作：， 第5次操作：， 第6次操作：， 第7次操作：， 第8次操作：3×1+1＝4， 第9次操作：， 第10次操作：， 由此可得，从第5次操作开始，结果按4，2，1循环，周期为3． 计算（100﹣4）÷3＝96÷3＝32，结果为整数，说明第100次操作对应循环节的最后一个数字，即为1． 故答案为：1． 2．【解答】解：由题知， 所给各数的分子都是1，分母依次为2，4，8，16，32，…， 所以第n个数可表示为． 当n＝8时， 第8个数为． 故答案为：． 3．【解答】解：结合图可知，以正二千零二十六边形的边为边的三角形共有2026个，以正方形的边为边且向外的三角形一共有4个，正方形内部的三角形共有2个， ∴f（2026，4）＝2026+4+2＝2032， 故答案为：2032． 4．【解答】解：由题意知，第1个图案由4个基础图形组成， 第2个图案由7个基础图形组成， 第3个图案由10个基础图形组成，3×3+1＝10， ∴第n个图案由（3n+1）个基础图形组成， 当n＝26时，第26个图案中的基础图形个数为：3×26+1＝79． 故答案为：79． 5．【解答】解：由题知， 因为，，，，…， 所以第n个等式的右边可表示为（n为正整数）． 当n＝7时， 第7个数为：． 故答案为：161． 三．解答题 1．【解答】解：（1）∵图1点的总数可表示为22+12，图2点的总数可表示为32+22，图3点的总数可表示为42+32，图4点的总数可表示为52+42，…， ∴图n点的总数可表示为（n+1）2+n2； 故答案为：（n+1）2+n2； （2）∵图1中最长虚线上共有2×1+1＝3个点，图2中最长虚线上共有2×2+1＝5个点，图3中最长虚线上共有2×3+1＝7个点，图4中最长虚线上共有2×4+1＝9个点，…， ∴图5中最长虚线上共有2×5+1＝11个点， ∵图1的点可以表示为1+3+1，图2的点可以表示为1+3+5+3+1，图3的点可以表示为1+3+5+7+5+3+1，图4的点可以表示为1+3+5+7+9+7+5+3+1，…， ∴利用图n建立的等式为1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+3+1＝（n+1）2+n2， 故答案为：11；1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+3+1＝（n+1）2+n2； （3）由（2）可得1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+3+1＝（n+1）2+n2， ∴1+3+5+…+（2n﹣1） ＝n2； 故答案为：n2； （4）47+49+51+…+153＝1+3+5+…+153﹣（1+3+5+…+45）， ∵153＝2×77﹣1，45＝2×23﹣1， ∴原式＝772﹣232＝（77+23）（77﹣23）＝5400． 2．【解答】解：根据规律知：（1） （2） f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜111． 3．【解答】解：（1）由题知， 因为核心力量训练时，第一分钟消耗3.1千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗0.2千卡， 所以第2分钟消耗3.3千卡，第3分钟消耗3.5千卡，第4分钟消耗3.7千卡，…， 所以第t分钟消耗（0.2t+2.9）千卡， 即最后一分钟消耗的热量是（0.2t+2.9）千卡． 因为3.1+3.3+3.5+…+0.2t+2.9 ＝2.9+0.2+2.9+2×0.2+2.9+3×0.2+…0.2t+2.9 ＝0.2（1+2+3+…+t）+2.9t ＝0.1t（t+1）+2.9t ＝0.1t2+3t， 所以t分钟总消耗热量是（0.1t2+3t）千卡． 故答案为：（0.2t+2.9）千卡，（0.1t2+3t）千卡； （2）不能，理由如下： 设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为3x分钟，核心力量训练为（60﹣4x）分钟， 由题知， 6×3x+12x+0.1×（60﹣4x）2+3×（60﹣4x）＝380， 整理得，4x2﹣75x+400＝0， 则Δ＝（﹣75）2﹣4×4×400＝﹣775＜0， 所以此方程没有实数根， 所以总消耗热量不能达到380千卡． 4．【解答】解：（1）由题知， 因为0＝（1﹣1）2，4＝（4﹣2）2，36＝（9﹣3）2，144＝（16﹣4）2，400＝（25﹣5）2，…， 所以a＝（36﹣6）2＝302＝900． 故答案为：900； （2）由题知， 第1个图形中黑色棋子的颗数为：6＝1×3+3， 第2个图形中黑色棋子的颗数为：9＝2×3+3， 第3个图形中黑色棋子的颗数为：12＝3×3+3， …， 所以第n个图形中黑色棋子的颗数为3n+3． ①当n＝5时， 第5个图形中黑色棋子的颗数为3×5+3＝18． 故答案为：18； ②由①知，m＝3n+3； ③第2026个图形中有6081颗黑色棋子，理由如下： 由3n+3＝6081得，n＝2026， 所以第2026个图形中有6081颗黑色棋子 学科网（北京）股份有限公司 $