第65讲 定点、定值与存在性问题 讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题，按考情分析、知识清单、典题精练三层架构展开，知识清单系统梳理求解策略与消参方法，典题精练分考点分考法设计例题与方法总结，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破代数运算难点。 资料采用“特殊探路-一般证明”“假设法”等策略，如考点一考法1通过联立方程与韦达定理消参证定点，培养学生数学思维与推理能力，设置分层例题与即时方法总结，确保高效突破，为教师提供系统考点框架，助力把控复习节奏提升学生应考能力。

第65讲 定点、定值与存在性问题 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精练 3 考点一：直线与曲线过定点问题 3 考点二：圆锥曲线中的定值问题 5 考点三：圆锥曲线中的存在性问题 8 一、考情分析 近三年高考全国一卷未直接或间接涉及本讲核心知识.定点、定值与存在性问题涵盖了圆锥曲线中的核心代数运算（如韦达定理的应用、斜率与向量的转化、复杂代数式的化简等）.通过本讲的练习，可系统提升解析几何的代数变形与综合求解能力，为应对高考圆锥曲线综合题提供必要的运算基础与方法支撑. 二、知识清单 1. 定点、定值问题的常见求解策略 （1） 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量、函数、定值”，具体操作程序如下： ① 变量：选择适当的量为变量. ② 函数：把要证明为定值的量表示成变量的函数. ③ 定值：化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. （2） 求定值问题常见的方法有两种： ① 从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关. ② 直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. （3） 常用消参方法： ① 等式代入消参：找到两个参数之间的等式关系 ，用一个参数表示另外一个参数 ，即可代入其他式子，消去参数 . ② 分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值. ③ 因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉. ④ 参数无关消参：当与参数相关的因式为 时，此时与参数的取值没什么关系，比如：，只要因式 ，就和参数 没什么关系了，或者说参数 不起作用. （4） 求解直线过定点问题常用方法如下： ① “特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明. ② “一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点. ③ 求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明. （5） 一般解题步骤： ① 斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个. ② 找关系：找到 和 的关系：，等式代入消参，消掉 . ③ 参数无关找定点：找到和 没有关系的点. 2. 解决存在性问题的技巧 ① 特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立. ② 假设法：先假设存在，推证满足条件的结论.若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在. 3. 圆锥曲线中常见的定点与定值结论 （1） 抛物线中的定点与定值结论： ① 焦点弦性质：过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 、 两点，则 ，（定值）. ② 焦半径倒数和：过抛物线 焦点 的弦 ，则 （定值）. ③ 垂直弦过定点：若抛物线 上的两动点 、 满足 （ 为坐标原点），则直线 恒过定点 . （2） 椭圆与双曲线中的定点与定值结论： ① 焦半径倒数和：过椭圆 焦点 的弦 ，则 （定值）. ② 斜率乘积定值（第三定义）：若 、 是椭圆 上关于原点对称的两点， 是椭圆上任意一点（异于 、），则直线 与 的斜率之积 （定值）.对于双曲线 ，该定值为 . ③ 中点弦斜率定值：若 是椭圆 弦 的中点，则 （定值）.对于双曲线 ，该定值为 . 三、典题精练 考点一：直线与曲线过定点问题 考法1：联立方程与韦达定理求解直线过定点问题 1.（2026·安徽铜陵·一模）已知双曲线 的左顶点 ，一条渐近线方程为 . （1） 求双曲线 的标准方程； （2） 设双曲线 的右顶点为 ， 为直线 上的动点，连接 ， 交双曲线于 ， 两点 (异于 ，)，记直线 与 轴的交点为 ． ①求证： 为定点； ②直线 交直线 于点 ，记 ，.求证： 为定值． 2.（2026·浙江名校协作体·联考）已知椭圆 ，动点 在抛物线 上，过点 作椭圆的两条切线分别交抛物线于不同的两点 ，． （1）求椭圆 的焦距； （2）若切线 与椭圆的切点恰好是 的中点，求直线 的方程； （3）证明：直线 经过定点，并写出定点坐标． 3.（2026·山东临沂·模拟）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，，点 是 上的一动点，当 面积取到最大值 时，. （1）求 的方程； （2）过点 的直线 与 交于 两点，点 关于 轴的对称点为 与 不重合). （i）求证：直线 过定点； （ii）求 面积的最大值. 4.已知椭圆 ： 的右顶点是 ，离心率为 ． （1） 求椭圆 的标准方程． （2） 过点 作直线 与椭圆 交于不同的两点 ，，点 关于 轴的对称点为 ，问直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 考法2：利用三点共线与斜率相等转化求解直线过定点问题 5.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 且与直线 垂直的直线交 轴负半轴于 ，且 ． （1） 求椭圆 的离心率； （2） 若过 、、 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 的方程； （3） 设 ．过椭圆 右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是点 关于 轴的对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 、、 三点共线？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． 6.已知椭圆 的焦距为 ，长轴长为 . （1） 求椭圆 的方程及离心率； （2） 过点 且与 轴不重合的直线 与椭圆 交于不同的两点 、，点 关于 轴的对称点为 .问：平面内是否存在定点 ，使得 恒在直线 上？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由. 考法3：构建曲线系方程求解曲线过定点问题 7.（2026·浙江名校协作体·联考）若曲线族（具有某种共同性质的所有曲线的集合）满足条件：存在直线 ，使得曲线族中存在无数个点在该直线上，称该曲线族是“完美的”，下列曲线族是“完美的”是 A. B. C. D. 8.（2026·安徽马鞍山·二模）已知曲线 恒过定点 ，点 是曲线 上的一个动点，点 ，当 的最小值为 时，＿＿＿＿＿＿. 【考点一 方法总结】 1. 联立方程与韦达定理法：设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再代入目标代数式中化简，消去参数得到定点. 2. 三点共线与斜率相等转化法：利用已知点或对称点，将三点共线转化为斜率相等或斜率互为相反数，结合韦达定理化简求出定点. 3. 构建曲线系方程法：对于具有某种共同性质的曲线族，通过化简方程，分离出参数，令参数的系数为零，从而求出曲线恒过的定点. 考点二：圆锥曲线中的定值问题 考法4：利用韦达定理与斜率公式证明斜率与角度定值问题 9.（2026·山东德州·一模）已知椭圆 的焦距为 ，点 在 上， 为坐标原点． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于 两点． （i） 若点 的坐标为 ，证明：； （ii） 若 ，当 时，求弦长 的取值范围． 10.已知 ，． （1） 证明： 总与 和 相切； （2） 在 （1） 的条件下，若 与 在 轴右侧相切于 点，与 在 轴右侧相切于 点．直线 与 和 分别交于 ，，， 四点. 是否存在定直线 使得对任意题干所给 ，，总有 为定值？若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由． 11.已知抛物线 与抛物线 在第一象限交于点 . （1） 已知 为抛物线 的焦点，若 的中点坐标为 ，求 ； （2） 设 为坐标原点，直线 的斜率为 . 若斜率为 的直线 与抛物线 和 均相切，证明 为定值，并求出该定值. 12.已知椭圆 ： 的离心率为 ，以 的短轴为直径的圆与直线 相切． （1） 求 的方程； （2） 直线 与 相交于 ， 两点，过 上的点 作 轴的平行线交线段 于点 ，且 平分 ，设直线 的斜率为 ( 为坐标原点)，判断 是否为定值？并说明理由． 考法5：结合坐标运算与韦达定理证明向量数量积定值问题 13.已知椭圆 ，， 是 的左、右焦点，过 的动直线 与 交于不同的两点 ， 两点，且 的周长为 ，椭圆 的其中一个焦点在抛物线 准线上， （1） 求椭圆 的方程； （2） 已知点 ，证明： 为定值. 14.已知点 到 的距离是点 到 的距离的 倍. （1） 求点 的轨迹方程； （2） 若点 与点 关于点 对称，过 的直线与点 的轨迹 交于 ， 两点，探索 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 15.已知椭圆 的右焦点为 ，点 在 上． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 为椭圆 的左顶点，直线 ， 分别交 于 ， 两点， 为坐标原点，求证： 为定值． 16.（2026·山东德州·二模）在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离是它到直线 距离的 倍，记点 的轨迹为 ． （1） 求 的方程； （2） 设点 为 的下顶点，直线 过点 且垂直于 轴（ 位于原点与上顶点之间），过 的直线交 于 两点，直线 分别交 于 两点． ①证明： 为定值； ②是否存在实数 使得 四点共圆？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 考法6：运用弦长与距离公式证明线段长度与面积定值问题 17.（2026·山东师大附中·检测）已知椭圆 的离心率 ，且经过点 ， 为坐标原点，斜率不为 的直线 与椭圆 交于 两点，. （1）求椭圆 的方程； （2）证明：点 到直线 的距离是定值； （3）求 的取值范围. 18.已知 ， 既是双曲线 的两条渐近线，也是双曲线 的渐近线，且双曲线 的焦距是双曲线 的焦距的 倍. （1） 任作一条平行于 的直线 依次与直线 以及双曲线 ， 交于点 ，，，求 的值； （2） 如图， 为双曲线 上任意一点，过点 分别作 ， 的平行线交 于 ， 两点，证明： 的面积为定值，并求出该定值. 19.如图，已知椭圆 的左右焦点分别为 ，，点 为 上的一个动点 (非左右顶点)，连接 并延长交 于点 ，且 的周长为 ， 面积的最大值为 ． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 若椭圆 的长轴端点为 ，且 与 的离心率相等， 为 与 异于 的交点，直线 交 于 两点，证明： 为定值． 20.已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ，且 ． （1） 求 的值； （2） 若直线 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点，， 在第一象限，， 在第四象限，且 ，证明： 为定值． 【考点二 方法总结】 1. 斜率与角度定值问题：设出直线方程并与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理表示出两直线的斜率之和或斜率之积，化简证明其为常数，从而推导出角度的定值关系. 2. 向量数量积定值问题：将向量的坐标用交点的坐标表示，利用数量积坐标公式展开，结合韦达定理将参数消去，最终得到与参数无关的常数. 3. 线段长度与面积定值问题：利用弦长公式或点到直线的距离公式表示出线段长度或三角形面积，将其转化为关于某个参数的函数，通过代数变形证明该函数值为常数. 考点三：圆锥曲线中的存在性问题 考法7：转化斜率与向量关系探究角度存在性问题 21.已知椭圆 的左右焦点分别为 、， 分别为椭圆 的上，下顶点， 到直线 的距离为 ． （1） 求椭圆 的方程； （2） 直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别交 轴于 两点．问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 22.已知椭圆 经过点 且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为 . （1） 求椭圆 的方程和离心率； （2） 设 ， 为椭圆 上不同的两个点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且 、、 三点共线. 其中 为坐标原点. 问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标，若不存在，说明理由. 23.已知点 是圆 上的任意一点，点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ． （1） 求动点 的轨迹 的方程； （2） 若过点 且斜率不为 的直线 交 （1） 中轨迹 于 、 两点， 为坐标原点，点 ．问： 轴上是否存在定点 ，使得 恒成立．若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由． 24.已知椭圆 经过点 ，过点 的直线交该椭圆于 ， 两点. （1） 求 面积的最大值，并求此时直线 的方程； （2） 若直线 与 轴不垂直，在 轴上是否存在点 使得 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 25.已知椭圆 过点 ，且上顶点与右顶点的距离为 ． （1） 求椭圆 的方程； （2） 若过点 的直线 交椭圆 于 两点， 轴上是否存在点 使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 考法8：构建坐标方程探究数量积与线段存在性问题 26.已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，椭圆的左顶点坐标为 ，离心率为 ． （1） 求椭圆 的方程； （2） 过点 作直线 交 于 、 两点，试问：在 轴上是否存在一个定点 ，使 为定值？若存在，求出这个定点 的坐标；若不存在，请说明理由． 27.已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点 重合，且椭圆短轴的两个端点与 构成正三角形. （1） 求椭圆的方程； （2） 若过点 的直线 与椭圆交于不同两点 、，试问在 轴上是否存在定点 ，使 恒为定值？若存在，求出 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 28.已知 、 为双曲线 的左、右焦点， 的离心率为 ， 为 上一点，且 . （1） 求 的方程； （2） 设点 在坐标轴上，直线 与 交于异于 的 、 两点，且点 在以线段 为直径的圆上，过 作 ，垂足为 ，是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 29.已知为 坐标原点，，，，，，，， 和 交点为 . （1） 求点 的轨迹 ； （2） 直线 和曲线 交与 ， 两点，试判断是否存在定点 使 ？如果存在，求出 点坐标，不存在请说明理由. 30.已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的左顶点和右焦点分别为 ，动点 满足 ，记动点 的轨迹为曲线 . （1） 求 的方程； （2） 设点 在 上，过 作 的两条切线，分别与 轴相交于 两点. 是否存在点 ，使得 等于 的短轴长？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 31.椭圆 经过两点 ，，过点 的动直线 与椭圆相交于 ， 两点． （1） 求椭圆 的方程； （2） 若椭圆 的右焦点是 ，其右准线与 轴交于点 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证：； （3） 设点 是椭圆 的长轴上某一点 (不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点 不同的定点 ，使得 恒成立？只需写出点 的坐标，无需证明． 【考点三 方法总结】 1. 角度存在性问题：假设存在满足条件的点，将角度相等或互补转化为斜率的关系（如斜率互为相反数或斜率相等），结合韦达定理列出方程，解出该点的坐标，若有解则存在，否则不存在. 2. 数量积与线段存在性问题：假设存在定点，设出其坐标，将题目中的向量数量积或线段长度关系用坐标表示，结合韦达定理化简，令其与参数无关，从而解出定点坐标. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第65讲 定点、定值与存在性问题 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 3 考点一：直线与曲线过定点问题 3 考点二：圆锥曲线中的定值问题 12 考点三：圆锥曲线中的存在性问题 28 一、考情分析 近三年高考全国一卷未直接或间接涉及本讲核心知识.定点、定值与存在性问题涵盖了圆锥曲线中的核心代数运算（如韦达定理的应用、斜率与向量的转化、复杂代数式的化简等）.通过本讲的练习，可系统提升解析几何的代数变形与综合求解能力，为应对高考圆锥曲线综合题提供必要的运算基础与方法支撑. 二、知识清单 1. 定点、定值问题的常见求解策略 （1） 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量、函数、定值”，具体操作程序如下： ① 变量：选择适当的量为变量. ② 函数：把要证明为定值的量表示成变量的函数. ③ 定值：化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. （2） 求定值问题常见的方法有两种： ① 从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关. ② 直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. （3） 常用消参方法： ① 等式代入消参：找到两个参数之间的等式关系 ，用一个参数表示另外一个参数 ，即可代入其他式子，消去参数 . ② 分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值. ③ 因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉. ④ 参数无关消参：当与参数相关的因式为 时，此时与参数的取值没什么关系，比如：，只要因式 ，就和参数 没什么关系了，或者说参数 不起作用. （4） 求解直线过定点问题常用方法如下： ① “特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明. ② “一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点. ③ 求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明. （5） 一般解题步骤： ① 斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个. ② 找关系：找到 和 的关系：，等式代入消参，消掉 . ③ 参数无关找定点：找到和 没有关系的点. 2. 解决存在性问题的技巧 ① 特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立. ② 假设法：先假设存在，推证满足条件的结论.若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在. 3. 圆锥曲线中常见的定点与定值结论 （1） 抛物线中的定点与定值结论： ① 焦点弦性质：过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 、 两点，则 ，（定值）. ② 焦半径倒数和：过抛物线 焦点 的弦 ，则 （定值）. ③ 垂直弦过定点：若抛物线 上的两动点 、 满足 （ 为坐标原点），则直线 恒过定点 . （2） 椭圆与双曲线中的定点与定值结论： ① 焦半径倒数和：过椭圆 焦点 的弦 ，则 （定值）. ② 斜率乘积定值（第三定义）：若 、 是椭圆 上关于原点对称的两点， 是椭圆上任意一点（异于 、），则直线 与 的斜率之积 （定值）.对于双曲线 ，该定值为 . ③ 中点弦斜率定值：若 是椭圆 弦 的中点，则 （定值）.对于双曲线 ，该定值为 . 三、典题精讲 考点一：直线与曲线过定点问题 考法1：联立方程与韦达定理求解直线过定点问题 1.（2026·安徽铜陵·一模）已知双曲线 的左顶点 ，一条渐近线方程为 . （1） 求双曲线 的标准方程； （2） 设双曲线 的右顶点为 ， 为直线 上的动点，连接 ， 交双曲线于 ， 两点 (异于 ，)，记直线 与 轴的交点为 ． ①求证： 为定点； ②直线 交直线 于点 ，记 ，.求证： 为定值． 【答案】（1） ； （2） ①证明见解析；②证明见解析. 【思路】（1） 根据渐近线方程和顶点坐标，列出关于 的方程组求解即可；（2） ①设出点 的坐标，写出直线 的方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理表示出 的坐标，再由 求解定点 的坐标；②设出直线 的方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及向量共线条件化简求值. 【解析】（1） 由题设 ， ，则双曲线方程为 ． （2） ①设 ，且 ， 的直线方程为 ， 的直线方程为 ． 设 ，，联立直线 与双曲线方程有 ， 化简得 ，由韦达定理知 ， 有 ，代入直线有 ．则 ． 联立直线 与双曲线方程，化简有 ， 由韦达定理知 ，有 ，代入直线有 ． 设 ，，， 由 得 ， 化简得 ，可得 ，则 ． ②设直线 方程为 ，则有 ． 联立方程组 ，化简得 ，则 ， 由 知 ，由 知 ， . 2.（2026·浙江名校协作体·联考）已知椭圆 ，动点 在抛物线 上，过点 作椭圆的两条切线分别交抛物线于不同的两点 ，． （1）求椭圆 的焦距； （2）若切线 与椭圆的切点恰好是 的中点，求直线 的方程； （3）证明：直线 经过定点，并写出定点坐标． 【答案】（1） （2） 或 （3） 证明见解析. 【思路】（1） 根据椭圆方程直接求出半焦距，进而得到焦距；（2） 设出直线方程并与椭圆、抛物线分别联立，利用相切条件和中点坐标公式列方程组求解；（3） 结合抛物线方程表示出直线 的方程，再利用切线条件联立椭圆方程，通过判别式为零推导出 满足的一元二次方程，利用韦达定理证明直线 过定点. 【解析】（1）依题意，椭圆 的长短半轴长分别为 ，则 ， 所以椭圆 的焦距 ． （2）设直线 ，切点为 ， 由 ，得 ， 由 ，得 ，则 ， 由 ，得 ，则 ，因此 ， 解得 或 ， 所以直线 的方程为 或 ． （3）设 ，由 ，得直线 斜率 ， 直线 的方程为 ，整理得 ， 同理得直线 的方程为 ，由 ， 得 ， 因此 ， 整理得 ，同理 ， 则 是关于 的方程 的两个根，， 因此直线 的方程为 ，所以直线 经过定点 ． 3.（2026·山东临沂·模拟）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，，点 是 上的一动点，当 面积取到最大值 时，. （1）求 的方程； （2）过点 的直线 与 交于 两点，点 关于 轴的对称点为 与 不重合). （i）求证：直线 过定点； （ii）求 面积的最大值. 【答案】（1） . （2） （i） 直线 过定点 . （ii） . 【思路】（1） 结合椭圆的几何性质，当点 在短轴端点时三角形面积最大，结合已知条件列出关于 的方程组求解即可；（2） （i） 设出直线 的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出直线 的方程，化简证明其过定点；（ii） 将三角形面积转化为两个三角形面积之差，利用韦达定理和基本不等式求出最大值. 【解析】（1）易知点 在椭圆 短轴端点处时 面积取到最大值， 设 ，则 面积的最大值为 ， ， 又 面积取到最大值时 ，， 又 ，解得，， 椭圆 方程为 . （2）（i）设直线 的方程为 ，， 联立 ，整理得 ， . 直线 方程为 ， 令 ， 直线 过定点 . （ii）， ，当且仅当 时取等号， 当 时， 的面积的最大值为 . 4.已知椭圆 ： 的右顶点是 ，离心率为 ． （1） 求椭圆 的标准方程． （2） 过点 作直线 与椭圆 交于不同的两点 ，，点 关于 轴的对称点为 ，问直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） ； （2） 直线 恒过定点 ． 【思路】（1） 根据右顶点坐标和离心率直接求出 的值，进而得到 的值，写出椭圆方程；（2） 设出直线 的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出直线 的方程，化简证明其恒过定点. 【解析】（1） 由右顶点是 ，得 ，又离心率 ，所以 ， 所以 ，所以椭圆 的标准方程为 ． （2） 设 ，，显然直线 的斜率存在． 直线 的方程为 ，联立方程组 消去 得 ，由 ，得 ， 所以 ，． 因为点 ，所以直线 的方程为 ． 又 ， 所以直线 的方程可化为 ， 即 ， 所以直线 恒过点 ． (方法二) 设 ，，直线 的方程为 ， 联立方程组 消去 得 ， 由 ，得 或 ，所以 ，． 因为点 ，则直线 的方程为 ． 又 ， 所以直线 的方程可化为 ， 此时直线 恒过点 ， 当直线 的斜率为 时，直线 的方程为 ，也过点 ． 综上，直线 恒过点 . 考法2：利用三点共线与斜率相等转化求解直线过定点问题 5.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 且与直线 垂直的直线交 轴负半轴于 ，且 ． （1） 求椭圆 的离心率； （2） 若过 、、 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 的方程； （3） 设 ．过椭圆 右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是点 关于 轴的对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 、、 三点共线？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） ； （2） ； （3） 存在，. 【思路】（1） 结合向量关系得出 是线段 的中点，再利用直角三角形的性质求出 的关系，进而得到离心率；（2） 确定圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出 ，进而得到椭圆方程；（3） 设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理表示出直线 的方程，令 求解横坐标，证明其为定值. 【解析】（1） 由题意知 ，由 得 是线段 的中点，故 . 又因为直线 与 垂直，所以 ，即 ， 所以椭圆 的离心率为 . （2） 由 （1） 得过 、、 三点的圆的圆心为 ，半径为 . 因为过 、、 三点的圆恰好与直线 相切，所以 ，解得 . 又 ，所以 ，从而 . 故椭圆 的方程为 . （3） 由 （1） 及 得 ，，椭圆 的方程为 . 设直线 方程为 ，，则 ， 联立 得 ， ，. 直线 的方程为 ， 令 得 . 故在 轴上存在一个定点 ，使得 、、 三点共线. 6.已知椭圆 的焦距为 ，长轴长为 . （1） 求椭圆 的方程及离心率； （2） 过点 且与 轴不重合的直线 与椭圆 交于不同的两点 、，点 关于 轴的对称点为 .问：平面内是否存在定点 ，使得 恒在直线 上？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） ，； （2） 存在，. 【思路】（1） 根据焦距和长轴长直接求出 的值，进而得到 的值，写出椭圆方程和离心率；（2） 设出直线 的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出直线 的方程，化简证明其恒过定点. 【解析】（1） 因为椭圆 的焦距为 ，长轴长为 ， 所以 ，，则椭圆的离心率 ， 所以 ， 所以椭圆 的方程为 . （2） 存在定点 ，使得 恒在直线 上. 设直线 为 ，，，则 ， 联立 ，消去 得 ， ，解得 ， 则 ，， 又直线 的方程为 ， 又 ， ，恒过定点 ， 故存在定点 ，使得 恒在直线 上. 考法3：构建曲线系方程求解曲线过定点问题 7.（2026·浙江名校协作体·联考）若曲线族（具有某种共同性质的所有曲线的集合）满足条件：存在直线 ，使得曲线族中存在无数个点在该直线上，称该曲线族是“完美的”，下列曲线族是“完美的”是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】根据题意，将选项中的曲线族方程与直线方程联立，利用点到直线的距离公式或判别式判断交点个数，从而确定是否存在直线使得曲线族中存在无数个点在该直线上. 【解析】对 A：该方程表示圆心为 ，半径为 的圆族， 假设存在这样的直线，且该直线斜率存在，设为 ， 则圆心到直线的距离需小于等于半径， 即 ，整理得 ， 左边最高次为 、右边最高次为 ， 当 时，左边远大于右边，不存在无数多个 ，使得不等式成立； 若直线斜率不存在，设为 ， 则 ，解得 ， 当 时， 必须随 无限增大，与 为固定常数不符； 故不存在这样的直线，使得该曲线族存在无数个点在该直线上，故 A 错误； 对 B：该方程表示圆心为 ，半径为 的圆族， 假设存在这样的直线，且该直线斜率存在，设为 ， 则圆心到直线的距离需小于等于半径， 即 ，整理得 ， 左边最高次为 、右边最高次为 ， 当 时，左边远大于右边，不存在无数多个 ，使得不等式成立； 若直线斜率不存在，设为 ， 则 ，解得 ， 当 时， 必须随 无限增大，与 为固定常数不符； 故不存在这样的直线，使得该曲线族存在无数个点在该直线上，故 B 错误； 对 C：该方程表示圆心为 ，半径为 的圆族， 取直线 ，代入该方程，即有 ， 整理得 ， ， 由 ，故 ， 故直线 与该圆族中的每一个圆都有两个不同交点， 故该曲线族中存在无数个点在直线 上，故曲线族是“完美的”，故 C 正确； 对 D：该方程表示圆心为 ，半径为 的圆族， 假设存在这样的直线，且该直线斜率存在，设为 ， 则圆心到直线的距离需小于等于半径， 即 ，整理得 ， 左边最高次为 、右边最高次为 ， 当 时，左边远大于右边，不存在无数多个 ，使得不等式成立； 若直线斜率不存在，设为 ， 则 ，解得 ， 当 时， 必须随 无限增大，与 为固定常数不符； 故不存在这样的直线，使得该曲线族存在无数个点在该直线上，故 D 错误. 8.（2026·安徽马鞍山·二模）已知曲线 恒过定点 ，点 是曲线 上的一个动点，点 ，当 的最小值为 时，＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】先求出曲线恒过的定点 的坐标，设出点 的坐标，表示出 的函数表达式，利用导数求出其最小值，结合已知条件列方程解出 的值. 【解析】由题意，曲线 恒过定点 ． 因为 ，所以 ． 设 ，则 ． 所以 ． 设 ，则 ． 令 ，得 ，此时 ． 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增． 所以当 时， 取得最小值， 即 ． 化简得 ． 令 ，则 ，即 ． 设 ，则 ． 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减． 所以 ，当且仅当 时取等号． 所以 ，即 ，解得 . 【考点一 方法总结】 1. 联立方程与韦达定理法：设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再代入目标代数式中化简，消去参数得到定点. 2. 三点共线与斜率相等转化法：利用已知点或对称点，将三点共线转化为斜率相等或斜率互为相反数，结合韦达定理化简求出定点. 3. 构建曲线系方程法：对于具有某种共同性质的曲线族，通过化简方程，分离出参数，令参数的系数为零，从而求出曲线恒过的定点. 考点二：圆锥曲线中的定值问题 考法4：利用韦达定理与斜率公式证明斜率与角度定值问题 9.（2026·山东德州·一模）已知椭圆 的焦距为 ，点 在 上， 为坐标原点． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 过椭圆 右焦点 的直线 与椭圆交于 两点． （i） 若点 的坐标为 ，证明：； （ii） 若 ，当 时，求弦长 的取值范围． 【答案】（1） ； （2） （i） 证明见解析；（ii） . 【思路】（1） 根据焦距和椭圆上的点列出关于 的方程组，解出即可；（2） （i） 设出直线 的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出 ，证明其为零即可得出角度相等；（ii） 利用向量关系转化为纵坐标的比例关系，结合韦达定理求出参数的范围，再代入弦长公式求出取值范围. 【解析】（1）由 ，得 ， 所以椭圆 的标准方程为 ． （2）（i）当直线 与 轴重合时，显然成立； 当直线 与 轴不重合时，设直线 方程为 ． 联立 ，得 ， 则 ，． 因为 所以 ． 故 的倾斜角互补，所以 ． （ii）由 ，则 ． 可得 因为 ，所以 又因为 所以 令 ，则 . 10.已知 ，． （1） 证明： 总与 和 相切； （2） 在 （1） 的条件下，若 与 在 轴右侧相切于 点，与 在 轴右侧相切于 点．直线 与 和 分别交于 ，，， 四点. 是否存在定直线 使得对任意题干所给 ，，总有 为定值？若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明见解析； （2） 不存在，具体理由见解析. 【思路】（1） 先推导出椭圆和双曲线在某点处的切线方程公式，再将曲线方程与直线方程联立，利用判别式或切线公式证明相切；（2） 设出直线 的方程并与曲线方程联立，利用韦达定理表示出斜率之和，通过定值条件推导出参数关系，进而求出直线方程. 【解析】（1） 下面证明椭圆 在 处的切线方程为 ，理由如下： 当 时，故切线的斜率存在，设切线方程为 ， 代入椭圆方程得：， 由 ，化简得： ， 所以 ， 把 代入 ，得：， 于是 ， 则椭圆的切线斜率为 ，切线方程为 ， 整理得到 ， 其中 ，故 ，即 ， 当 时，此时 或 ， 当 时，切线方程为 ，满足 ， 当 时，切线方程为 ，满足 ， 所以椭圆 在 处的切线方程为 ； 上一点 的切线方程为 ，理由如下： 设过点 的切线方程为 ，与 联立得， ， 由 ， 化简得 ， 因为 ，代入上式得 ， 整理得 ， 同除以 得，， 即 ， 因为 ，， 所以 ， 联立 ，两式相乘得，， 从而 ， 故 ， 即 ， 令 ，则 ，即 ， 解得 ，即 ， 所以 上一点 的切线方程为 ， 综上： 在点 的切线方程为 . 故曲线 且 在点 的切线方程为 ． 当 时，，联立 得，， 解得 ，则 ， 当 时，，，满足 ， 当 时，，，满足 ， 即曲线 与 相切， 而此时 且 ．故 总与 和 相切． （2） 设直线 ． 设 与 交于 和 ， 联立得 ， 由韦达定理得 ，， 由题意，， 代入整理得 ， 因为 为定值对任意 ， 均成立，故 为定值与 无关， 为定值与 无关． 当 时，必有 ， 此时 ． 故有 ， 代入解得 ，矛盾． 当 时， 且 时成立． 此时直线 ，由 （1） 知与曲线仅有 个交点，矛盾． 故不存在 ，使 为定值对任意 ， 均成立. 11.已知抛物线 与抛物线 在第一象限交于点 . （1） 已知 为抛物线 的焦点，若 的中点坐标为 ，求 ； （2） 设 为坐标原点，直线 的斜率为 . 若斜率为 的直线 与抛物线 和 均相切，证明 为定值，并求出该定值. 【答案】（1） ； （2） 证明见解析，定值为 ． 【思路】（1） 根据抛物线方程写出焦点坐标，设出点 的坐标，利用中点坐标公式列方程组求解即可；（2） 联立两抛物线方程求出交点 的坐标，从而得到 的表达式；设出公切线方程，分别与两抛物线方程联立，利用判别式为零求出 的表达式，进而证明其和为定值. 【解析】（1） 由 得 ，设 ， 因为 的中点坐标为 ，所以 ， 解得 . （2） 联立 ，解得 或 ， 所以 ， 所以直线 的斜率 . 设直线 的方程为 . 联立 ，消去 得 ， 因为直线 与抛物线 相切， 所以 ，即 ， 若 ，则 ，不符合题意， 所以 ，即 ，① 联立 ，消去 得 ， 因为直线 与抛物线 相切， 所以 ，即 ，② 由①②可得 ，所以 ， 故 为定值，该定值为 . 12.已知椭圆 ： 的离心率为 ，以 的短轴为直径的圆与直线 相切． （1） 求 的方程； （2） 直线 与 相交于 ， 两点，过 上的点 作 轴的平行线交线段 于点 ，且 平分 ，设直线 的斜率为 ( 为坐标原点)，判断 是否为定值？并说明理由． 【答案】（1） ； （2） 为定值，且 ． 【思路】（1） 根据离心率得到 的关系，利用圆与直线相切求出 ，进而得到椭圆方程；（2） 设出直线方程并与椭圆联立，利用角平分线条件转化为斜率互为相反数，结合韦达定理求出点 坐标满足的关系式，从而证明斜率乘积为定值. 【解析】（1） 由椭圆的离心率为 ，得 ，即有 ， 由以 的短轴为直径的圆方程为 ， 由 与直线 相切得：， 联立解得 ， 的方程为 ； （2） 为定值，且 ，理由如下： 由题意，直线 ， 的斜率互为相反数，即 ， 设 ， 由 ，消去 得：， ， 而 ， ， 即 ， ， ， 化简得 ， 又 在椭圆上，，， ， ， 又 不在直线 ， 则有 ，即 ， 为定值，且 . 考法5：结合坐标运算与韦达定理证明向量数量积定值问题 13.已知椭圆 ，， 是 的左、右焦点，过 的动直线 与 交于不同的两点 ， 两点，且 的周长为 ，椭圆 的其中一个焦点在抛物线 准线上， （1） 求椭圆 的方程； （2） 已知点 ，证明： 为定值. 【答案】（1） ； （2） 证明见解析，定值为 ． 【思路】（1） 根据抛物线准线求出椭圆的焦点，结合三角形周长求出 ，进而得到椭圆方程；（2） 设出直线 的方程并与椭圆联立，利用韦达定理表示出向量数量积的坐标形式，化简证明其为定值. 【解析】（1） 由 可得准线为 ， 所以椭圆 的左焦点 ，所以椭圆 的半焦距 ， 因为 的周长为 ， 所以 ，故 . 所以 ， 所求椭圆的方程为 . （2） 如图所示： ①当直线 斜率不存在时， 的方程为 ， 将 代入 可得 ， 所以 ，，此时 ，， 则 ， ②当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，设 ，， 由 ，得 ， 则 ，，，， 所以 ， ， ， ， 综上所述， 为定值，且定值为 . 14.已知点 到 的距离是点 到 的距离的 倍. （1） 求点 的轨迹方程； （2） 若点 与点 关于点 对称，过 的直线与点 的轨迹 交于 ， 两点，探索 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） ； （2） 是，定值为 ． 【思路】（1） 设出点 的坐标，利用两点间距离公式列出方程，化简即可得到轨迹方程；（2） 利用对称性求出点 的轨迹方程，设出过点 的直线方程并与轨迹方程联立，利用韦达定理和向量数量积公式证明其为定值. 【解析】（1） 设点 ，由题意可得 ，即 ， 化简可得 . （2） 设点 ，由 （1） 点满足方程:， ， 代入上式消去可得 ，即 的轨迹方程为 ， 当直线 的斜率存在时，设其斜率为 ，则直线 的方程为 ， 由 ，消去 ，得 ，显然 ， 设 ， 则 ，， 又 ，， 则 . 当直线 的斜率不存在时，，，. 故 是定值，即 . 15.已知椭圆 的右焦点为 ，点 在 上． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 为椭圆 的左顶点，直线 ， 分别交 于 ， 两点， 为坐标原点，求证： 为定值． 【答案】（1） ； （2） 证明见解析，定值为 ． 【思路】（1） 根据焦点坐标和椭圆上的点，列出关于 的方程组，解出即可；（2） 设出直线 的方程并与椭圆联立，利用韦达定理表示出直线 的方程，求出点 的坐标，再利用向量数量积公式化简证明定值. 【解析】（1） 由题意得 ，又点 在椭圆上， 则 ，解得 ， 故所求椭圆 的标准方程为 . （2） 由题意知直线 的斜率不为 ，可设 方程为 ， 联立 ，消 得 ， 则 ， 设 , 由韦达定理得，， 则 ， 且 ， 又 , 则直线 的方程为：， 令 得，， 同理可得，， 故 ， 由 ， 则 ， 则 . 即 为定值. 16.（2026·山东德州·二模）在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离是它到直线 距离的 倍，记点 的轨迹为 ． （1） 求 的方程； （2） 设点 为 的下顶点，直线 过点 且垂直于 轴（ 位于原点与上顶点之间），过 的直线交 于 两点，直线 分别交 于 两点． ①证明： 为定值； ②是否存在实数 使得 四点共圆？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ； （2） ①证明见解析；②不存在，理由见解析. 【思路】（1） 设出点 的坐标，利用距离公式列出等式，化简即可得到轨迹方程；（2） ①设出直线 的方程并与椭圆联立，利用韦达定理表示出点 的横坐标，进而计算向量数量积证明其为定值；②假设四点共圆，利用圆的对称性推导出点 关于 轴对称，结合韦达定理求解 的值，并验证其是否在已知范围内. 【解析】（1） 设 ，由题意得 ， 化简得 ， 所以 的方程为 ． （2） ①由题意知，，，直线 的方程为 ． 当直线 的斜率不存在时， 为椭圆 左右顶点，即 ， 此时 为原点，不符合题意； 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，． 联立 ，得 ． ， 则 ． 直线 的方程为 ，令 ，得 ． 同理可得 ． 所以 ． 所以 为定值 ． ②假设存在实数 使得 四点共圆， 由 在 轴上， 在直线 上，且 垂直于 轴， 可知 四点共圆且圆心在 轴上， 由对称性可知， 关于 轴对称，即 ， 所以 ． 所以 ． 即 ． 因为 ，所以 ，解得 ． 又因为 ，所以不存在实数 使得 四点共圆. 考法6：运用弦长与距离公式证明线段长度与面积定值问题 17.（2026·山东师大附中·检测）已知椭圆 的离心率 ，且经过点 ， 为坐标原点，斜率不为 的直线 与椭圆 交于 两点，. （1）求椭圆 的方程； （2）证明：点 到直线 的距离是定值； （3）求 的取值范围. 【答案】（1） ； （2） 证明见解析，定值为 ； （3） . 【思路】（1） 根据离心率和椭圆上的点求出 的值，进而得到椭圆方程；（2） 设出直线 的方程并与椭圆联立，利用垂直条件转化为向量数量积为零，结合韦达定理求出参数的关系式，再利用点到直线的距离公式证明定值；（3） 利用弦长公式表示出 ，结合参数关系将其转化为关于单变量的函数，求出其取值范围. 【解析】（1） 由题意得 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 ． （2） 设直线 的方程为 ，， 联立 ，消去 得 ， ， ， 因为 ，所以 ， ， 解得 ，满足 ， 点 到直线 的距离 ， 所以点 到直线 的距离是定值 ． （3） ， 将 代入，得 ， 令 ， ， 令 ， ， 当 时， 取得最大值 ， 当 时，， 当 时，， 所以 . 18.已知 ， 既是双曲线 的两条渐近线，也是双曲线 的渐近线，且双曲线 的焦距是双曲线 的焦距的 倍. （1） 任作一条平行于 的直线 依次与直线 以及双曲线 ， 交于点 ，，，求 的值； （2） 如图， 为双曲线 上任意一点，过点 分别作 ， 的平行线交 于 ， 两点，证明： 的面积为定值，并求出该定值. 【答案】（1） ； （2） 证明见解析，定值为 ． 【思路】（1） 根据渐近线方程和焦距关系求出双曲线 的方程，设出平行直线的方程，分别与渐近线和双曲线联立求出交点横坐标，利用横坐标的比例关系求出线段比值；（2） 利用平行线截线段成比例的性质，将三角形面积转化为另一个三角形面积的固定比例，再结合交点坐标和夹角计算面积证明其为定值. 【解析】（1） 依题意 ，根据双曲线 的焦距是双曲线 的焦距的 倍，可得 ， 即 ，故双曲线 ：， 不妨设 ：，则设 ：， 联立 ，可得 ，联立 可得 ， 联立 可得 ， 从而 , 所以 （2） 如图，延长 ， 分别交渐近线于 ， 两点， 由 （1） 可知 ，则 ， 设 ，则 ：，联立 ， 解得 ， 而 ：，联立 ，解得 ， 从而 ， 设 的倾斜角为 ，则 ，而 ，故 ， 则 ，因此 . 19.如图，已知椭圆 的左右焦点分别为 ，，点 为 上的一个动点 (非左右顶点)，连接 并延长交 于点 ，且 的周长为 ， 面积的最大值为 ． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 若椭圆 的长轴端点为 ，且 与 的离心率相等， 为 与 异于 的交点，直线 交 于 两点，证明： 为定值． 【答案】（1） ； （2） 证明见解析，定值为 ． 【思路】（1） 根据焦点三角形的周长和面积最大值，利用椭圆的定义和几何性质求出 ，得到椭圆方程；（2） 根据条件求出椭圆 的方程，设出直线 的方程并与椭圆联立，利用韦达定理和弦长公式表示出弦长，结合斜率关系证明其和为定值. 【解析】（1） 的周长为 ，由椭圆的定义得 ，即 ， 又 面积的最大值为 ，，即 ， ，，，解得 ， 椭圆 的标准方程为 . （2） 由 （1） 可知 ，，椭圆 的离心率 ， 设椭圆 的方程为 ，则有 ，，解得 ， 椭圆 的标准方程为 ， 设 ，，， 点 在曲线 上，， 依题意，可设直线 ， 的斜率分别为 ， 则 的方程分别为 ，， 于是 ， 联立方程组 ，消去 整理，得 ， ，， ， 同理可得：， ，， 为定值. 20.已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ，且 ． （1） 求 的值； （2） 若直线 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点，， 在第一象限，， 在第四象限，且 ，证明： 为定值． 【答案】（1） ； （2） 证明见解析，定值为 ． 【思路】（1） 根据抛物线方程写出焦点坐标，利用距离公式求出 的值；（2） 设出直线方程并分别与两抛物线联立，利用韦达定理表示出交点纵坐标的关系，结合线段比例关系转化为纵坐标的关系，化简求出比值. 【解析】（1） 由题意知 ，， 所以 ， 解得 ． （2） 由 （1） 知 ，． 设直线 ，，，，， 根据题意结合图形可知 ，且 ． 联立 ，得 ， 则 ， 同理联立 ，得 ， 则 ． 由 可得，， 又 ，， 所以 ， 即 ，化简得 ，即 ， 又因为 ，，所以 ， 再由 ，得 ． 联立 ，解得 ， 所以 ，，． 故 ， 所以 为定值. 【考点二 方法总结】 1. 斜率与角度定值问题：设出直线方程并与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理表示出两直线的斜率之和或斜率之积，化简证明其为常数，从而推导出角度的定值关系. 2. 向量数量积定值问题：将向量的坐标用交点的坐标表示，利用数量积坐标公式展开，结合韦达定理将参数消去，最终得到与参数无关的常数. 3. 线段长度与面积定值问题：利用弦长公式或点到直线的距离公式表示出线段长度或三角形面积，将其转化为关于某个参数的函数，通过代数变形证明该函数值为常数. 考点三：圆锥曲线中的存在性问题 考法7：转化斜率与向量关系探究角度存在性问题 21.已知椭圆 的左右焦点分别为 、， 分别为椭圆 的上，下顶点， 到直线 的距离为 ． （1） 求椭圆 的方程； （2） 直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别交 轴于 两点．问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ； （2） 存在，． 【思路】（1） 利用三角形面积公式或点到直线的距离公式求出 的值，进而得到椭圆方程；（2） 假设存在点 ，利用角度互余条件转化为正切值关系，结合交点坐标和直线方程求出截距，化简证明存在性. 【解析】（1） 中由面积公式得 ， 即 ，得 ， 椭圆方程为 ； （2） 如图， 假设存在点 使得 ，设 ， , ，即 ， ，即 ， 直线 与椭圆 交于不同的两点 ，易知 关于 对称， 设 ，则 ， 由 （1） 知 ，直线 的方程是 ，令 得 ， 直线 方程是 ，令 得 ， 由 ，得 ， 又 在椭圆上，所以 ，即 ， ，即 . 所以存在点 ，使得 成立. 22.已知椭圆 经过点 且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为 . （1） 求椭圆 的方程和离心率； （2） 设 ， 为椭圆 上不同的两个点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且 、、 三点共线. 其中 为坐标原点. 问： 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） ，； （2） 存在，． 【思路】（1） 根据顶点坐标和四边形面积列出方程组求出 ，得到椭圆方程和离心率；（2） 假设存在点 ，利用对称性设出点 的坐标，求出点 的坐标，将角度相等转化为向量垂直，利用向量数量积为零求解点 的坐标. 【解析】（1） 依题意可得 ，，又 ，解得 ， 所以椭圆方程为 ，则离心率 （2） 因为 、、 三点共线，根据椭圆的对称性可知 、 关于 点对称， 设点 ，则 ， 所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 所以点 ，． 假设存在 使 ，， 所以 ，又 ，所以 ， 即 ，所以 ， 设 ，则 ，， 所以 ，即 ， 又 ，所以 ，所以 ，解得 ， 所以 . 23.已知点 是圆 上的任意一点，点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ． （1） 求动点 的轨迹 的方程； （2） 若过点 且斜率不为 的直线 交 （1） 中轨迹 于 、 两点， 为坐标原点，点 ．问： 轴上是否存在定点 ，使得 恒成立．若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ； （2） 存在，． 【思路】（1） 利用垂直平分线的性质，将距离关系转化为椭圆的定义，从而求出轨迹方程；（2） 假设存在定点 ，将角度相等转化为斜率互为相反数，设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理化简证明存在性. 【解析】（1） 由圆 ，可得圆心坐标为 ，半径 ， 如图所示，线段 的垂直平分线交 于点 ， 所以 ， 根据椭圆的定义可知点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，且 ， 可得 ，则 ， 所以动点 的轨迹方程为 . （2） 由题意，设直线 的方程为 ，且 ， 联立方程组 ，整理得 ， 则 ，解得 且 ， 设 ，所以 根据椭圆的对称性，不妨令 在 轴上方，且 ，显然 ， 假设存在 使得 恒成立，即 恒成立， 可得 ，即 恒成立，即 恒成立， 又由 ， 所以 ， 所以 ， 所以存在点 ，使得 恒成立. 24.已知椭圆 经过点 ，过点 的直线交该椭圆于 ， 两点. （1） 求 面积的最大值，并求此时直线 的方程； （2） 若直线 与 轴不垂直，在 轴上是否存在点 使得 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） ， 或 ； （2） 存在，． 【思路】（1） 将已知点代入椭圆方程求出 ，设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理表示出三角形面积，通过基本不等式求出最大值及对应的直线方程；（2） 假设存在点 ，将角度相等转化为斜率互为相反数，利用韦达定理化简证明存在性. 【解析】（1） 将 代入椭圆方程， 得到 ，故 ， 故椭圆方程为 . 当直线 的斜率为 时，此时 三点共线，不合要求，舍去； 当直线 的斜率不为 时，设直线 的方程为 ， 与椭圆方程 联立，得 ， 设 ，则 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 故 面积的最大值为 ， 此时直线 的方程为 或 . （2） 在 轴上存在点 使得 恒成立， 理由如下： 因为 ，所以 ，即 ， 整理得 ， 即 ， 所以 ， 则 ，解得 ， 故在 轴上存在点 ，使得 恒成立. 25.已知椭圆 过点 ，且上顶点与右顶点的距离为 ． （1） 求椭圆 的方程； （2） 若过点 的直线 交椭圆 于 两点， 轴上是否存在点 使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ； （2） 存在，． 【思路】（1） 根据距离条件和椭圆上的点列出方程组，求出 的值，得到椭圆方程；（2） 假设存在点 ，将角度互补转化为斜率互为相反数，设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理化简证明存在性. 【解析】（1） 椭圆 上顶点与右顶点的距离为 ，； 又椭圆 过点 ，； 两式联立可解得：，， 椭圆 的方程为：. （2） 当直线 与 轴不重合时，设其方程为 ，， 由 得：， 则 ，解得： 或 ， ，， 假设存在点 使得 ，即存在点 使得 ， 设点 ，则 ， ， ，又 ，，解得：， ； 当直线 与 轴重合时， 分别为椭圆 左右顶点， 若 ，此时 显然成立； 综上所述： 轴上存在点 满足题意. 考法8：构建坐标方程探究数量积与线段存在性问题 26.已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，椭圆的左顶点坐标为 ，离心率为 ． （1） 求椭圆 的方程； （2） 过点 作直线 交 于 、 两点，试问：在 轴上是否存在一个定点 ，使 为定值？若存在，求出这个定点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ； （2） 存在，，定值为 ． 【思路】（1） 根据顶点坐标和离心率求出 ，进而得到 ，写出椭圆方程；（2） 假设存在点 ，设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理表示出向量数量积，通过使其与斜率无关，求出点 的坐标. 【解析】（1） 设椭圆 的方程为 ， 由已知得 ，解得：， 所以 ． 所以椭圆 的方程为 ． （2） 假设存在符合条件的点 ， 设 ，， 则 ，， ， ①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 由 ，得：， ，， ， ， 对于任意的 值，上式为定值， 故 ，解得：， 此时， 为定值； ②当直线 的斜率不存在时， 直线 ，，，， 由 ，得 为定值， 综合①②知，符合条件的点 存在，其坐标为 . 27.已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点 重合，且椭圆短轴的两个端点与 构成正三角形. （1） 求椭圆的方程； （2） 若过点 的直线 与椭圆交于不同两点 、，试问在 轴上是否存在定点 ，使 恒为定值？若存在，求出 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ； （2） 存在，，定值为 ． 【思路】（1） 根据抛物线焦点求出椭圆的半焦距，结合正三角形条件求出 ，进而得到椭圆方程；（2） 假设存在点 ，设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理表示出向量数量积，通过使其与斜率无关，求出点 的坐标. 【解析】（1） 由题意知抛物线的焦点为 ， 所以 ， 因为椭圆短轴的两个端点与 构成正三角形， 所以 ， 可求得 . 故椭圆的方程为 . （2） 假设存在满足条件的点 ， 当直线 的斜率存在时，设其斜率为 ，则 的方程为 ， 由 得 ， 设 ， 所以 ， 则 ， 要使 为定值，令 ，即 ， 此时 . 当直线的斜率不存在时，不妨取 ， 由 ，可得 ， 所以 . 综上所述，存在点 ，使 为定值 . 28.已知 、 为双曲线 的左、右焦点， 的离心率为 ， 为 上一点，且 . （1） 求 的方程； （2） 设点 在坐标轴上，直线 与 交于异于 的 、 两点，且点 在以线段 为直径的圆上，过 作 ，垂足为 ，是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ； （2） 存在，． 【思路】（1） 根据离心率和双曲线定义求出 ，进而得到 ，写出双曲线方程；（2） 确定点 的坐标，设出直线方程并与双曲线联立，利用圆的直径条件转化为向量垂直，求出直线过定点，再利用直角三角形的性质证明存在性. 【解析】（1） 因为双曲线的离心率为 ，所以 ，即 ， 又 ，所以 ，则 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 故双曲线 的方程为 . （2） 因为 点满足 ， 所以点 在双曲线 的左支上，又因为点 在坐标轴上，则 ， 设 ，当 的斜率存在时，设 的方程为 ， 联立方程 ，整理得 , 则 ，, 即 , ，因为 在以线段 为直径的圆上，所以 ， 则 ，又 ，， 则 ， 所以 ， 即 ，整理得 ， 即 ，解得 或 ，经检验均满足 ， 当 时，直线 的方程为 ，则直线 过点 ，不合题意，舍去； 当 时，直线 的方程为 ，则直线 恒过定点 ，符合题意. 当 的斜率不存在时，，，， ，又 ，解得 (舍去) 或 ， 所以直线 方程为 ，则直线 恒过定点 . 综上，直线 恒过定点 . 因为 ，所以 是以 为斜边的直角三角形， 即点 在以 为直径的圆上，则点 为该圆的圆心即斜边 的中点， 又 ，，所以 ， 为该圆的半径，即 ， 故存在点 ，使得 为定值 . 29.已知为 坐标原点，，，，，，，， 和 交点为 . （1） 求点 的轨迹 ； （2） 直线 和曲线 交与 ， 两点，试判断是否存在定点 使 ？如果存在，求出 点坐标，不存在请说明理由. 【答案】（1） ； （2） 存在，． 【思路】（1） 根据向量关系表示出 的坐标，写出直线 的方程，消去参数 得到轨迹方程；（2） 假设存在点 ，设出其坐标，将直线方程与轨迹方程联立，利用韦达定理代入斜率乘积公式，化简求出点 的坐标. 【解析】（1） 设点 ，， ，即 ， 点坐标为 ， ，即 ， 点坐标为 ， 根据两点坐标可得， 直线 方程为：， 直线 方程为：， 两式移项相乘得：， 整理得 ， 点的轨迹为以 为焦点，长轴长为 的椭圆， 即其方程为 . （2） 假设存在定点 ， 设点 坐标为 ，， 联立方程组 消 得 ， 直线与椭圆交于两点， 即 ， ， ， ， ， ， 整理得： ， ，对 恒成立， ，得 ， ， 所以存在定点 , 坐标为 或 . 30.已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的左顶点和右焦点分别为 ，动点 满足 ，记动点 的轨迹为曲线 . （1） 求 的方程； （2） 设点 在 上，过 作 的两条切线，分别与 轴相交于 两点. 是否存在点 ，使得 等于 的短轴长？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ； （2） 存在，． 【思路】（1） 写出点 的坐标，设出点 的坐标，代入已知关系式化简即可得到轨迹方程；（2） 设出点 的坐标，利用切线条件列出关于斜率或截距的方程，结合韦达定理和弦长公式表示出 ，化简求出点 的坐标. 【解析】（1） 依题意知，， 设 ，则由 ，得 ， 即 ， 曲线 的方程为 . （2） (方法一) 设点 ，则 ， 由题意知， 的斜率存在，不妨依次设为 ， 则直线 的方程为 ，即 ， 直线 与圆 相切，, 即 ， 同理，可得 ， 显然 是方程 的两根， ， 即 . 设 ，则 ， , 由 ，得 ， 由 ，得 ， 存在点 ，或 满足题意. (方法二) 设点 在 上，， 由题意知， 的斜率存在，分别为 ， 则直线 的方程为 ， 直线 与圆 相切，， 即 ， 同理，可得 ， 显然 是方程 的两根， ， , 由 ，得 ，. 由 ，得 ， 存在点 或 满足题意. 31.椭圆 经过两点 ，，过点 的动直线 与椭圆相交于 ， 两点． （1） 求椭圆 的方程； （2） 若椭圆 的右焦点是 ，其右准线与 轴交于点 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证：； （3） 设点 是椭圆 的长轴上某一点 (不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点 不同的定点 ，使得 恒成立？只需写出点 的坐标，无需证明． 【答案】（1） ； （2） 证明见解析； （3） 存在，． 【思路】（1） 设出椭圆方程，代入已知两点坐标求出参数，得到椭圆方程；（2） 确定点 的坐标，利用向量共线条件转化为坐标关系，结合椭圆方程化简，证明斜率之和为零；（3） 利用特殊位置探究出点 的坐标，再利用类似第二问的方法进行一般性证明. 【解析】（1） 设椭圆方程为 ，，，， 椭圆 经过两点 ，， ，解得 ，， 椭圆 的方程为 ． （2） 设 ，，则 ，， 由题意 ，， ，， ，， ， ， 若 ，则 ，结论成立． 若 ，则 ， ． （3） 当 与 轴平行时，设直线 与椭圆相交于 、 两点， 如果存在定点 满足条件，则有 ， ， 在 轴上，设 ， 当直线 与 轴垂直时，设直线 与椭圆相交于 ， 两点， 则 ， 的坐标分别为 ，， 由 ，有 ， 解得 ， 若存在不同于点 不同的定点 满足条件，则 点坐标只可能为 ． 下面证明：对任意直线 ，均有 ， 记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 设 ，，则 ，． 由题意 ，， ，， ， ， 若 ，则 ，符合题意； 若 ，则 ， ， 设点 关于 轴对称的点 ，，，， 三点共线， . 【考点三 方法总结】 1. 角度存在性问题：假设存在满足条件的点，将角度相等或互补转化为斜率的关系（如斜率互为相反数或斜率相等），结合韦达定理列出方程，解出该点的坐标，若有解则存在，否则不存在. 2. 数量积与线段存在性问题：假设存在定点，设出其坐标，将题目中的向量数量积或线段长度关系用坐标表示，结合韦达定理化简，令其与参数无关，从而解出定点坐标. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $