第03讲 一元一次方程的应用（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第03讲 一元一次方程的应用 知识点1：一元一次方程的应用 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一次方程（组）有关应用题的常见类型： 【题型一 和、差、倍、分问题】 【典例1】甲，乙两个工程队分别有员工80人，100人．现在从其他地方调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，调到甲队和乙队的人数分别是多少人？ 【变式1】学校举办秋季田径运动会，七年级（1）班班委会为班上参加比赛的运动员购买了8箱饮料，如果每人发2瓶，则剩余16瓶；如果每人发3瓶，则少24瓶．问该班有多少人参加比赛?每箱饮料有多少瓶? 【变式2】中国结，作为中国传统的民间手工艺品，承载了丰富的文化内涵和美好寓意，同时也体现了中国人民的情致和智慧．编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20米．已知编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米．问这两种中国结各编织多少个． 【变式3】甲队原有工人68人，乙队原有工人44人，现又有42名工人调入这两队，为了使乙队人数是甲队人数的，应调往甲、乙两队各多少人？ 【题型二 行程问题】 【典例2】甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方向同时出发，8分钟后甲第一次追上乙． (1)求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？ (2)若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？ 【变式1】小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 【变式2】，两站间的距离为，一辆慢车从站出发，每小时行驶；一辆快车从站出发，每小时行驶． (1)若两车同时开出，相向而行，则出发多少小时后相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发多少小时后快车能追上慢车？ 【变式3】已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 【题型三 工程问题】 【典例3】整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 【变式1】为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 【变式2】一项工程，若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要20天完成． (1)若甲乙两队先一起施工5天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为12万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【变式3】有一些相同的房间需要粉刷，一天6名师傅去粉刷8个房间，结果有墙面没来得及粉刷；同样时间内6名徒弟除了粉刷了4个房间，还多粉刷了另外的墙面．每名师傅比徒弟每天多粉刷的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积； (2)求每名师傅和徒弟每天分别能粉刷的墙面面积； (3)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样，求一名徒弟一天的工钱是多少？ 【题型四 顺水逆水问题】 【典例4】一架飞机飞行于甲、乙两城之间，顺风时需要小时，逆风时需要6小时，若风速是每小时24公里，求两城之间的距离． 【变式1】一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． (1)求船在静水中的平均速度． (2)求甲、乙两码头之间的距离． 【变式2】一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米．这架飞机最多飞行多少千米就需要往回飞？ 【变式3】一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． (1)求船在静水中的平均速度． (2)求甲、乙两码头之间的距离． 【题型五 商品利润问题】 【典例5】国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） (1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ (2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 【变式1】某商品按定价出售，每个可获得利润40元，如果按定价的出售10件与按定价每个减15元出售8件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 【变式2】某社区超市用元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 零售价（元/千克） (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 【变式3】春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元． (1)求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ (2)若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商品打了几折出售？ 【题型六 比赛积分问题】 【典例6】某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分，下表记录的是其中3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 50 0 100 B 49 1 97 C 37 13 61 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数； (3)参赛者的得分可能是90吗？请说明理由． 【变式1】某校八年级组织数学竞赛，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣1分．小明最终得分为75分． (1)求小明答对了多少道题？ (2)若答对一题得5分，答错扣2分，不答不扣分，其他条件不变，求小明得分． 【变式2】某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 【变式3】四初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 【题型七 配套问题】 【典例7】某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【变式1】在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【变式2】制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木料可制作50个桌面或300条桌腿．现有木料，应如何计划使用木料，才能制作出尽可能多的桌子？ 【变式3】在北京冬奥会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？ 【题型八 数字与日历问题】 【典例8】如图所示的是2025年1月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动，设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为 (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为______； (2)的值可以是90吗？请说明理由； (3)若，求的最大值． 【变式1】有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以它们也是分数． (1)请把下列有限小数写成分数的形式：________，________． (2)任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式．应该怎样写呢？ 我们以无限循环小数为例进行说明： 解：设，则 等式两边同时乘以10得，即： 解得，则 请模仿该例，将写成分数的形式．（要求写出解答过程） 【变式2】将连续的奇数1，3，5，7，9，…排列成如图所示的数阵： (1)如图，十字框中的五个数的和是________，是中间数23的________． (2)十字框中的五个数之和能等于2025吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【变式3】一个两位数，个位数字与十位数字的和为13，如果把个位与十位上的数字对调，得到一个新的两位数，新的两位数比原数大27，求原来的两位数． 【题型九 方案选择问题】 【典例9】元旦期间，某火锅店开业大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 在美团上可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券． 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费210元，使用代金券后，实际花费_________元； (2)小明一家元旦期间去该火锅店消费了元， ①若使用代金券，实际花费_________元（用含的代数式表示）； ②选择哪种方案更省钱？ 【变式1】某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 【变式2】2025年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B两种款式出售．B种款式每个售价比A种款式贵10元；购买20个A种蛇年吉祥物和30个B种蛇年吉祥物共需花费2300元． (1)A，B两种款式吉祥物每件售价各是多少？ (2)复兴中学计划购买B种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的7折优惠； 方案二：前50个按原售价8折优惠，超过50个的部分每个按半价出售． 复兴中学选择哪种方案购买更合算？ (3)年货节期间，A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，打折后一周内两款吉祥物共售出100个，若A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则A、B两款吉祥物这周内各售出多少个？ 【变式3】已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 【题型十 分段计费问题】 【典例10】为鼓励居民节约用电，某市试行阶梯电价按月收费制度，具体执行方案如下： 档次 每月每户用电量（单位） 电价（元/） 第一档 0.5 第二档 0.7 第三档 450以上 1 (1)若欣欣家3月份用电量为，则需缴电费______元； (2)若欣欣家4月份用电量为（其中x大于450），则应交电费多少元？（用含x的式子表示并化简） (3)某户居民5，6两个月份共用电，交电费290元．已知该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于，求该户居民5，6月份的用电量各是多少？ 【变式1】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【变式2】节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【变式3】为节约水资源，促进城市可持续发展，居民用水实行阶梯水价，阶梯水价以自然年（每年1月1日起至12月31日止）为周期核算．我市居民自来水阶梯水价收费标准如表所示． 户年用水量/立方米 水价（元/立方米） 第一阶梯 0~125 3.25 第二阶梯 126~206 4.15 第三阶梯 206以上 6.85 请结合表格回答下列问题： (1)小亮家2022年使用自来水120立方米，缴费金额是_____元． (2)小亮家2023年缴费金额是676元，则小亮家2023年用水量是多少立方米？ (3)为响应国家节水政策，小亮家积极开展节水行动，2024年比2023年节约用水60立方米，则小亮家2024年比2023年缴费金额少多少元? 【题型十一 几何图形问题】 【典例11】如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1)数轴上点表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ (3)在(2)中与点重合时，点立即掉头，保持速度不变向右运动，运动到点时又再次掉头，以同样的速度向左运动，求点与点又经过多少秒相遇？相遇点代表的数是多少？ 【变式1】如图，长方形被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形中最大的正方形与最小的正方形的面积之差． 【变式2】如图，点，在同一数轴上，数轴的单位长度为1，且点，表示的数互为相反数． (1)求的长度； (2)点，为同一数轴上两个动点，两点同时出发．点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． （ⅰ）用含的代数式表示点，表示的数； （ⅱ）若，求的值． 【变式3】如图，已知数轴上点表示的数是的相反数，点在点的右侧，且、两点之间的距离为，点在数轴上且点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数为；（用含的代数式表示） (2)当等于多少秒时，、之间的距离为个单位长度？ 一、单选题 1．某校女生人数占全体学生人数的，比男生多120人．设该校共有名学生，根据题意，可得方程（   ） A． B． C． D． 2．某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（  ） A．200 元 B．210 元 C．180 元 D．190 元 3．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 4．我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有人，则可列方程为（    ） A．B． C． D． 5．用一根铁丝可以围成一个长为20cm、宽为16cm的长方形．如果将它围成一个正方形，那么这个正方形的边长是（   ） A．24cm B．18cm C．12cm D．9cm 6．某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 7．某服装店为回馈新老客户，打折销售店内服饰，已知店内某款服装每件的标价为380元，若按标价的八折销售，仍可获利75元，设这款服装每件的进价为x元（    ） A． B． C． D． 二、解答题 8．周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． (1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； (2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 9．某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 10． 某校七年级组织研学活动，若租用45座客车，则有15人无座；若租用60座客车，则可少租1辆，且刚好坐满． (1)求参加研学的学生人数； (2)已知45座客车租金为每辆300元，60座客车为每辆400元，问租哪种车更合算？ 11．把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 12．如图，已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点P表示的数为 (用含t的式子表示)； (2)当t为何值时，； (3)若M为的中点，N为中点，点P在运动的过程中，求线段的长度是否和t的取值有关．若有关，用含t的代数式表示，若无关，求出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元一次方程的应用 知识点1：一元一次方程的应用 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一次方程（组）有关应用题的常见类型： 【题型一 和、差、倍、分问题】 【典例1】甲，乙两个工程队分别有员工80人，100人．现在从其他地方调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，调到甲队和乙队的人数分别是多少人？ 【答案】调到甲队的人数是28人，调到乙队的人数是62人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设调到甲队的人数是x人，则调到乙队的人数是人，根据调配后甲队人数是乙队人数的建立方程求解即可． 【详解】解：设调到甲队的人数是x人，则调到乙队的人数是人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：调到甲队的人数是28人，调到乙队的人数是62人． 【变式1】学校举办秋季田径运动会，七年级（1）班班委会为班上参加比赛的运动员购买了8箱饮料，如果每人发2瓶，则剩余16瓶；如果每人发3瓶，则少24瓶．问该班有多少人参加比赛?每箱饮料有多少瓶? 【答案】该班有40人参加比赛，每箱饮料有12瓶 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设该班有x人参加比赛，依据“每人发2瓶，则剩余16瓶；如果每人发3瓶，则少24瓶”列出方程，通过解方程求得x的值． 【详解】解：设班上有x个人参加比赛，由题意得： ， 解得， 每箱饮料瓶数（瓶）， 答 ：该班有40人参加比赛，每箱饮料有12瓶。 【变式2】中国结，作为中国传统的民间手工艺品，承载了丰富的文化内涵和美好寓意，同时也体现了中国人民的情致和智慧．编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20米．已知编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米．问这两种中国结各编织多少个． 【答案】大号，小号中国结各编织2个，4个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设大号中国结编织x个，根据编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20米，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设大号中国结编织x个， 根据题意，得； 解得， ； 答：大号，小号中国结各编织2个，4个 【变式3】甲队原有工人68人，乙队原有工人44人，现又有42名工人调入这两队，为了使乙队人数是甲队人数的，应调往甲、乙两队各多少人？ 【答案】应调往甲队为20人，调往乙队为22人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找到关键描述语，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 乙队的人数是甲队人数的，相应的等量关系为：甲队现人数乙队现人数．依此列出方程求解即可． 【详解】解：设应调往甲队人，则乙队为人， 根据题意得：， 解得：． ∴． 答：应调往甲队为20人，调往乙队为22人． 【题型二 行程问题】 【典例2】甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方向同时出发，8分钟后甲第一次追上乙． (1)求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？ (2)若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？ 【答案】(1)乙的速度为每分钟米，甲的速度为每分钟150米 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设乙的速度为，则甲的速度为，根据二者速度之差时间环形跑道的长度，列出方程求解即可； （2）设经过分钟两人恰好第五次相遇，根据二者速度之和时间环形跑道长度的倍，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：设乙的速度为，则甲的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：乙的速度为每分钟米，甲的速度为每分钟150米． （2）解：设经过分钟两人恰好第五次相遇， 根据题意得：， 解得： 答：经过分钟两人恰好第五次相遇． 【变式1】小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 【答案】A，B两地的路程为1800米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A，B两地的路程为x米，利用时间路程速度，结合小秦比小明少用3分钟，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设A，B两地的路程为x米， 根据题意得：， 解得：． 答：A，B两地的路程为1800米． 1 【变式2】，两站间的距离为，一辆慢车从站出发，每小时行驶；一辆快车从站出发，每小时行驶． (1)若两车同时开出，相向而行，则出发多少小时后相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发多少小时后快车能追上慢车？ 【答案】(1)出发小时后相遇． (2)出发小时后快车能追上慢车． 【分析】（1）设出发小时后相遇，则慢车走的距离为千米，快车走的距离为千米，两车走的距离之和为千米，由此列出方程，求出的值即可． （2）设出发小时后快车追上慢车，则慢车走的距离为千米，快车走的距离为千米，快车追上慢车，则快车比慢车多走了千米，由此列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设出发小时后相遇， 根据题意，得， 解得． 答：若两车同时开出，相向而行，出发后小时相遇． （2）解：设出发小时后快车能追上慢车， 根据题意，得， 解得． 答：若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发小时后快车能追上慢车． 【点睛】本题考查了一元一次方程实际问题，解题关键是根据两车行驶距离的关系列出方程． 【变式3】已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时 (2)经过5小时两车相距30千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，根据题意列出方程求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车相遇前，当两车相遇后，分别列出方程求解，再结合实际即可解答． 【详解】（1）解：设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时， 根据题意：， 解得， 千米/小时， 答：甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时； （2）解：设经过t小时两车相距30千米， ①两车相遇前： ； ②两车相遇后： ； ， 不合题意，舍去； 答：经过5小时两车相距30千米． 【题型三 工程问题】 【典例3】整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 【答案】人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应增加人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应增加人， 由题意得，， 解得， 答：应增加人． 【变式1】为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 【答案】(1)甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成 (2)甲工程队施工了1周 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成，把工作总量看做单位“1”，求出两个工程队的工作效率，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间建立方程求解即可． （2）设甲工程队施工了y周，分别求出两个施工队的工作量，二者的和为1，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解；设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成； （2）解；设甲工程队施工了y周， 由题意得，， 解得：， 答：甲工程队施工了1周． 【变式2】一项工程，若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要20天完成． (1)若甲乙两队先一起施工5天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为12万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【答案】(1)乙队还需要5天能够完成任务 (2)甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握工程问题的数量关系是解题的关键． （1）设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意分别算出甲乙两队工作量，由此即可求解． 【详解】（1）解：设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务． 根据题意，列得方程． 解得． 答：乙队还需要5天能够完成任务． （2）解：甲队的工作量为，乙队的工作量为，（万元）， 答：甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元． 【变式3】有一些相同的房间需要粉刷，一天6名师傅去粉刷8个房间，结果有墙面没来得及粉刷；同样时间内6名徒弟除了粉刷了4个房间，还多粉刷了另外的墙面．每名师傅比徒弟每天多粉刷的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积； (2)求每名师傅和徒弟每天分别能粉刷的墙面面积； (3)已知一名师傅一天的工钱比一名徒弟一天的工钱多40元，现有36间房需要粉刷，全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样，求一名徒弟一天的工钱是多少？ 【答案】(1)每个房间需要粉刷的墙面面积为 (2)每名师傅每天能粉刷墙壁，每名徒弟每天能粉刷墙壁 (3)一名徒弟一天的工钱是80元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用； （1）设每个房间需要粉刷的面积为，然后分别表示出师傅和徒弟每天粉刷的面积，然后根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面列方程解答即可； （2）结合（1）的结论计算即可； （3）设一名徒弟一天的工钱是元，则一名师傅一天的工钱是元，根据“全部请徒弟粉刷与全部请师傅粉刷工钱一样”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为， 则每名师傅每天能粉刷墙壁，每名徒弟每天能粉刷墙壁； 由题意得：， 解得：． 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为； （2）解：∵， 由（1）可知， 答：每名师傅每天能粉刷墙壁，每名徒弟每天能粉刷墙壁； （3）解：设一名徒弟一天的工钱是元，则一名师傅一天的工钱是元， 由（1）、（2）可得：， 解得：． 答：一名徒弟一天的工钱是80元． 【题型四 顺水逆水问题】 【典例4】一架飞机飞行于甲、乙两城之间，顺风时需要小时，逆风时需要6小时，若风速是每小时24公里，求两城之间的距离． 【答案】3168 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），涉及顺风速度无风速度风速、逆风速度无风速度风速的关系；解题的关键是设飞机无风时的速度为未知数，利用“甲、乙两城距离不变”这一条件列方程求解． 设飞机无风时的速度为x公里/小时，分别表示出顺风速度和逆风速度；根据“距离速度时间”，结合顺风、逆风飞行距离相等列方程，求出x后再计算两城距离． 【详解】解：设飞机无风时的速度为ⅹ公里/小时 顺风速度：公里/小时，逆风速度：公里/小时 ∵甲、乙两城距离不变，且顺风需小时、逆风需6小时 ∴列方程： 去括号： 移项： 合并： 解得： 两城距离：（公里） 答：两城之间的距离是公里 【变式1】一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． (1)求船在静水中的平均速度． (2)求甲、乙两码头之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设船在静水中的平均速度为，根据顺水而行、逆水而行的距离保持不变建立方程，解方程即可得； （2）根据路程速度时间求解即可得． 【详解】（1）解：设船在静水中的平均速度为， 由题意得：， 解得， 答：船在静水中的平均速度为． （2）解：由（1）已得：船在静水中的平均速度为， 则甲、乙两码头之间的距离为， 答：甲、乙两码头之间的距离为． 【变式2】一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米．这架飞机最多飞行多少千米就需要往回飞？ 【答案】这架飞机最多飞行4000千米就需要往回飞 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设去时用了小时，回来用了小时．结合飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米，列出方程，再解得，即可作答． 【详解】解：设去时用了小时，回来用了小时． 依题意，得 解得 ∴飞出去路程：（千米） 答：这架飞机最多飞行4000千米就需要往回飞． 【变式3】一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． (1)求船在静水中的平均速度． (2)求甲、乙两码头之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设船在静水中的平均速度为，根据顺水而行、逆水而行的距离保持不变建立方程，解方程即可得； （2）根据路程速度时间求解即可得． 【详解】（1）解：设船在静水中的平均速度为， 由题意得：， 解得， 答：船在静水中的平均速度为． （2）解：由（1）已得：船在静水中的平均速度为， 则甲、乙两码头之间的距离为， 答：甲、乙两码头之间的距离为． 【题型五 商品利润问题】 【典例5】国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） (1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ (2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 【答案】(1)商品A最后应卖元； (2)商品B的成本是850元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用售价成本价利润率折扣率，即可求出结论； （2）设商品B的成本是x元，利用售价成本价利润，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）， 答：商品A最后应卖元； （2）解：设商品B的成本是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：商品B的成本是850元． 【变式1】某商品按定价出售，每个可获得利润40元，如果按定价的出售10件与按定价每个减15元出售8件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 【答案】100元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．设这种商品每件定价x元，则成本价为元，根据按定价的出售10件，与按定价每个减价15元出售8件所获得的利润一样多，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这种商品每件定价x元，则成本价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：这种商品每件定价100元． 【变式2】某社区超市用元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 零售价（元/千克） (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 【答案】(1)批发甲商品千克，乙商品千克 (2)甲商品千克，乙商品千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能根据题意正确列出一元一次方程是解答本题的关键. （1）设批发甲商品千克，则批发乙商品千克，根据表中的批发价和用了元钱，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设打折前售出相同的重量为千克，根据利润为元，列出一元一次方程，解方程即可； 【详解】（1）解：设批发甲商品千克，则批发乙商品千克， 依题意，得， 解得， (千克)， ∴批发甲商品千克，乙商品千克； （2）解：设打折前售出相同的重量为千克，由题意可得： ， 解得， 甲商品：(千克)；乙商品：(千克)； 打折后卖出的甲商品千克，乙商品千克 【变式3】春节前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，乙种商品的每件进价比甲种商品的每件进价高20元．若购进甲种商品10件，乙种商品2件，需要1000元． (1)求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？ (2)若甲种商品按标价出售，则每件可获利40元，为了促销，现对甲种商品在标价基础上打折出售，若按此促销方案售出6件所能获得的利润，与按标价每件降价35元出售12件所获得利润一样，求甲种商品打了几折出售？ 【答案】(1)甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元 (2)甲种商品打了七五折出售 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程并求解． （1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价元，由“甲种商品的件数甲种商品的单价乙种商品的件数乙种商品的单价总金额”建立方程，再求解即可． （2）设甲种商品打了y折，根据“售出6件商品获得的利润与售出12件商品获得的利润相同”建立方程，求解即可． 【详解】（1）设甲种商品的进价x元，则乙种商品的进价元， 由题意可得，， 解得， ∴元， ∴甲种商品的进价80元，则乙种商品的进价100元． （2）∵甲种商品的进价80元，甲种商品按标价出售，则每件可获利40元， ∴甲种商品在标价元 设甲种商品打了y折， 由题意可得，， 解得， ∴甲种商品打了七五折出售． 【题型六 比赛积分问题】 【典例6】某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分，下表记录的是其中3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 50 0 100 B 49 1 97 C 37 13 61 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数； (3)参赛者的得分可能是90吗？请说明理由． 【答案】(1)2；1； (2)该参赛者答对的题数为41． (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查读表能力和一元一次方程应用或假设法应用，掌握这些方法是解题关键． （1）通过读表格参赛者A即可得出答对一题得2分，通过参赛者B得知48×2=96，而实际只得94分，错了两个题扣了2分，所以答错一题扣1分； （2）通过设未知数或假设全对再求答错个数来求出实际答对个数； （3）通过（2）中的方法对答对题目个数进行求解，得到个数不是整数从而证明不可能得到90分． 【详解】（1）解：由表格知，答对一题得分，答错一题扣分； 故答案为：2；1； （2）设该参赛者答对的题数为x． 依题意，． 解得． 所以，该参赛者答对的题数为41． （3）若某参赛者的得分为90，设其答对题数为m． 则， 解得． 因为不是整数，参赛者的得分不可能是90． 【变式1】某校八年级组织数学竞赛，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣1分．小明最终得分为75分． (1)求小明答对了多少道题？ (2)若答对一题得5分，答错扣2分，不答不扣分，其他条件不变，求小明得分． 【答案】(1)小明答对了20道题 (2)90分或92分或94分或96分或98分或100分 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，列出方程． （1）设答对道题，则答错或不答道题，根据得分法则列出方程求解即可； （2）根据比赛规则列出算式进行求解即可． 【详解】（1）解：设答对道题，则答错或不答道题， 由题意：， ， ， 答：小明答对了20道题； （2）解：答对20题，得分， 当答错0题，不答5题时，扣0分，总分为分； 当答错1题，不答4题时，扣分，总分为分； 当答错2题，不答3题时，扣分，总分为分； 当答错3题，不答2题时，扣分，总分为分； 当答错4题，不答1题时，扣分，总分为分； 当答错5题，不答0题时，扣分，总分为分； 综上，小明得分为90分或92分或94分或96分或98分或100分． 【变式2】某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 规则 胜一场 平一场 负一场 积分/分 3 1 0 人均奖金/元 1500 700 0 当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场． (1)队胜、平各几场？ (2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？ 【答案】(1)队胜4场，平8场． (2)队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜x场，解决问题的关键是列出方程求解． （1）设A队胜x场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜场，则平场． 根据题意，得， 解得， 则． 故队胜4场，平8场． （2）解：（元）． 故队的每名队员所得奖金与出场费共17600元． 【变式3】四初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 【答案】(1)4，2 (2)小赵答对了题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解表格信息，正确列出方程求解是关键． （1）设答对1题得分，根据小于的分数得到答对1题得分，结合小王的分数可得答错1题扣分，由此即可求解； （2）设小赵答对了题，则答错了题，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设答对1题得分， ∴根据小于的成绩得到，， 解得， ∴答对1题得分， ∴根据小王的分数得到，， ∴答错1题扣分， 故答案为：4，2； （2）解：设小赵答对了题，则答错了题， ∴， 解得，， ∴小赵答对了题． 【题型七 配套问题】 【典例7】某车间为提高生产总量，在原有14名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的2倍多6人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，若1个螺栓需要2个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】(1)新调入8名工人 (2)应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多6人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，再根据“每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母”列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设调入x名工人，由题意可得： ， 解得， 答：新调入8名工人； （2）解：由（1）得工人总人数为（名）， 设y名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 由题意可得，， 解得：， 答：应该安排10名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 【变式1】在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】, 【分析】本题考查的是一元一次方程的数学知识，在解答此类问题时一定要对相关的知识有一个明确的认识和把握，同时结合题设的已知条件就可以解答出问题的正确结论；通过设未知数，根据筒身和筒底的配套关系(个筒身配个筒底)来列方程求解． 【详解】解：设分配名学生剪筒身，那么剪筒底的学生有名， 由题意得：， ， ， ， 剪筒底的学生人数为(名)， 答：应该分配名学生剪筒身，名学生剪筒底． 【变式2】制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，木料可制作50个桌面或300条桌腿．现有木料，应如何计划使用木料，才能制作出尽可能多的桌子？ 【答案】使用木料制作桌面、木料制作桌腿，才能制作出尽可能多的桌子 【分析】本题考查了一元一次方程实际应用问题中的配套问题，解题的关键是找到配套的部分之间的比例关系． 个桌面配套个桌腿，所以生产桌面的数量和桌腿的数量之比为，设使用木料制作桌面，则使用木料制作桌腿，用表示出来生产的桌面与桌腿数，使其比例为，解出方程即是所求． 【详解】解：设使用木料制作桌面，则使用木料制作桌腿． 依题意，得， 解得，所以． 故使用木料制作桌面、木料制作桌腿，才能制作出尽可能多的桌子． 【变式3】在北京冬奥会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？ 【答案】分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设应分配x名工人生产脖子上的丝巾，则根据一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾作为等量关系可列出方程求解． 【详解】解：设应分配名工人生产脖子上的丝巾， 则： 解得：       答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾． 【题型八 数字与日历问题】 【典例8】如图所示的是2025年1月历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动，设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为 (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为______； (2)的值可以是90吗？请说明理由； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)22； (2)不会是90，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．观察日历，得到，中的各个数字的联系是解决本题的关键． （1）观察“U型”中最小的数和最大的数相差多少即可得到最大的数是多少； （2）设中正中心的数为a，表示出其余的数，进而根据和为90列出方程求得正中心的数，结合图形看是否在日历中即可； （3）分别表示出和，根据得到a和b关系，进而根据日历中a可取的最大值得到b的最小值，即可得到的最大值． 【详解】（1）“U型”中最小的数为13，“U型”中最小的数和最大的数相差9， 最大的数为22， 故答案为：22； （2）的值不会是90，理由： 设中正中心的数为a，则其余的数为，，，， ， ， 解得：， 观察日历可得：18不会在的正中心， 的值不会是90； （3）设中最小的数为，则其余的数为：中正中心的数为， 则 ， ， ， ， ， ， ， ∵求的最大值，最大可取 24， ∴ b取最小值 8， ∴的最大值． 【变式1】有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以它们也是分数． (1)请把下列有限小数写成分数的形式：________，________． (2)任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式．应该怎样写呢？ 我们以无限循环小数为例进行说明： 解：设，则 等式两边同时乘以10得，即： 解得，则 请模仿该例，将写成分数的形式．（要求写出解答过程） 【答案】(1)；； (2)，过程解解析 【分析】本题主要考查了小数化分数，一元一次方程的应用： （1）根据小数化分数的方法求解即可； （2）设，则，据此仿照题干建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】将连续的奇数1，3，5，7，9，…排列成如图所示的数阵： (1)如图，十字框中的五个数的和是________，是中间数23的________． (2)十字框中的五个数之和能等于2025吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)115，5 (2)能，389，403，405，407，421 【分析】此题考查有理数的加法计算，列代数式，解一元一次方程，正确理解图形中各数的关系是解题的关键． （1）将五个数相加即可得到答案； （2）分别用表示这五个数，列方程求解判断即可． 【详解】（1）解：， ， 十字框中的五个数的和是115，是中间数23的5倍， 故答案为：115；5； （2）解：可以，理由如下： 设中间的数为，若十字框中的五个数之和能等于2025，则有： ， ， ， 中间数字是405，正好位于第25行的第3个， ， 这五个数分别是389，403，405，407，421． 【变式3】一个两位数，个位数字与十位数字的和为13，如果把个位与十位上的数字对调，得到一个新的两位数，新的两位数比原数大27，求原来的两位数． 【答案】58 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设原数的十位数是，则个位数可表示为，原数可表示为，交换位置后的新数表示为，再建立方程求解即可． 【详解】解：设原数的十位数是，则个位数可表示为，原数可表示为，交换位置后的新数表示为，根据题意 ， 解得， 则个位数为， 原来的两位数是58． 【题型九 方案选择问题】 【典例9】元旦期间，某火锅店开业大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 在美团上可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券． 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费210元，使用代金券后，实际花费_________元； (2)小明一家元旦期间去该火锅店消费了元， ①若使用代金券，实际花费_________元（用含的代数式表示）； ②选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)168 (2)①；②当时，，则按方案一更省钱；当时，一样省钱；当时，，按方案二更省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意通过所给的优惠方案列出算式和方程求解是解题的关键． （1）根据所给的方案一列式计算即可； （2）①用消费的钱数减去300再加上三张优惠券的钱即可得到答案；②先求出方案二的花费，再列方程求出两种方案花费一样时x的值，即可讨论得到答案． 【详解】（1）解：元， ∴某次消费210元，使用代金券后，实际花费168元， 故答案为：168； （2）解：①由题意得，若使用代金券，实际花费元， 故答案为：； ②使用方案二的实际花费为元， 当时， 解得， ∴当时，，则按方案一更省钱；当时，一样省钱；当时，，按方案二更省钱． 【变式1】某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 【答案】(1)甲方案1890元，乙方案1900元 (2)购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同 【分析】该题考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）分别根据甲方案和乙方案的优惠解答即可； （2）根据“两种方案的收费相同”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：甲方案需付款：； 乙方案需付款：； （2）解：， 解得：， 答：购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同． 【变式2】2025年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B两种款式出售．B种款式每个售价比A种款式贵10元；购买20个A种蛇年吉祥物和30个B种蛇年吉祥物共需花费2300元． (1)A，B两种款式吉祥物每件售价各是多少？ (2)复兴中学计划购买B种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的7折优惠； 方案二：前50个按原售价8折优惠，超过50个的部分每个按半价出售． 复兴中学选择哪种方案购买更合算？ (3)年货节期间，A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，打折后一周内两款吉祥物共售出100个，若A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则A、B两款吉祥物这周内各售出多少个？ 【答案】(1)种款式吉祥物每件售价40元，种款式吉祥物每件售价50元； (2)见详解 (3)A、B两款吉祥物这周内分别售出个，个 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种款式吉祥物每件售价元，则种款式吉祥物每件售价元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买B种款式吉祥物为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元，分别写出、关于的表达式，再比较二者大小即可； （3）设购买种款式吉祥物个，则购买种款式吉祥物个，根据题意列关于的一元一次方程，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设种款式吉祥物每件售价元，则种款式吉祥物每件售价元． 根据题意，得， 解得， ∴（元）， 种款式吉祥物每件售价40元，种款式吉祥物每件售价50元； （2）解：设购买B种款式吉祥物为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元． 根据题意，， ． 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； ∴ ∴当购买B种款式吉祥物大于个时，选择方案二合算； 当购买B种款式吉祥物等于个时，选择方案一和方案二一样合算； 当购买B种款式吉祥物大于个且小于个时，选择方案一合算； （3）解：∵打折后一周内两款吉祥物共售出100个， ∴设购买种款式吉祥物个，则购买种款式吉祥物个， ∵A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，且A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个， ∴， 解得． ∴ 则A、B两款吉祥物这周内分别售出个，个． 【变式3】已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 【答案】(1)（1）班有48名学生，（2）班有56名学生 (2)可以节省304元钱 (3)购买51张票比较省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用： （1）设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生，分两种情况：根据题意，列出方程，即可求解； （2）求出作为一个团体购票，应付的费用，即可求解； （3）求出买48张13元的票以及 买51张11元的票花费的钱数，即可求解． 【详解】（1）解：设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生， 若，此时，根据题意得： ， 解得：，不符合题意； 若，此时，根据题意得： ， 解得：， 此时， 答：（1）班有48名学生，（2）班有56名学生； （2）解：∵， ∴作为一个团体购票，应付元， 元， 答：可以节省304元钱； （3）解：若买48张13元的票，则花费的钱数为元， 若买51张11元的票，则花费的钱数为元， 因为， 所以购买51张票比较省钱． 【题型十 分段计费问题】 【典例10】为鼓励居民节约用电，某市试行阶梯电价按月收费制度，具体执行方案如下： 档次 每月每户用电量（单位） 电价（元/） 第一档 0.5 第二档 0.7 第三档 450以上 1 (1)若欣欣家3月份用电量为，则需缴电费______元； (2)若欣欣家4月份用电量为（其中x大于450），则应交电费多少元？（用含x的式子表示并化简） (3)某户居民5，6两个月份共用电，交电费290元．已知该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于，求该户居民5，6月份的用电量各是多少？ 【答案】(1)170 (2) (3)该户居民5月份用电，6月份用电 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程，分类讨论是解题的关键． （1）根据表格列出算式进行计算即可求解； （2）根据表格列代数式即可； （3）设该户居民5月份用电为，则6月份用电为．该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于，得,分当时，当时，分类讨论，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意： （元）； （2）解：根据题意： （元）； （3）解：设该户居民5月份用电为，则6月份用电为． 该户居民6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于， ∴解得, 当x小于或等于200时，根据题意，得， 解方程，得． 所以． 所以该户居民5月份用电，6月份用电． 当x大于200且小于250时， 根据题意，得， 该方程无解． 综上，该户居民5月份用电，6月份用电． 【变式1】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据水费标准进行计算即可； （2）判断出10月份的用水量超过，根据水费的收费办法列方程求解即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中“收费办法”是解决问题的关键． 【详解】（1）由题意得，， 解得， 答：； （2）， 该居民用户10月份的用水量超过， 设该居民用户10月份的用水量为，由题意得， ， 解得， 答：该用户10月份用水． 【变式2】节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)用水在立方米之间的收费标准元/立方米 (2)他家8月份的用水量是32立方米 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出a的值； （2）先根据第（1）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准元/立方米； （2）当用水量为30立方米时，缴费元， 小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元， 小明家去年8月份用水量超过30立方米， 设他家8月份的用水量是x立方米． 由题意得：， 解得． 答：他家8月份的用水量是32立方米． 【变式3】为节约水资源，促进城市可持续发展，居民用水实行阶梯水价，阶梯水价以自然年（每年1月1日起至12月31日止）为周期核算．我市居民自来水阶梯水价收费标准如表所示． 户年用水量/立方米 水价（元/立方米） 第一阶梯 0~125 3.25 第二阶梯 126~206 4.15 第三阶梯 206以上 6.85 请结合表格回答下列问题： (1)小亮家2022年使用自来水120立方米，缴费金额是_____元． (2)小亮家2023年缴费金额是676元，则小亮家2023年用水量是多少立方米？ (3)为响应国家节水政策，小亮家积极开展节水行动，2024年比2023年节约用水60立方米，则小亮家2024年比2023年缴费金额少多少元? 【答案】(1)390 (2)小亮家2023年共使用自来水190立方米 (3)小亮家2024年比2023年缴费金额少249元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，小亮家的用水量在第一阶梯，再用用水量第一阶梯水价计算即可； （2）设小亮家2023年共使用自来水立方米，先推断出小亮家的用水量在第二阶梯，再列方程求解即可； （3）根据题意得到2024年用水130立方米，再计算出小亮家2024年的缴费金额，再作差即可． 【详解】（1）解：由题意可知，小亮家的用水量在第一阶梯， （元）， 故答案为：； （2）解：设小亮家2023年共使用自来水立方米， 因为，， 所以， 所以， 所以小亮家的用水量在第二阶梯． 则， 解得， 答：小亮家2023年共使用自来水190立方米． （3）解：因为2024年比2023年节约用水60立方米， 所以2024年用水130立方米， （元）， 答：小亮家2024年比2023年缴费金额少249元． 【题型十一 几何图形问题】 【典例11】如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1)数轴上点表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ (3)在(2)中与点重合时，点立即掉头，保持速度不变向右运动，运动到点时又再次掉头，以同样的速度向左运动，求点与点又经过多少秒相遇？相遇点代表的数是多少？ 【答案】(1) (2)当点运动秒时，点与点相遇 (3)点与点又经过秒相遇，相遇点代表的数是 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意结合数轴可得数轴上点表示的数是，即可求解； （2）设当点运动秒时，点与点相遇，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）当点，第一次相遇时，点运动的路程为．设点与点又经过秒相遇，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵数轴上点表示的数为，是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为， 数轴上点表示的数是． 故答案为：； （2）设当点运动秒时，点与点相遇， 根据题意得：， 解得：． 答：当点运动秒时，点与点相遇； （3）当点，第一次相遇时，点运动的路程为． 设点与点又经过秒相遇， 根据题意得：， 解得： ， ∴． 答：点与点又经过秒相遇，相遇点代表的数是． 【变式1】如图，长方形被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形中最大的正方形与最小的正方形的面积之差． 【答案】192 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，求解最小的正方形边长为2，依次表示，，，可得，，再利用长方形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由中间最小的正方形面积为4，得最小的正方形边长为2， 如图其他正方形的边长分别为a，b，c，d， 由图知，，， ，， ∵为长方形， ∴， ∴， 解得， 则，最大的正方形面积为，， 故最大正方形的面积与最小正方形的面积之差为192． 【变式2】如图，点，在同一数轴上，数轴的单位长度为1，且点，表示的数互为相反数． (1)求的长度； (2)点，为同一数轴上两个动点，两点同时出发．点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． （ⅰ）用含的代数式表示点，表示的数； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）表示的数为，表示的数为；（ⅱ） 【分析】本题考查的数轴，相反数的定义，绝对值的含义，一元一次方程的应用； （1）由数轴上的位置可得； （2）（ⅰ）根据向右移动用加法，向左移动用减法表示即可；（ⅱ）结合（ⅰ）得：，，利用，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：（ⅰ）∵，点，表示的数互为相反数． ∴表示，表示， ∵点从点出发，向右以1（单位长度/秒）的匀速移动秒；点从点出发，向左以2（单位长度/秒）的匀速移动． ∴表示的数为，表示的数为； （ⅱ）结合（ⅰ）得：，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）， 综上：． 【变式3】如图，已知数轴上点表示的数是的相反数，点在点的右侧，且、两点之间的距离为，点在数轴上且点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数为；（用含的代数式表示） (2)当等于多少秒时，、之间的距离为个单位长度？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题及一元一次方程的应用； （1）根据题意得出点表示的数是，进而根据动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，即可求解； （2）根据题意得出点表示的数是，进而根据、之间的距离为个单位长度，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵已知数轴上点表示的数是的相反数，点在点的右侧，且、两点之间的距离为， ∴点表示的数是，点表示的数是 ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒． ∴点表示的数为， 故答案为：． （2）解：∵点在数轴上且点到点、点的距离相等，点表示的数是，点表示的数是 ∴点表示的数是 根据题意可得，，即或 解得：或 答：或时，、之间的距离为个单位长度 一、单选题 1．某校女生人数占全体学生人数的，比男生多120人．设该校共有名学生，根据题意，可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据女生人数男生人数 的等量关系，结合女生人数、男生人数与总人数的关系，分析每个选项是否符合该等量关系． 【详解】解：A、，表示女生人数等于，不符合“女生比男生多120人”的题意； B、，表示男生人数等于，不符合“女生比男生多120人”的题意； C、，表示女生人数减去男生人数等于，符合“女生比男生多120人”的题意； D、，表示男生人数减去女生人数等于，与“女生比男生多120人”矛盾，不符合题意． 故选： C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用（根据数量关系列方程），解题关键是找准“女生人数与男生人数的差为120”这一等量关系，正确表示出女生和男生的人数． 2．某商店将一件商品按进价提高后标价，又以9折销售，售价为216元，则该商品的进价为（  ） A．200 元 B．210 元 C．180 元 D．190 元 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，通过列方程直接求解，注意计算准确． 设进价为x元，根据提高后标价，再打9折，售价为216元，列出方程求解． 【详解】解：设进价为x元，根据题意得， ∵ 标价， 售价=标价 ， ∴ ， ， ∴ 进价为200元． 故选：A． 3．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，根据总人数不变，分别用x表示两种乘车方式下的人数，建立方程即可． 【详解】解：每3人乘一车，剩余2辆车， ∴总人数为 ； 每2人共乘一车，剩余9人无车， ∴人数为 ； ∴， 故选B． 4．我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设共有x人，根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”列出方程，即可求解． 【详解】解：设共有x人，则可列方程为 ． 故选：B． 5．用一根铁丝可以围成一个长为20cm、宽为16cm的长方形．如果将它围成一个正方形，那么这个正方形的边长是（   ） A．24cm B．18cm C．12cm D．9cm 【答案】B 【分析】题目中给出同一根铁丝围成长方形和正方形，因此两者的周长相等。需先计算长方形的周长，再利用周长求正方形的边长． 【详解】解：首先计算长方形的周长 正方形的周长为，设其边长为，则： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了长方形和正方形的周长公式，解题关键是抓住等量关系，先求长方形周长，再求正方形边长． 6．某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设他家这个月共用天然气，先计算出用天然气的费用是150元，可知他家这个月用天然气超过，超过的部分所需费用为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设他家这个月共用天然气， （元），且， 他家这个月用天然气超过， 根据题意得：， 解得， 答：他家这个月共用天然气， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解决本题的关键是正确地用代数式表示用天然气超过部分所需的费用． 7．某服装店为回馈新老客户，打折销售店内服饰，已知店内某款服装每件的标价为380元，若按标价的八折销售，仍可获利75元，设这款服装每件的进价为x元（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．利用利润标价折扣率进价，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 二、解答题 8．周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． (1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； (2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 【答案】(1) (2)的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据小才登山所用时间等于小育登山所用时间减去小育提前出发的时间即可得； （2）根据两人登上山顶时，两人登的高度相等建立方程，解方程可得的值，再利用的值乘以小育登高的速度即可得山的高度． 【详解】（1）解：∵小育登山用了分钟，且小育先出发40分钟，两人同时登上山顶， ∴小才登山所用时间为分钟， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 解得， 则山高为（米）， 答：的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米． 9．某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设每天有x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可． 【详解】解：设生产螺栓的工人为x人，则生产螺母的工人为人， 根据题意得： ， 解得：， ∴ ， 答：分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 10． 某校七年级组织研学活动，若租用45座客车，则有15人无座；若租用60座客车，则可少租1辆，且刚好坐满． (1)求参加研学的学生人数； (2)已知45座客车租金为每辆300元，60座客车为每辆400元，问租哪种车更合算？ 【答案】(1)学生人数人 (2)租45座更合算 【分析】本题考查一元一次方程实际应用，有理数乘法计算，有理数比较大小等． （1）根据题意设租45座车辆，则学生人数为，租60座车辆，人数为，继而列方程计算即可得到本题答案； （2）通过题意分别计算花费，再进行比较即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设租45座车辆，则学生人数为， 租60座车辆，人数为， 列方程： ， 解得： ， ， ， 学生人数： （人）； （2）解：租45座：5辆，费用元， 租60座：4辆，费用元， ∵：1500 < 1600， ∴租45座更合算． 11．把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 【答案】(1)这个班有45名学生 (2)应先安排2人整理图书 【分析】（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这个班有名学生． 由题意，得， 解得． 答：这个班有名学生． （2）解：设应先安排人整理图书． 由题意，得， 解得． 答：应先安排人整理图书． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 12．如图，已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为5，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点P表示的数为 (用含t的式子表示)； (2)当t为何值时，； (3)若M为的中点，N为中点，点P在运动的过程中，求线段的长度是否和t的取值有关．若有关，用含t的代数式表示，若无关，求出的长． 【答案】(1) (2)当t为3或6 (3)线段的长度和t的取值无关，线段的长为4 【分析】（1）利用点P表示的数等于点A表示的数加上点P的运动速度点P的运动时间，即可用含t的代数式表示的出点P表示的数； （2）利用数轴上两点距离计算公式用含的式子分别表示出，再根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，点P表示的数为，结合“M为的中点，N为中点”，可得出点M表示的数为，点N表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长，进而可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示的出点P表示的数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示的出点M，N表示的数． 【详解】（1）解：由题意得，当运动时间为秒时，点P表示的数为 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∵， ∴，即或， 解得：或 答：当t为3或6时，； （3）解：当运动时间为秒时，点P表示的数为， 为中点，N为中点， 点M表示的数为，点N表示的数为， ， 线段的长度和t的取值无关，线段的长为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $