5.2 一元一次方程的解法同步讲义2026-2027学年数学七年级上册（北师大版）

本讲义聚焦一元一次方程的解法核心知识点，以等式的性质（性质1：两边加同数或式子结果仍为等式；性质2：乘同数或除以非零数结果仍为等式）为基础支架，衔接解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），延伸至同解方程的定义与应用，构建从基础到应用再到拓展的递进式学习脉络。 该资料亮点在于题型分类精准，典例与变式题结合，通过天平平衡问题（如题型1变式3）、新定义运算（如题型2变式1“*”运算）等情境培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，强调解题依据（如等式性质变形需步步有据）发展推理意识，规范运算步骤训练提升运算能力。课中辅助教师分层教学，课后过关验收助力学生查漏补缺，强化知识应用与迁移。

第5章 5.2 一元一次方程的解法 内 容 导 航 题型1 等式的性质 题型2 解一元一次方程 题型3 同解方程 考 点 演 练 题型1 等式的性质 解｜题｜知｜识 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的。 【典例1】下列运用等式性质进行的变形，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果a2＝3a，那么a＝3 C．如果a＝b，那么 D．如果，那么a＝b 【变式1】下列等式变形中，不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+1＝y+1 B．若x＝y，则x﹣2＝y﹣2 C．若x＝y，则﹣3x＝﹣3y D．若ax＝ay，则x＝y 【变式2】已知等式3y+4＝2x﹣2，依据等式的性质进行变形，可以得到的是（　　） A．2x＝3y﹣6 B．3y＝2x+6 C．x3 D．yx﹣3 【变式3】设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　） A． B． C． D． 题型2 解一元一次方程 解｜题｜知｜识 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 【典例1】如果单项式﹣xyb+1与是同类项，那么关于x的方程ax+b＝0的解为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 【变式1】现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，例如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．21 D．5或21 【变式2】解方程时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣x+2＝1 B．3x+1﹣x﹣2＝6 C．3（x+1）﹣（x+2）＝6 D．3（x+1）﹣（x+2）＝1 【变式3】下列四组变形属于移项的是（　　） A．由，得x﹣2＝12 B．由2x＝3，得 C．由4x＝2x﹣3，得4x﹣2x＝﹣3 D．由3y﹣y+2＝3，得2y+2＝3 题型3 同解方程 解｜题｜知｜识 定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． （或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．） 【典例1】如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x＝6和x﹣3＝0为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程2x+1＝x﹣2为“美好方程”，则ab的值为（　　） A．12 B．﹣12 C．20 D．﹣20 【变式1】已知关于x的方程和3（2﹣x）＝2x+1的解相同，求m的值． 【变式2】已知关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．求a、b的值． 【变式3】定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相同，我们就称这两个方程为互为“友好方程”．例如：方程x+2＝4和3x+6＝0为互为“友好方程”． （1）若关于x的方程2x+m＝1与方程5x+2＝2x+14互为“友好方程”，求m的值； （2）若互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10，其中一个解为2n+1，求n的值； （3）若无论m取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与关于y的方程y+1＝2y﹣2都互为“友好方程”，求a+b的值． 过 关 验 收 1．下列说法一定正确的是（　　） A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则 C．若|x|＝|y|，则x＝y D．若，则x＝y 2．根据等式的性质，若等式m＝n可以变形得到m+a＝n﹣b，则a、b应满足的条件是（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a＝0，b≠0 3．下列结论错误的是（　　） A．若a＝b，则a﹣c＝b﹣c B．若x＝2，则x2＝2x C．若a＝b，则 D．若ax＝bx，则a＝b 4．已知x＝y，则下列等式不一定成立的是（　　） A．x+m＝y+m B．y﹣n＝x﹣n C．px＝py D． 5．有下列说法：①若m＝n，则|m|＝|n|；②若m＝﹣n，则|m|＝|n|；③若|m|＝|n|，则m＝n；④若|m|＝|n|，则m＝±n；⑤﹣|a|定是负数；⑥|a|+1一定是正数．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．由方程3x﹣5＝2x﹣4变形，得3x﹣2x＝﹣4+5，这是根据什么变形的（　　） A．合并同类项法则 B．分配律 C．等式的基本性质1 D．等式的基本性质2 7．若等式ac＝bc成立，则下列等式中不成立的是（　　） A．a＝b B．ac+3＝bc+3 C．ac2＝bc2 D． 8．已知二元一次方程组，则2a﹣b的值为　 　 ． 9．已知多项式ax2+2x﹣3与x2+bx+c是恒等的，则a+b+c＝ 　 　 ． 10．已知，且b+d＝6，则a+c＝　 ． 11．如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“〇”的质量相等，则n的值是　 　 ． 12．观察下列两个等式：221，551，给出定义如下： 我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对” （1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是　 　 （2）若（a，3）是“共生有理数对”，则a的值为　 　 （3）若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对” 13．按如图所示的运算程序，若输出的结果是1，则输入的m值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．1或﹣2 14．关于x的一元一次方程的解（　　） A．是一个大于0小于1的数 B．是一个大于2020的数 C．是一个大于0小于2020的数 D．不存在 15．小深在预习《认识有理数》这一课时发现，按照定义有理数可以分为整数和分数，但书本没有提起小学阶段熟悉的小数，于是他就对“小数属于有理数吗？”这问题进行研究： 小数分为有限小数和无限小数，有限小数均能写成分数，例如，无限循环小数呢？小深通过查阅资料发现无限循环小数0.化为分数，可用如下方法： 令S＝0.，则100S＝36.； 100S﹣S＝36.0. 99S＝36 所以，0. 参照他的方法，0.6可以化为分数（　　） A． B． C． D． 16．在解关于x的方程x﹣6m＝3+5x时，小佳错把“﹣6m”看成了“+6m”，解得x＝﹣2，则m的值为（　　） A． B． C． D． 17．若x的2倍与3的差等于x的一半，则x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1.2 D．﹣1.2 18．小明在解方程5x﹣1＝□x+3时，把□处的数字看错了，解得x＝﹣4，该同学把□看成了（　　） A．6 B．﹣8 C．8 D．﹣3 19．若代数式7﹣2x和5﹣x的值互为相反数，则x的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2 20．满足|m﹣6|+m﹣6＝0的m的值的个数为（　　） A．5个 B．6个 C．无数个 D．不存在 21．整式mx﹣2n（m，n为常数）的值随x的取值的不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程2n﹣mx＝8的解为（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 mx﹣2n 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 ﹣8 A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝﹣2 22．定义一种新运算：a⊗b＝a﹣2b，若3⊗（x+1）＝5，则x的值为　 　 ． 23．在实数范围内定义运算“∅”：a∅b＝2a+3b﹣1，例如：2∅3＝2×2+3×3﹣1＝12．如果，则x的值为　 ． 24．小红在计算31+a的值时，误将“+”号看成“﹣”号，结果得12，那么31+a的值应为 　 　 ． 25．解方程： （1）3x﹣2＝1﹣2（x+1）； （2）x1． 26．当x为何值时，代数式3（2x﹣1）的值比2（5x+1）的值小1？ 27．我们规定：若有理数a，b满足a+b＝ab，则称a与b是“相伴数对”，记作（a，b），例如：2+2＝2×2，则（2，2）是“相伴数对”． 请解答下列问题： （1）下列数对中，是“相伴数对”的是　 　 （填序号）． ①（3，1.5） ②（﹣1，0.5） ③（0，0） （2）若（m，4）是“相伴数对”，求m的值． （3）若（a，b）是“相伴数对”，化简代数式M＝3a﹣2ab+3b． （4）若（x，y）是“相伴数对”，且xy﹣2（x+y）＝5，利用整体思想直接求3（x+y）﹣5xy的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 5.2 一元一次方程的解法 内 容 导 航 题型1 等式的性质 题型2 解一元一次方程 题型3 同解方程 考 点 演 练 题型1 等式的性质 解｜题｜知｜识 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的。 【典例1】下列运用等式性质进行的变形，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果a2＝3a，那么a＝3 C．如果a＝b，那么 D．如果，那么a＝b 【答案】D 【解答】解：（A）当a＝b时，a+c＝b+c，故A错误； （B）当a＝0时，此时a≠3，故B错误； （C）当c＝0时，此时与无意义，故C错误； 故选：D． 【变式1】下列等式变形中，不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+1＝y+1 B．若x＝y，则x﹣2＝y﹣2 C．若x＝y，则﹣3x＝﹣3y D．若ax＝ay，则x＝y 【答案】D 【解答】解：A、如果x＝y，那么等式两边同时加上1得：x+1＝y+1仍然成立，正确，不符合题意； B、如果x＝y，那么等式两边同时减去2得：x﹣2＝y﹣2仍然成立，正确，不符合题意； C、已知x＝y，那么等式两边同时乘以﹣3得：﹣3x＝﹣3y仍然成立，正确，不符合题意； D、如果ax＝ay，那么等式两边除以a（0除外）得：x＝y，原式未说明a≠0，当a＝0时，变形无意义，则原式不成立，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】已知等式3y+4＝2x﹣2，依据等式的性质进行变形，可以得到的是（　　） A．2x＝3y﹣6 B．3y＝2x+6 C．x3 D．yx﹣3 【答案】C 【解答】解：A．∵3y+4＝2x﹣2， ∴2x﹣2＝3y+4， 方程两边加2得：2x＝3y+6，故本选项不符合题意； B．3y+4＝2x﹣2， 等式两边减4，得3y＝2x﹣2﹣4， 即3y＝2x﹣6，故本选项不符合题意； C．∵3y+4＝2x﹣2， ∴2x＝3y+6， 等式两边都除以2，得x3，故本选项符合题意； D．3y+4＝2x﹣2， 等式的两边都减4，得3y＝2x﹣6， 等式两边都除以3，得yx﹣2，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据图示可得： 2●＝▲+■①， ●+▲＝■②， 由①②可得●＝2▲，■＝3▲， 则■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲． 故选：A． 题型2 解一元一次方程 解｜题｜知｜识 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 【典例1】如果单项式﹣xyb+1与是同类项，那么关于x的方程ax+b＝0的解为（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 【答案】C 【解答】解：根据题意得： a+2＝1， 解得：a＝﹣1， b+1＝3， 解得：b＝2， 把a＝﹣1，b＝2代入方程ax+b＝0得： ﹣x+2＝0， 解得：x＝2， 故选：C． 【变式1】现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足，例如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．21 D．5或21 【答案】A 【解答】解：当x≥3时，x*3＝3x﹣3＝12， ∴3x＝15， 解得x＝5，符合x≥3； 当x＜3时，原式＝x﹣9＝12， ∴x＝21（舍去）； 故选：A． 【变式2】解方程时，去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣x+2＝1 B．3x+1﹣x﹣2＝6 C．3（x+1）﹣（x+2）＝6 D．3（x+1）﹣（x+2）＝1 【答案】C 【解答】解：原方程两边同乘6得：， 即3（x+1）﹣（x+2）＝6， 故选：C． 【变式3】下列四组变形属于移项的是（　　） A．由，得x﹣2＝12 B．由2x＝3，得 C．由4x＝2x﹣3，得4x﹣2x＝﹣3 D．由3y﹣y+2＝3，得2y+2＝3 【答案】C 【解答】解：A、由得x﹣2＝12是去分母，不符合移项，不符合题意； B、2x＝3得是系数化为1，不符合移项，不符合题意； C、4x＝2x﹣3得4x﹣2x＝﹣3是将2x移项并变号，符合移项，符合题意； D、3y﹣y+2＝3得2y+2＝3是合并同类项，不符合移项，不符合题意． 故选：C． 题型3 同解方程 解｜题｜知｜识 定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． （或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．） 【典例1】如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x＝6和x﹣3＝0为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程2x+1＝x﹣2为“美好方程”，则ab的值为（　　） A．12 B．﹣12 C．20 D．﹣20 【答案】B 【解答】解：解方程（a、b为常数）得x， 解方程2x+1＝x﹣2得，x＝﹣3， ∵关于x的方程（a、b为常数）与方程2x+1＝x﹣2为“美好方程”， ∴把x＝﹣3代入得，k， 整理得，（2a﹣6）k﹣12﹣3b＝0， ∵无论k取任何有理数都成立， ∴2a﹣6＝0， 解得a＝3， ∴3b＝﹣12， 解得b＝﹣4， ∴ab＝3×（﹣4）＝﹣12． 故选：B． 【变式1】已知关于x的方程和3（2﹣x）＝2x+1的解相同，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由3（2﹣x）＝2x+1可得x＝1， ∵关于x的方程和3（2﹣x）＝2x+1的解相同， ∴1， 解得m＝3， 即m的值为3． 【变式2】已知关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．求a、b的值． 【答案】a＝﹣2，b＝1． 【解答】解：， 2（2x+1）﹣3（x﹣1）＝6， 4x+2﹣3x+3＝6， 4x﹣3x＝6﹣2﹣3， x＝1， ∵关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程， ∴|a|﹣1＝1且a﹣2≠0， 解得a＝﹣2， ∴方程为﹣4x+4b＝0， ∵关于x的方程（a﹣2）x|a|﹣1+4b＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同， ∴方程﹣4x+4b＝0的解是x＝1， ∴﹣4×1+4b＝0， ∴b＝1． 【变式3】定义：如果两个一元一次方程的解的绝对值相同，我们就称这两个方程为互为“友好方程”．例如：方程x+2＝4和3x+6＝0为互为“友好方程”． （1）若关于x的方程2x+m＝1与方程5x+2＝2x+14互为“友好方程”，求m的值； （2）若互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10，其中一个解为2n+1，求n的值； （3）若无论m取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与关于y的方程y+1＝2y﹣2都互为“友好方程”，求a+b的值． 【答案】（1）﹣7或9； （2）2或﹣3； （3）﹣1或7． 【解答】解：（1）因为关于x的方程2x+m＝1与方程5x+2＝2x+14互为“友好方程”， 且方程2x+m＝1的解为，方程5x+2＝2x+14的解为x＝4， 所以， 所以有或， 解得m＝﹣7或m＝9， 所以m的值为﹣7或9； （2）因为互为“友好方程”的两个方程的两个解的差为10， 又互为“友好方程”的两个方程的两个解的绝对值相同， 所以互为“友好方程”的两个方程的两个解互为相反数，且一个为5，另一个为﹣5， 因为其中一个解为2n+1， 所以有2n+1＝5或2n+1＝﹣5， 解得n＝2或n＝﹣3， 综上所述，n的值为2或﹣3； （3）方程y+1＝2y﹣2解得y＝3， 因为关于x的方程（a、b为常数）与关于y的方程y+1＝2y﹣2都互为“友好方程”， 所以当x＝﹣3时，有， 整理得（2a﹣6）m＝3b+12， 因为m取任何有理数， 所以2a﹣6＝0，3b+12＝0， 解得a＝3，b＝﹣4， 所以a+b＝3+（﹣4）＝﹣1； 当x＝3时，有， 整理得（2a﹣6）m＝3b﹣12， 因为m取任何有理数， 所以2a﹣6＝0，3b﹣12＝0， 解得a＝3，b＝4， 所以a+b＝3+4＝7； 综上所述，a+b的值为﹣1或7． 过 关 验 收 1．下列说法一定正确的是（　　） A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则 C．若|x|＝|y|，则x＝y D．若，则x＝y 【答案】D 【解答】解：A．若x＝y，则x+c＝y+c，故选项A错误； B．若x＝y，则，故选项B错误； C．若|x|＝|y|，则x＝±y，故选项C错误； D．若，则x＝y，故选项D正确． 故选：D． 2．根据等式的性质，若等式m＝n可以变形得到m+a＝n﹣b，则a、b应满足的条件是（　　） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a＝0，b≠0 【答案】A 【解答】解：根据等式的性质，若等式m＝n可以变形得到m+a＝n﹣b，则a＝﹣b， ∴a+b＝0， ∴a与b互为相反数． 故选：A． 3．下列结论错误的是（　　） A．若a＝b，则a﹣c＝b﹣c B．若x＝2，则x2＝2x C．若a＝b，则 D．若ax＝bx，则a＝b 【答案】D 【解答】解：A、根据等式性质1，等式两边都减c，即可得到a﹣c＝b﹣c，原变形正确，故此选项不符合题意； B、根据等式性质2，等式两边都乘x，即可得到x2＝2x，原变形正确，故此选项不符合题意； C、根据等式性质2，等式两边都除以不等于0的数（c2+1），即可得到，原变形正确，故此选项不符合题意； D、根据等式性质2，两边都除以x时，需x≠0才可得到a＝b，原变形错误，故此选项符合题意； 故选：D． 4．已知x＝y，则下列等式不一定成立的是（　　） A．x+m＝y+m B．y﹣n＝x﹣n C．px＝py D． 【答案】D 【解答】解：A、等式两边同时加上m，依据等式的基本性质1，选项等式成立，不符合题意； B、等式两边同时减去n，依据等式的基本性质1，选项等式成立，不符合题意； C、等式两边同时乘以p，依据等式的基本性质2，选项等式成立，不符合题意； D、等式两边同时除以a，当a＝0时，选项等式不成立，符合题意． 故选：D． 5．有下列说法：①若m＝n，则|m|＝|n|；②若m＝﹣n，则|m|＝|n|；③若|m|＝|n|，则m＝n；④若|m|＝|n|，则m＝±n；⑤﹣|a|定是负数；⑥|a|+1一定是正数．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：在①若m＝n，则|m|＝|n|；②若m＝﹣n，则|m|＝|n|；③若|m|＝|n|，则m＝n；④若|m|＝|n|，则m＝±n；⑤﹣|a|定是负数；⑥|a|+1一定是正数中． 当m＝n时，|m|＝|n|，说法①正确； 当m＝﹣n时，|m|＝|n|，说法②正确； 当|m|＝|n|时，可能是m＝n，也可能是m＝﹣n，说法③错误，说法④正确； 当a＝0时，﹣|a|＝0，0既不是正数也不是负数，说法⑤错误； |a|≥0，|a|+1≥1一定是正数，说法⑥正确． 故选：D． 6．由方程3x﹣5＝2x﹣4变形，得3x﹣2x＝﹣4+5，这是根据什么变形的（　　） A．合并同类项法则 B．分配律 C．等式的基本性质1 D．等式的基本性质2 【答案】C 【解答】解：3x﹣5＝2x﹣4， 3x﹣5+5＝2x﹣4+5， 3x＝2x+1， 3x﹣2x＝1， ∴变形的根据是等式的性质1， 故选：C． 7．若等式ac＝bc成立，则下列等式中不成立的是（　　） A．a＝b B．ac+3＝bc+3 C．ac2＝bc2 D． 【答案】A 【解答】解：根据等式性质可知c（a﹣b）＝0，即c＝0或a＝b， A：当c＝0时，a与b可能不相等， ∴a＝b不一定成立，符合题意； B：∵ac＝bc，两边同时加3，得ac+3＝bc+3， ∴成立，不符合题意； C：若c＝0，则ac2＝0，bc2＝0，等式成立；若c≠0，由ac＝bc得a＝b，则ac2＝bc2成立， ∴总是成立，不符合题意； D：∵ac＝bc，两边同时除以3，得， ∴成立，不符合题意； 故选：A． 8．已知二元一次方程组，则2a﹣b的值为　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：， ①+②得，2a﹣b＝5． 故答案为：5． 9．已知多项式ax2+2x﹣3与x2+bx+c是恒等的，则a+b+c＝ 　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：由题意得， ax2+2x﹣3＝x2+bx+c， ∴a＝1，b＝2，c＝﹣3， ∴a+b+c＝1+2﹣3＝0， 故答案为：0． 10．已知，且b+d＝6，则a+c＝　　 ． 【答案】 【解答】解：∵， ∴ab，cd， ∴a+c（b+d）6， 故答案为：． 11．如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“〇”的质量相等，则n的值是　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：设□为x，△为y，〇为z， 由图1可得：3x+2y＝3z+2x①， 由图2可得：3z+2y＝x+2z②， ①﹣②，得3x﹣3z＝z+x， ∴2x＝4z，即x＝2z， 即1个□＝2个〇， ∵1个“□”与n个“〇”的质量相等， ∴n＝2． 故答案为：2． 12．观察下列两个等式：221，551，给出定义如下： 我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对” （1）数对（﹣2，1），（3，）中是“共生有理数对”的是　（3，）　 （2）若（a，3）是“共生有理数对”，则a的值为　﹣2　 （3）若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对” 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣1， ∴﹣2﹣1≠﹣2×1+1， ∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”； ∵32.5，31＝2.5， ∴331， ∴（3，）是“共生有理数对”． 故答案为：（3，）； （2）∵（a，3）是“共生有理数对”， ∴a﹣3＝3a+1， 解得a＝﹣2， 故答案为：﹣2； （3）∵4是“共生有理数对”中的一个有理数， ∴①当“共生有理数对”是（x，4）时，则有： x﹣4＝4x+1， 解得：x， ∴“共生有理数对”是（，4）； ②当“共生有理数对”是（4，y）时，则有： 4﹣y＝4y+1， 解得：y， ∴“共生有理数对”是（4，）． 13．按如图所示的运算程序，若输出的结果是1，则输入的m值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．1或﹣2 【答案】A 【解答】解：由题意，当m≥0时，由2m﹣1＝1， 解得：m＝1，符合题意； 当m＜0时，由﹣2m+3＝1， 解得：m＝1，不符合题意，舍去． ∴m的值是1． 故选：A． 14．关于x的一元一次方程的解（　　） A．是一个大于0小于1的数 B．是一个大于2020的数 C．是一个大于0小于2020的数 D．不存在 【答案】C 【解答】解：∵，， ∴左边， ∵，， ∴右边， ∵，， ∴原方程可化为， 移项得， ∵ ， ∵分子相同，分母2019×2021＜2023×2025， ∴， 即， ∴1﹣x＝0， 解得x＝1， ∵0＜1＜2020， ∴关于x的一元一次方程的解是一个大于0小于2020的数， 故选：C． 15．小深在预习《认识有理数》这一课时发现，按照定义有理数可以分为整数和分数，但书本没有提起小学阶段熟悉的小数，于是他就对“小数属于有理数吗？”这问题进行研究： 小数分为有限小数和无限小数，有限小数均能写成分数，例如，无限循环小数呢？小深通过查阅资料发现无限循环小数0.化为分数，可用如下方法： 令S＝0.，则100S＝36.； 100S﹣S＝36.0. 99S＝36 所以，0. 参照他的方法，0.6可以化为分数（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设x＝0.6，则1000x＝369.6， 那么1000x﹣x＝369.60.6369， 解得：x． 即0.6． 故选：D． 16．在解关于x的方程x﹣6m＝3+5x时，小佳错把“﹣6m”看成了“+6m”，解得x＝﹣2，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵小佳错把“﹣6m”看成了“+6m”，则看错后的方程为x+6m＝3+5x且解得x＝﹣2， ∴把x＝﹣2代入方程得，﹣2+6m＝3+5×（﹣2）， ﹣2+6m＝3﹣10， ﹣2+6m＝﹣7， 6m＝﹣5， 解得：． 故选：C． 17．若x的2倍与3的差等于x的一半，则x的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1.2 D．﹣1.2 【答案】A 【解答】解：x的2倍与3的差等于x的一半，即， 去分母，得4x﹣6＝x， 移项，得4x﹣x＝6， 合并同类项，得3x＝6， 解得x＝2， 故选：A． 18．小明在解方程5x﹣1＝□x+3时，把□处的数字看错了，解得x＝﹣4，该同学把□看成了（　　） A．6 B．﹣8 C．8 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：设□为y， 把x＝﹣4代入5x﹣1＝yx+3得：5×（﹣4）﹣1＝y×（﹣4）+3， 解得：y＝6． 故选：A． 19．若代数式7﹣2x和5﹣x的值互为相反数，则x的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣4 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：根据相反数的意义可得：（7﹣2x）+（5﹣x）＝0， 解得：x＝4； 故选：A． 20．满足|m﹣6|+m﹣6＝0的m的值的个数为（　　） A．5个 B．6个 C．无数个 D．不存在 【答案】C 【解答】解：|m﹣6|+m﹣6＝0， 当m≥6时，可得方程：m﹣6+m﹣6＝0， 解得：m＝6； 当m＜6时，可得6﹣m+m﹣6＝0， 可得0×m＝0， ∴此方程有无数个解， 综上所述：方程|m﹣6|+m﹣6＝0的解的个数为无数个． 故选：C． 21．整式mx﹣2n（m，n为常数）的值随x的取值的不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程2n﹣mx＝8的解为（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 mx﹣2n 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 ﹣8 A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝﹣2 【答案】A 【解答】解：由条件可得﹣2n＝﹣4， 解得：n＝2， 由条件可得﹣2m﹣4＝0， 解得：m＝﹣2， ∴2n﹣mx＝8为4+2x＝8， 解得x＝2． 故选：A． 22．定义一种新运算：a⊗b＝a﹣2b，若3⊗（x+1）＝5，则x的值为　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：由原题可知： ∵a⊗b＝a﹣2b，3⊗（x+1）＝5， ∴3﹣2（x+1）＝5 3﹣2x﹣2＝5 ∴﹣2x+1＝5， ∴x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 23．在实数范围内定义运算“∅”：a∅b＝2a+3b﹣1，例如：2∅3＝2×2+3×3﹣1＝12．如果，则x的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴， ∴2x+1﹣1＝1， ∴2x＝1， ∴x， 故答案为：． 24．小红在计算31+a的值时，误将“+”号看成“﹣”号，结果得12，那么31+a的值应为 　50　 ． 【答案】50 【解答】解：依题意得 31﹣a＝12， ∴a＝19， ∴31+a＝50． 故答案为：50． 25．解方程： （1）3x﹣2＝1﹣2（x+1）； （2）x1． 【答案】（1）x； （2）x＝﹣17． 【解答】解：（1）去括号得：3x﹣2＝1﹣2x﹣2， 移项得：3x+2x＝1﹣2+2， 合并同类项得：5x＝1， 解得：x； （2）去分母得：15x﹣3（x+2）＝5（2x﹣5）﹣15， 去括号得：15x﹣3x﹣6＝10x﹣25﹣15， 移项得：15x﹣3x﹣10x＝﹣25﹣15+6， 合并同类项得：2x＝﹣34， 解得：x＝﹣17． 26．当x为何值时，代数式3（2x﹣1）的值比2（5x+1）的值小1？ 【答案】x＝﹣1 【解答】解：由题意，得3（2x﹣1）＝2（5x+1）﹣1， 去括号，得6x﹣3＝10x+2﹣1， 移项、合并同类项，得﹣4x＝4， 解得：x＝﹣1， ∴当x＝﹣1时，代数式3（2x﹣1）的值比2（5x+1）的值小1． 27．我们规定：若有理数a，b满足a+b＝ab，则称a与b是“相伴数对”，记作（a，b），例如：2+2＝2×2，则（2，2）是“相伴数对”． 请解答下列问题： （1）下列数对中，是“相伴数对”的是　①②③　 （填序号）． ①（3，1.5） ②（﹣1，0.5） ③（0，0） （2）若（m，4）是“相伴数对”，求m的值． （3）若（a，b）是“相伴数对”，化简代数式M＝3a﹣2ab+3b． （4）若（x，y）是“相伴数对”，且xy﹣2（x+y）＝5，利用整体思想直接求3（x+y）﹣5xy的值． 【答案】（1）①②③； （2）； （3）ab； （4）10． 【解答】解：（1）∵3+1.5＝4.5，3×1.5＝4.5， ∴3+1.5＝3×1.5， ∴①符合题意． ∵﹣1+0.5＝﹣0.5，﹣1×0.5＝﹣0.5， ∴﹣1+0.5＝﹣1×0.5， ∴②符合题意． ∵0+0＝0，0×0＝0， ∴0+0＝0×0， ∴③符合题意． 故答案为：①②③； （2）根据题意得：4m＝m+4，解得m； （3）根据题意得：a+b＝ab， ∴M＝3a﹣2ab+3b ＝3（a+b）﹣2ab ＝3ab﹣2ab ＝ab； （4）根据题意得：x+y＝xy， ∵xy﹣2（x+y）＝5， ∴xy﹣2xy＝5， 即：xy＝﹣5． ∴3（x+y）﹣5xy ＝3xy﹣5xy ＝﹣2xy ＝﹣2×（﹣5） ＝10． 学科网（北京）股份有限公司 $