第64讲 斜率与垂直弦问题 讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦斜率与垂直弦问题，系统整合斜率和差积比、垂直弦中点、内接直角三角形等核心考点，以知识清单梳理圆锥曲线斜率关系与定点、面积处理等规律，通过典题精练分考点设计考法示例与方法总结，构建“考情分析-知识梳理-典例精讲-策略提炼”的复习体系，帮助学生突破“设而不求”与韦达定理应用难点。 讲义以培养数学思维与模型意识为核心，创新采用“几何条件代数化”教学策略，如在圆锥曲线内接直角三角形问题中，引导学生将垂直条件转化为斜率乘积关系，联立方程后用韦达定理推导斜边定点，强化推理能力。设置分层例题与即时方法总结，助力学生在有限时间内掌握代数变形与算理基础，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第64讲 斜率与垂直弦问题 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 5 考点一：斜率和与斜率差问题 5 考点二：斜率积与斜率比问题 15 考点三：圆锥曲线内接直角三角形问题 21 考点四：圆锥曲线互相垂直弦的中点问题 30 考点五：垂直弦的范围与最值问题 40 一、考情分析 近三年高考全国一卷未直接或间接考查本讲的核心知识.通过处理斜率的和、差、积、比以及垂直弦等问题，能有效强化“设而不求”与韦达定理的结合应用，培养将垂直、共线等几何条件代数化的模型思维；同时，本讲涉及的定点、定值探究及面积最值求解方法，也为解决圆锥曲线综合问题提供了必要的代数变形经验与算理基础。 二、知识清单 1. 圆锥曲线中的斜率关系与定点问题 （1） 动点在圆锥曲线上，斜率和为零的定点问题 ① 已知 是椭圆 上的定点，直线 （不过 点）与椭圆交于 ， 两点，且 ，则直线 恒过定点，且其斜率为定值 . ② 已知 是双曲线 上的定点，直线 （不过 点）与双曲线交于 ， 两点，且 ，则直线 恒过定点，且其斜率为定值 . ③ 已知 是抛物线 上的定点，直线 （不过 点）与抛物线交于 ， 两点，若 ，则直线 恒过定点，且其斜率为定值 . （2） 动点在圆锥曲线上，斜率和或积为定值的定点问题 已知 为椭圆 上一定点，过点 作斜率为 ， 的两条直线分别与椭圆交于 ， 两点. ① 若 ，则直线 恒过定点 . ② 若 ，则直线 恒过定点 (). （3） 动点不在圆锥曲线上，斜率和或积为定值的定点问题 设 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过 作两条直线 ， 交椭圆 于 、、、，直线 ， 的斜率分别为 ，，弦 ， 的中点记为 ，. ① 若 ，则直线 恒过定点 . ② 若 ，则直线 恒过定点 (). （4） 抛物线中斜率和为定值的定点问题 过抛物线 上任一点 引两条弦 ，，直线 ， 斜率存在，分别记为 ，，若 ，则直线 恒过定点 . 2. 圆锥曲线中的垂直弦与定点问题 （1） 椭圆中的垂直弦中点定点问题 ① 过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的弦 ，.若弦 ， 的中点分别为 ，，那么直线 恒过定点 (). ② 过椭圆 的长轴上任意一点 () 作两条互相垂直的弦 ，.若弦 ， 的中点分别为 ，，那么直线 恒过定点 (). ③ 过椭圆 的短轴上任意一点 () 作两条互相垂直的弦 ，.若弦 ， 的中点分别为 ，，那么直线 恒过定点 (). ④ 过椭圆 内的任意一点 () 作两条互相垂直的弦 ，.若弦 ， 的中点分别为 ，，那么直线 恒过定点 (). （2） 圆锥曲线内接直角三角形斜边定点问题 ① 以 为直角定点的椭圆 内接直角三角形的斜边必过定点 (). ② 以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上. ③ 以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上. ④ 以 为直角定点的抛物线 内接直角三角形的斜边必过定点 (). ⑤ 以 为直角定点的双曲线 内接直角三角形的斜边必过定点 (). 3. 圆锥曲线中的面积问题处理公式 （1） 三角形的面积处理方法 ① 底 高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）. ② 水平宽 铅锤高 或 . ③ 在平面直角坐标系 中，已知 的顶点分别为 ，，，三角形的面积为 . （2） 三角形面积比处理方法 ① 对顶角模型：. ② 等角共角模型：. （3） 四边形面积处理方法 ① 对角线互相垂直的四边形：. ② 一般四边形：（其中 为对角线夹角）. ③ 分割为两个三角形：（其中 为另外两顶点到对角线 的距离）. （4） 面积的最值问题或者取值范围问题 一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量. 4. 圆锥曲线中的斜率乘积常考结论 （1） 圆锥曲线的“第三定义” ① 椭圆：设 ， 为椭圆 的长轴上的两个顶点，若 为椭圆上异于 ， 的任意一点，则直线 与 的斜率乘积为定值，即 . ② 双曲线：设 ， 为双曲线 的实轴上的两个顶点，若 为双曲线上异于 ， 的任意一点，则直线 与 的斜率乘积为定值，即 . （2） 抛物线中的斜率乘积定值 设 ， 为抛物线 上的两点，若直线 经过焦点 ，且 为坐标原点，则直线 与 的斜率乘积为定值，即 . 三、典题精讲 考点一：斜率和与斜率差问题 考法1：运用设而不求与韦达定理求解圆锥曲线斜率和问题 1.（2026·河南湘豫名校·联考）已知抛物线 上有点 ，，，，其中 ．又点 ，，若 分别交抛物线于另一点 ，且直线 的斜率为 ，则 ＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出交点纵坐标，进而求出直线斜率的表达式，最后利用裂项相消法求和即可. 【解析】设直线 方程为 ，代入 ，得 ，由根与系数的关系可得 ，得 ，同理可得 ．所以 ，则 ，所以 ． 2.（2025·广东上进·联考）已知双曲线 的左焦点 ，其一条渐近线方程为 ． （1） 求 的标准方程； （2） 过 的右焦点 作 轴的垂线与 在第一象限内交于点 ，过点 作斜率为 的直线分别交 于 两点，则当 时，判断直线 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 直线 的斜率为定值，定值为 【思路】（1） 根据渐近线方程及焦点坐标列式求解即可；（2） 设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理结合斜率和为零的条件，化简直线斜率表达式即可证明. 【解析】（1） 由题意可知 ， 又 ， 解得 ， 故 的标准方程为 ． （2） 由已知得 ，则直线 的方程为 ， 代入 ，消去 得 ． 设 ， 所以 ，可得 ， 因为 ，所以 ， 所以直线 的斜率 ， 因为 ， 所以直线 的斜率 ． 即直线 的斜率为定值 ． 3.（2026·浙江绍兴·二模）设 ， 两点的坐标分别为 ，，直线 ， 相交于点 （ 位于第一象限），且它们的斜率之积是 ，记 的轨迹为曲线 ． （1） 求 的方程； （2） 若 是 上的点，． （i） 求 的坐标； （ii） 记直线 ，， 的斜率分别为 ，，，证明： 为定值． 【答案】（1） （2） （i） （ii） 证明见解析 【思路】（1） 设出点坐标，利用斜率之积为1列式化简即可；（2） （i） 设出点坐标，利用向量数量积的坐标表示结合轨迹方程求解即可；（ii） 分别表示出三条直线的斜率，代入目标式中，结合点在曲线上化简即可证明. 【解析】（1）设 ，由题意知 ， 得 ， 所以 的方程是 ． （2）（i）设 ，则 ， 所以 ， 解得 ，， 所以 ． 证明： （ii）法一： 因为 ， 又因为 为定值． 法二： 因为 ． 因为 为定值． 【考点一 方法总结】 1. 设而不求法：处理圆锥曲线中斜率和、差问题时，通常设出直线方程（如 或 ），与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理得到两交点坐标的和与积. 2. 斜率公式代入化简：将交点坐标代入斜率公式，利用韦达定理的结果进行整体代换，化简得到斜率和或差的表达式. 3. 注意特殊情况：在设直线方程时，需注意直线斜率不存在的情况，必要时需单独讨论. 考法2：运用设而不求与韦达定理求解圆锥曲线斜率差问题 4.（2026·湖南常德·一模）已知椭圆 过点 ，且离心率为 ，， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上在第一象限内的一个动点． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 直线 ， 分别交椭圆 于点 ，，直线 ， 的斜率分别为 ，，求 的最小值． 【答案】（1） （2） 【思路】（1） 根据离心率及点在椭圆上列方程组求解即可；（2） 设出点坐标及直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出交点坐标，进而表示出斜率，结合点在椭圆上化简，最后利用基本不等式求最值. 【解析】（1）根据题意可得 解得 ，，． 所以椭圆的方程为 ． （2）设 ，，，由（1）可知 ，， 因为点 在椭圆上，所以 ． 由题意 ，． 将直线 与椭圆 联立 ，可得 ． 整理可得：．所以 ． 所以 ，，即 ． 同理，将直线 与椭圆 联立 ，可得 ． 整理可得：．所以 ． 所以 ，，即 ． 所以 的斜率为 ． 的斜率为 ． 故 ． 因为点 在第一象限内．故 ，． 所以 的最小值为 ，当且仅当在 处取到等号． 5.（2026·山东泰安·二模）已知椭圆 过点 ，中心在原点，对称轴为坐标轴． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 过点 的直线 的斜率为 ， 与椭圆 交于 两点，其中 两点分别位于 轴左、右两侧，直线 分别与直线 交于 三点． （i） 设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 ； （ii） 当直线 平分 的内角 (或其外角) 时，求 的值． 【答案】（1） （2） （i） （ii） 【思路】（1） 设出椭圆方程，代入已知点坐标求解即可；（2） （i） 设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出交点横坐标，结合直线方程化简斜率差即可；（ii） 根据角平分线的性质转化为垂直关系，利用向量数量积为零求解参数. 【解析】（1）设椭圆 的方程为 过点 ，解得 椭圆 的标准方程为 ． （2）（i）直线 设 由 得 直线 的方程为 令 ，得 （ii） 为 的中点 如图， 又 6.已知椭圆 ： 的离心率 ，． （1） 求椭圆 的方程； （2） 如图，，， 是椭圆 的顶点， 是椭圆 上除顶点外的任意一点，直线 交 轴于点 ，直线 交 于点 ，设 的斜率为 ， 的斜率为 ，证明： 为定值． 【答案】（1） （2） 证明见解析 【思路】（1） 根据离心率及参数和列方程组求解即可；（2） 设出直线方程并与椭圆方程联立，求出交点坐标，进而表示出相关点坐标及直线斜率，代入目标式化简即可证明. 【解析】（1） 由椭圆的离心率 ，则 ，① 又 ②， 解得：，， 则椭圆的标准方程为：； （2） 证明：因为 ， 不为椭圆顶点，则可设直线 的方程为 ． 联立 ，整理得 ． 则 ，故 ，则 ． 所以 ． 又直线 的方程为 ． 联立 ，解得 ． 由三点 ，， 共线， 得 ，所以 ． 的斜率为 ． 则 ． 为定值 ． 7.设 、 为抛物线 上的两点， 与 的中点的纵坐标为 ，直线 的斜率为 ． （1） 求抛物线 的方程； （2） 已知点 ，、 为抛物线 (除原点外) 上的不同两点，直线 、 的斜率分别为 ，，且满足 ，记抛物线 在 、 处的切线交于点 ，线段 的中点为 ，若 ，求 的值． 【答案】（1） （2） 【思路】（1） 设出点坐标，利用点在抛物线上及中点纵坐标、斜率条件列式求解即可；（2） 设出点坐标，利用斜率差条件得到纵坐标之差，再利用导数或判别式求出切线方程，联立求出交点纵坐标，结合中点坐标公式求解即可. 【解析】（1） 设 ，． 又 、 都在抛物线 上， 即所以 ，． 由两式相减得 ， 直线 的斜率为 ，． 两边同除以 ，且由已知得 ， 所以 ，即 ． 所以抛物线 的方程为 ． （2） 设 ，，． 因为 所以 ，所以 ， 设直线 的斜率为 ，则直线 ， 由 ，消 得 ． 由 ，得 ，即 ． 所以直线 ， 同理得直线 ． 联立以上两个方程解得 又 ， 所以 ， 所以 ． 8.如图，已知点 是抛物线 ： 的焦点，点 在抛物线上，且 ． （1） 若直线 与抛物线 交于 两点，求 的值； （2） 若点 在抛物线 上，且抛物线 在点 处的切线交于点 ，记直线 的斜率分别为 ，且满足 ，求证： 的面积为定值． 【答案】（1） （2） 证明见解析 【思路】（1） 根据向量坐标求出焦点坐标及参数，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可；（2） 设出点坐标，利用斜率差条件得到横坐标之差，再求出切线方程及交点坐标，结合三角形面积公式化简即可证明. 【解析】(Ⅰ) 设 ，由题意，得 ， 故 ，即 代入 中，得 ，所以 ， 所以抛物线方程为 ， 联立方程，得 消去 ，得 ， ，记 ， 根据根与系数的关系，得 ， 故 ． (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知，抛物线方程为 ， 设 ， 因为直线 的斜率分别为 ， 则 ， 又因为 ，所以 ， 直线 ，直线 ， 易得 因为直线 ， 如图，过 作 轴平行线交 于点 ， 将 的值代入直线 的方程，可得 ， 所以 ． 所以 的面积为定值 ． 9.在平面直角坐标系 中，已知定点 ，点 在 轴上运动，点 在 轴上运动，点 为坐标平面内的动点，且满足 ． （1） 求动点 的轨迹 的方程； （2） 点 为圆 上一点，由 向 引切线，切点分别为 、，记 分别为切线 ， 的斜率，当 运动时，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【思路】（1） 设出点坐标，利用向量数量积及线性运算的坐标表示列式化简即可；（2） 设出切线方程并与抛物线方程联立，利用判别式等于零得到斜率的关系，结合韦达定理及点在圆上化简，最后求出取值范围. 【解析】（1） 设 ． 因为 所以 ，即 因为 所以 所以 ，， 所以 （2） 设 ， 由题意知：切线斜率存在，设为 切线方程为：， 联立 ，化简得： 将 代入得 ， ． 的取值范围是 ． 考点二：斜率积与斜率比问题 考法3：运用设而不求与韦达定理求解圆锥曲线斜率积问题 10.（2026·湖南永州·二模）已知椭圆 的焦距为 ，且离心率为 ． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 已知 ，直线 过点 （直线 不与 轴重合），交椭圆于 ， 两点．直线 交椭圆于另一点 ，直线 交椭圆于另一点 ，连接 交 轴于 ． （i） 求 的值； （ii） 求点 到直线 距离的取值范围． 【答案】（1） （2） （i） （ii） 【思路】（1） 根据焦距及离心率列方程组求解即可；（2） （i） 设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出交点坐标，进而求出相关点坐标及斜率比；（ii） 利用三点共线求出定点坐标，再利用距离公式求出取值范围. 【解析】 【小问 1 详解】 由题意易知：，，，故 ，， 因此椭圆 ； 【小问 2 详解】 （i）若直线 斜率不存在，则由对称性可知，此时直线 斜率均不存在， 故设 ，设 ，， 由 ，可得 ， 所以 ，， 记 ，则直线 ， 由 ，可得 ， 所以 ， 故 ， 代入直线 ，可得 ， 同理：， 因此 ， 故有 ； （ii）设 ，则 ，． 由于 ，， 三点共线， 故 ， 进而 ， 化简可得：，因此 ，即 ， 则 ， 故点 到直线 距离的取值范围为 ． 11.（2026·浙江宁波十校·二模）已知椭圆 的焦距为 ，且离心率为 ． （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 已知 ，直线 过点 （直线 不与 轴重合），交椭圆于 ， 两点．直线 交椭圆于另一点 ，直线 交椭圆于另一点 ，连接 交 轴于 ． （i） 求 的值； （ii） 求点 到直线 距离的取值范围． 【答案】（1） （2） （i） （ii） 【思路】同第10题. 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）设 与椭圆方程联立，设 ，，联立直线 和椭圆的方程，得出 坐标，再利用斜率公式以及韦达定理化简； （ii）根据 ，， 三点共线，得出坐标关系化简求出 即可求出． 【小问 1 详解】 由题意易知：，，，故 ，， 因此椭圆 ； 【小问 2 详解】 （i）若直线 斜率不存在，则由对称性可知，此时直线 斜率均不存在， 故设 ，设 ，， 由 ，可得 ， 所以 ，， 记 ，则直线 ， 由 ，可得 ， 所以 ， 故 ， 代入直线 ，可得 ， 同理：， 因此 ， 故有 ； （ii）设 ，则 ，． 由于 ，， 三点共线， 故 ， 进而 ， 化简可得：，因此 ，即 ， 则 ， 故点 到直线 距离的取值范围为 ． 12.已知双曲线 的实轴长为 ，左右两个顶点分别为 ，经过点 的直线 交双曲线的右支于 两点，且 在 轴上方，当 轴时，． （1） 求双曲线方程． （2） 求证：直线 的斜率之比为定值． 【答案】（1） （2） 证明见解析 【思路】（1） 根据实轴长及通径长列式求解即可；（2） 设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理表示出交点坐标，进而表示出斜率之比，化简即可证明. 【解析】（1） 由题意可得 ， 当 轴时，直线 ， 则 ， 又 ，所以 ； （2） 由题意可知 、， 不妨设 ：、，易知 ， 联立双曲线方程得 ， 则 ，且 ，不难发现 由斜率公式可知 ， 则 ， 故 是定值． 13.如图，、、、 为抛物线 上四个不同的点，直线 与直线 相交于点 ，直线 过点 （1） 记 ， 的纵坐标分别为 ，求 ； （2） 记直线 ， 的斜率分别为 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在说明理由． 【答案】（1） （2） 存在， 【思路】（1） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可；（2） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出交点坐标，进而表示出斜率，结合斜率关系化简求解即可. 【解析】（1） 设直线 的方程为 ， 由 消去 并化简得 ， 则 ． （2） 设直线 的方程为 ，同 （1） 可求得 ， 设直线 的方程为 ， 由 消去 并化简得 ， 所以 ． ， 同理可求得 ， 则 ， 所以存在 使得 ． 14.过原点 的直线交椭圆 ： 于 ， 两点，， 面积的最大值为 ． （1） 求椭圆 的方程； （2） 连 交椭圆于另一个交点 ，又 ，分别记 ，， 的斜率为 ，，，求 的值． 【答案】（1） （2） 【思路】（1） 根据三角形面积的最大值求出短半轴长，进而得到椭圆方程；（2） 设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出交点坐标，进而表示出相关斜率，代入目标式化简即可. 【解析】（1） 由题知：， 所以 ，故椭圆的方程为 ． （2） 如图所示： 设 的方程为 ，，， 由 ， ，，， 设 ，则 ，， ． 【考点二 方法总结】 1. 韦达定理的应用：求解斜率积、斜率比问题，核心仍是“设线联立，韦达定理”.将斜率积或比转化为交点坐标的表达式. 2. 结合几何条件：若题目中存在三点共线、面积等几何条件，需将其转化为代数关系，辅助化简斜率表达式. 3. 齐次化处理：在计算斜率比时，常出现分子分母为齐次式的情况，可通过整体代换简化计算. 考点三：圆锥曲线内接直角三角形问题 考法5：运用设而不求探究椭圆内接直角三角形斜边过定点问题 15.已知点 ，动点 满足：，且 ．( 不在线段 上) （1） 求动点 的轨迹 的方程； （2） 过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点 、，试问直线 是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2） 经过定点，定点坐标为 【思路】（1） 分点在x轴上和不在x轴上两种情况，利用向量数量积及余弦定理化简求解即可；（2） 设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出交点坐标，进而求出直线方程，令x=0求出定点. 【解析】（1） ①当点 在 轴上且在线段 外时 ， 设 ，则 ，， 由 ， 所以 ，故 ； ②当点 不在 轴上时，在 中 ， 所以 ， ，即动点 在以 、 为两焦点的椭圆上， 方程为： 且 ； 由①②知：动点 的轨迹 的方程为：； （2） 显然两直线斜率存在，设 ，代入椭圆方程得 ， 所以 ， 代替 同理可得 ， 直线 ，化简得 ； 令 ，得 ，故直线 过定点 ． 16.已知椭圆 的两个焦点分别为 ，，短轴长为 ． （1） 求椭圆 的标准方程及离心率； （2） ， 分别为椭圆 的左、右顶点，过 点作两条互相垂直的直线 ， 交椭圆于 ， 两点，直线 是否过定点？并求出 面积的最大值． 【答案】（1） ， （2） 直线 恒过定点 ， 【思路】（1） 根据焦点坐标及短轴长列式求解即可；（2） 设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理结合垂直条件求出参数关系，进而求出定点，再利用弦长公式及基本不等式求面积最大值. 【解析】（1） 由题意得： ， 故可知 椭圆方程为：，离心率为： （2） ， 分别为椭圆 的左、右顶点 又由 （1） 可知： 设直线 的方程为：，， 联立方程可得： 有韦达定理可知：， 又 又 展开后整理得：，解得： 或 (舍去) 直线恒过定点 令 则 由对勾函数的单调性可知： 所以 ，当且仅当 ，即 时取等号 此时 的最大值为： 17.设 分别是椭圆 ： 的左、右焦点， 是 上一点， 与 轴垂直．直线 与 的另一个交点为 ，且直线 的斜率为 ． （1） 求椭圆 的离心率； （2） 设 是椭圆 的上顶点，过 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 ， 两点，证明直线 过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1） （2） 证明见解析，定点坐标为 【思路】（1） 根据点在椭圆上及垂直条件表示出点坐标，结合斜率公式列式求解离心率即可；（2） 设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理结合垂直条件求出参数关系，进而求出定点坐标. 【解析】（1） 由题意知，点 在第一象限， 是 上一点且 与 轴垂直， 的横坐标为 ．当 时，，即 ． 又直线 的斜率为 ，所以 ， 即 ，即 ， 则 ，解得 或 (舍去)， 即 ． （2） 已知 是椭圆的上顶点，则 ， 由 （1） 知 ，解得 ， 所以，椭圆 的方程为 ， 设直线 的方程为 ， 联立 可得 ， 所以 ， 又 ， ， 化简整理有 ，得 或 ． 当 时，直线 经过点 ，不满足题意；． 当 时满足方程 中 ， 故直线 经过 轴上定点 ． 考法6：运用设而不求探究双曲线内接直角三角形斜边过定点问题 18.已知双曲线 ： 经过点 ，且双曲线 的右顶点到一条渐近线的距离为 ． （1） 求双曲线 的方程； （2） 过点 分别作两条互相垂直的直线 ， 与双曲线 交于 ， 两点 (， 两点均与点 不重合)，设直线 ：，试求 和 之间满足的关系式． 【答案】（1） （2） 【思路】（1） 根据点在双曲线上及点到直线的距离公式列方程组求解即可；（2） 设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直条件化简，即可得到参数间的关系式. 【解析】（1） 已知双曲线 ： 经过点 ， 则 ， 右顶点为 ，不妨取渐近线为 ，即 ， 则 ， 从而可解得 ， 所以双曲线 的方程为 ； （2） 设 ， 联立 ，消 得 ， 则 ， 则 ， ， ， 因为 ，则 ， 即 ， 即 ， 即 ， 整理得 ， 所以 ． 19.在平面直角坐标系 中，动点 与定点 的距离和它到定直线 ： 的距离之比是常数 ，记 的轨迹为曲线 ． （1） 求曲线 的方程； （2） 设过点 两条互相垂直的直线分别与曲线 交于点 ，(异于点 )，求证：直线 过定点． 【答案】（1） （2） 证明见解析 【思路】（1） 设出点坐标，利用两点间距离公式及点到直线的距离公式列式化简即可；（2） 设出直线方程并与曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直条件求出参数关系，进而求出定点坐标. 【解析】（1） 设 ， 因为 与定点 的距离和它到定直线 ： 的距离之比是常数 ， 所以 ， 化简得 ， 所以曲线 的方程为 ． （2） 设 ，， 当直线 斜率不存在，直线 ， 分别为 ，， 分别联立 ，解得 ，， 此时直线 的方程为 ，过点 ； 当直线 斜率存在时设其方程为 ， 由 ，消去 得 ， 所以 ，即 ， ，， 因为 ， 所以 ，即 ， 即 ， 即 ， 将 ， 代入化简得：， 所以 或 ， 当 时，直线 方程为 (不符合题意舍去)， 当 时，直线 方程为 ， 恒过定点 ， 综上所述直线 过定点 ． 考法7：运用设而不求探究抛物线内接直角三角形斜边过定点问题 20.已知抛物线 的焦点 关于直线 的对称点 恰在抛物线 的准线上． （1） 求抛物线 的方程； （2） 是抛物线 上横坐标为 的点，过点 作互相垂直的两条直线分别交抛物线 于 两点，证明直线 恒经过某一定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2） 证明见解析，定点坐标为 【思路】（1） 根据对称性求出焦点坐标，进而求出参数及抛物线方程；（2） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理结合垂直条件求出参数关系，进而求出定点坐标. 【解析】（1） 由已知得 ，设 ，则 中点为 ， 、 关于直线 对称， 点 在直线 上， ，解得 ，即 ． 又由 ，得直线 的斜率 ， ，解得 ， ． （2） 证明：设直线 的方程为 ，、 均不与 重合， 由 得 ， ，． 由 （1） 得 ， ，， 又由 得 ，即 ， ， ， ，， ，， 直线 的方程为 ，即 ， 直线 恒过定点 ． 21.已知抛物线 ， 是坐标原点， 是 的焦点， 是 上一点，，． （1） 求抛物线 的标准方程； （2） 设点 在 上，过 作两条互相垂直的直线 ，分别交 于 ， 两点 (异于 点)．证明：直线 恒过定点． 【答案】（1） （2） 证明见解析 【思路】（1） 根据焦半径公式及角度条件求出点坐标，代入抛物线方程求解即可；（2） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理结合垂直条件求出参数关系，进而求出定点坐标. 【解析】（1） 由 ，可得 ， 代入 ． 解得 或 (舍)， 所以抛物线的方程为：． （2） 解: 由题意可得 ，直线 的斜率不为 ， 设直线 的方程为 ，设 ， 由 ，得 ，从而 ， 则 ． 所以 ， ， ， ， 故 ， 整理得 ．即 ， 从而 或 ， 即 或 ． 若 ，则 ，过定点 ，与 点重合，不符合； 若 ，则 ，过定点 ． 综上，直线 过异于 点的定点 ． 22.已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ． （1） 求抛物线 的方程； （2） 过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 和 ，试问直线 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 是，定点为 【思路】（1） 根据焦半径公式求出参数及抛物线方程；（2） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理结合垂直条件求出参数关系，进而求出定点坐标. 【解析】（1），解得： 故抛物线 的方程为：． （2） 由题可得 ，直线 的斜率不为 设直线 ：，， 联立 ，得：， ，． 由 ，则 ，即 ． 于是 ，所以 或 ． 当 时， 直线 ：，恒过定点 ，不合题意，舍去． 当 ，，直线 ：，恒过定点 综上可知，直线 恒过定点 ． 23.已知抛物线 ： 的焦点为 ，斜率为 的直线 经过 ，且与抛物线 交于 ， 两点，． （1） 求抛物线 的方程； （2） 过抛物线 上一点 作两条互相垂直的直线与抛物线 相交于 两点 (异于点 )，证明：直线 恒过定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1） （2） 证明见解析，定点坐标为 【思路】（1） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理结合弦长公式求解即可；（2） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理结合垂直条件求出参数关系，进而求出定点坐标. 【解析】（1） 设 ， 由题意知 ，则直线 方程为 ， 代入 ，得 ，， ， 由抛物线定义，知 ，， ，， 抛物线的方程为 ． （2） 证明： 在抛物线 上，, ， 由题意，直线 的斜率不为 ，设直线 的方程为 ， 设 ， 由 ，得 ， 则 ，且 ， 又 ， ， 由题意，可知 , ， 故 ， 故 ， 整理得 ，即 ， 或 ，即 或 ． 若 ，则 ， 此时直线 过定点 ，不合题意； 若 ，则 ， 此时直线 过定点 ，符合题意， 综上，直线 过异于 点的定点 ． 【考点三 方法总结】 1. 垂直条件的转化：圆锥曲线内接直角三角形，其直角顶点处的两条边互相垂直，可转化为两条直线的方向向量数量积为 ，即 或 . 2. 探究定点问题：将垂直条件结合韦达定理，求出直线方程中的参数关系（如 与 的关系），代入直线方程，提取公因式，令含参项为 ，即可求出定点坐标. 3. 检验特殊情况：求出定点后，需检验直线斜率不存在或为 等特殊情况是否也经过该定点. 考点四：圆锥曲线互相垂直弦的中点问题 考法8：运用设而不求探究椭圆互相垂直弦中点连线过定点问题 24.已知 为圆 上一动点，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，若点 满足 ． （1） 求点 的轨迹方程； （2） 设点 的轨迹为曲线 ，过点 作曲线 的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为 、，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 存在定点 ，使得 为定值 【思路】（1） 设出点坐标，利用向量共线及点在圆上列式化简即可；（2） 设出直线方程并与曲线方程联立，利用韦达定理表示出中点坐标，进而求出直线方程及定点，再利用圆的性质求出定值. 【解析】（1） 由题意得，设点 ，则点 ， 因为 ，所以 ，则 ， 因为点 在圆 上，所以 ，则 ，即 ， 所以 点轨迹方程为 ． （2） ①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线 ， 联立 ，得 ， 设直线 与曲线 两交点的坐标分别为 ，则 ， ； ， 直线 ， 同理可得：， 设直线 与 轴交于点 ， 则当直线 斜率存在时，由 得 ， ，即直线 恒过点 ； 当直线 斜率不存在时，由 得 ，则 ， 则直线 恒过点 ； ②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线 为 轴，恒过 ， 综上：直线 恒过点 ； ，， 在以 中点 为圆心， 为直径的圆上， 取 ，则 为定值； 存在点 ，使得 为定值． 25.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，过右焦点 作两条互相垂直的弦 ，，设 ， 中点分别为 ，． （1） 写出椭圆右焦点 的坐标及该椭圆的离心率； （2） 证明：直线 必过定点，并求出此定点坐标； （3） 若弦 ， 的斜率均存在，求 面积的最大值． 【答案】（1） ， （2） 证明见解析，定点坐标为 （3） 【思路】（1） 根据椭圆方程直接求出焦点坐标及离心率即可；（2） 设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出中点坐标，进而求出直线方程及定点；（3） 利用三角形面积公式结合基本不等式或函数单调性求最值. 【解析】（1） 由椭圆方程 可知：，，所以 右焦点坐标 ，该椭圆的离心率 ； （2） 证明： 斜率均存在， 设 ，直线 方程为 ， 则 ， 联立 ， 则有 ， 将上式中 换为 ，可得 ， 若 ，则直线 斜率不存在，此时直线 过点 ， 下证动直线 过定点 ， 若直线 斜率存在，则 ， 直线 方程为 ， 令 得 ，所以此时直线 也过定点 ， 当 两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为 时， 不妨设 斜率不存在， 斜率为 ， 此时 ， 则直线 的方程为 ，过点 ， 综上，动直线 过定点 ； （3） 由 （2） 可知直线 过定点 ， ， 令 ， ， 因为 ，所以 在 上递减， 所以 时， 取得最大值 ，此时 ． 26.设 分别是圆 的左、右焦点， 是 上一点， 与 轴垂直．直线 与 的另一个交点为 ，且直线 的斜率为 ． （1） 求椭圆 的离心率． （2） 设 是椭圆 的上顶点，过 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 、 两点，过点 作线段 的垂线，垂足为 ，判断在 轴上是否存在定点 ，使得 的长度为定值？并证明你的结论． 【答案】（1） （2） 存在定点 ，使得 为定值，且 【思路】（1） 根据点在椭圆上及垂直条件表示出点坐标，结合斜率公式列式求解离心率即可；（2） 设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理结合垂直条件求出参数关系，进而求出定点，再利用圆的性质求出定值. 【解析】（1） 由题意知，点 在第一象限． 是 上一点且 与 轴垂直， 的横坐标为 ．当 时，，即 ． 又直线 的斜率为 ，所以 ， 即 ，即 ， 则 ，解得 或 (舍去)，即 ． （2） 已知 是椭圆的上顶点，则 ，，椭圆的方程为 ， 易得直线 的斜率必然存在，设直线 的方程为 ， 由 可得 ， 所以 ， 又 ， 化简整理有 ，得 或 ． 当 时，直线 经过点 ，不满足题意； 当 时满足方程 中 ，故直线 经过 轴上定点 ． 又 为过点 作线段 的垂线的垂足，故 在以 为直径的圆上，取 的中点为 ，则 为定值，且 ． 考法9：运用设而不求探究双曲线互相垂直弦中点连线过定点问题 27.双曲线 的左右顶点分别为 ，，动直线 垂直 的实轴，且交 于不同的两点 ，直线 与直线 的交点为 ． （1） 求点 的轨迹 的方程； （2） 过点 作 的两条互相垂直的弦 ，，证明：过两弦 ， 中点的直线恒过定点． 【答案】（1） （2） 证明见解析，定点坐标为 【思路】（1） 设出点坐标，利用直线方程联立消参，结合点在双曲线上化简即可；（2） 设出直线方程并与曲线方程联立，利用韦达定理表示出中点坐标，进而求出直线方程及定点坐标. 【解析】（1） 因为 ， 设 ，则 ，且 ①， 因为动直线 交双曲线于不同的两点 ，所以 且 ， 因为直线 的方程为 ②， 直线 的方程为 ③， ② ③得 ， 把①代入上式得 ，化简得 ， 所以点 的轨迹 的方程为 ． （2） 依题意得直线 与直线 斜率均存在且不为 ， 设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ， 联立 得 ， 则 ，设 ， ，， 所以 的中点 ， 同理 的中点 ， 所以直线 的斜率为 ， 所以直线 的方程为 ， 整理得 ， 所以直线 恒过定点 ，即过两弦 中点的直线恒过定点 ． 28.已知双曲线 ： 的右焦点 ，半焦距 ，点 到直线 的距离为 ，过点 作双曲线 的两条互相垂直的弦 ，，设 ， 的中点分别为 ，． （1） 求双曲线 的标准方程； （2） 证明：直线 必过定点，并求出此定点的坐标． 【答案】（1） （2） 证明见解析，定点坐标为 【思路】（1） 根据半焦距及点到直线的距离公式列方程组求解即可；（2） 设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理表示出中点坐标，进而求出直线方程及定点坐标. 【解析】（1） 依题意，，，解得 ， 所以双曲线的方程为：． （2） 点 ，当直线 不垂直于坐标轴时，设直线 的方程为：，，， 由 消去 并整理得：，显然 ， 则 ，有 ，于是得弦 中点 ， 因 ，同理可得点 ， 当直线 不垂直于 轴时，直线 的斜率 ， 因此，直线 的方程为：，化简得 ， 于是得直线 恒过定点 ， 当直线 垂直于 轴时，由 得 ，直线 ： 过定点 ， 则当直线 不垂直于坐标轴时，直线 恒过定点 ， 当 垂直于 轴，即 时，则弦 的中点 与 重合，弦 的中点 与原点重合，此时 为 轴，直线 过 ， 当 垂直于 轴时，则弦 的中点 为原点，弦 中点 与 重合，此时直线 为 轴，直线 也过点 ， 所以直线 恒过定点 ． 考法10：运用设而不求探究抛物线互相垂直弦中点连线过定点问题 29.已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点，如图，过点 任作两条互相垂直的直线 ，，分别交抛物线 于 ，，， 四点，， 分别为 ， 的中点． （1） 求 的值； （2） 求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标； （3） 设直线 交抛物线 于 ， 两点，试求 的最小值． 【答案】（1） （2） 证明见解析，定点坐标为 （3） 【思路】（1） 根据椭圆焦点坐标求出抛物线焦点，进而求出参数；（2） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出中点坐标，进而求出直线方程及定点；（3） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用弦长公式结合基本不等式求最值. 【解析】（1） 椭圆 的焦点坐标为 ， 由于抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点， 故 ，即 ，； （2） 由 （1） 知，抛物线的方程为 ， 设 ，， 由题意，直线 的斜率 存在且 设直线 的方程为 ， 代入 可得 ， 则 ， 故 ， 故 的中点坐标为 ， 由 ，设直线 的方程为 ， 代入 可得 ， 则 ， 故 ， 可得 的中点坐标为 ， 令 得 ， 此时 ， 故直线 过点 ， 当 时，， 所以 ，，， 三点共线， 所以直线 过定点 ． （3） 设 ， 由题意直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， 代入 可得 ， 则 ，， ， 故 ，当 即直线 垂直 轴时， 取得最小值 ． 30.已知抛物线 ： 焦点为 ， 为 上的动点， 位于 的上方区域，且 的最小值为 ． （1） 求 的方程； （2） 过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交 于 ， 两点， 交 于 ， 两点，且 ， 分别为线段 和 的中点．直线 是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2） 是，定点坐标为 【思路】（1） 根据抛物线定义及最值条件列式求解参数即可；（2） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出中点坐标，进而求出直线方程及定点坐标. 【解析】（1） 抛物线 ： 焦点为 ，准线为 ， 设 到 的距离为 ，因为 位于 的上方区域， 根据抛物线的定义可知 (当且仅当 时取等号)， 又 的最小值为 ，所以 ，解得 ， 所以抛物线 ：． （2） 依题意直线 和 的斜率均存在且不为 ， 设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，，， 联立方程得 ，消去 并整理得 ， 则 ，则 ，， 所以 ， 因为 为 的中点，所以 ，同理 ， 所以直线 的方程为 ， 整理得 ，所以直线 恒过点 ． 31.已知一个边长为 的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 上． （1） 求抛物线 的方程； （2） 过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 、 两点， 交抛物线 于 ， 两点，若线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，证明：直线 过定点． 【答案】（1） （2） 证明见解析，定点坐标为 【思路】（1） 根据对称性求出顶点坐标，代入抛物线方程求解即可；（2） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出中点坐标，进而求出直线方程及定点坐标. 【解析】（1） 由对称性可知等边三角形的顶点 在 上， 代入得：，解得：， 所以抛物线方程为：； （2） 由题意知 和 斜率均存在，，设直线 方程为 ， 则直线 方程为 ， 由 联立得：， 设 ，则 ， 故 ，同理得 故直线 方程为 整理得：，故直线 过定点 【考点四 方法总结】 1. 设互相垂直的直线：处理互相垂直的弦的中点问题时，常设两条互相垂直的直线方程，如 与 . 2. 中点坐标的表示：分别将两条直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理求出各自的中点坐标. 3. 探究中点连线的定点：利用两中点坐标求出中点连线的斜率和方程，化简后找出恒过的定点.计算过程中注意对称性，可通过替换斜率 为 快速得到另一中点坐标. 考点五：垂直弦的范围与最值问题 考法11：结合目标函数求解圆锥曲线内接直角三角形的范围与最值问题 32.设椭圆 的两焦点为 ，， 为椭圆上任意一点，点 到原点最大距离为 ，若 到椭圆右顶点距离为 ． （1） 求椭圆的方程． （2） 设椭圆的上、下顶点分别为 、，过 作两条互相垂直的直线交椭圆于 、，问直线 是否经过定点？如果是，请求出定点坐标，并求出 面积的最大值．如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 经过定点，定点坐标为 ， 【思路】（1） 根据最大距离及点到顶点的距离列式求解即可；（2） 设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理结合垂直条件求出参数关系，进而求出定点，再利用弦长公式及基本不等式求面积最大值. 【解析】（1） 点 到原点最大距离为 ，故 ， 到椭圆右顶点距离为 ，， 解得： 或 (舍去 )， 椭圆的方程为 ． （2） 设 ：，联立 ， 得：， ，， ，， 即 ， 利用韦达定理代入化简得：， 解得：(舍去) 或 ， 直线 过定点 ， 此时 ，， ， 令 ，上式 ①， 而 ， ① ， 面积的最大值为 ． 33.已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 ，，上顶点为 ，坐标原点 到直线 的距离为 ． （1） 求椭圆的方程； （2） 过 点作两条互相垂直的直线 ， 与椭圆交于 ， 两点，求 面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【思路】（1） 根据离心率及点到直线的距离公式列方程组求解即可；（2） 设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理结合垂直条件求出参数关系，进而求出面积表达式，利用基本不等式求最值. 【解析】（1） 由已知可得， 解得，，，， 所以椭圆的方程为 ． （2） 设 的直线方程为 ，，， 联立方程 整理得 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 即 ． 所以 ． 整理得 ，解得 或 (舍去)， 所以 所以 ， 令 ， 则 ， 此时 最大值为 ． 考法12：结合目标函数求解圆锥曲线互相垂直弦中点相关几何量的最值问题 34.在平面直角坐标系 中，抛物线 的准线方程为 ． （1） 求抛物线 的标准方程； （2） 过抛物线的焦点 作互相垂直的两条直线 和 ， 与抛物线交于 ， 两点， 与抛物线交于 ， 两点，， 分别是线段 ， 的中点，求 面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【思路】（1） 根据准线方程求出参数及抛物线方程；（2） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出中点坐标，进而表示出面积，利用基本不等式求最值. 【解析】（1） 设抛物线标准方程为 ，其中 ， 由题意得 ，解得 ，则焦点 ， 故抛物线 标准方程为 ． （2） ，由题意知直线 的斜率都存在且不为 ， 设直线 的方程为 ， 则直线 的方程为 ， 由 得 ，则 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 用 替换 可得 ，所以 ． 所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 面积的最小值为 ． 35.已知抛物线 ，点 为其焦点，直线 与抛物线交于 两点， 为坐标原点，． （1） 求抛物线 的方程； （2） 过 轴上一动点 作互相垂直的两条直线，与抛物线 分别相交于点 和 ，点 分别为 的中点，求 的最小值． 【答案】（1） （2） 【思路】（1） 根据三角形面积公式列式求解参数即可；（2） 设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出中点坐标，进而利用两点间距离公式及基本不等式求最值. 【解析】（1） 直线方程为 ，将其代入抛物线可得 ， 由已知得 ，解得 ， 故抛物线 的方程为 ． （2） 因为 ，若直线 分别与两坐标轴垂直， 则直线 中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意， 所以直线 的斜率均存在且不为 ．设直线 的斜率为 ， 则直线 的方程为 ． 联立 ，得 ，则 ， 设 ， 则 ，设 ，则 ，则 ， 所以 ，同理可得 ， 故 ， 当且仅当 且 ，即 时等号成立， 故 的最小值为 【考点五 方法总结】 1. 构建目标函数：处理垂直弦相关的范围与最值问题，首先需将目标几何量（如面积、弦长）表示为关于某个参数（通常为直线斜率 或其相关量）的函数. 2. 弦长公式的应用：利用弦长公式 或 准确表达弦长. 3. 求最值的方法：得到目标函数后，常利用基本不等式、对勾函数的单调性、换元法或导数来求解最值.注意自变量的取值范围及等号成立的条件. 请确认这份解析卷是否符合要求.确认无误后，请下达 5.3 指令，我将为您输出配套的讲义练习卷. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第64讲 斜率与垂直弦问题 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精练 5 考点一：斜率和与斜率差问题 5 考点二：斜率积与斜率比问题 7 考点三：圆锥曲线内接直角三角形问题 8 考点四：圆锥曲线互相垂直弦的中点问题 10 考点五：垂直弦的范围与最值问题 12 一、考情分析 近三年高考全国一卷未直接或间接考查本讲的核心知识.通过处理斜率的和、差、积、比以及垂直弦等问题，能有效强化“设而不求”与韦达定理的结合应用，培养将垂直、共线等几何条件代数化的模型思维；同时，本讲涉及的定点、定值探究及面积最值求解方法，也为解决圆锥曲线综合问题提供了必要的代数变形经验与算理基础。 二、知识清单 1. 圆锥曲线中的斜率关系与定点问题 （1） 动点在圆锥曲线上，斜率和为零的定点问题 ① 已知 是椭圆 上的定点，直线 （不过 点）与椭圆交于 ， 两点，且 ，则直线 恒过定点，且其斜率为定值 . ② 已知 是双曲线 上的定点，直线 （不过 点）与双曲线交于 ， 两点，且 ，则直线 恒过定点，且其斜率为定值 . ③ 已知 是抛物线 上的定点，直线 （不过 点）与抛物线交于 ， 两点，若 ，则直线 恒过定点，且其斜率为定值 . （2） 动点在圆锥曲线上，斜率和或积为定值的定点问题 已知 为椭圆 上一定点，过点 作斜率为 ， 的两条直线分别与椭圆交于 ， 两点. ① 若 ，则直线 恒过定点 . ② 若 ，则直线 恒过定点 (). （3） 动点不在圆锥曲线上，斜率和或积为定值的定点问题 设 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过 作两条直线 ， 交椭圆 于 、、、，直线 ， 的斜率分别为 ，，弦 ， 的中点记为 ，. ① 若 ，则直线 恒过定点 . ② 若 ，则直线 恒过定点 (). （4） 抛物线中斜率和为定值的定点问题 过抛物线 上任一点 引两条弦 ，，直线 ， 斜率存在，分别记为 ，，若 ，则直线 恒过定点 . 2. 圆锥曲线中的垂直弦与定点问题 （1） 椭圆中的垂直弦中点定点问题 ① 过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的弦 ，.若弦 ， 的中点分别为 ，，那么直线 恒过定点 (). ② 过椭圆 的长轴上任意一点 () 作两条互相垂直的弦 ，.若弦 ， 的中点分别为 ，，那么直线 恒过定点 (). ③ 过椭圆 的短轴上任意一点 () 作两条互相垂直的弦 ，.若弦 ， 的中点分别为 ，，那么直线 恒过定点 (). ④ 过椭圆 内的任意一点 () 作两条互相垂直的弦 ，.若弦 ， 的中点分别为 ，，那么直线 恒过定点 (). （2） 圆锥曲线内接直角三角形斜边定点问题 ① 以 为直角定点的椭圆 内接直角三角形的斜边必过定点 (). ② 以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上. ③ 以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上. ④ 以 为直角定点的抛物线 内接直角三角形的斜边必过定点 (). ⑤ 以 为直角定点的双曲线 内接直角三角形的斜边必过定点 (). 3. 圆锥曲线中的面积问题处理公式 （1） 三角形的面积处理方法 ① 底 高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）. ② 水平宽 铅锤高 或 . ③ 在平面直角坐标系 中，已知 的顶点分别为 ，，，三角形的面积为 . （2） 三角形面积比处理方法 ① 对顶角模型：. ② 等角共角模型：. （3） 四边形面积处理方法 ① 对角线互相垂直的四边形：. ② 一般四边形：（其中 为对角线夹角）. ③ 分割为两个三角形：（其中 为另外两顶点到对角线 的距离）. （4） 面积的最值问题或者取值范围问题 一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量. 4. 圆锥曲线中的斜率乘积常考结论 （1） 圆锥曲线的“第三定义” ① 椭圆：设 ， 为椭圆 的长轴上的两个顶点，若 为椭圆上异于 ， 的任意一点，则直线 与 的斜率乘积为定值，即 . ② 双曲线：设 ， 为双曲线 的实轴上的两个顶点，若 为双曲线上异于 ， 的任意一点，则直线 与 的斜率乘积为定值，即 . （2） 抛物线中的斜率乘积定值 设 ， 为抛物线 上的两点，若直线 经过焦点 ，且 为坐标原点，则直线 与 的斜率乘积为定值，即 . 三、典题精练 考点一：斜率和与斜率差问题 考法1：运用设而不求与韦达定理求解圆锥曲线斜率和问题 1.（2026·河南湘豫名校·联考）已知抛物线 上有点 ，，，，其中 .又点 ，，若 分别交抛物线于另一点 ，且直线 的斜率为 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 2.（2025·广东上进·联考）已知双曲线 的左焦点 ，其一条渐近线方程为 . （1） 求 的标准方程； （2） 过 的右焦点 作 轴的垂线与 在第一象限内交于点 ，过点 作斜率为 的直线分别交 于 两点，则当 时，判断直线 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 3.（2026·浙江绍兴·二模）设 ， 两点的坐标分别为 ，，直线 ， 相交于点 （ 位于第一象限），且它们的斜率之积是 ，记 的轨迹为曲线 . （1） 求 的方程； （2） 若 是 上的点，. （i） 求 的坐标； （ii） 记直线 ，， 的斜率分别为 ，，，证明： 为定值. 【考点一 方法总结】 1. 设而不求法：处理圆锥曲线中斜率和、差问题时，通常设出直线方程（如 或 ），与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理得到两交点坐标的和与积. 2. 斜率公式代入化简：将交点坐标代入斜率公式，利用韦达定理的结果进行整体代换，化简得到斜率和或差的表达式. 3. 注意特殊情况：在设直线方程时，需注意直线斜率不存在的情况，必要时需单独讨论. 考法2：运用设而不求与韦达定理求解圆锥曲线斜率差问题 4.（2026·湖南常德·一模）已知椭圆 过点 ，且离心率为 ，， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上在第一象限内的一个动点. （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 直线 ， 分别交椭圆 于点 ，，直线 ， 的斜率分别为 ，，求 的最小值. 5.（2026·山东泰安·二模）已知椭圆 过点 ，中心在原点，对称轴为坐标轴. （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 过点 的直线 的斜率为 ， 与椭圆 交于 两点，其中 两点分别位于 轴左、右两侧，直线 分别与直线 交于 三点. （i） 设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 ； （ii） 当直线 平分 的内角 (或其外角) 时，求 的值. 6.已知椭圆 ： 的离心率 ，. （1） 求椭圆 的方程； （2） 如图，，， 是椭圆 的顶点， 是椭圆 上除顶点外的任意一点，直线 交 轴于点 ，直线 交 于点 ，设 的斜率为 ， 的斜率为 ，证明： 为定值. 7.设 、 为抛物线 上的两点， 与 的中点的纵坐标为 ，直线 的斜率为 . （1） 求抛物线 的方程； （2） 已知点 ，、 为抛物线 (除原点外) 上的不同两点，直线 、 的斜率分别为 ，，且满足 ，记抛物线 在 、 处的切线交于点 ，线段 的中点为 ，若 ，求 的值. 8.如图，已知点 是抛物线 ： 的焦点，点 在抛物线上，且 . （1） 若直线 与抛物线 交于 两点，求 的值； （2） 若点 在抛物线 上，且抛物线 在点 处的切线交于点 ，记直线 的斜率分别为 ，且满足 ，求证： 的面积为定值. 9.在平面直角坐标系 中，已知定点 ，点 在 轴上运动，点 在 轴上运动，点 为坐标平面内的动点，且满足 . （1） 求动点 的轨迹 的方程； （2） 点 为圆 上一点，由 向 引切线，切点分别为 、，记 分别为切线 ， 的斜率，当 运动时，求 的取值范围. 考点二：斜率积与斜率比问题 考法3：运用设而不求与韦达定理求解圆锥曲线斜率积问题 10.（2026·湖南永州·二模）已知椭圆 的焦距为 ，且离心率为 . （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 已知 ，直线 过点 （直线 不与 轴重合），交椭圆于 ， 两点.直线 交椭圆于另一点 ，直线 交椭圆于另一点 ，连接 交 轴于 . （i） 求 的值； （ii） 求点 到直线 距离的取值范围. 11.（2026·浙江宁波十校·二模）已知椭圆 的焦距为 ，且离心率为 . （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 已知 ，直线 过点 （直线 不与 轴重合），交椭圆于 ， 两点.直线 交椭圆于另一点 ，直线 交椭圆于另一点 ，连接 交 轴于 . （i） 求 的值； （ii） 求点 到直线 距离的取值范围. 12.已知双曲线 的实轴长为 ，左右两个顶点分别为 ，经过点 的直线 交双曲线的右支于 两点，且 在 轴上方，当 轴时，. （1） 求双曲线方程. （2） 求证：直线 的斜率之比为定值. 13.如图，、、、 为抛物线 上四个不同的点，直线 与直线 相交于点 ，直线 过点 （1） 记 ， 的纵坐标分别为 ，求 ； （2） 记直线 ， 的斜率分别为 ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在说明理由. 14.过原点 的直线交椭圆 ： 于 ， 两点，， 面积的最大值为 . （1） 求椭圆 的方程； （2） 连 交椭圆于另一个交点 ，又 ，分别记 ，， 的斜率为 ，，，求 的值. 【考点二 方法总结】 1. 韦达定理的应用：求解斜率积、斜率比问题，核心仍是“设线联立，韦达定理”.将斜率积或比转化为交点坐标的表达式. 2. 结合几何条件：若题目中存在三点共线、面积等几何条件，需将其转化为代数关系，辅助化简斜率表达式. 3. 齐次化处理：在计算斜率比时，常出现分子分母为齐次式的情况，可通过整体代换简化计算. 考点三：圆锥曲线内接直角三角形问题 考法5：运用设而不求探究椭圆内接直角三角形斜边过定点问题 15.已知点 ，动点 满足：，且 .( 不在线段 上) （1） 求动点 的轨迹 的方程； （2） 过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点 、，试问直线 是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 16.已知椭圆 的两个焦点分别为 ，，短轴长为 . （1） 求椭圆 的标准方程及离心率； （2） ， 分别为椭圆 的左、右顶点，过 点作两条互相垂直的直线 ， 交椭圆于 ， 两点，直线 是否过定点？并求出 面积的最大值. 17.设 分别是椭圆 ： 的左、右焦点， 是 上一点， 与 轴垂直.直线 与 的另一个交点为 ，且直线 的斜率为 . （1） 求椭圆 的离心率； （2） 设 是椭圆 的上顶点，过 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 ， 两点，证明直线 过定点，并求出定点坐标. 考法6：运用设而不求探究双曲线内接直角三角形斜边过定点问题 18.已知双曲线 ： 经过点 ，且双曲线 的右顶点到一条渐近线的距离为 . （1） 求双曲线 的方程； （2） 过点 分别作两条互相垂直的直线 ， 与双曲线 交于 ， 两点 (， 两点均与点 不重合)，设直线 ：，试求 和 之间满足的关系式. 19.在平面直角坐标系 中，动点 与定点 的距离和它到定直线 ： 的距离之比是常数 ，记 的轨迹为曲线 . （1） 求曲线 的方程； （2） 设过点 两条互相垂直的直线分别与曲线 交于点 ，(异于点 )，求证：直线 过定点. 考法7：运用设而不求探究抛物线内接直角三角形斜边过定点问题 20.已知抛物线 的焦点 关于直线 的对称点 恰在抛物线 的准线上. （1） 求抛物线 的方程； （2） 是抛物线 上横坐标为 的点，过点 作互相垂直的两条直线分别交抛物线 于 两点，证明直线 恒经过某一定点，并求出该定点的坐标. 21.已知抛物线 ， 是坐标原点， 是 的焦点， 是 上一点，，. （1） 求抛物线 的标准方程； （2） 设点 在 上，过 作两条互相垂直的直线 ，分别交 于 ， 两点 (异于 点).证明：直线 恒过定点. 22.已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 . （1） 求抛物线 的方程； （2） 过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 和 ，试问直线 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 23.已知抛物线 ： 的焦点为 ，斜率为 的直线 经过 ，且与抛物线 交于 ， 两点，. （1） 求抛物线 的方程； （2） 过抛物线 上一点 作两条互相垂直的直线与抛物线 相交于 两点 (异于点 )，证明：直线 恒过定点，并求出该定点坐标. 【考点三 方法总结】 1. 垂直条件的转化：圆锥曲线内接直角三角形，其直角顶点处的两条边互相垂直，可转化为两条直线的方向向量数量积为 ，即 或 . 2. 探究定点问题：将垂直条件结合韦达定理，求出直线方程中的参数关系（如 与 的关系），代入直线方程，提取公因式，令含参项为 ，即可求出定点坐标. 3. 检验特殊情况：求出定点后，需检验直线斜率不存在或为 等特殊情况是否也经过该定点. 考点四：圆锥曲线互相垂直弦的中点问题 考法8：运用设而不求探究椭圆互相垂直弦中点连线过定点问题 24.已知 为圆 上一动点，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，若点 满足 . （1） 求点 的轨迹方程； （2） 设点 的轨迹为曲线 ，过点 作曲线 的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为 、，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 25.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，过右焦点 作两条互相垂直的弦 ，，设 ， 中点分别为 ，. （1） 写出椭圆右焦点 的坐标及该椭圆的离心率； （2） 证明：直线 必过定点，并求出此定点坐标； （3） 若弦 ， 的斜率均存在，求 面积的最大值. 26.设 分别是圆 的左、右焦点， 是 上一点， 与 轴垂直.直线 与 的另一个交点为 ，且直线 的斜率为 . （1） 求椭圆 的离心率. （2） 设 是椭圆 的上顶点，过 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 、 两点，过点 作线段 的垂线，垂足为 ，判断在 轴上是否存在定点 ，使得 的长度为定值？并证明你的结论. 考法9：运用设而不求探究双曲线互相垂直弦中点连线过定点问题 27.双曲线 的左右顶点分别为 ，，动直线 垂直 的实轴，且交 于不同的两点 ，直线 与直线 的交点为 . （1） 求点 的轨迹 的方程； （2） 过点 作 的两条互相垂直的弦 ，，证明：过两弦 ， 中点的直线恒过定点. 28.已知双曲线 ： 的右焦点 ，半焦距 ，点 到直线 的距离为 ，过点 作双曲线 的两条互相垂直的弦 ，，设 ， 的中点分别为 ，. （1） 求双曲线 的标准方程； （2） 证明：直线 必过定点，并求出此定点的坐标. 考法10：运用设而不求探究抛物线互相垂直弦中点连线过定点问题 29.已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点，如图，过点 任作两条互相垂直的直线 ，，分别交抛物线 于 ，，， 四点，， 分别为 ， 的中点. （1） 求 的值； （2） 求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标； （3） 设直线 交抛物线 于 ， 两点，试求 的最小值. 30.已知抛物线 ： 焦点为 ， 为 上的动点， 位于 的上方区域，且 的最小值为 . （1） 求 的方程； （2） 过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交 于 ， 两点， 交 于 ， 两点，且 ， 分别为线段 和 的中点.直线 是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由. 31.已知一个边长为 的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 上. （1） 求抛物线 的方程； （2） 过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 、 两点， 交抛物线 于 ， 两点，若线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，证明：直线 过定点. 【考点四 方法总结】 1. 设互相垂直的直线：处理互相垂直的弦的中点问题时，常设两条互相垂直的直线方程，如 与 . 2. 中点坐标的表示：分别将两条直线与圆锥曲线联立，利用韦达定理求出各自的中点坐标. 3. 探究中点连线的定点：利用两中点坐标求出中点连线的斜率和方程，化简后找出恒过的定点.计算过程中注意对称性，可通过替换斜率 为 快速得到另一中点坐标. 考点五：垂直弦的范围与最值问题 考法11：结合目标函数求解圆锥曲线内接直角三角形的范围与最值问题 32.设椭圆 的两焦点为 ，， 为椭圆上任意一点，点 到原点最大距离为 ，若 到椭圆右顶点距离为 . （1） 求椭圆的方程. （2） 设椭圆的上、下顶点分别为 、，过 作两条互相垂直的直线交椭圆于 、，问直线 是否经过定点？如果是，请求出定点坐标，并求出 面积的最大值.如果不是，请说明理由. 33.已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 ，，上顶点为 ，坐标原点 到直线 的距离为 . （1） 求椭圆的方程； （2） 过 点作两条互相垂直的直线 ， 与椭圆交于 ， 两点，求 面积的最大值. 考法12：结合目标函数求解圆锥曲线互相垂直弦中点相关几何量的最值问题 34.在平面直角坐标系 中，抛物线 的准线方程为 . （1） 求抛物线 的标准方程； （2） 过抛物线的焦点 作互相垂直的两条直线 和 ， 与抛物线交于 ， 两点， 与抛物线交于 ， 两点，， 分别是线段 ， 的中点，求 面积的最小值. 35.已知抛物线 ，点 为其焦点，直线 与抛物线交于 两点， 为坐标原点，. （1） 求抛物线 的方程； （2） 过 轴上一动点 作互相垂直的两条直线，与抛物线 分别相交于点 和 ，点 分别为 的中点，求 的最小值. 【考点五 方法总结】 1. 构建目标函数：处理垂直弦相关的范围与最值问题，首先需将目标几何量（如面积、弦长）表示为关于某个参数（通常为直线斜率 或其相关量）的函数. 2. 弦长公式的应用：利用弦长公式 或 准确表达弦长. 3. 求最值的方法：得到目标函数后，常利用基本不等式、对勾函数的单调性、换元法或导数来求解最值.注意自变量的取值范围及等号成立的条件. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $