第1章 1.2 从立体图形到平面图形同步讲义2026-2027学年数学七年级上册（北师大版）

本讲义聚焦初中数学“从立体图形到平面图形”核心内容，系统梳理平面图形认识、几何体展开图与折叠、正方体相对面判断、截几何体、三视图等知识点，构建从平面图形概念到立体与平面转化再到空间视图的学习支架。 该资料以题型为纲，每个题型配套解题知识、典例及变式训练，通过实物与图形转化培养空间观念和几何直观，如正方体展开图判断、由三视图确定几何体等实例，助力教师课堂教学，学生课后可通过练习巩固知识、查漏补缺。

第1章 1.2 从立体图形到平面图形 内 容 导 航 题型1 认识平面图形 题型2 几何体的展开图 题型3 展开图折叠成几何体 题型4 专题：正方体相对两个面上的文字 题型5 截一个几何体 题型6 简单几何体的三视图 题型7 简单组合体的三视图 题型8 由三视图判断几何体 考 点 演 练 题型1 认识平面图形 解｜题｜知｜识 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 【典例1】在长方形、长方体、三角形、球、圆中，平面图形有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【答案】A 【解答】解：长方形是四边形，所有点在同一平面，是平面图形； 三角形有三条边，所有点在同一平面，是平面图形； 圆是二维图形，所有点在同一平面，是平面图形； 长方体是三维图形，点不在同一平面，不是平面图形； 球是三维图形，点不在同一平面，不是平面图形； 平面图形有3个． 故选：A． 【变式1】把一个长方形框架拉成一个平行四边形，则（　　） A．周长不变、面积变大 B．周长不变、面积变小 C．周长不变，面积不变 D．周长和面积都变小了 【答案】B 【解答】解：把一个长方形板架拉成一个平行四边形，周长不变， ∵边长不变，对边之间的距离变小， ∴面积变小． 故选：B． 题型2 几何体的展开图 解｜题｜知｜识 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【典例1】如图所示的正方体的展开图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据正方体的平面展开图的特征可知，选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据所给几何体的表面展开图，这个几何体是三棱柱，选项C符合题意， 故选：C． 【变式2】下列图形中，不是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意，不是正方体展开图的是： 故选：B． 【变式3】如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（　　） A．正方体，圆锥，圆柱，三棱锥 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱 C．正方体，圆锥，圆柱，四棱柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【解答】解：根据几何体的平面展开图， 从左到右，分别为正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 故选：D． 题型3 展开图折叠成几何体 解｜题｜知｜识 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 【典例1】如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形中不能拼成正方体的是位置（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】A 【解答】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故选：A． 【变式1】下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、不能折叠成正方体，故选项错误，不符合题意； B、不能折成圆锥，故选项错误，不符合题意； C、能折成圆柱，故选项正确，符合题意； D、不能折成三棱柱，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列展开图，能折叠成正方体的有（　　）个． A．6 B．5 C．4 D．7 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，正方体展开图中不存在“凹”字，“田”字形状，②和⑧不能折叠成正方体，不符合题意， 图⑦中形状不满足四种基础类型，不能折叠成正方体，不符合题意， 其他图均能折叠成正方体，共5个． 故选：B． 【变式3】如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段B2N重合的线段是（　　） A．C2F B．C2D2 C．A2D2 D．MA2 【答案】A 【解答】解：将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒，则A2D2和A2M重合，MN和C2D2重合，NB2和FC2重合． 故选：A． 题型4 专题：正方体相对两个面上的文字 解｜题｜知｜识 （1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 【典例1】2025年“苏超足球联赛”泰州队获得了冠军，将如图所示的平面图形围成正方体后“泰”，“州”两字的对面上的字分别是（　　） A．苏，州 B．苏，超 C．苏，军 D．冠，军 【答案】D 【解答】解：根据正方体的表面展开图中，相对的面之间一对相隔一个正方形，将题目所示的正方体的平面展开图，还原成立体正方体，得出“泰”，“州”两字的对面上的字分别为“冠”，“军”， 故选：D． 【变式1】如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成一个正方体后，相对面上的数字和都相等，那么x+y的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【答案】C 【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “x”与“﹣3”，“y”与“8”，“﹣2”与“3”是相对面， 由于相对面上的数字和都相等， 所以x﹣3＝﹣2+3＝y+8， 解得x＝4，y＝﹣7， 所以x+y＝4﹣7＝﹣3． 故选：C． 【变式2】已知图1是图2所示的小正方体的表面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是（　　） A．友 B．善 C．信 D．国 【答案】C 【解答】解：根据两个面相隔一个面是对面及翻转的规律可知： 第一次翻转诚在下面，第二次翻转爱在下面，第三次翻转国在下面， 信与国相对， 故选：C． 【变式3】如图，正方体的6个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，将该正方体按图示方式转动，根据图形可得，与字母D相对的是（　　） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母E 【答案】D 【解答】解：由此正方体的不同放置可知：与字母D相对的是字母E，F相对的是C， 故选：D． 题型5 截一个几何体 解｜题｜知｜识 （1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． （2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 【典例1】下列几何体中截面不可能是长方形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：长方体、圆柱体、三棱柱的截面都可能出现长方形，只有球体的截面只与圆有关． 故选：C． 【变式1】用一个平面去截下列几何体，截面可能是圆形的几何体个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：用平行于底面的平面去截圆柱，其截面是圆形的，用平面去截球体，截面是圆形的，用平行于底面的平面去截圆锥，其截面是圆形的， 所以截面可能是圆形的几何体有3个． 故选：B． 【变式2】用一个平面去截下列几何体：①球体、②圆锥、③圆柱、④正三棱柱、⑤长方体，得到的截面形状可能是三角形的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：根据截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关逐项分析判断如下； 球体：无论怎么截，截面都是圆，不能得到三角形，故球不能截出三角形； 圆锥：沿着母线截，截面是三角形，故圆锥能截出三角形； 圆柱：斜着截，截面可能是椭圆等，不能得到三角形，故圆柱不能截出三角形； 正三棱柱：横截或竖截等，截面可能是三角形，故正三棱柱能截出三角形； 长方体：斜着截，截面可能是三角形，故长方体能截出三角形； ∴能得到三角形截面的有圆锥、正三棱柱、长方体，共3个． 故选：C． 【变式3】如图，圆柱高为8，底面半径为2，若截面是长方形，则长方形的最大面积为（　　） A．16 B．20 C．32 D．18 【答案】C 【解答】解：由题意可知，截面长方形的长为4，宽为8时，面积最大，即垂直于圆柱底面且经过底面圆直径所截得的长方形面积最大， 所以截面的最大面积为：8×4＝32． 故选：C． 题型6 简单几何体的三视图 解｜题｜知｜识 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 【典例1】如图图形从三个方向看形状一样的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．从上面看是六边形，从从正面和从左边看是一个矩形，矩形内部有两条纵向的实线，故本选项不合题意； B．从上面看是一个有圆心的圆，从从正面和从左边看是一个等腰三角形，故本选项不合题意； C．从三个方向看形状一样，都是圆形，故本选项符合题意； D．从上面看是一个圆，从从正面和从左边看是一个矩形，故本选项不合题意； 故选：C． 【变式1】下列几何体中，从正面看到的形状图是长方形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A．圆柱的主视图是长方形，故本选项符合题意； B．圆锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意； C．球的主视图是圆，故本选项不符合题意； D．三棱锥的主视图是三角形（三角形内部有一条纵向的实线），故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】如图正方形ABCD的边长为3，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，从左边看到所得几何体的形状图的周长是　18　 ． 【答案】18． 【解答】解：正方形ABCD的边长为3，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体为半径为3圆柱体，该圆柱体的左视图为矩形； 矩形的两边长分别为3和6， （3+6）×2＝18． 故从左边看到所得几何体的形状图的周长是18． 故答案为：18． 题型7 简单组合体的三视图 解｜题｜知｜识 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 【典例1】如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：从上面看，得到的图形是两行，其中（上往下）第一行为2个小正方形，第二行是一个小正方形，选项B中的图形符合题意， 故选：B． 【变式1】中国是瓷器的故乡．如图是南宋青白瓷斗笠碗，以青白瓷为主题而设计，官窑制品．从上面观察这个图形，得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：这个青白瓷斗笠碗从上面看所看到的图形为： 故选：C． 【变式2】下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、图中的主视图是2，1； B、图中的主视图是2，1； C、图中的主视图是2，1； D、图中的主视图是2，2； 故选：D． 【变式3】如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的内部是一个圆． 故选：D． 题型8 由三视图判断几何体 解｜题｜知｜识 （1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． （2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高； ②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助； ④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 【典例1】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则所搭几何体所需小立方块个数不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解答】解：由俯视图易得最底层有4个立方块，由左视图易得第二层最多有3个立方块和最少有1个立方块， 那么小立方块的个数可能是5个或6个或7个，不可能是8个． 故选：D． 【变式1】如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从上面和从左面看得到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块的个数是（　　） A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个或8个 D．7个或8个或9个 【答案】C 【解答】解：根据从左面看到的形状图，可得该几何体由3层，2行；从上面看到的形状图可得有2行，2列，所以上层至少1块，底层2行共有4块， 所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是4+1+1＝6块， 至多是4+2+2＝8块， 则搭成这个几何体的小立方块的个数是6个或7个或8个． 故选：C． 【变式2】如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的个数最多为m，最少为n，则m﹣n的值为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵俯视图有5个正方形， ∴最底层有5个正方体， 由主视图可得第2层最少有2个正方体，第3层最少有1个正方体， 由主视图可得第2层最多有4个正方体，第3层最多有2个正方体， ∴该组合几何体最少有n＝5+2+1＝8个正方体，最多有m＝5+4+2＝11个正方体， ∴m﹣n＝3， 故答案为：3． 【变式3】在一张桌子上摆放着一些形状、大小相同的碟子，从3个方向看到的图形如图所示，则这个桌子上的碟子的个数是　12　 个． 【答案】12 【解答】解：由俯视图可得：碟子共有3摞， 由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如图所示： 故这张桌子上碟子的个数为3+4+5＝12（个）， 故答案为：12． 过 关 验 收 1．下列平面图形中，是棱柱的展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误； B．该图是棱柱表面展开图，故本选项正确； C．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误； D．该平面图形不能围成棱柱，能围成圆柱，故本选项错误． 故选：B． 2．小欣用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水．下面选项中，盒子里有墨水的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，将这个展开图折叠成正方体时，棱AB与CD重合，即两个阴影直角三角形的直角边重合，且含有圆圈的面四条边不与直角三角形的边重合，因此选项B符合题意； 故选：B． 3．下列图形能折叠成三棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、可以折叠成四棱锥，故此选项不符合题意； B、可以折叠成三棱柱，故此选项符合题意； C、可以折叠成圆锥，故此选项不符合题意； D、可以折叠成三棱锥，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（1）如图为一张边长为30cm的正方形纸，将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①画出纸盒展开示意图； ②若四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，求纸盒的体积为　1936cm3 ． （2）如图为一块长30cm、宽24cm的长方形纸板，将其四角各剪去一个正方形，折成高为6cm的无盖长方体盒子，求盒子的表面积为　576cm2 ． （3）小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分． ①小明总共剪开了　8　 条棱． ②他剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，且所有棱长之和为88cm，则纸盒的体积为　200cm3 ． 【答案】（1）①折成无盖长方体纸盒的示意图如下： ②1936cm3； （2）576cm2； （3）①8，②200cm3． 【解答】解：（1）①示意图如下： ②当小正方形的边长为4cm时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为30﹣4×2＝22（cm）的正方形，高是4cm， 纸盒的体积为22×22×4＝1936（cm3）， 故答案为：1936cm3； （2）盒子的表面积为30×24﹣4×62＝576（cm2）， （3）①小明共剪了8条棱， 故答案为：8； ②∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm， ∵长方体纸盒所有棱长的和是88cm， ∴4（a+5a+5a）＝88， 解得a＝2， ∴这个长方体纸盒的体积为2×10×10＝200（cm3）． 5．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 　①，③，④　 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中a＝30cm，b＝5cm． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为 　400　 cm2； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为 　1000　 cm3； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的 　2　 倍． （3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 　70cm ． （4）若无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为 　44cm ． 【答案】（1）①，③，④．（2）①400；②1000；③2．（3）70cm．（4）44cm． 【解答】解：（1）根据展开图的折叠， ②只能折成4个面， ①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①，③，④； （2）①长方体纸盒的底面面积为： （a﹣2b）2 ＝（30﹣2×5）2 ＝400（cm2）， 故答案为：400； ②长方体纸盒的长：30﹣5﹣5＝20（cm）， ∵正方形纸板的边长由空白的两个小长方形的宽和空白的两个大长方形的宽组成， ∴宽＝（30﹣2×5）÷2＝10（cm）， ∴该长方体纸盒的体积为：20×10×5＝1000（cm3）， 故答案为：1000； ③无盖盒子的体积：5×400＝2000（cm3）， 有盖盒子的体积：1000cm3， 2000÷1000＝2， 故答案为：2； （3）如图所示： ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为：6×8+4×4+3×2＝70（cm）， 故答案为：70cm． （4）如图所示： ∴该长方体表面展开图的最小外围周长为：3×8+4×2+6×2＝44（cm）， 故答案为：44cm． 6．如图表示一个无盖的正方体纸盒，它的下底面标有字母“M”，沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，这个平面展开图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵正方体纸盒无盖， ∴底面M没有对面， ∵沿图中的粗线将其剪开展成平面图形， ∴底面与侧面的从左边数第2个正方形相连， 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知，只有C选项图形符合． 故选：C． 7．用一个平面去截如图所示的圆锥，所得的截面图形不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如果用平面去截圆锥，所得到的图形不可能是长方形， 故选：C． 8．用一个平面去截一个三棱柱，截面边数最多为（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：三棱柱有5个面，若截面均经过这5个面，因此截面的边数最多是5边形， 故选：C． 9．将一个正方体截去一个角，则其面数（　　） A．增加 B．不变 C．减少 D．上述三种情况均有可能 【答案】A 【解答】解：如图所示：将一个正方体截去一个角，则其面数增加一个． 故选：A． 10．数学课上，小明用土豆做了一个长方体模型．他用一个平面去截该模型，截面的形状如图所示，这个截面共有 　5　 条对角线． 【答案】5． 【解答】解：这个截面是五边形，五边形共有5条对角线， 故答案为：5． 11．如图，一个圆柱体切去一部分，则从上面看到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可知该几何体从上面看到的图形符合A选项． 故选：A． 12．用一些小立方体搭成下面四个立体图形，从（　　）立体图形的左面能看到 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．该几何体的左视图底层是三个正方形，不符合题意； B．该几何体的左视图底层是两个正方形，上层右边是一个正方形，符合题意； C．该几何体的左视图底层是两个正方形，上层左边是一个正方形，故不符合题意； D．该几何体的左视图近似一个“田”字，故不符合题意． 故选：B． 13．如图所示的几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图所示的几何体的主视图为： 故选：A． 14．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：这个组合体的左视图为： 故选：A． 15．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体． （1）用粗实线画出该几何体的从正面看、从左面看、从上面看到的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图不变，那么最多可以再添加　4　 块小立方块． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）从正面看、从左面看、从上面看视图如下： （2）从正面看和从左面看的形状图不变， 从前往后，第一排第一层的第二、三列（从左往右）可以各添加一个；第二排第一层的第三列可以添加1块，第二层的第三列可以添加1块，总共可以添加2块小立方块；故总共可以添加4块小立方块． 故答案为：4． 16．用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题： （1）填空：a＝　3　 ，b＝　1　 ； （2）这个几何体最多由 　11　 个小立方体搭成； （3）当d＝f＝1，e＝2时，画出这个几何体从左面看得到的形状图． 【答案】（1）3，1； （2）11； （3）见解析． 【解答】解：（1）由该组合体的主视图、俯视图可知， a＝3，b＝c＝1， 故答案为：3；1； （2）根据该组合体的从正面、上面看到的形状图相应位置所摆放的小立方体的个数可知， 需要最多小立方体时，d＝e＝f＝2， 此时需要的个数为：2+2+2+3+1+1＝11（个）， 答：这个几何体最多由11个小立方体搭成； （3）当d＝f＝1，e＝2时，这个几何体从左面看得到的形状图如下： 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 1.2 从立体图形到平面图形 内 容 导 航 题型1 认识平面图形 题型2 几何体的展开图 题型3 展开图折叠成几何体 题型4 专题：正方体相对两个面上的文字 题型5 截一个几何体 题型6 简单几何体的三视图 题型7 简单组合体的三视图 题型8 由三视图判断几何体 考 点 演 练 题型1 认识平面图形 解｜题｜知｜识 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 【典例1】在长方形、长方体、三角形、球、圆中，平面图形有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【变式1】把一个长方形框架拉成一个平行四边形，则（　　） A．周长不变、面积变大 B．周长不变、面积变小 C．周长不变，面积不变 D．周长和面积都变小了 题型2 几何体的展开图 解｜题｜知｜识 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【典例1】如图所示的正方体的展开图是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中，不是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（　　） A．正方体，圆锥，圆柱，三棱锥 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱 C．正方体，圆锥，圆柱，四棱柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 题型3 展开图折叠成几何体 解｜题｜知｜识 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 【典例1】如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形中不能拼成正方体的是位置（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【变式1】下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列展开图，能折叠成正方体的有（　　）个． A．6 B．5 C．4 D．7 【变式3】如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段B2N重合的线段是（　　） A．C2F B．C2D2 C．A2D2 D．MA2 题型4 专题：正方体相对两个面上的文字 解｜题｜知｜识 （1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 【典例1】2025年“苏超足球联赛”泰州队获得了冠军，将如图所示的平面图形围成正方体后“泰”，“州”两字的对面上的字分别是（　　） A．苏，州 B．苏，超 C．苏，军 D．冠，军 【变式1】如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成一个正方体后，相对面上的数字和都相等，那么x+y的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【变式2】已知图1是图2所示的小正方体的表面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是（　　） A．友 B．善 C．信 D．国 【变式3】如图，正方体的6个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，将该正方体按图示方式转动，根据图形可得，与字母D相对的是（　　） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母E 题型5 截一个几何体 解｜题｜知｜识 （1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． （2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形． 【典例1】下列几何体中截面不可能是长方形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】用一个平面去截下列几何体，截面可能是圆形的几何体个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】用一个平面去截下列几何体：①球体、②圆锥、③圆柱、④正三棱柱、⑤长方体，得到的截面形状可能是三角形的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图，圆柱高为8，底面半径为2，若截面是长方形，则长方形的最大面积为（　　） A．16 B．20 C．32 D．18 题型6 简单几何体的三视图 解｜题｜知｜识 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 【典例1】如图图形从三个方向看形状一样的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列几何体中，从正面看到的形状图是长方形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图正方形ABCD的边长为3，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，从左边看到所得几何体的形状图的周长是　 　 ． 题型7 简单组合体的三视图 解｜题｜知｜识 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 【典例1】如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，从上面看这个几何体得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【变式1】中国是瓷器的故乡．如图是南宋青白瓷斗笠碗，以青白瓷为主题而设计，官窑制品．从上面观察这个图形，得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 题型8 由三视图判断几何体 解｜题｜知｜识 （1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． （2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高； ②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助； ④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 【典例1】一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则所搭几何体所需小立方块个数不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从上面和从左面看得到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块的个数是（　　） A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个或8个 D．7个或8个或9个 【变式2】如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的个数最多为m，最少为n，则m﹣n的值为 　 　 ． 【变式3】在一张桌子上摆放着一些形状、大小相同的碟子，从3个方向看到的图形如图所示，则这个桌子上的碟子的个数是　 　 个． 过 关 验 收 1．下列平面图形中，是棱柱的展开图的是（　　） A． B． C． D． 2．小欣用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水．下面选项中，盒子里有墨水的是（　　） A． B． C． D． 3．下列图形能折叠成三棱柱的是（　　） A． B． C． D． 4．（1）如图为一张边长为30cm的正方形纸，将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①画出纸盒展开示意图； ②若四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，求纸盒的体积为　 　 ． （2）如图为一块长30cm、宽24cm的长方形纸板，将其四角各剪去一个正方形，折成高为6cm的无盖长方体盒子，求盒子的表面积为　 　 ． （3）小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分． ①小明总共剪开了　 　 条棱． ②他剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，且所有棱长之和为88cm，则纸盒的体积为　 　 ． 5．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 　 　 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中a＝30cm，b＝5cm． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为 　 　 cm2； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒，方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，则该长方体纸盒的体积为 　 　 cm3； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的 　 　 倍． （3）若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 　 　 ． （4）若无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为 　 　 ． 6．如图表示一个无盖的正方体纸盒，它的下底面标有字母“M”，沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，这个平面展开图是（　　） A． B． C． D． 7．用一个平面去截如图所示的圆锥，所得的截面图形不可能是（　　） A． B． C． D． 8．用一个平面去截一个三棱柱，截面边数最多为（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 9．将一个正方体截去一个角，则其面数（　　） A．增加 B．不变 C．减少 D．上述三种情况均有可能 10．数学课上，小明用土豆做了一个长方体模型．他用一个平面去截该模型，截面的形状如图所示，这个截面共有 　 　 条对角线． 11．如图，一个圆柱体切去一部分，则从上面看到的图形是（　　） A． B． C． D． 12．用一些小立方体搭成下面四个立体图形，从（　　）立体图形的左面能看到 A． B． C． D． 13．如图所示的几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 14．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（　　） A． B． C． D． 15．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体． （1）用粗实线画出该几何体的从正面看、从左面看、从上面看到的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图不变，那么最多可以再添加　 　 块小立方块． 16．用相同的小立方体搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数，请回答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）这个几何体最多由 　 　 个小立方体搭成； （3）当d＝f＝1，e＝2时，画出这个几何体从左面看得到的形状图． 学科网（北京）股份有限公司 $