精品解析：陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

陕西师大附中2025-2026学年度第二学期 期末考试八年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个正确选项） 1. 若分式的值等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 某品牌行李箱的齿轮密码由三个数字组成，均是中的数字，开箱时发现忘记了密码的中间数字，则一次成功打开该行李箱的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 7. 已知关于的分式方程的增根是，则的值为（ ） A. B. C. 16 D. 18 8. 如图是由个正三角形组成的网格，三角形的顶点，处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 9. 有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分235元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分550元钱，则第二次每人所得的钱比第一次多3元．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折得到，延长交于点，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 五边形的内角和为________． 12. 用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 13. 数学课上，王老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个型公仔和4个型公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．如图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映的频率最有可能是___________型公仔．（填“”或“”） 14. 如图，在四边形中，对角线，，点、、、分别是边、、、的中点，则四边形的周长是___________． 15. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 16. 如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为___________． 三、解答题（共9小题，计52分） 17. 因式分解： （1）； （2） 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再代入求值：，其中． 20. 如图，小明想用一张锐角三角形纸片折出一个菱形，首先他将对折，得到折痕，点在边上，请你用尺规作图法作出菱形，使得点，分别落在边，上．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 已知：如图，在梯形中，，，是边上一点，且，连接．求证：． 22. 电视剧《主角》讲述了一代秦腔名伶逐梦戏台的故事．秦腔分为生、旦、净、丑四大经典行当．非遗文化体验活动上，两名剧迷小明和小红参与秦腔角色抽卡游戏．工作人员准备了张外观完全相同的不透明卡片，正面分别印有生、旦、净、丑四种秦腔行当图案，将卡片背面朝上充分洗匀． （1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到角色为“旦”的概率是___________． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，小红再从余下的3张卡片中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两人抽取的两张卡片中含有“净”的概率． 23. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点，分别作，的平行线，两线相交于点．已知，，求四边形的面积． 24. 西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． （1）上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） （2）本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 25. 数学研究小组开展四边形特征探究活动，定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称它为“对直四边形”． （1）初步感知：如图1，四边形是对直四边形，，，，，则四边形的面积是___________． （2）深入探究：如图2，在正方形中，，点，分别从点出发，速度均为每秒，从点出发，速度为每秒，三个点同时出发，分别沿正方形的边，，方向运动（保持），同时停止．分别过点，作，的垂线交于点，连接，． 试说明：四边形为对直四边形． （3）实践应用：如图3，矩形中，，，点为对称中心．将一个直角三角板（三边足够长）的直角顶点与重合，两直角边分别与边，交于点，．将三角板绕点逆时针方向旋转．在旋转过程中，三角板的两直角边与矩形的边所在直线相交于点，．当时，请直接写出的面积为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2025-2026学年度第二学期 期末考试八年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个正确选项） 1. 若分式的值等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为时分子为且分母不为，即可求出的值． 【详解】解：∵分式的值等于 ， ∴需满足分子为，且分母不为 ，即 ， 由，得， 当时，，满足条件 ， ∴． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断因式分解需同时满足两个条件：左边是多项式，右边是几个整式的积的形式． 【详解】解：A、是整式乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意； B、的右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解，该选项不符合题意； C、满足因式分解的条件，属于因式分解，该选项符合题意； D、的左边是单项式，不属于因式分解，该选项不符合题意． 4. 某品牌行李箱的齿轮密码由三个数字组成，均是中的数字，开箱时发现忘记了密码的中间数字，则一次成功打开该行李箱的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】仅中间位数字未知，只需考虑该位数字的等可能结果数． 【详解】解：中间位数字可取共10种等可能结果，一次成功打开的结果只有1种，故概率为． 5. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，结合角平分线和平行线性质证得，求出的长，再利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴． 7. 已知关于的分式方程的增根是，则的值为（ ） A. B. C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程计算的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， ∵分式方程的增根为， ∴将代入整式方程，得， 计算得． 8. 如图是由个正三角形组成的网格，三角形的顶点，处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定结合题目条件求解即可． 【详解】解：有如下三种放法： 9. 有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分235元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分550元钱，则第二次每人所得的钱比第一次多3元．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“第二次每人所得比第一次多3元”的等量关系，用含的式子表示两次人均分钱数即可列方程． 【详解】解：因为第一次人平分235元钱，所以第一次每人分得元；又因为第二次人平分550元钱，所以第二次每人分得元， ∵第二次每人所得比第一次多3元， ∴可列方程． 10. 如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折得到，延长交于点，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，然后根据正方形的性质和翻折性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求的面积即可． 【详解】解：连接，如图， 四边形为正方形， ，， 点是边上的中点， ， 沿直线翻折得到， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ∵在中，， ∴，解得， ，，， ， ， 的面积的面积， 的面积． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 五边形的内角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：五边形的内角和为． 12. 用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 13. 数学课上，王老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个型公仔和4个型公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．如图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映的频率最有可能是___________型公仔．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式分别求出取出两种公仔的概率，再观察折线图中频率的稳定值，将两者进行对比即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，箱子中共有公仔（个）， 则取出A型公仔的概率为，取出B型公仔的概率为 观察折线统计图可知，随着试验次数的增加，该种公仔出现的频率在至之间波动并趋于稳定， ∵在至之间，而不在该范围内， ∴该折线图所反映的频率最有可能是型公仔． 14. 如图，在四边形中，对角线，，点、、、分别是边、、、的中点，则四边形的周长是___________． 【答案】22 【解析】 【详解】解：∵，点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理由中位线可得，， ∴四边形的周长是． 15. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 16. 如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，，过点作于点，根据直角三角形斜边中线性质及可证是等边三角形，利用三角形中位线定理及平行线性质求出，进而证明，得出，最后在中利用勾股定理求出的长，即可解答． 【详解】解：取的中点，连接，，过点作于点， ，， ， ， ， 为中点， ， ， 是等边三角形， ， 为中点，为中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ，为边的中点， ， ． 三、解答题（共9小题，计52分） 17. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：去分母得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解． 19. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 当时， 原式． 20. 如图，小明想用一张锐角三角形纸片折出一个菱形，首先他将对折，得到折痕，点在边上，请你用尺规作图法作出菱形，使得点，分别落在边，上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【解析】 【分析】以点为圆心，以大于长的一半为半径画圆，保持半径不变以点为圆心画圆，连接两个圆的交点，所连成的直线交于点，于点，于点，即可解答． 【详解】解：如图所示，菱形即为所求． 以点为圆心，以大于长的一半为半径画圆，保持半径不变以点为圆心画圆，连接两个圆的交点，所连成的直线交于点，于点，于点，此时垂直平分． 平分 在和中 与互相垂直平分 四边形为菱形． 21. 已知：如图，在梯形中，，，是边上一点，且，连接．求证：． 【答案】证明：∵，点在上， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，利用平行四边形性质得，，两直线平行同位角相等，等边对等角证明即可． 【详解】略 22. 电视剧《主角》讲述了一代秦腔名伶逐梦戏台的故事．秦腔分为生、旦、净、丑四大经典行当．非遗文化体验活动上，两名剧迷小明和小红参与秦腔角色抽卡游戏．工作人员准备了张外观完全相同的不透明卡片，正面分别印有生、旦、净、丑四种秦腔行当图案，将卡片背面朝上充分洗匀． （1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到角色为“旦”的概率是___________． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，小红再从余下的3张卡片中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两人抽取的两张卡片中含有“净”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用单一目标卡片数量除以卡片总数求得单次抽取概率； （2）通过列表列出不放回抽取的全部种等可能情况，统计其中包含“净”的情况数量，再用符合条件情况数除以总情况数算出对应概率． 【小问1详解】 解：共有张卡片，抽到每张卡片的可能性相等， 共有种等可能的结果，其中，抽到角色为“旦”的结果只有一种， 抽到角色为“旦”的概率是； 【小问2详解】 解：设四张卡片分别为生、旦、净、丑，列表列举所有等可能结果： 小明 小红 生 旦 净 丑 生 （生，旦） （生，净） （生，丑） 旦 （旦，生） （旦，净） （旦，丑） 净 （净，生） （净，旦） （净，丑） 丑 （丑，生） （丑，旦） （丑，净） 全部等可能结果共种，含“净”的结果有：（生，净），（旦，净），（净，生），（净，旦），（净，丑），（丑，净）种，故两人抽取的两张卡片中含有“净”的概率为． 23. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点，分别作，的平行线，两线相交于点．已知，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和矩形的判定，易得四边形是矩形，再根据“所对的直角边是斜边的一半”和勾股定理，可得，，最后根据矩形的面积公式，即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 菱形， ，即， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， 四边形的面积为． 24. 西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． （1）上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） （2）本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】（1） 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 （2） 礼盒甲每件降价元 【解析】 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【小问1详解】 解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． 【小问2详解】 解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． 25. 数学研究小组开展四边形特征探究活动，定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称它为“对直四边形”． （1）初步感知：如图1，四边形是对直四边形，，，，，则四边形的面积是___________． （2）深入探究：如图2，在正方形中，，点，分别从点出发，速度均为每秒，从点出发，速度为每秒，三个点同时出发，分别沿正方形的边，，方向运动（保持），同时停止．分别过点，作，的垂线交于点，连接，． 试说明：四边形为对直四边形． （3）实践应用：如图3，矩形中，，，点为对称中心．将一个直角三角板（三边足够长）的直角顶点与重合，两直角边分别与边，交于点，．将三角板绕点逆时针方向旋转．在旋转过程中，三角板的两直角边与矩形的边所在直线相交于点，．当时，请直接写出的面积为___________． 【答案】（1） （2）解：如图2，延长交于点， 设时间为，则，， 在正方形中，，， ， ，， ， 四边形和四边形是矩形， ，，，， ，， ， ∵在和中， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为对直四边形． （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理，可求，的长，再根据，计算即可求解； （2）延长交于点，设时间为，则，，根据正方形的性质，易得，，四边形和四边形是矩形，从而，，再根据“”可得，进而，，则得，即可说明； （3）分两种情况讨论，当点在线段上时或在线段的延长线上时，如图，、分别是、的中点，连接，，，根据中位线定理和线段之间的数量关系，易得，，的长，再根据勾股定理，列出方程，求出，的长，最后计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，，， ， ，， ， ， 则四边形的面积是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点在线段上时，如图，、分别是、的中点，连接，，， 四边形是矩形， ，，，即是的中点， 、分别是、的中点，， ，，，， ，， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， 则， 在中，， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图，、分别是、的中点，连接，，， ， ， 在中，， 在中，， 在中，，则， 在中，， ， ， ； 综上：的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $