第72讲 计数原理、排列组合与二项式定理 讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦计数原理、排列组合与二项式定理核心考点，按两个基本计数原理、排列组合公式及经典模型、二项式定理及应用的逻辑层次构建知识体系，通过考情分析、知识清单梳理、典题精练（含7大考点28种考法及方法总结）的教学流程，帮助学生系统突破重点难点。 资料特色在于将方法指导与实战训练深度融合，如用捆绑法处理相邻问题、插空法解决不相邻问题培养数学思维，通过赋值法求二项式系数和提升数学语言表达能力。设置分层练习（基础计算到综合拓展）和即时方法归纳，确保复习高效，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生提升解题能力与应考技巧。

第72讲 计数原理、排列组合与二项式定理 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精练 5 考点一：两个基本计数原理 5 考点二：排列数与组合数公式及计算 6 考点三：排列组合的经典方法与模型 7 考点四：排列组合的综合应用与拓展 9 考点五：二项式定理展开式的基本计算 10 考点六：二项式系数和与各项系数和 10 考点七：二项式定理的拓展应用 11 一、考情分析 近三年高考全国一卷未直接或间接涉及本讲核心知识.本讲中的计数原理与排列组合是求解古典概型及超几何分布等概率问题的基本计算工具，二项式定理的展开式及系数性质与二项分布的概率计算具有直接的理论联系.掌握本讲内容，可为后续概率与统计模块的解答提供必要的运算基础. 二、知识清单 1. 两个基本计数原理 （1） 分类加法计数原理 完成一件事，有 类办法，在第 1 类办法中有 种不同的办法，在第 2 类办法中有 种不同的方法，⋯，在第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法. （2） 分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成 个步骤，做第 1 步有 种不同的方法，做第 2 步有 种不同的方法，⋯，做第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法. （3） 两个原理及其区别 ① 分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有 类办法，这 类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理. ② 分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有 个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响 (独立)，当且仅当依次完成这 个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理. ③ 在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法. （4） 两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理. 2. 排列与排列数 （1） 定义：从 个不同元素中取出 个元素排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.从 个不同元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数，用符号 表示. （2） 排列数的公式：. 特例：当 时，称为全排列，；规定：. （3） 排列数的性质： ① . ② . ③ . 3. 组合与组合数 （1） 定义：从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合.从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数，用符号 表示. （2） 组合数公式及其推导 求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 . 第二步，求每一个组合中 个元素的全排列数 . 根据分步计数原理，得到 . 因此 . 这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式.因为 ，所以组合数公式还可表示为：.特例：. （3） 组合数的主要性质： ① 对称性：. ② 递推公式：. （4） 组合模型：隔板法 将 个相同元素分给 个不同的对象： ① 若要求每个对象至少分得 1 个（即求方程 的正整数解个数，其中 ），相当于在 个元素形成的 个空隙中插入 个隔板，共有 种分法. ② 若允许有的对象分不到元素（即求方程 的非负整数解个数），可通过“借元素”转化为上述问题，共有 种分法. 4. 排列和组合的区别 （1） 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工. （2） 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同. （3） 排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”. 5. 二项式定理 （1） 二项式定理 一般地，对于任意正整数 ，都有：. 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开式. 式中的 做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项：. 其中的系数 叫做二项式系数. （2） 二项式 的展开式的特点： ① 项数：共有 项，比二项式的次数大 1. ② 二项式系数：第 项的二项式系数为 ，最大二项式系数项居中. ③ 次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 .字母 降幂排列，次数由 到 0；字母 升幂排列，次数从 0 到 ，每一项中， 次数和均为 . ④ 项的系数：二项式系数依次是 ，项的系数是 与 的系数 (包括二项式系数). （3） 两个常用的二项展开式： ① . ② . （4） 二项展开式的通项公式 二项展开式的通项：. 公式特点： ① 它表示二项展开式的第 项，该项的二项式系数是 . ② 字母 的次数和组合数的上标相同. ③ 与 的次数之和为 . 6. 二项式系数的性质与杨辉三角 （1） 杨辉三角 在二项式定理中，当 分别取 1，2，3，⋯ 时，其二项式系数可以排成一个由自然数构成的三角形数表，称为“杨辉三角”.杨辉三角的第 行对应 展开式的二项式系数. （2） 二项式系数的性质 ① 每一行两端都是 1，即 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 . ② 对称性：每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 . ③ 二项式系数和：令 ，则二项式系数的和为 ，变形式 . ④ 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 ，则 ，从而得到：. ⑤ 最大值： 如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大. 如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 的二项式系数 相等且最大. （3） 展开式各项系数和（赋值法） 对于二项展开式 ： ① 令 ，可得展开式各项系数之和为 . ② 令 ，可得交错系数之和为 . ③ 常数项为令 时的值，即 . 三、典题精练 考点一：两个基本计数原理 考法1：分类加法计数原理的应用 1.如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连.连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，单位时间内传递的最大信息量为（　　） A. 26 B. 24 C. 20 D. 19 考法2：分步乘法计数原理的应用 2.（2026·湖北随州·一模）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（　　） A. 48 种 B. 36 种 C. 24 种 D. 12 种 考法3：两个计数原理的综合应用 3.（2026·湖南天壹名校·模拟）现用 Python 生成随机秘钥，该秘钥共三位，前两位要求从 1，2，3，6，7，8 中进行选择 (可以重复)，第三位要求从 A，C，D，F 中进行选择，则可生成的秘钥数量为（　　） A. 36 B. 72 C. 108 D. 144 【考点一 方法总结】 1. 准确区分分类加法与分步乘法：完成一件事，若各类办法互斥且每类均可独立完成，则用加法原理；若需分几个步骤，缺一不可且依次进行，则用乘法原理. 2. 综合应用策略：对于复杂计数问题，通常需要“先分类，再分步”或“先分步，再分类”，确保不重不漏. 考点二：排列数与组合数公式及计算 考法4：排列数与组合数方程的求解 4.（2026·湖北襄阳四中·检测）（多选）下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 的值为 或 B. 从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名，其中至少有 1 名女生的选法共有 种 C. 的展开式中 的系数为 D. 从 5 本不同的书中选出 3 本分配给 3 位同学，每人一本，则分配方案总数为 60 考法5：排列数与组合数的化简与计算 5. ＿＿＿＿＿＿ 【考点二 方法总结】 1. 排列数与组合数方程的求解：熟练运用组合数性质 及 ，注意上标与下标的取值范围限制（ 且 ）. 2. 间接法计算：当正面情况较多或较繁琐时，可采用“总数 - 对立情况数”的间接法进行计算. 考点三：排列组合的经典方法与模型 考法6：直接法求解排列组合问题 6.甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（　　） A. 360 B. 480 C. 600 D. 720 考法7：间接法与正难则反策略的应用 7.（2026·山东淄博·一模）有 5 名同学 ，，，， 参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若 和 都不是第 1 个出场，且 不是最后一个出场，则这 5 人不同的出场顺序种数为（　　） A. 42 B. 50 C. 54 D. 60 考法8：捆绑法处理相邻问题 8.（2026·江西萍乡·二模）某同学需将 这 5 个字母排成一排，若 与 必须相邻，则不同的排法种数为（　　） A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 考法9：插空法处理不相邻问题 9.（2025·河南驻马店·检测）有 5 辆车停放 6 个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（　　）种停放方法. A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 考法10：列举法与错位排列模型的应用 10.（2026·河北衡水名校·调研）将标有 1，2，3，4，5 的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为（　　） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 考法11：多面手与涂色问题的分类讨论 11.（2025·河南H20联盟·联考）为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.如图，在一个 的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放 1 本图书.则所有可能的图书排列方式总数为（　　） A. 160 B. 192 C. 224 D. 256 考法12：分组与分配问题的综合求解 12.（2026·湖南天壹名校·检测）某大学有 四个社团在招生，5 名学生去报名，每个社团至少有 1 名学生，则不同的报名方式共有（　　） A. 144 种 B. 240 种 C. 256 种 D. 288 种 考法13：隔板法处理相同元素分配问题 13.（2026·河南华大新高考·联考）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选 10 名志愿者. 10 个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（　　） A. 45 种 B. 36 种 C. 28 种 D. 8 种 【考点三 方法总结】 1. 解决排列组合综合问题的一般过程：认真审题，确定要做什么事；确定采取分步还是分类；确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题. 2. 捆绑法处理相邻问题：将要求相邻的元素“捆绑”在一起看作一个整体进行排列，再对“捆绑”内部的元素进行全排列. 3. 插空法处理不相邻问题：先将没有限制条件的元素排好，再将要求不相邻的元素插入到排好的元素之间及两端的空隙中. 4. 分组与分配问题：先将元素按要求分组（注意平均分组时需除以组数的阶乘以消除重复），再将分好的组分配给不同的对象. 5. 隔板法处理相同元素分配问题：将 个相同元素分给 个不同的对象，若要求每个对象至少分得 1 个，相当于在 个元素形成的 个空隙中插入 个隔板，共有 种分法. 6. 错位排列与列举法：对于元素较少或条件特殊的排列问题，可直接采用列举法；标准的错位排列可利用公式 （即 ）. 考点四：排列组合的综合应用与拓展 考法14：限制条件下的数字排列问题 14.（2026·浙江精诚联盟·二模）从数字 0，1，2，3，4 中任取 3 个构成的无重复数字的 3 位数，其中能被 3 整除的偶数共有（　　） A. 13 个 B. 15 个 C. 16 个 D. 18 个 考法15：排队与环排问题的综合分析 15.（2026·河北八省八校·联考）男生 1，2，3 号和女生 1，2，3 号排成一列，男生从前往后号数变小、女生互不相邻的排法种数为（　　） A. 4 B. 16 C. 24 D. 36 考法16：构造法模型与递推模型的应用 16.九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具. 它用九个圆环相连成串，以解开为胜. 它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载. 周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中: 已知解下 1 个圆环最少需要移动圆环 1 次，解下 2 个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下 个圆环需要移动圆环的最少次数，且 ，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最少次数为（　　） A. 30 B. 90 C. 170 D. 341 考法17：集合子集选取问题的组合计数 17.（2026·江西萍乡·二模）已知集合 ，定义 表示 的元素个数， 为 的三个互不相同的子集. 若集合 ，且 ，则不同的 的个数为＿＿＿＿＿＿. 【考点四 方法总结】 1. 限制条件下的数字排列问题：按“优先”原则，优先排特殊元素或优先满足特殊位置（如首位不能为0，末位决定奇偶性等），若互相影响则需分类讨论. 2. 排队与环排问题：排队问题中若某几个元素顺序一定，可先让其他元素排好，再将这几个元素插入，或全排列后除以这几个元素的排列数；环排问题需注意旋转对称性， 个不同元素的环排数为 . 3. 构造法与递推模型：对于复杂或规律性强的计数问题，可尝试寻找前后项之间的递推关系，或构造相应的几何、代数模型进行求解. 考点五：二项式定理展开式的基本计算 考法18：二项展开式特定项系数的求解 18.（2026·山东菏泽·一模）在 的展开式中， 的系数为（　　） A. B. C. D. 考法19：二项展开式常数项与有理项的求解 19.（2026·江苏南京·二模） 的展开式中，常数项为（　　） A. B. C. D. 考法20：多项式乘积与三项展开式的特定项求解 20.（2026·山东名校联盟·检测） 展开式中含 项的系数为（　　） A. B. C. D. 考法21：二项展开式参数的逆向求解 21.（2026·湖南常德·一模）已知 的展开式中 的项的系数是 ，则实数 的值为＿＿＿＿＿＿. 【考点五 方法总结】 1. 求二项展开式中的特定项或系数：利用通项公式 ，令字母的指数满足题意（如求常数项令指数为0，求有理项令指数为整数），求出 的值，再代回通项求系数. 2. 形如 展开式求 的系数：关键是利用通项求 ，则 . 3. 多项式乘积的展开式：利用分配律将其转化为几个基本二项展开式特定项的求和问题. 4. 三项式展开：可将其中两项结合看作一项，转化为二项式定理处理；或利用三项式展开通项公式 （其中 ）. 考点六：二项式系数和与各项系数和 考法22：赋值法求各项系数和及特定系数和 22.（2026·福建龙岩·检测）设 ，则 （　　） A. 1 B. 2 C. 31 D. 32 考法23：二项式系数最值与项的系数最值的求解 23.（2026·广东江门·二模）已知 的展开式中二项式系数之和为 128，则其展开式中系数最小项的系数为＿＿＿＿＿＿. 【考点六 方法总结】 1. 赋值法求各项系数和：对于恒等式 ，令 可得展开式各项系数之和；令 可得交错系数之和；令 可得常数项. 2. 二项式系数最值：若 为偶数，中间一项二项式系数最大；若 为奇数，中间两项二项式系数相等且最大. 3. 项的系数最大值求法：设第 项的系数绝对值最大，则转化为解不等式组 且 ，求出 的值. 考点七：二项式定理的拓展应用 考法24：二项式定理处理整数整除与余数问题 24.（2024·江西上饶六校·模拟）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究. 设 为整数，若 和 同时除以 所得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 . 若 ，则 的值可以是（　　） A. 2 021 B. 2 022 C. 2 023 D. 2 024 考法25：利用二项式定理进行近似计算 25.（2026·安徽滁州·二模）试估计 （　　）（精确到 0.0001） A. 1.1462 B. 1.1463 C. 1.1045 D. 1.1046 考法26：构造法与比较系数法证明组合恒等式 26.证明： . 考法27：二项式定理与数列求和的综合 27.已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 考法28：杨辉三角性质的综合判断 28.（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早 500 年左右. 如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第 4 行的 6 为第 3 行中两个 3 的和. 则下列命题中正确的是 （　　） A. 在“杨辉三角”第 6 行中，从左到右第 6 个数是 15 B. 由“第 行所有数之和为 ”猜想： C. D. 存在 ，使得 为等差数列 【考点七 方法总结】 1. 处理整数整除与余数问题：将底数拆分为除数的倍数与余数之和（或差），利用二项式定理展开，除最后一项（或两项）外均能被整除，从而转化为考查尾项. 2. 近似计算：将底数化为 （ 较小）的形式，利用二项式定理展开，根据精度要求截取前几项进行计算. 3. 证明组合恒等式：常利用构造函数法（如构造 ），通过求导、积分或多项式乘法比较系数来证明；也可利用杨辉三角的递推性质进行代数变形. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第72讲 计数原理、排列组合与二项式定理·讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 5 考点一：两个基本计数原理 5 考点二：排列数与组合数公式及计算 7 考点三：排列组合的经典方法与模型 8 考点四：排列组合的综合应用与拓展 13 考点五：二项式定理展开式的基本计算 15 考点六：二项式系数和与各项系数和 16 考点七：二项式定理的拓展应用 17 一、考情分析 近三年高考全国一卷未直接或间接涉及本讲核心知识.本讲中的计数原理与排列组合是求解古典概型及超几何分布等概率问题的基本计算工具，二项式定理的展开式及系数性质与二项分布的概率计算具有直接的理论联系.掌握本讲内容，可为后续概率与统计模块的解答提供必要的运算基础. 二、知识清单 1. 两个基本计数原理 （1） 分类加法计数原理 完成一件事，有 类办法，在第 1 类办法中有 种不同的办法，在第 2 类办法中有 种不同的方法，⋯，在第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法. （2） 分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成 个步骤，做第 1 步有 种不同的方法，做第 2 步有 种不同的方法，⋯，做第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法. （3） 两个原理及其区别 ① 分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有 类办法，这 类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理. ② 分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有 个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响 (独立)，当且仅当依次完成这 个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理. ③ 在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法. （4） 两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理. 2. 排列与排列数 （1） 定义：从 个不同元素中取出 个元素排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.从 个不同元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数，用符号 表示. （2） 排列数的公式：. 特例：当 时，称为全排列，；规定：. （3） 排列数的性质： ① . ② . ③ . 3. 组合与组合数 （1） 定义：从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合.从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数，用符号 表示. （2） 组合数公式及其推导 求从 个不同元素中取出 个元素的排列数 ，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 . 第二步，求每一个组合中 个元素的全排列数 . 根据分步计数原理，得到 . 因此 . 这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式.因为 ，所以组合数公式还可表示为：.特例：. （3） 组合数的主要性质： ① 对称性：. ② 递推公式：. （4） 组合模型：隔板法 将 个相同元素分给 个不同的对象： ① 若要求每个对象至少分得 1 个（即求方程 的正整数解个数，其中 ），相当于在 个元素形成的 个空隙中插入 个隔板，共有 种分法. ② 若允许有的对象分不到元素（即求方程 的非负整数解个数），可通过“借元素”转化为上述问题，共有 种分法. 4. 排列和组合的区别 （1） 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工. （2） 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同. （3） 排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”. 5. 二项式定理 （1） 二项式定理 一般地，对于任意正整数 ，都有：. 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开式. 式中的 做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项：. 其中的系数 叫做二项式系数. （2） 二项式 的展开式的特点： ① 项数：共有 项，比二项式的次数大 1. ② 二项式系数：第 项的二项式系数为 ，最大二项式系数项居中. ③ 次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 .字母 降幂排列，次数由 到 0；字母 升幂排列，次数从 0 到 ，每一项中， 次数和均为 . ④ 项的系数：二项式系数依次是 ，项的系数是 与 的系数 (包括二项式系数). （3） 两个常用的二项展开式： ① . ② . （4） 二项展开式的通项公式 二项展开式的通项：. 公式特点： ① 它表示二项展开式的第 项，该项的二项式系数是 . ② 字母 的次数和组合数的上标相同. ③ 与 的次数之和为 . 6. 二项式系数的性质与杨辉三角 （1） 杨辉三角 在二项式定理中，当 分别取 1，2，3，⋯ 时，其二项式系数可以排成一个由自然数构成的三角形数表，称为“杨辉三角”.杨辉三角的第 行对应 展开式的二项式系数. （2） 二项式系数的性质 ① 每一行两端都是 1，即 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 . ② 对称性：每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 . ③ 二项式系数和：令 ，则二项式系数的和为 ，变形式 . ④ 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 ，则 ，从而得到：. ⑤ 最大值： 如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大. 如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 的二项式系数 相等且最大. （3） 展开式各项系数和（赋值法） 对于二项展开式 ： ① 令 ，可得展开式各项系数之和为 . ② 令 ，可得交错系数之和为 . ③ 常数项为令 时的值，即 . 三、典题精讲 考点一：两个基本计数原理 考法1：分类加法计数原理的应用 1.如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连.连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，单位时间内传递的最大信息量为（　　） A. 26 B. 24 C. 20 D. 19 【答案】D 【思路】根据题意，结合图形，列出从A到B传播的4条路径，分别求出各条路径的最大信息量，再相加即可. 【解析】根据题意，结合图形知， 从A到B传播路径有4条，如图所示； 途径①传播的最大信息量为3，途径②传播的最大信息量为4； 途径③传播的最大信息量为6，途径④传播的最大信息量为6； 所以从A向B传递信息，单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19， 故选：D. 考法2：分步乘法计数原理的应用 2.（2026·湖北随州·一模）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（　　） A. 48 种 B. 36 种 C. 24 种 D. 12 种 【答案】B 【思路】根据分步乘法计数原理，分三步从主食、素菜、荤菜中各选一种，将各步选法数相乘即可. 【解析】解：由题意可知，分三步完成： 第一步，从 2 种主食中任选一种有 2 种选法； 第二步，从 3 种素菜中任选一种有 3 种选法； 第三步，从 6 种荤菜中任选一种有 6 种选法， 根据分步计数原理，共有 不同的选取方法， 故选：B. 考法3：两个计数原理的综合应用 3.（2026·湖南天壹名校·模拟）现用 Python 生成随机秘钥，该秘钥共三位，前两位要求从 1，2，3，6，7，8 中进行选择 (可以重复)，第三位要求从 A，C，D，F 中进行选择，则可生成的秘钥数量为（　　） A. 36 B. 72 C. 108 D. 144 【答案】D 【思路】利用分类加法计数原理求出前两位的选取种数，再利用分步乘法计数原理求出总的秘钥数量. 【解析】由分类加法计数原理知前两位可选取种数为6种，由分步乘法计数原理知秘钥数量为 种，故选 D. 【考点一 方法总结】 1. 准确区分分类加法与分步乘法：完成一件事，若各类办法互斥且每类均可独立完成，则用加法原理；若需分几个步骤，缺一不可且依次进行，则用乘法原理. 2. 综合应用策略：对于复杂计数问题，通常需要“先分类，再分步”或“先分步，再分类”，确保不重不漏. 考点二：排列数与组合数公式及计算 考法4：排列数与组合数方程的求解 4.（2026·湖北襄阳四中·检测）（多选）下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 的值为 或 B. 从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名，其中至少有 1 名女生的选法共有 种 C. 的展开式中 的系数为 D. 从 5 本不同的书中选出 3 本分配给 3 位同学，每人一本，则分配方案总数为 60 【答案】ACD 【思路】对于A，利用组合数性质列方程求解；对于B，利用间接法，用总选法减去全是男生的选法；对于C，将展开式分为两部分，分别求出含 的项再相加；对于D，利用排列数公式计算即可. 【解析】选项 A：根据组合数性质 等价于 或 ，且上标满足 . 列方程：① ，解得 ，此时上标为 7，符合要求. ② ，解得 ，此时上标分别为 4 和 6，符合要求，故 或 ，A 正确. 选项 B：用间接法计算，总选法 ，全是男生的选法 ，故至少 1 名女生的选法为 种，不是 42 种，B 错误. 选项 C： 的展开通项为 ，得到 项分两类： ①2 乘 中 项，系数为： . ② 乘 中 项，系数为 . 总系数为 ，C 正确. 选项 D：从 5 本不同的书中选 3 本分给 3 位同学，属于排列问题，总方案数为 ，D 正确. 考法5：排列数与组合数的化简与计算 5. ＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【思路】直接利用排列数公式展开计算即可. 【解析】. 【考点二 方法总结】 1. 排列数与组合数方程的求解：熟练运用组合数性质 及 ，注意上标与下标的取值范围限制（ 且 ）. 2. 间接法计算：当正面情况较多或较繁琐时，可采用“总数 - 对立情况数”的间接法进行计算. 考点三：排列组合的经典方法与模型 考法6：直接法求解排列组合问题 6.甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（　　） A. 360 B. 480 C. 600 D. 720 【答案】B 【思路】先求出六人的全排列数，再求出甲、乙、丙三人的全排列数，找出甲、乙在丙同侧的排法数，利用比例关系求解即可. 【解析】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有 种不同的排法， 其中甲、乙、丙三人的全排列有 种不同的排法， 其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共 4 种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为 种. 故选：B. 考法7：间接法与正难则反策略的应用 7.（2026·山东淄博·一模）有 5 名同学 ，，，， 参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若 和 都不是第 1 个出场，且 不是最后一个出场，则这 5 人不同的出场顺序种数为（　　） A. 42 B. 50 C. 54 D. 60 【答案】D 【思路】利用间接法，先求出5名同学全排列的总数，再减去不满足条件（A或B在第1个出场，或C在最后一个出场）的排法数即可. 【解析】5名同学全排列共有 种排法， 若 或 在第1个出场，共有 种排法； 若 在最后一个出场，共有 种排法； 若 或 在第1个出场，且 在最后一个出场，共有 种排法. 所以不满足条件的排法共有 种， 故满足条件的排法共有 种. 考法8：捆绑法处理相邻问题 8.（2026·江西萍乡·二模）某同学需将 这 5 个字母排成一排，若 与 必须相邻，则不同的排法种数为（　　） A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 【答案】B 【思路】利用捆绑法，将a与b捆绑在一起，与其他三个字母进行全排列，再考虑a与b之间的排列即可. 【解析】将 捆绑在一起，与 一起全排列，有 种排法， 之间有 种排法，共有 种不同的排法，故选 B. 考法9：插空法处理不相邻问题 9.（2025·河南驻马店·检测）有 5 辆车停放 6 个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（　　）种停放方法. A. 72 B. 144 C. 108 D. 96 【答案】A 【思路】分货车甲靠边和不靠边两种情况，分别求出乙车和其他三辆车的停放方法数，再相加即可. 【解析】先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有 种停法，则乙车有 种停法， 除甲、乙外的其它三辆车共有 种停法； 若货车甲靠边，共有 种停法，则乙车有 种停法， 除甲、乙外的其它三辆车的排法共有 种， 故共有 种停放方法. 故选：A. 考法10：列举法与错位排列模型的应用 10.（2026·河北衡水名校·调研）将标有 1，2，3，4，5 的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为（　　） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 【答案】D 【思路】利用列举法列出前三张牌成等差数列的所有可能，再将剩余两张牌全排列，相乘即可. 【解析】前三张牌成等差数列有：1，2，3；1，3，5；2，3，4；3，4，5；3，2，1；4，3，2；5，4，3；5，3，1.共 8 种可能，剩余两张随机排列， 故共有 种可能， 综上，共有 16 种可能. 故选 D. 考法11：多面手与涂色问题的分类讨论 11.（2025·河南H20联盟·联考）为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.如图，在一个 的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放 1 本图书.则所有可能的图书排列方式总数为（　　） A. 160 B. 192 C. 224 D. 256 【答案】B 【思路】根据数字提示，逐步推断周围图书的分布情况，分情形讨论并结合乘法和加法计数原理求解. 【解析】如图所示，灰色代表图书位置，此时有 11 本图书，接下来说明不可能有 12 本图书，考虑数字控制的区域，假设有一种方式可以达到 8 本图书，首先左上角区域只有 2 本图书(下图左)，在大图中去掉后变成了下图中间的样子，并且图中应有 6 本图书.类似的，下方数字 2 代表周围单元格中有 2 本图书，再去掉后形如下方右侧图形，此时需要填 4 本图书，但只剩下三个空格，矛盾！故最多有 7 本，结合不受限制的区域，最多能抽中 本书. 情形一： 如图所示，?处有图书时，在左上数字 2 的周围有两种情形，若数字 3 右侧方格无图书，则 4 周围的图书排布方式已经固定，此时下方数字 2 的排布方式也被固定，此时中间数字 3 周围只有两本图书，矛盾！ ∴ 中间数字 3 右侧必有图书. 此时如右上图阴影区域中有且仅有一本图书，故下方数字 2 左侧或右侧有一本图书.若下方数字 2 左侧有一本图书，则右侧没有图书，此时 4 周围的图书排布已经固定，则此时 3 周围图书也已经符合题意，只有一种情形. 若下方数字 2 右侧有一本图书，此时考虑下方数字 2 周围还应存在的一本图书的位置.若在 2 右上方，即上左图中位置，则满足题意，并且此时 3 周围也满足题意.4 周围还剩一本书，共有两种选择.共两种；若不在 2 右上方，则 4 周围图的图书排布已经符合题意，3 周围还应有一本图书，共有两种选择. 综上，在情形一中，根据分类加法和分步乘法计数原理，共有 种可能. 情形二： 如图所示，?处无图书时，左上数字 2 的周围图书排布被固定，与情形一类似讨论，知 3 右侧必有图书，此时根据 3 周围应还有 2 本图书得到下方的 2 左右两侧均无图书(否则下方 2 周围图书数目大于 2)，故 4 周围的图书排列方式被固定，∴ 3 周围还应有一本图书，共有两种选择.故情形二共有 2 种可能. ∴ 共有 种. 故选 B. 考法12：分组与分配问题的综合求解 12.（2026·湖南天壹名校·检测）某大学有 四个社团在招生，5 名学生去报名，每个社团至少有 1 名学生，则不同的报名方式共有（　　） A. 144 种 B. 240 种 C. 256 种 D. 288 种 【答案】B 【思路】利用分组分配法，先将5名学生分成2,1,1,1四组，再分配到4个不同的社团即可. 【解析】先从 5 名学生中选出 2 人组成一个小组，有 种方法；再将这个两人小组与其余 3 名学生安排到 4 个不同的社团，有 种方法，根据分步乘法计数原理，共有 种不同的安排. 故选 B. 考法13：隔板法处理相同元素分配问题 13.（2026·河南华大新高考·联考）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选 10 名志愿者. 10 个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（　　） A. 45 种 B. 36 种 C. 28 种 D. 8 种 【答案】B 【思路】利用隔板法，将10个相同名额分给8个班，每个班至少一个，即在9个空隙中插入7个隔板. 【解析】10 个名额为相同元素，可用隔板法.10 个相同元素分为 8 组，即将 7 个隔板插入 9 个空， . 【考点三 方法总结】 1. 解决排列组合综合问题的一般过程：认真审题，确定要做什么事；确定采取分步还是分类；确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题. 2. 捆绑法处理相邻问题：将要求相邻的元素“捆绑”在一起看作一个整体进行排列，再对“捆绑”内部的元素进行全排列. 3. 插空法处理不相邻问题：先将没有限制条件的元素排好，再将要求不相邻的元素插入到排好的元素之间及两端的空隙中. 4. 分组与分配问题：先将元素按要求分组（注意平均分组时需除以组数的阶乘以消除重复），再将分好的组分配给不同的对象. 5. 隔板法处理相同元素分配问题：将 个相同元素分给 个不同的对象，若要求每个对象至少分得 1 个，相当于在 个元素形成的 个空隙中插入 个隔板，共有 种分法. 6. 错位排列与列举法：对于元素较少或条件特殊的排列问题，可直接采用列举法；标准的错位排列可利用公式 （即 ）. 考点四：排列组合的综合应用与拓展 考法14：限制条件下的数字排列问题 14.（2026·浙江精诚联盟·二模）从数字 0，1，2，3，4 中任取 3 个构成的无重复数字的 3 位数，其中能被 3 整除的偶数共有（　　） A. 13 个 B. 15 个 C. 16 个 D. 18 个 【答案】A 【思路】先列举出能被3整除的3个数字的组合，再分别计算每种组合构成的偶数个数，最后相加即可. 【解析】满足条件的 3 位数可由 或 或 或 构成， 由 构成的偶数有 个；由 构成的偶数有 个； 由 构成的偶数有 个；由 构成的偶数有 个. 故共有 个. 考法15：排队与环排问题的综合分析 15.（2026·河北八省八校·联考）男生 1，2，3 号和女生 1，2，3 号排成一列，男生从前往后号数变小、女生互不相邻的排法种数为（　　） A. 4 B. 16 C. 24 D. 36 【答案】C 【思路】利用插空法，先排男生（顺序唯一），再将女生插入男生的空隙中即可. 【解析】先排男生，号数从大到小排法唯一，然后让女生插空，共有 种排法. 考法16：构造法模型与递推模型的应用 16.九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具. 它用九个圆环相连成串，以解开为胜. 它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载. 周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中: 已知解下 1 个圆环最少需要移动圆环 1 次，解下 2 个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下 个圆环需要移动圆环的最少次数，且 ，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最少次数为（　　） A. 30 B. 90 C. 170 D. 341 【答案】C 【思路】根据递推公式 ，依次求出 的值即可. 【解析】由题， ， ， ，所以 . 故选：C. 考法17：集合子集选取问题的组合计数 17.（2026·江西萍乡·二模）已知集合 ，定义 表示 的元素个数， 为 的三个互不相同的子集. 若集合 ，且 ，则不同的 的个数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】35 【思路】根据集合的并集和交集条件，利用元素分配模型，排除不满足条件的情况，最后考虑次序即可. 【解析】如图，将 放入 中，共有 种不同的放法.需排除的情况：当 时，则 ，将 放入其中，有 种放法，不满足条件.同理， 和 都是 种放法不满足条件.但 的情况被多减了 2 次.最后考虑次序，故所求 的个数为 . 【考点四 方法总结】 1. 限制条件下的数字排列问题：按“优先”原则，优先排特殊元素或优先满足特殊位置（如首位不能为0，末位决定奇偶性等），若互相影响则需分类讨论. 2. 排队与环排问题：排队问题中若某几个元素顺序一定，可先让其他元素排好，再将这几个元素插入，或全排列后除以这几个元素的排列数；环排问题需注意旋转对称性， 个不同元素的环排数为 . 3. 构造法与递推模型：对于复杂或规律性强的计数问题，可尝试寻找前后项之间的递推关系，或构造相应的几何、代数模型进行求解. 考点五：二项式定理展开式的基本计算 考法18：二项展开式特定项系数的求解 18.（2026·山东菏泽·一模）在 的展开式中， 的系数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】直接利用二项式定理的通项公式，令 的指数为2，求出对应的系数即可. 【解析】二项式 的展开式中，含 的项为 ， 所以 的系数为 . 故选：A. 考法19：二项展开式常数项与有理项的求解 19.（2026·江苏南京·二模） 的展开式中，常数项为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】写出二项展开式的通项公式，令 的指数为0，求出 的值，代入通项即可得到常数项. 【解析】 的展开式通项为 ， 令 ，解得 ， 所以常数项为 . 考法20：多项式乘积与三项展开式的特定项求解 20.（2026·山东名校联盟·检测） 展开式中含 项的系数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】将多项式展开为两部分，分别求出每部分中含 的项，再相加即可. 【解析】， 的展开式通项为 ， 所以含 的项为 ， 所以含 项的系数为 170. 考法21：二项展开式参数的逆向求解 21.（2026·湖南常德·一模）已知 的展开式中 的项的系数是 ，则实数 的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】写出二项展开式的通项公式，令 的指数为1，求出对应的系数并令其等于80，解方程即可. 【解析】 的展开式通项为 ， 令 ，则 的项的系数为 ， 由题意知 ，解得 . 【考点五 方法总结】 1. 求二项展开式中的特定项或系数：利用通项公式 ，令字母的指数满足题意（如求常数项令指数为0，求有理项令指数为整数），求出 的值，再代回通项求系数. 2. 形如 展开式求 的系数：关键是利用通项求 ，则 . 3. 多项式乘积的展开式：利用分配律将其转化为几个基本二项展开式特定项的求和问题. 4. 三项式展开：可将其中两项结合看作一项，转化为二项式定理处理；或利用三项式展开通项公式 （其中 ）. 考点六：二项式系数和与各项系数和 考法22：赋值法求各项系数和及特定系数和 22.（2026·福建龙岩·检测）设 ，则 （　　） A. 1 B. 2 C. 31 D. 32 【答案】C 【思路】利用赋值法，分别令 和 ，求出各项系数和与常数项，相减即可得到结果. 【解析】令 得： ， 令 得： ， 所以 . 考法23：二项式系数最值与项的系数最值的求解 23.（2026·广东江门·二模）已知 的展开式中二项式系数之和为 128，则其展开式中系数最小项的系数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】根据二项式系数之和求出 的值，写出展开式的通项公式，分析系数的符号和大小，找出系数最小的项即可. 【解析】由题设 ，则二项式为 ，对应展开式为 ， ， 所以系数最小项在 为奇数时出现，且 为其中最大的情况， 由 ，故 时对应系数最小， 此时系数最小项的系数为 . 【考点六 方法总结】 1. 赋值法求各项系数和：对于恒等式 ，令 可得展开式各项系数之和；令 可得交错系数之和；令 可得常数项. 2. 二项式系数最值：若 为偶数，中间一项二项式系数最大；若 为奇数，中间两项二项式系数相等且最大. 3. 项的系数最大值求法：设第 项的系数绝对值最大，则转化为解不等式组 且 ，求出 的值. 考点七：二项式定理的拓展应用 考法24：二项式定理处理整数整除与余数问题 24.（2024·江西上饶六校·模拟）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究. 设 为整数，若 和 同时除以 所得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 . 若 ，则 的值可以是（　　） A. 2 021 B. 2 022 C. 2 023 D. 2 024 【答案】C 【思路】将组合数求和转化为二项式展开式，再利用二项式定理将其按10的幂展开，求出除以10的余数即可. 【解析】 ，所以 除以 10 的余数为 3，选项中除以 10 余数为 3 的只有 2 023. 故选 C. 考法25：利用二项式定理进行近似计算 25.（2026·安徽滁州·二模）试估计 （　　）（精确到 0.0001） A. 1.1462 B. 1.1463 C. 1.1045 D. 1.1046 【答案】D 【思路】将 写成 ，利用二项式定理展开，取前几项进行近似计算即可. 【解析】 ， 因为 ，所以第五项及之后均可忽略不计， 所以 . 考法26：构造法与比较系数法证明组合恒等式 26.证明： . 【答案】证明见解析 【思路】构造函数 ，利用幂级数乘法和二项式定理，比较等式两边 的系数即可证明. 【解析】取函数 ， ，则： ①， ②， 将②用 替换 ，有： .其中 的系数为 . 将①，②对应相乘，根据上述形式幂级数乘法定义有： ， 其中 的系数为 ，由展开式的唯一性有： ， ， 因此可得： . 考法27：二项式定理与数列求和的综合 27.已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用组合数的性质 对原式进行变形，再结合二项式系数求和公式进行计算即可. 【解析】依题意， ， 当 时， ， 于是得 . 故选：B. 考法28：杨辉三角性质的综合判断 28.（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早 500 年左右. 如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第 4 行的 6 为第 3 行中两个 3 的和. 则下列命题中正确的是 （　　） A. 在“杨辉三角”第 6 行中，从左到右第 6 个数是 15 B. 由“第 行所有数之和为 ”猜想： C. D. 存在 ，使得 为等差数列 【答案】BCD 【思路】根据杨辉三角的性质和二项式系数的性质，逐一判断各选项的正确性即可. 【解析】对于 A，在“杨辉三角”第 6 行中，从左到右第 6 个数是 ，A 错； 对于 B，由二项式系数的性质知 ，B 对； 对于 C，由于 , 故 C 正确； 对于 D，取 ，则 ， 因为 ，所以数列 为公差为 1 的等差数列，D 对. 故选：BCD. 【考点七 方法总结】 1. 处理整数整除与余数问题：将底数拆分为除数的倍数与余数之和（或差），利用二项式定理展开，除最后一项（或两项）外均能被整除，从而转化为考查尾项. 2. 近似计算：将底数化为 （ 较小）的形式，利用二项式定理展开，根据精度要求截取前几项进行计算. 3. 证明组合恒等式：常利用构造函数法（如构造 ），通过求导、积分或多项式乘法比较系数来证明；也可利用杨辉三角的递推性质进行代数变形. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $