2.1 认识有理数（三）绝对值、有理数大小比较（暑假预科讲义）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 2.1认识有理数（三) —绝对值、有理数大小比较 知识归纳与题型总结 图 定义 一个正数的绝对值是它本身 绝对值 绝对值的判断 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 绝对值、 绝对值非负性的应用 有理数大小比较 利用数轴比较大小 有理数的大小比较 利用有理数的分类比较大小 作差法 培 考点01绝对值 考点梳理 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作a. 2.绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝 对值是.即如果a>0,那么a=a;如果a=0,那么a=0;如果a<0,那么a=-a 3.绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数 必为0，即若a+b=0,则a=0且b=0. 1/8 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 典例引领 考向01绝对值的几何意义 【例1】若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是() A.负数或0 B.正数或0 C.负数 D.正数 考向02求一个数的绝对值 【例2】绝对值小于3的整数有() A.5个 B.6个 C.7个 D.无数个 考向03绝对值非负性 【例3】代数式a-3列 la+ 的最小值是 的最小值是 考向04绝对值的其他应用 【例4】在航天零件制造中，先进的A算法的应用，极大地提高了零件的制造精度.下面 是某航天零件制造车间四台运用AI算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精 确程度最高的是() A.+0.05mm B.-0.03mm C.+0.02mm D.-0.01mm 对点提升 m <n 【对点1】若m,n为有理数，n<0,m>0,且 那么，n,一m，一”的大小关 系是() A.-n<m<n<-m B n<-n<m<-m C.n<-m<m<-n D m<n<-n<-m 【对点2】在-4，-1,0,3这四个数中，最小的数是() 2/8 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 A.-4 B.-1 D.3 【对点3】(1)若可+川=0 则 (2)若a-+4=0 b= 【对点4】某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为 负数”，下面四个零件中，最接近标准质量的是() +1.3g 0.5g 0 +0.8g 1.1g 考点02有理数的大小比较 考点梳理 1.利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大 的顺序，即左边的数小于右边的数， 2.利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0,0大王负数，正数大王负数：两个 负数，绝对值大的反而小 3.作差法：若两数分别为a,b,a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b;若a-b=0,则 a=b. 典例引领 考向01利用数轴比较有理数的大小 【到在数轴上表示出下列各数，用“<”连起来，5 3号.35 3/8 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 考向02 有理数大小比较 【例2】下列比0小的数是() A.2 B.0 C.-2 D.6 考向03 有理数大小比较的实际应用 【例3】小明买了4袋标准质量为450克的食品，他对这4袋食品的实际质量进行了检测， 检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 +2 0 +1 -2 其中最重的是() A.第一袋 B.第二袋 C.第三袋 D.第四袋 对点提升 【对点1】如图，下列各数中比数轴上的a小的数是() 0 2 A.-1 B.0 C.1 D.2 【对点2】在数-3,0,1,4中，绝对值最小的数是() A.-3 B.0 C.1 D.4 【对点3】比赛用乒乓球的标准直径规定为40mm,允许误差为0.05mm. 现随机抽取4 个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：mm)如下，其中符合标准的是(） A.38.001 B.39.001 c.40.001 D.41.001 4/8 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 能力提升 一、选择题 π 1.下列说法中：①0是最小的整数：②非负数就是正数：③一2不仅是有理数，而且是 分数：④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数.其中错误的说法的个数为() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正 负数：红为正，黑为负.如果5个红算筹记作+5，那么2个黑算筹应记作() A.+2 B.-2 C.+5 D.-5 3.若a、b、cd四个数满足a-20006+2001c-2002d+2003,则ab、c、d四 个数的大小关系为() A.a>c>b>d B.b>d>a>c C.d>b>a>c D.c>a>b>d 4.下列有理数中最小的数是() A.-1 B.0 C.-3 D.5 5.下列各数中，绝对值最小的数是() A.-2 B.0 C.2 D.6 6.如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是() 2-1012→ A.2.3 B.1.7 C.1 D.0.8 7.负数在现实生活中有广泛的应用.有理数-3可以描述() A.天气气温 B.数轴原点 C.旗杆高度 D.参赛人数 8.如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦.指针指向40 表示音调偏高，需放松琴弦.下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的 是() 5/8 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 001020 、-20 、-30 0 .40 -40 -50 ● 50 音调调高，请放松琴弦 调试DV纯律 A.-7 B.20 C.-2 D.-50 9.已知，)，2均为整数，且满足K-+-1,则-4的值为《) A.1 B.0 C.2 D.3 10.如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为）上，A,B,C三点将圆 三等分，将点A与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与 数轴上表示2的点重合，点C与数轴上表示3的点重合，点A与数轴上表示4的点重合， …若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为() B -1 345→ A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 二、填空题 11.如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N,Q表示的有理数互为 相反数，则图中表示绝对值最小的数是点 M N PQ→ 12.《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张.”意思是，在用 算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加 下面相应的算筹来表示.而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算 筹表示负数的方法.如：4‖三T”表示+238，则4三不”表示 13.比较下列各对数的大小： 8 、3 ①2i7②-(-0.3) 3 ③十2-（2) 14.x-1+r-2+-3++k-2010 的最小值是 6/8 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 15,设又.：为整数且满足-+-=1，则代数式-+少-+-的值 为 三、解答题 16.写出数轴上A,B,C各点所表示的分数 A BC 0 3 点A表示的数为 点B表示的数为. 点C表示的数为 17.比较下列每组数的大小 0号 a-0i B0 4小1 18.在数轴上，表示有理数a,b的点如图所示. 0b (1)在数轴上标出表示-4-b的点. (2)把a,b,0,-a,-b这五个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接 19.算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数 的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表 示。如3257就表示成三 川≡T 12 3 4 5 6 7 8 9 纵式1Ⅱ川 川川T 横式 一三 三目 )算筹三TΠ上川川l所表示的数是， (2)请用算筹表示下列各数： 7/8 暑季研思·七年级上册数学暑期培优专项讲 NH 73 406 (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中 摆出来，并在下方括号里填上所表示的数.（注：写三个） () () 20.若m-202与2026-川 互为相反数，求 2 2 2 m-1n-D+m-2j0n-2+…+m-20240n-2024的值。 8/8暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 2.1认识有理数（三）——绝对值、有理数大小比较 知识归纳与题型总结 考点01 绝对值 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果0,那么；如果，那么；如果，那么． 3. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 考向01 绝对值的几何意义 【例1】若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 考向02 求一个数的绝对值 【例2】绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】A 【详解】解：设满足条件的整数为， ∵是整数，且， ∴， ∴绝对值小于3的整数有，共5个． 考向03 绝对值非负性 【例3】代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 考向04 绝对值的其他应用 【例4】在航天零件制造中，先进的算法的应用，极大地提高了零件的制造精度．下面是某航天零件制造车间四台运用算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精确程度最高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】零件误差的精确程度由误差的绝对值决定，误差的绝对值越小，精确程度越高，只需计算各选项误差的绝对值并比较大小，即可得到结果． 【详解】解：∵ 误差的精确程度由误差的绝对值决定，绝对值越小，精确程度越高， ∵ ，，， ， 又∵ ， ∴ 的误差绝对值最小，精确程度最高． 【对点1】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 【对点2】在，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有理数大小比较规则：负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 因此四个数中最小的数是． 【对点3】（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 【对点4】某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最接近标准质量的是选项C． 考点02 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 考向01 利用数轴比较有理数的大小 【例1】在数轴上表示出下列各数，并用“”连起来，，，，． 【答案】， 【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：数轴表示见答案， 由数轴可得． 考向02 有理数大小比较 【例2】下列比0小的数是（     ） A．2 B．0 C． D．6 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ∴比小的数是． 考向03 有理数大小比较的实际应用 【例3】小明买了袋标准质量为克的食品，他对这袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 其中最重的是（     ） A．第一袋 B．第二袋 C．第三袋 D．第四袋 【答案】A 【分析】四袋食品标准质量相同，实际质量等于标准质量加上检测结果，因此只需比较检测结果的大小，检测结果越大则实际质量越重． 【详解】解：四袋食品标准质量均为克，实际质量 检测结果， 检测结果越大，实际质量越重。 比较各袋检测结果可得 ， 第一袋检测结果最大，实际质量最重． 【对点1】如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：根据数轴可得 故比数轴上的 小的数是 【对点2】在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【详解】解 ，，，， 又 ， 绝对值最小的数是． 【对点3】比赛用乒乓球的标准直径规定为，允许误差为．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：）如下，其中符合标准的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据允许误差求出符合标准的乒乓球直径的取值范围，再判断各选项的数值是否在范围内即可得到答案． 【详解】解：∵标准直径为，允许误差为 ∴符合标准的直径满足 即 选项A：，不符合； 选项B：，不符合； 选项C：，符合标准； 选项D：，不符合． 1、 选择题 1．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误； ② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误； ③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误； ④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确； 综上，错误的说法共有个． 2．中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果个红算筹记作，那么个黑算筹应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵红为正，黑为负，个红算筹记作， ∴个黑算筹应记作． 3．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，从而可得a、b、c、d 的值，然后比较大小即可解答． 【详解】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 4．下列有理数中最小的数是（   ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】利用有理数比较大小的基本规则即可求出结果． 【详解】解：∵有理数大小比较规则为：正数大于0，0大于所有负数；两个负数比较，绝对值大的数反而小. ∴四个数中，，，，只需比较与的大小， ∵，，， ∴， 因此可得四个数的大小关系为 ， ∴最小的数是． 5．下列各数中，绝对值最小的数是（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】只需计算出各选项中数的绝对值，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴绝对值最小的数是． 6．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 7．负数在现实生活中有广泛的应用．有理数可以描述（     ） A．天气气温 B．数轴原点 C．旗杆高度 D．参赛人数 【答案】A 【详解】解：A、天气气温可以低于，可以用表示零下3摄氏度，符合要求； B、数轴原点对应的数是，不是，不符合； C、旗杆高度是长度，为非负数，不能为，不符合； D、参赛人数为非负整数，不能为，不符合． 8．如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（     ） A． B．20 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义以及绝对值，根据题意得到负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，排除错误选项，再通过比较数值与0的距离来判断即可． 【详解】解：指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦， 正数表示音调偏高，需放松琴弦， 负数表示音调偏低，需拧紧琴弦， 与音准0的距离为，与音准0的距离为，与音准0的距离为， 指针指在0处为标准音，且2最小， 最接近标准音的是． 9．已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而推导出的值． 【详解】，且，，均为整数， 和均为非负整数，且和为， 可能情况为： ①且，则， ； ②且，则， ． 综上，． 故选：A． 10．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 二、填空题 11．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【答案】P 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的概念．先根据N，Q表示的有理数互为相反数，确定原点的位置，再确定图中表示绝对值最小的数是点P． 【详解】解：∵N，Q表示的有理数互为相反数， ∴原点在的中点处， 此时距离原点最近的点为P， 即图中表示绝对值最小的数是点P． 12．《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 【答案】 【分析】根据题干给出的示例，识别出算筹代表的数字及负号标记，结合有理数的概念即可求解． 【详解】 解：根据题意，算筹计数规则为：分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．由“”表示可知：百位为两根竖线，表示数字；十位为三根横线，表示数字；个位为上面一横下面三竖，表示数字． 观察“”，其算筹排列与“”相同，即百位为，十位为，个位为．根据“在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法”，“”中个位算筹上斜放了一支算筹，表示该数为负数．所以“”表示的数是． 13．比较下列各对数的大小： ①_________；    ②_________；    ③_________ 【答案】 【分析】先根据相反数和绝对值的定义化简各组中的数，再根据有理数大小比较法则判断：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；正数大于一切负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大． 【详解】解：，，， ∵， ∴，即； ∵，， ∴，， ∵， ∴； ，， ∵， ∴． 14．的最小值是________ 【答案】 【分析】表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【详解】表示x到1，2，3， ，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ． 15．设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 【答案】2 【分析】由整数满足：，得出一个为0，一个为1，从而分情况求解后代值求解即可得到答案，将题中条件转化为解方程问题是解决问题的关键． 【详解】整数满足：， 一个为0，一个为1， ①当，即， 则， 则， ； ②当，即， 则， 则， ； 综上，代数式的值为2． 三、解答题 16．写出数轴上A，B，C各点所表示的分数． 点A表示的数为_____________；点B表示的数为_____________； 点C表示的数为_____________． 【答案】 ，， 【分析】观察数轴，确定单位长度被平均分成的份数，从而得出每个小格代表的分数值，再根据各点相对于整数点的位置读出数值． 【详解】解：由数轴可知，相邻两个整数（如0和1、1和2之间）被平均分成了份，所以每一份表示， 点在原点右侧第个刻度处，所以点表示的数为， 点在右侧第个刻度处，所以点表示的数为 ， 点在右侧第个刻度处，所以点表示的数为． 17．比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵， ∴． 18．在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示． (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【答案】(1)如图所示： (2) 【详解】（1）解：略 （2）解：由数轴知． 19．算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示。如3257就表示成． (1)算筹所表示的数是 ． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】此题考查数字的表示，理解题意是解题的关键． （1）根据图形的表示进行解答即可； （2）结合（1）根据图形的表示进行解答即可； （3）根据图形的表示进行解答即可． 【详解】（1） 解：算筹所表示的数是3875． 故答案为：3875； （2） 解：用算筹表示下列各数： （3）解：用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图中的虚线框中摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：写三个） 20．若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，求得，，然后将原式变形为，然后化简求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴原式 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $