4.2 角（七大题型）同步练习 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 以角的概念理解、表示方法、分类及应用为核心，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，构建从单一概念到跨情境综合的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|角的概念、表示方法|以选择、填空为主，如角的概念辨析（第1题）、表示方法判断（第4题），强化抽象能力与符号意识| |技能应用|角的分类、单位换算|包含作图（第3题）、折叠计算（第8题），培养几何直观与运算能力，衔接课堂例题| |综合拓展|钟面角、方向角应用|结合生活情境，如钟表夹角计算（第10题）、方向角实际问题（第18题），发展模型意识与推理能力|

4.2 角 题型一 角的概念理解 1．下列叙述正确的是（     ） A．线段可表示为线段 B．射线可表示为射线 C．直线和射线可以比较长短 D．角是由两条射线组成的图形 【答案】A 【详解】A、线段可表示为线段，故A正确； B、射线有方向，端点不同表示的射线不同，射线端点为，沿方向延伸，射线端点为，沿方向延伸，二者不是同一条射线，故B错误； C、直线和射线都是无限延伸的，没有确定长度，无法比较长短，故C错误； D、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，选项缺少“公共端点”的必要条件，故D错误； 故选：A． 2．下图中几何图形共有________个角． 【答案】9 【分析】观察图形，该几何图形是一个五边形，内部有一条连接两个不相邻顶点的线段（对角线）. 数角时，需要分别数出每个顶点处的角，包括基本角和由基本角组成的组合角，对于没有被内部线段分割的顶点，只有1个角；对于被内部线段分割的顶点，有2个基本角和1个组合角，共3个角． 【详解】解：设五边形的顶点顺时针依次为（上）、（右）、（右下）、（左下）、（左）， 内部线段连接顶点和,在顶点处，有1个角：； 在顶点处，有1个角：； 在顶点处，内部线段将分为两个角，故共有3个角：、、； 在顶点处，有1个角：； 在顶点处，内部线段将分为两个角，故共有3个角：、、 综上所述，图中共有个角． 3．如图，在同一平面内，有任意四点，，，； (1)画出直线，射线，连接； (2)小明红测量，，求的度数； (3)直接写出图中共有几个角（平角除外） 【答案】(1)见解析 (2) (3)共5个 【分析】本题主要考查了直线、线段、射线的定义，角的定义，角度的计算，按照题目要求作出图形，熟练掌握直线、线段、射线的特点，是解题的关键． （1）根据直线、射线的定义作图即可； （2）根据求解即可； （3）根据角的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，连接即为所画， ； （2）解：∵，， ∴； （3）解：图中的角有：，共5个． 题型二 角的表示方法 4．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：A、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； B、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； C、能用，，表示同一个角，故选项符合题意； D、和表示不同的角，故选项不符合题意． 5．如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有___________个．    【答案】9 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法表示出图中所有小于平角的角即可． 【详解】解：图中大于小于的角有，，，，，，，，，共9个． 故答案为：9． 6．如图所示，回答下列问题： (1)和是不是同一个角？ (2)和是不是同一个角？ (3)和是不是同一个角？ (4)和是不是同一个角？ (5)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来． 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)图中可以用一个字母表示的角有3个，分别是，， 【分析】本题主要考查角的表示，熟练掌握角的表示方法是解题的关键． （1）根据角的表示方法判断即可； （2）根据角的表示方法判断即可； （3）根据角的表示方法判断即可； （4）根据角的表示方法判断即可； （5）根据角的表示方法分析即可． 【详解】（1）解： 和的顶点都是点，角的两边都是射线，，因此是同一个角． （2）解：和的顶点都是点，角的两边都是射线，，因此是同一个角． （3）解：和的两边不是相同的射线，因此不是同一个角． （4）解：和的顶点不同，因此不是同一个角． （5）解：图中可以用一个字母表示的角有3个，分别是，，． 题型三 角的分类 7．如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】B 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角、直角、钝角的概念是解题关键．连接各选项点进行分析即可． 【详解】解：A、连接，由图形可知，，不符合题意； B、连接，由图形可知，接近于，则边可能经过点N，符合题意； C、连接，由图形可知，，不符合题意； D、连接，由图形可知，，不符合题意； 故选：B． 8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕．则_______度． 【答案】 【分析】此题考查了角的计算，平角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据翻折的性质可知，，再根据平角的度数是，即可求出． 【详解】解：根据翻折的性质可知，，， 又∵， ∴． 故答案为：． 9．如图，将两块三角板的顶点重合．    (1)写出图中3个以O点为顶点且小于平角的角 、 、 ． (2)若，求的度数． (3)当三角板绕点O旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了几何中，角度的计算，平角的定义，关于三角板的角度计算． （1）根据角的定义写出即可； （2）根据，由代入计算即可； （3）同理（2）即可得出结论． 【详解】（1）解：平角为， 以O点为顶点且小于平角的角有等， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， ． 题型四 钟面角 10．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】钟面每个大格为，时针每分钟走的角度为，分针每分钟走的角度为，再结合9点15分时，时针和分针分别走的格数，进而求出它们的夹角． 【详解】解：9点时，时针与分针的夹角为：， 9点15分时，时针从9点开始又走了15分钟， ∴时针15分钟走的度数为：， 分针15分钟走的度数为：， ∴此时时针与分针的夹角为：（大于平角）， 最小夹角为：． 11．钟面上指针指示的时刻是10点45分，此时时针与分针的夹角是________度． 【答案】 【分析】钟面一圈，12大格，每大格；分针每分钟走，时针每小时走，每分钟走；45分时分针正对9刻度；10点时，时针指向10，10点45分时针从10向11走了45分钟，可求出时针走的度数，即可求出夹角． 【详解】解：时针每小时走，每分钟走， ， 夹角：， 所以，此时时针与分针的夹角是． 12．刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A、B、C、D在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求：手表 的全长． (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）.时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示．则时分针和时针的夹角为______度． (3)在（2）的条件下，作射线，使，则的度数为________． 【答案】(1)12 (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差关系，中点有关的计算，钟面角： （1）根据是中点，，可得，，即可求解； （2）先计算出每分钟时针走过的角度，再根据时，时针与分针的位置，即可求解； （3）时分针和时针的夹角为，则，当射线在内部时，当射线在外部时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵，是中点， ∴， ∵ ∴ ∴ 即手表的全长为 （2）解：由图可知，每分钟时针走过的度数为， 8点整，时针刚好落在8时上，30分钟后时针转动 则时，分针指向6，时针在8时过的地方， 即， （3）解：∵时分针和时针的夹角为， ∴ 当射线在内部时，； 当射线在外部时，； 故答案为：或. 题型五 方向角的表示 13．某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 【答案】B 【详解】解：A区测得管道方向为北偏东， B区施工的方向应是南偏西． 14．如图所示，小明家相对于学校的位置可描述为北偏西，处，那么学校相对于小明家的位置可描述为______． 【答案】南偏东，处 【分析】根据方向的相对性，方向相反，角度相同，距离相等，解答即可． 【详解】解：小明家相对于学校的位置可描述为北偏西，处，那么学校相对于小明家的位置可描述为南偏东，处 ． 15．如图，在同一平面内有三个点，请用合适的作图工具按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作直线和射线； (2)点在点北偏东方向上，且点在点西北方向上，作出点； (3)在（2）的条件下，在四边形内作一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析，理由见解析 【分析】（1）根据直线和射线的定义作图即可； （2）根据方向角的定义，借助量角器和直尺确定点的位置即可； （3）根据两点之间线段最短，得到的交点即为点． 【详解】（1）解：由题意，作图如下； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：如图，点即为所求；理由：两点之间线段最短． 题型六 与方向角有关的计算题 16．如图，是北偏东方向的一条射线，射线与射线互相垂直，则射线所在的方位是（     ） A．东偏北 B．西偏北 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】利用垂直关系计算射线与正北方向的夹角，从而确定其方位． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 又， ， ， 射线所在的方位是北偏西． 17．开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，． 18．元旦假期，小明和同学去大明湖公园游玩，他们登上超然楼俯瞰公园．如图，点P为小明所在的超然楼，曾堤A在超然楼P的北偏西的方向上，知春桥B在超然楼P的南偏东的方向上． (1)求从超然楼P看曾堤和知春桥的视角的度数； (2)东湖上有一条小船C在的平分线上，则小船C在超然楼P的什么方向上？ 【答案】(1)的度数为 (2)小船在超然楼的北偏东方向上 【分析】本题考查了方向角与角平分线的应用，解题的关键是根据方向角的定义，准确计算出的度数，再利用角平分线的性质求出小船的方向角． （1） 根据方向角的定义，分别求出和，再利用方向角与直角的性质计算； （2） 先求出的度数，再计算的度数，从而确定小船的方向． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴，又， ∴． 答：的度数为． （2）解：平分， ， ∴． 答：小船在超然楼的北偏东方向上． 题型七 角的单位与角度制 19．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】度、分、秒之间进率为60，即，，，根据换算规则逐一计算各选项即可得到答案． 【详解】解：对A选项：，故A错误； 对B选项： ，故B正确； 对C选项： ，故C错误； 对D选项：，故D错误． 20．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是__________． 【答案】 【分析】根据角的和差关系和角度制进行计算即可. 【详解】解：由题意， ∴. 21．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 角 题型一 角的概念理解 1．下列叙述正确的是（     ） A．线段可表示为线段 B．射线可表示为射线 C．直线和射线可以比较长短 D．角是由两条射线组成的图形 2．下图中几何图形共有________个角． 3．如图，在同一平面内，有任意四点，，，； (1)画出直线，射线，连接； (2)小明红测量，，求的度数； (3)直接写出图中共有几个角（平角除外） 题型二 角的表示方法 4．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A．B．C．D． 5．如图，点在直线上，，，是射线，则图中大于小于的角有___________个．    6．如图所示，回答下列问题： (1)和是不是同一个角？ (2)和是不是同一个角？ (3)和是不是同一个角？ (4)和是不是同一个角？ (5)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来． 题型三 角的分类 7．如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 8．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕．则_______度． 9．如图，将两块三角板的顶点重合．    (1)写出图中3个以O点为顶点且小于平角的角 、 、 ． (2)若，求的度数． (3)当三角板绕点O旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？请说明理由． 题型四 钟面角 10．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 11．钟面上指针指示的时刻是10点45分，此时时针与分针的夹角是________度． 12．刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A、B、C、D在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求：手表 的全长． (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）.时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示．则时分针和时针的夹角为______度． (3)在（2）的条件下，作射线，使，则的度数为________． 题型五 方向角的表示 13．某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 14．如图所示，小明家相对于学校的位置可描述为北偏西，处，那么学校相对于小明家的位置可描述为______． 15．如图，在同一平面内有三个点，请用合适的作图工具按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作直线和射线； (2)点在点北偏东方向上，且点在点西北方向上，作出点； (3)在（2）的条件下，在四边形内作一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明理由． 题型六 与方向角有关的计算题 16．如图，是北偏东方向的一条射线，射线与射线互相垂直，则射线所在的方位是（     ） A．东偏北 B．西偏北 C．北偏西 D．北偏西 17．开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 18．元旦假期，小明和同学去大明湖公园游玩，他们登上超然楼俯瞰公园．如图，点P为小明所在的超然楼，曾堤A在超然楼P的北偏西的方向上，知春桥B在超然楼P的南偏东的方向上． (1)求从超然楼P看曾堤和知春桥的视角的度数； (2)东湖上有一条小船C在的平分线上，则小船C在超然楼P的什么方向上？ 题型七 角的单位与角度制 19．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 20．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是__________． 21．计算： (1)． (2)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $