第71讲 统计与成对数据分析 讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦统计与成对数据的统计分析，系统整合抽样方法、统计图表、数字特征、回归分析、独立性检验等核心考点，按考情要求构建知识网络。通过考情分析明确方向，知识清单夯实基础，典题精练分考点突破，真题训练强化实战，帮助学生系统掌握高考重点。 讲义以核心素养为导向，通过“用样本估计总体”培养数据观念，“非线性回归换元转化”发展模型观念，“独立性检验推理”提升逻辑思维。如考点六设计列联表补全与卡方计算专题训练，结合真题情境强化应用，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第71讲 统计与成对数据的统计分析 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 6 考点一：抽样方法与统计图表 6 考点二：样本的数字特征与百分位数 11 考点三：总体分布的估计与分层抽样方差 17 考点四：变量间的相关关系与一元线性回归 19 考点五：非线性回归模型与误差分析 25 考点六：列联表与独立性检验 28 四、高考真题 32 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 — — — — 2025 第15题 解答题 13分 直接考察 独立性检验与列联表 2026 第1题 单选题 5分 直接考察 中位数的计算 近三年全国一卷共考查2次，2025年以解答题形式直接考查（13分），2026年以单选题形式直接考查（5分），2024年未考查. 2. 命题角度与特色 （1） 基础概念的直接应用：2026年直接给出样本数据，要求计算中位数，考查对基本统计量定义的掌握程度. （2） 结合实际情境的统计推断：2025年以医疗检查为背景，考查列联表数据的提取、概率的估计以及利用卡方公式进行独立性检验，侧重于数据分析与统计推断能力. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握基础统计量：准确记忆并熟练运用平均数、中位数、众数、方差、标准差以及百分位数的计算公式与性质. （2） 强化独立性检验与回归分析：重点掌握列联表的构建与卡方值的计算，理解独立性检验的基本思想；熟悉线性回归方程的求解步骤及残差分析的意义，提升解决实际应用题的能力. 二、知识清单 1. 抽样方法 （1） 抽样调查 ① 总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体. ② 个体：构成总体的每一个元素叫做个体. ③ 样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量. （2） 简单随机抽样 ① 定义：一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本()，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.这样抽取的样本，叫做简单随机样本. ② 两种常用的简单随机抽样方法：抽签法、随机数法. ③ 抽签法与随机数法的适用情况：抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况. ④ 简单随机抽样的特征：有限性、逐一性、不放回性、等可能性. （3） 分层抽样 ① 定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样. ② 适用情况：分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的. 注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）. ③ 分层随机抽样的均值与方差：假设总体分为两层，各层的样本量分别为，样本均值分别为，样本方差分别为.记总样本量为.总样本均值.总样本方差.此公式可自然推广至多层的情形. 2. 用样本估计总体 （1） 频率分布直方图 ① 频率、频数、样本容量的计算方法：频率 = 频数 / 样本容量，小矩形面积 = 频率 / 组距 组距 = 频率. ② 频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1. （2） 频率分布直方图中数字特征的计算 ① 众数：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. ② 中位数：中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. ③ 平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. （3） 百分位数 ① 定义：一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. ② 四分位数：第25百分位数，第50百分位数（中位数），第75百分位数. （4） 样本的数字特征 ① 众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数. ② 中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. ③ 平均数：个样本数据的平均数为. （5） 标准差和方差 ① 标准差：. ② 方差：. ③ 数据特征：标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小.标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小. ④ 平均数、方差的性质：如果数据的平均数为，方差为，那么一组新数据的平均数为，方差是. 3. 变量间的相关关系与线性回归 （1） 变量之间的相关关系 ① 概念：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫相关关系. （2） 散点图 ① 正相关：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. ② 负相关：如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关. （3） 相关系数 ① 公式：. ② 性质：的范围为.当时，表示两个变量正相关；当时，表示两个变量负相关.越接近1，表示两个变量的线性相关性越强；越接近0，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系.通常当时，认为两个变量具有很强的线性相关关系. （4） 线性回归 ① 线性回归方程：. ② 参数求法：，.其中，，称为样本点的中心. ③ 经验回归直线的性质：经验回归直线必过样本中心点.残差的和为0，即. （5） 残差分析 ① 残差：. ② 残差图：通过残差分析，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高. ③ 残差平方和：.残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好. ④ 相关指数：越接近于1，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好. （6） 非线性回归模型 ① 对于不呈线性相关的两个变量，可以通过变量代换将其转化为线性回归模型. ② 常见的非线性模型包括：指数函数型（两边取自然对数转化为）；对数函数型（令转化为）；幂函数型（两边取对数转化为）；反比例函数型（令转化为）. 4. 独立性检验 （1） 分类变量和列联表 ① 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量. ② 列联表：列出的两个分类变量的频数表称为列联表. 总计 总计 ③ 从列表中，依据与的值可直观得出结论：两个变量是否有关系. （2） 等高条形图 ① 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征. （3） 独立性检验 ① 零假设：在进行独立性检验时，首先提出零假设：分类变量和相互独立（即两个分类变量没有关联）. ② 公式：. ③ 检验规则：基于小概率值的检验规则是，当时，推断不成立，即认为和不独立（有关联），该推断犯错误的概率不超过；当时，没有充分证据推断不成立，可以认为和独立（无关联）. 【易错提醒】 ① 在计算分层抽样的总方差时，不仅要考虑各层内部的方差，还要考虑各层均值与总均值之间的差异. ② 经验回归直线一定经过样本中心点，但散点图中的样本点不一定都在回归直线上. ③ 独立性检验得出的结论是概率性的，不能绝对肯定或否定两个变量之间的关联性. 三、典题精讲 考点一：抽样方法与统计图表 考法1：综合判断抽样方法与样本数字特征 1.（2026·山东泰安·二模）（多选）下列选项正确的是（　　） A. 对A,B,C三个个体按3:1:2的比例进行分层抽样，已知从A类个体中抽取了9个，则样本容量为30 B. 若随机变量，则 C. 恒成立 D. 一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的第80百分位数为4.5 【答案】BD 【思路】根据分层抽样的比例关系计算样本容量；利用正态分布曲线的对称性求概率；通过排列数公式的计算判断恒成立问题；根据百分位数的定义计算第80百分位数. 【解析】对于A，设样本容量为，则，解得，故A错误； 对于B，由于，其正态曲线关于直线对称，且与关于对称，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以不恒成立，故C错误； 对于D，这组数共有10个，因为，所以第80百分位数为第8项与第9项的平均数，即，故D正确. 综上所述，正确的选项为BD. 考法2：提取折线图信息估算样本数字特征 2.（2026·河北NT名校·检测）（多选）某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（　　） A. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份 B. 这10个月营业额的平均数为32.5万元 C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D. 这10个月营业额数据的第70百分位数为43 【答案】AC 【思路】根据折线图的数据逐月计算营业额的增减量；利用平均数和方差的公式分别计算前5个月和后5个月的平均数与方差并比较；根据百分位数的定义计算第70百分位数. 【解析】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元， 六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元， 十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确； 对于B：由，即这10个月的营业额的平均数为万元，B错误； 对于C：前5个月的平均数， 方差； 后5个月的平均数， 方差 因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确； 对于D：将10个数据从小到大排序： 因为，所以第百分位数取第7项和第8项的平均数，D错误. 故选：AC. 考法3：结合频率分布直方图计算频数与频率 3.某大学有男生2000名.为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100名男生的体重（单位：kg）分成以下六组：、、、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 该校体重（单位：kg）在区间上的男生大约有＿＿＿＿＿＿人. 【答案】240 【思路】根据频率分布直方图中各小矩形的面积等于频率，求出目标区间的频率，再乘以样本容量即可得到人数. 【解析】由频率分布直方图可知，该校体重（单位：kg）在区间上的男生的人数为 . 故答案为：240. 4.（2026·湖南株洲·一模）从某社区1万余名居民中随机调查了部分居民，获得了他们的每日运动时长数据，整理得到如下频率分布直方图. （1） 求的值； （2） 假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该社区全体居民的每日平均运动时长； （3） 若用样本的频率估计总体的概率，现从该社区居民中随机抽取4人，用表示每日运动时长在50分钟以上的居民人数，求随机变量的数学期望. 【答案】（1） （2） 42.5分钟 （3） 1 【思路】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求参数；（2）利用各组区间中点值乘以对应频率之和估计平均数；（3）先求出单次抽取的概率，再利用二项分布的期望公式求解. 【解析】（1） 根据题意得：， 解得. （2） 设样本中居民的运动时长的平均数为， 所以估计该社区全体居民的每日平均运动时长为42.5分钟. （3） 从该社区居民中随机抽取一名居民，根据直方图中的信息， 估计每日运动时长在50分钟以上的概率， 随机变量服从二项分布，，. 考法4：利用频率分布直方图估算样本数字特征 5.（2025·安徽淮北·二模）（多选）某校100名学生学业水平测试数学成绩的频率分布直方图如图所示，已知所有学生成绩均在区间内，则（　　） A. 图中的值为0.005 B. 这组数据的平均数为73 C. 这组数据的众数为75 D. 这组数据的中位数约为71.7 【答案】ABD 【思路】利用频率之和为1求出参数a；根据各组组中值与对应频率的乘积之和计算平均数；找到最高矩形对应的组中值作为众数；根据中位数左右两侧面积相等估算中位数. 【解析】对于A，由频率分布图可知：，解得，故A正确； 对于B，由频率分布图可知：，故B正确； 对于C，由频率分布图可知众数为65，故C错误； 对于D，设这组数据的中位数约为，因为，， 所以中位数在区间内，则，解得，故D正确； 故选：ABD. 6.（2025·福建宁德·模拟）某地组织全市高中学生开展青少年劳动技能知识竞赛，竞赛分为笔试和操作两部分，随机抽取了100名高中学生的笔试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示. （1） 根据频率分布直方图，估计笔试成绩的样本平均数和第一四分位数. （2） 用频率估计概率，笔试成绩在80分（含）以上记为良好.经统计，学生笔试等级为良好的情况下操作等级为良好的概率为0.8，学生笔试等级非良好的情况下操作等级为良好的概率为0.6.从全市所有高中学生中选取5人，记操作等级为良好的人数为，求的数学期望与方差. 【答案】（1） 平均数62，第一四分位数52.5 （2） ， 【思路】（1）利用组中值估计平均数，根据频率之和为0.25估计第一四分位数；（2）利用全概率公式求出单次操作良好的概率，再结合二项分布的期望与方差公式求解. 【解析】（1） 设笔试成绩样本平均数为，第一四分位数（即下四分位数）为， 则 前一组频率为，前两组频率之和为， 所以第一四分位数（即下四分位数）落在第二组内，则，解得； （2） 记“笔试成绩等级良好”为事件，“操作成绩等级为良好”为事件， 依题意，，，， 所以， 则，所以，. 【考点一 方法总结】 1. 分层抽样问题类型及解题思路： （1） 求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算. （2） 已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算. （3） 分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比 = 样本容量 / 总体容量 = 各层样本数量 / 各层个体数量”. 2. 频率分布直方图数字特征的计算： （1） 众数：最高矩形的底边中点的横坐标. （2） 中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等. （3） 平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和. 考点二：样本的数字特征与百分位数 考法5：依据定义计算离散数据的百分位数 7.（2026·安徽安庆·二模）统计某地区2025年上半年的月降水量，数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 则该地区上半年月降水量的分位数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】56 【思路】先将数据从小到大排序，然后根据百分位数的计算规则，用样本容量乘以百分比，若为小数则向上取整，找到对应位置的数据. 【解析】将6个降水量数据从小到大排列：46，48，53，56，56，58，则样本容量为. 根据百分位数计算规则，可得 因为不是整数， 所以向上取整5，因此75%分位数为排序后第5个数据，即56. 考法6：结合频率分布直方图估算百分位数 8.（2026·山东滨州·二模）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分.学生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分的第80百分位数为（　　） A. 78 B. 82 C. 85 D. 88 【答案】D 【思路】先根据频率之和为1求出参数，然后计算前几组的频率之和，确定第80百分位数所在的区间，最后通过列方程求解. 【解析】由频率分布直方图的性质可得，，解得. 前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 所以第80百分位数在区间内， 设第80百分位数为，则，解得. 故选：D. 9.（2026·河南郑州·二模）（多选）在一次歌唱比赛中，11位评委给某位选手打分分值从小到大排列依次为，这组分值的中位数和平均数均为，方差为.现从中去掉一个最低分，再去掉一个最高分后，将剩下的9个分值从小到大排列为，方差为.下列说法中一定正确的是（　　） A. B. 的中位数为 C. 的平均数为 D. 【答案】BD 【思路】根据中位数和平均数的定义，分析去掉最高分和最低分后对剩余数据中位数和平均数的影响；利用方差的定义和基本不等式推导新旧方差之间的大小关系. 【解析】A选项：由原数据中位数 平均数，当所有评委打分相同时， ，乘积等于，不等式不成立，A错误； B选项：原数据，共11个，中位数是第个数， 去掉最低分和最高分后，剩下原第2至第10个数据，共个， 重排后，其中， 新中位数是第5个数，恰好等于原来的，所以中位数恒为，B正确； C选项：原数据平均数为，即总和，去掉和后， 新总和为，平均数变为， 要使它等于，需，即最低和最高分关于对称，而题中无此条件，C错误； D选项：设原数据平均数为，新数据平均数为， 根据方差的性质，总平方和之间存在关系： ， ， 又是这9个数的平均值，所以， 于是， 即， 又为最低分，为最高分， 由基本不等式可得：， 由方差的性质可得：，即， 代入得：， 即，D正确. 故选：BD. 考法7：依据定义计算样本数字特征 10.（2026·安徽临泉·二模）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况： 加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米 2024年8月1日 20 26000 2024年8月10日 45 26500 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米的平均耗油量为（　　） A. 5升 B. 6升 C. 9升 D. 11升 【答案】C 【思路】根据表格数据计算出两次加油之间行驶的里程数和消耗的油量，然后求出每100千米的平均耗油量. 【解析】由表中的数据可知该车行驶了500千米，耗油量为45升，则该车每100千米的平均耗油量为升. 故选：C. 11.（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）下列说法正确的是（　　） A. 数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B. 对于随机事件与，若，则事件与相互独立 C. 已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D. 若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 【答案】BC 【思路】根据百分位数的定义计算第60百分位数；利用条件概率公式和独立事件的定义判断事件是否独立；根据数据线性变换的性质计算新数据的平均数、极差和中位数；根据相关系数的性质判断线性相关程度. 【解析】对A：，故这组数据的第60百分位数为，故A错误； 对B：由，则， 故事件与相互独立，故B正确； 对C：新数据的平均值为，极差为， 中位数为，故C正确； 对D：若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近，故D错误. 故选：BC. 考法8：利用线性变换规律求解新数据的数字特征 12.（2025·山东青岛·一模）若样本数据1，，，…，的平均数为1，方差为2，则数据，，…，相对于原数据（　　） A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大 【答案】D 【思路】根据原数据的平均数和方差，利用平均数和方差的计算公式，推导出新数据的平均数和方差，并与原数据进行比较. 【解析】设原数据的平均数为，方差为，变化后的数据的平均数为，方差为， 根据题意有： ， 所以， 故选：D. 13.（2025·广东·检测）若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据的方差为＿＿＿＿＿＿. 【答案】20 【思路】先根据已知数据的平均数和平方的平均数，求出原数据的方差，再利用数据线性变换对方差的影响规律求出新数据的方差. 【解析】由样本数据的平均数为4，得的平均数为4， 由的平均数为22，得， 则的平均数为， 因此的方差为，所以的方差为. 故答案为：20. 考法9：分析增删数据对样本数字特征的影响 14.（2026·山东济南·二模）某机构用不同的人工智能系统对一幅素描作品进行评分，得到7个数据.去掉一个最高分和一个最低分后，得到的5个数据与原始数据相比一定不变的是（　　） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【思路】根据中位数的定义，分析去掉一个最高分和一个最低分后对数据排序中间位置数值的影响，从而判断中位数是否改变. 【解析】设这7个数据从小到大依次为， 则这组数据的中位数为. 去掉一个最高分和一个最低分后，剩下的5个数据为， 这组新数据的中位数仍为. 所以中位数一定不变，而众数、平均数、方差都有可能发生改变. 故选：A. 15.（2026·湖北黄冈·模拟）（多选）在一次歌唱比赛中，11位评委给某位选手打分分值从小到大排列依次为，这组分值的中位数和平均数均为，方差为.现从中去掉一个最低分，再去掉一个最高分后，将剩下的9个分值从小到大排列为，方差为.下列说法中一定正确的是（　　） A. B. 的中位数为 C. 的平均数为 D. 【答案】BD 【思路】根据中位数和平均数的定义，分析去掉最高分和最低分后对剩余数据中位数和平均数的影响；利用方差的定义和基本不等式推导新旧方差之间的大小关系. 【解析】A选项：由原数据中位数 平均数，当所有评委打分相同时， ，乘积等于，不等式不成立，A错误； B选项：原数据，共11个，中位数是第个数， 去掉最低分和最高分后，剩下原第2至第10个数据，共个， 重排后，其中， 新中位数是第5个数，恰好等于原来的，所以中位数恒为，B正确； C选项：原数据平均数为，即总和，去掉和后， 新总和为，平均数变为， 要使它等于，需，即最低和最高分关于对称，而题中无此条件，C错误； D选项：设原数据平均数为，新数据平均数为， 根据方差的性质，总平方和之间存在关系： ， ， 又是这9个数的平均值，所以， 于是， 即， 又为最低分，为最高分， 由基本不等式可得：， 由方差的性质可得：，即， 代入得：， 即，D正确. 故选：BD. 考法10：结合正态分布与概率模型综合判断数字特征 16.（2026·山东枣庄·一模）（多选）下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 已知关于的经验回归方程为，且，则 C. 一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则的分位数一定与的分位数不同 D. 若事件满足，则与独立 【答案】BD 【思路】利用正态分布曲线的对称性计算概率；利用经验回归直线过样本中心点求参数；通过举反例判断百分位数是否相同；利用条件概率公式和独立事件的定义判断事件是否独立. 【解析】对于A，因为，所以正态曲线关于直线对称， 因为，所以， 所以，故A错误； 对于B，因为经验回归直线过样本中心点， 所以，解得，故B正确； 对于C，若样本数据为，共有个数据，，所以其分位数为第项数据，即； 去掉最小值和最大值后，剩下数据为，共有个数据，，所以其分位数为第项数据，即； 两者的分位数相同，故C错误； 对于D，因为，且， 所以，则与独立，故D正确. 故选：BD. 【考点二 方法总结】 1. 计算一组个数据的第百分位数的步骤： （1） 按从小到大排列原始数据. （2） 计算. （3） 若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 考点三：总体分布的估计与分层抽样方差 考法11：利用分层抽样估计总体平均数 17.某中学为了贯策教育部对学生的五项管理中的体质管理，对高一年级学生身高进行调查，在调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男34人，其平均数和方差分别为170.5和15，抽取了女生16人，其平均数和方差分别为160.5和35. （1） 由这些数据计算总样本的平均数； （2） 由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计. 参考数据：， 【答案】（1） 167.3 （2） 43.16 【思路】（1）利用分层抽样的平均数公式计算总样本的平均数；（2）利用分层抽样的方差公式计算总样本的方差，进而估计总体方差. 【解析】（1） 把男生样本记为、、、，其平均数记为，方差记为； 把女生样本记为、、、，其平均数记为，方差记为； 把总样本数据的平均数记为，方差记为. 则， 故. （2） 由分层方差公式可得 . 据此估计高一总方差为43.16. 考法12：利用分层抽样方差公式计算总体方差 18.某校高二年级有男生400人和女生600人，为分析期末物理调研测试成绩，按照男女比例通过分层随机抽样的方法取到一个样本，样本中男生的平均成绩为80分，方差为10，女生的平均成绩为60分，方差为20，由此可以估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为＿＿＿＿＿＿. 【答案】112 【思路】根据男女比例确定各层样本量，利用平均数和方差的定义分别求出各层数据的和与平方和，最后代入总样本的平均数和方差公式进行计算. 【解析】由，不妨设样本由男生2人和女生3人组成.由题设： ，，解得，； ， 解得，； 所以样本的平均分，样本的方差 . 故答案为：112. 19.（2025·福建福州·联考）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查.已知调查中所抽取的120位男性的调查数据的平均数和方差分别为14和6，所抽取的90位女性的调查数据的平均数和方差分别为21和17. （1） 计算这次调查总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计.（结果保留整数） （2） 假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量，且，其中近似为 （1） 中计算所得的总样本方差.现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，，，. 【答案】（1） 均值为17，方差为23 （2） 0.004 【思路】（1）利用分层抽样的平均数和方差公式分别计算总样本的均值与方差；（2）利用正态分布的对称性求出单次抽取的概率，再结合二项分布求出3人均满足条件的概率. 【解析】（1） 设男性的样本容量为，平均数为，方差为； 女性的样本容量为，平均数为，方差为. 总样本容量为. 总样本均值. 总样本方差 . 估计该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值为17，方差为23. （2） 由（1）知，所以，又因为， 所以， . 设抽取出3位参与者的脂肪含量小于的人数为，则， 所以 所以3位参与者的脂肪含量均小于的概率为. 【考点三 方法总结】 1. 分层随机抽样的方差：设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，则这个样本的方差为. 考点四：变量间的相关关系与一元线性回归 考法13：利用散点图与相关系数判断变量相关性 20.（2026·浙江七校·二模）对四组数据进行统计，获得以下散点图（如图），将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】根据散点图的分布趋势判断相关系数的正负，再根据数据点偏离直线的程度判断相关系数绝对值的大小，从而比较各相关系数. 【解析】由散点图可知，图1和图3中的数据呈正相关，图2和图4中的数据呈负相关， 所以； 又图1和图2中的数据点都在一条直线上，线性相关程度最高， 所以， 而图3和图4中的数据点分布在一条直线附近， 所以， 综上可得，. 故选：A. 21.（2026·河北NT名校·检测）（多选）下列说法正确的是（　　） A. 若样本数据的方差，则所有的都相等 B. 在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和 D. 样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 【答案】ABD 【思路】根据方差的定义判断数据是否全等；根据残差图的性质判断回归效果；通过对数变换将非线性模型转化为线性模型并求参数；利用数据线性变换对平均数的影响规律求新数据的平均数. 【解析】对于A，样本数据的平均数为， 则，所以，故A正确； 对于B，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故B正确； 对于C，由题意得，所以，故C错误； 对于D，样本数据的平均数， 则样本数据的平均数为，故D正确. 故选ABD. 考法14：利用最小二乘法求解一元线性回归方程 22.（2025·广东江门·一模）东湖公园统计连续天入园参观的人数（单位：千人）如下： 日期 1月13日 1月14日 1月15日 1月16日 1月17日 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 （1） 建立关于的回归直线方程，预测第天入园参观人数； （2） 东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同一个门出园的概率为.假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率. 附：参考数据：，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 【答案】（1） 回归方程为，人数约为千人 （2） 【思路】（1）利用最小二乘法公式求出回归直线的斜率和截距，写出回归方程并进行预测；（2）利用条件概率公式，先求出甲乙都从南门出园的概率，再求出他们从同门入园且南门出园的概率，最后求比值. 【解析】（1） 由最小二乘法公式可得， 则， 所以，关于的回归直线方程为， 当时，， 因此，预测第天入园参观人数约为千人. （2） 记事件甲、乙两名游客从南门出园，事件甲、乙两名游客从同一个门入园， 则， 如果甲、乙都从南门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲、乙都从北门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲从南门入园，乙从北门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲从北门入园，乙从南门入园，且都从南门出园，其概率为， ， 由条件概率公式可得. 因此，如果甲、乙两名游客从南门出园，则他们从同一个门入园的概率为. 考法15：利用样本中心点性质求解回归模型参数 23.（2026·山东日照·二模）某校学生会依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（）关于“身高”（）的回归方程，则该回归方程（　　） A. 表示与之间的函数关系 B. 表示与之间的不确定关系 C. 反映与之间的真实关系 D. 反映与之间的真实关系的一种最佳拟合 【答案】D 【思路】根据回归方程的统计意义，理解回归方程是对两个变量之间相关关系的一种近似描述和最佳拟合，而非确定的函数关系. 【解析】回归方程反映的是两个变量之间相关关系的近似描述，它不是确定的函数关系，也不是真实关系，而是通过最小二乘法等统计方法得到的对真实关系的一种最佳拟合. 故选：D. 24.（2026·河北衡水·检测）（多选）已知样本点，，，的回归直线的方程为，相关系数为，样本均值分别为.现令，.设新样本点的回归直线为，则（　　） 附：相关系数；回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. A. 过点 B. 的斜率为 C. 与的相关系数为 D. 的截距为 【答案】ACD 【思路】根据样本中心点的性质求新回归直线过的点；利用最小二乘法公式和相关系数公式，结合数据的线性变换，推导新回归直线的斜率、截距以及新数据的相关系数. 【解析】由已知样本均值性质可得新样本均值分别为与， 因为回归直线必过样本中心点，所以新回归直线过点，故A正确； 因为且，代入公式可得新回归直线方程的斜率 ，故B错误； 代入公式可得新样本的相关系数 ，故C正确， 由截距公式可得新回归直线的截距 ，故D正确. 故选ACD. 考法16：结合线性回归方程进行残差计算与数据预测 25.（2026·安徽铜陵·模拟）已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（　　） 2 4 4 7 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为 【答案】D 【思路】先求出样本中心点，判断回归直线是否经过该点；将样本中心点代入回归方程求出参数；将自变量的值代入回归方程求预测值；根据残差的定义计算残差. 【解析】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归方程为过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确. 26.（2026·河北石家庄·一模）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额： 月份 1 2 3 4 5 带货金额/万元 350 440 580 700 880 （1） 计算变量的相关系数（结果精确到0.01）. （2） 求变量之间的线性回归方程，并据此预测2023年6月份该公司的直播带货金额. 参考数据： 参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率，截距. 【答案】（1） 0.99 （2） ，986万元 【思路】（1）利用相关系数的计算公式代入数据进行计算；（2）利用最小二乘法公式求出回归直线的斜率和截距，写出回归方程，并将自变量的值代入进行预测. 【解析】（1） （2）因为， 所以， 所以变量之间的线性回归方程为， 当时，（万元）. 所以预测2023年6月份该公司的直播带货金额为986万元. 【考点四 方法总结】 1. 判定两个变量相关性的方法： （1） 画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关. （2） 样本相关系数：当时，正相关；当时，负相关；越接近于1，相关性越强. （3） 经验回归方程：当时，正相关；当时，负相关. 2. 求经验回归方程的步骤： （1） 计算出，或的值. （2） 利用公式计算系数. （3） 写出经验回归方程. 考点五：非线性回归模型与误差分析 考法17：利用换元法将非线性模型转化为线性回归模型 27.（2026·山东济宁·二模）用模型拟合一组数据，令，若根据样本数据计算可得，且与的经验回归方程为，则（　　）（参考数据） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】对非线性模型两边取对数化为线性模型，利用经验回归直线过样本中心点求出参数，再结合对数运算求出目标参数的值. 【解析】由两边取自然对数，得，即， 因为与的经验回归方程为，所以. 又经验回归直线过样本中心点，即， 代入经验回归方程得，解得， 所以. 由参考数据，可得. 故选：D. 28.（2025·山东名校·二模）每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来.某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， （1） 根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ （2） 根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 样本相关系数为. 参考数据：. 令. 【答案】（1） 应选模型② （2） ，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米 【思路】（1）利用相关系数公式计算模型①的相关系数，根据其绝对值大小判断选择哪个模型；（2）对模型②进行变量代换化为线性回归模型，利用最小二乘法求出参数，再还原为非线性回归方程并进行预测. 【解析】（1） 根据已知求得， 由题设，，所以， 所以，故应选模型②； （2） 令，则求出线性回归方程， 所以，， 所以， 所以， 又，则，故， 所以回归方程为，故，有厘米， 所以，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 考法18：比较相关指数与残差平方和评价模型拟合效果 29.（2025·河北沧州·一模）若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】利用经验回归直线过样本中心点求出回归方程的截距，将自变量的值代入回归方程求出预测值，再根据残差等于实际值减去预测值进行计算. 【解析】因为经验回归直线过样本中心点， 所以，解得， 所以经验回归方程为. 当时，预测值， 所以样本点的残差为. 故选：B. 30.已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，实现信息化监控有着重要意义.某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果.相关指数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好.依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（　　） A. 相关指数 误差平方和 均方根值 0.949 8.491 0.499 B. 相关指数 误差平方和 均方根值 0.933 4.179 0.436 C. 相关指数 误差平方和 均方根值 0.997 1.701 0.141 D. 相关指数 误差平方和 均方根值 0.997 2.899 0.326 【答案】C 【思路】根据相关指数越接近1拟合效果越好，误差平方和及均方根值越小拟合效果越好，综合比较四个模型的指标得出结论. 【解析】相关指数越接近于1，拟合效果越好，比较相关指数知，可选C，D， 误差平方和及均方根值都越小，拟合效果越好，观察误差平方和和均方根值，知C的拟合效果最好. 故选：C. 【考点五 方法总结】 1. 建立非线性回归模型的基本步骤： （1） 确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量. （2） 画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）. （3） 由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）. （4） 通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型. （5） 按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程. （6） 消去新元，得到非线性回归方程. （7） 得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 2. 常见的非线性回归模型： （1） 指数函数型且：两边取自然对数，，即，令，，原方程变为，然后按线性回归模型求出. （2） 对数函数型：令，，原方程变为，然后按线性回归模型求出. （3） 幂函数型：两边取常用对数，，即，令，，原方程变为，然后按线性回归模型求出. （4） 二次函数型：令，，原方程变为，然后按线性回归模型求出. （5） 反比例函数型：令，，原方程变为，然后按线性回归模型求出. 考点六：列联表与独立性检验 考法19：提取图表信息补全列联表并计算卡方值 31.（2025·江西新余·二模）（多选）某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药.为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8.未填写完整的列联表如下，则（　　） 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 种子未经过该药处理 14 合计 100 附：. 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C. 的观测值约为13.428 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效 【答案】AD 【思路】根据已知条件和概率计算补全列联表，然后利用卡方计算公式求出卡方观测值，并与临界值进行比较，从而得出独立性检验的结论. 【解析】由题可将列联表补充完整如下： 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 6 66 种子未经过该药处理 20 14 34 合计 80 20 100 由上表可知A正确，B错误； 由表可知， 因此根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效，故C错误，D正确. 故选：AD. 32.（2026·湖南新高考·联考）在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表： 思维任务类型 信号同步性 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 （1） 分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由. （2） 根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 逻辑推理任务中信号同步的频率为0.42；创造性想象任务中信号同步的频率为0.28；思维任务类型与信号同步性有关，理由见解析 （2） 无关 【思路】（1）根据列联表中的数据分别计算两类任务中信号同步的频率，通过比较频率差异判断是否有关；（2）提出零假设，利用卡方计算公式求出观测值，与临界值比较得出结论. 【解析】（1） 逻辑推理任务中信号同步的频率：； 创造性想象任务中信号同步的频率：； 思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异（）. （2） 零假设：思维任务类型与信号同步性无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即思维任务类型与信号同步性无关. 考法20：利用卡方临界值反求样本量或参数范围 33.通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（　　） A. 150 B. 170 C. 240 D. 175 【答案】C 【思路】设出男女大学生的人数，根据已知比例列出列联表，利用卡方计算公式求出卡方观测值的表达式，结合独立性检验的条件列出不等式，解出总人数的范围. 【解析】设男女大学生各有人，根据题意画出列联表，如下图： 看 不看 合计 男 女 合计 所以，因为有的把握认为性别与对产品是否满意有关，所以，解得，所以总人数可能为. 故选：C. 考法21：结合独立性检验与概率模型求解分布列与期望 34.（2026·河北衡水·检测）某兴趣小组对当地家庭的收入情况与消费情况量化并进行建模，最终得到收支情况良好与较差的两类情况，统计结果如下： 收支情况良好 收支情况较差 类家庭 80 20 类家庭 75 25 这里家庭种类与恩格尔系数相关. （1） 用频率估计概率，从收支情况良好的家庭中任选一家，求其为类家庭的概率； （2） 根据小概率值的独立性检验，分析收支情况是否与家庭种类相关. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2） 无关 【思路】（1）利用条件概率公式，根据列联表中的数据计算在特定条件下的概率；（2）提出零假设，利用卡方计算公式求出观测值，与临界值比较得出结论. 【解析】（1） 记事件：收支情况良好，事件：家庭种类为， （2） 零假设为：收支情况与家庭种类无关， ， 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即可知收支情况与家庭种类无关. 35.（2026·安徽铜陵·一模）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1） 根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2） 在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） 有关联 （2） 分布列见解析， 【思路】（1）提出零假设，利用卡方计算公式求出观测值，与临界值比较得出结论；（2）根据分层抽样的比例确定各层抽取的人数，分析随机变量的可能取值，利用超几何分布求出各取值的概率，列出分布列并计算期望. 【解析】（1） 零假设：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联. （2） 根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为， 则，，， 所以的分布列为 X 0 1 2 P . 【考点六 方法总结】 1. 独立性检验的一般步骤： （1） 根据样本数据制成列联表. （2） 根据公式计算. （3） 比较与临界值的大小关系，作统计推断. 四、高考真题 1.（2026·全国一卷·第1题）样本数据的中位数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 2.（2025·全国一卷·第15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表： 超声波检查结果 / 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 （1） 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值； （2） 根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 【答案】（1） （2） 有关 【解析】（1） 根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为. （2） 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第71讲 统计与成对数据的统计分析 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精练 6 考点一：抽样方法与统计图表 6 考点二：样本的数字特征与百分位数 9 考点三：总体分布的估计与分层抽样方差 11 考点四：变量间的相关关系与一元线性回归 12 考点五：非线性回归模型与误差分析 15 考点六：列联表与独立性检验 17 四、高考真题 19 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 — — — — 2025 第15题 解答题 13分 直接考察 独立性检验与列联表 2026 第1题 单选题 5分 直接考察 中位数的计算 近三年全国一卷共考查2次，2025年以解答题形式直接考查（13分），2026年以单选题形式直接考查（5分），2024年未考查. 2. 命题角度与特色 （1） 基础概念的直接应用：2026年直接给出样本数据，要求计算中位数，考查对基本统计量定义的掌握程度. （2） 结合实际情境的统计推断：2025年以医疗检查为背景，考查列联表数据的提取、概率的估计以及利用卡方公式进行独立性检验，侧重于数据分析与统计推断能力. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握基础统计量：准确记忆并熟练运用平均数、中位数、众数、方差、标准差以及百分位数的计算公式与性质. （2） 强化独立性检验与回归分析：重点掌握列联表的构建与卡方值的计算，理解独立性检验的基本思想；熟悉线性回归方程的求解步骤及残差分析的意义，提升解决实际应用题的能力. 二、知识清单 1. 抽样方法 （1） 抽样调查 ① 总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体. ② 个体：构成总体的每一个元素叫做个体. ③ 样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量. （2） 简单随机抽样 ① 定义：一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本()，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.这样抽取的样本，叫做简单随机样本. ② 两种常用的简单随机抽样方法：抽签法、随机数法. ③ 抽签法与随机数法的适用情况：抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况. ④ 简单随机抽样的特征：有限性、逐一性、不放回性、等可能性. （3） 分层抽样 ① 定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样. ② 适用情况：分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的. 注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）. ③ 分层随机抽样的均值与方差：假设总体分为两层，各层的样本量分别为，样本均值分别为，样本方差分别为.记总样本量为.总样本均值.总样本方差.此公式可自然推广至多层的情形. 2. 用样本估计总体 （1） 频率分布直方图 ① 频率、频数、样本容量的计算方法：频率 = 频数 / 样本容量，小矩形面积 = 频率 / 组距 组距 = 频率. ② 频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1. （2） 频率分布直方图中数字特征的计算 ① 众数：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. ② 中位数：中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. ③ 平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. （3） 百分位数 ① 定义：一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. ② 四分位数：第25百分位数，第50百分位数（中位数），第75百分位数. （4） 样本的数字特征 ① 众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数. ② 中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. ③ 平均数：个样本数据的平均数为. （5） 标准差和方差 ① 标准差：. ② 方差：. ③ 数据特征：标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小.标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小. ④ 平均数、方差的性质：如果数据的平均数为，方差为，那么一组新数据的平均数为，方差是. 3. 变量间的相关关系与线性回归 （1） 变量之间的相关关系 ① 概念：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫相关关系. （2） 散点图 ① 正相关：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. ② 负相关：如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关. （3） 相关系数 ① 公式：. ② 性质：的范围为.当时，表示两个变量正相关；当时，表示两个变量负相关.越接近1，表示两个变量的线性相关性越强；越接近0，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系.通常当时，认为两个变量具有很强的线性相关关系. （4） 线性回归 ① 线性回归方程：. ② 参数求法：，.其中，，称为样本点的中心. ③ 经验回归直线的性质：经验回归直线必过样本中心点.残差的和为0，即. （5） 残差分析 ① 残差：. ② 残差图：通过残差分析，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高. ③ 残差平方和：.残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好. ④ 相关指数：越接近于1，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好. （6） 非线性回归模型 ① 对于不呈线性相关的两个变量，可以通过变量代换将其转化为线性回归模型. ② 常见的非线性模型包括：指数函数型（两边取自然对数转化为）；对数函数型（令转化为）；幂函数型（两边取对数转化为）；反比例函数型（令转化为）. 4. 独立性检验 （1） 分类变量和列联表 ① 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量. ② 列联表：列出的两个分类变量的频数表称为列联表. 总计 总计 ③ 从列表中，依据与的值可直观得出结论：两个变量是否有关系. （2） 等高条形图 ① 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征. （3） 独立性检验 ① 零假设：在进行独立性检验时，首先提出零假设：分类变量和相互独立（即两个分类变量没有关联）. ② 公式：. ③ 检验规则：基于小概率值的检验规则是，当时，推断不成立，即认为和不独立（有关联），该推断犯错误的概率不超过；当时，没有充分证据推断不成立，可以认为和独立（无关联）. 【易错提醒】 ① 在计算分层抽样的总方差时，不仅要考虑各层内部的方差，还要考虑各层均值与总均值之间的差异. ② 经验回归直线一定经过样本中心点，但散点图中的样本点不一定都在回归直线上. ③ 独立性检验得出的结论是概率性的，不能绝对肯定或否定两个变量之间的关联性. 三、典题精练 考点一：抽样方法与统计图表 考法1：综合判断抽样方法与样本数字特征 1.（2026·山东泰安·二模）（多选）下列选项正确的是（　　） A. 对A,B,C三个个体按3:1:2的比例进行分层抽样，已知从A类个体中抽取了9个，则样本容量为30 B. 若随机变量，则 C. 恒成立 D. 一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的第80百分位数为4.5 考法2：提取折线图信息估算样本数字特征 2.（2026·河北NT名校·检测）（多选）某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（　　） A. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降最多的是五月份 B. 这10个月营业额的平均数为32.5万元 C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D. 这10个月营业额数据的第70百分位数为43 考法3：结合频率分布直方图计算频数与频率 3.某大学有男生2000名.为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100名男生的体重（单位：kg）分成以下六组：、、、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 该校体重（单位：kg）在区间上的男生大约有＿＿＿＿＿＿人. 4.（2026·湖南株洲·一模）从某社区1万余名居民中随机调查了部分居民，获得了他们的每日运动时长数据，整理得到如下频率分布直方图. （1） 求的值； （2） 假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该社区全体居民的每日平均运动时长； （3） 若用样本的频率估计总体的概率，现从该社区居民中随机抽取4人，用表示每日运动时长在50分钟以上的居民人数，求随机变量的数学期望. 考法4：利用频率分布直方图估算样本数字特征 5.（2025·安徽淮北·二模）（多选）某校100名学生学业水平测试数学成绩的频率分布直方图如图所示，已知所有学生成绩均在区间内，则（　　） A. 图中的值为0.005 B. 这组数据的平均数为73 C. 这组数据的众数为75 D. 这组数据的中位数约为71.7 6.（2025·福建宁德·模拟）某地组织全市高中学生开展青少年劳动技能知识竞赛，竞赛分为笔试和操作两部分，随机抽取了100名高中学生的笔试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示. （1） 根据频率分布直方图，估计笔试成绩的样本平均数和第一四分位数. （2） 用频率估计概率，笔试成绩在80分（含）以上记为良好.经统计，学生笔试等级为良好的情况下操作等级为良好的概率为0.8，学生笔试等级非良好的情况下操作等级为良好的概率为0.6.从全市所有高中学生中选取5人，记操作等级为良好的人数为，求的数学期望与方差. 【考点一 方法总结】 1. 分层抽样问题类型及解题思路： （1） 求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算. （2） 已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算. （3） 分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比 = 样本容量 / 总体容量 = 各层样本数量 / 各层个体数量”. 2. 频率分布直方图数字特征的计算： （1） 众数：最高矩形的底边中点的横坐标. （2） 中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等. （3） 平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和. 考点二：样本的数字特征与百分位数 考法5：依据定义计算离散数据的百分位数 7.（2026·安徽安庆·二模）统计某地区2025年上半年的月降水量，数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 则该地区上半年月降水量的分位数为＿＿＿＿＿＿. 考法6：结合频率分布直方图估算百分位数 8.（2026·山东滨州·二模）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分.学生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分的第80百分位数为（　　） A. 78 B. 82 C. 85 D. 88 9.（2026·河南郑州·二模）（多选）在一次歌唱比赛中，11位评委给某位选手打分分值从小到大排列依次为，这组分值的中位数和平均数均为，方差为.现从中去掉一个最低分，再去掉一个最高分后，将剩下的9个分值从小到大排列为，方差为.下列说法中一定正确的是（　　） A. B. 的中位数为 C. 的平均数为 D. 考法7：依据定义计算样本数字特征 10.（2026·安徽临泉·二模）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况： 加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米 2024年8月1日 20 26000 2024年8月10日 45 26500 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米的平均耗油量为（　　） A. 5升 B. 6升 C. 9升 D. 11升 11.（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）下列说法正确的是（　　） A. 数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B. 对于随机事件与，若，则事件与相互独立 C. 已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D. 若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 考法8：利用线性变换规律求解新数据的数字特征 12.（2025·山东青岛·一模）若样本数据1，，，…，的平均数为1，方差为2，则数据，，…，相对于原数据（　　） A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大 13.（2025·广东·检测）若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据的方差为＿＿＿＿＿＿. 考法9：分析增删数据对样本数字特征的影响 14.（2026·山东济南·二模）某机构用不同的人工智能系统对一幅素描作品进行评分，得到7个数据.去掉一个最高分和一个最低分后，得到的5个数据与原始数据相比一定不变的是（　　） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 15.（2026·湖北黄冈·模拟）（多选）在一次歌唱比赛中，11位评委给某位选手打分分值从小到大排列依次为，这组分值的中位数和平均数均为，方差为.现从中去掉一个最低分，再去掉一个最高分后，将剩下的9个分值从小到大排列为，方差为.下列说法中一定正确的是（　　） A. B. 的中位数为 C. 的平均数为 D. 考法10：结合正态分布与概率模型综合判断数字特征 16.（2026·山东枣庄·一模）（多选）下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 已知关于的经验回归方程为，且，则 C. 一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则的分位数一定与的分位数不同 D. 若事件满足，则与独立 【考点二 方法总结】 1. 计算一组个数据的第百分位数的步骤： （1） 按从小到大排列原始数据. （2） 计算. （3） 若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 考点三：总体分布的估计与分层抽样方差 考法11：利用分层抽样估计总体平均数 17.某中学为了贯策教育部对学生的五项管理中的体质管理，对高一年级学生身高进行调查，在调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男34人，其平均数和方差分别为170.5和15，抽取了女生16人，其平均数和方差分别为160.5和35. （1） 由这些数据计算总样本的平均数； （2） 由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计. 参考数据：， 考法12：利用分层抽样方差公式计算总体方差 18.某校高二年级有男生400人和女生600人，为分析期末物理调研测试成绩，按照男女比例通过分层随机抽样的方法取到一个样本，样本中男生的平均成绩为80分，方差为10，女生的平均成绩为60分，方差为20，由此可以估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为＿＿＿＿＿＿. 19.（2025·福建福州·联考）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查.已知调查中所抽取的120位男性的调查数据的平均数和方差分别为14和6，所抽取的90位女性的调查数据的平均数和方差分别为21和17. （1） 计算这次调查总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计.（结果保留整数） （2） 假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量，且，其中近似为 （1） 中计算所得的总样本方差.现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，，，. 【考点三 方法总结】 1. 分层随机抽样的方差：设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，则这个样本的方差为. 考点四：变量间的相关关系与一元线性回归 考法13：利用散点图与相关系数判断变量相关性 20.（2026·浙江七校·二模）对四组数据进行统计，获得以下散点图（如图），将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（　　） A. B. C. D. 21.（2026·河北NT名校·检测）（多选）下列说法正确的是（　　） A. 若样本数据的方差，则所有的都相等 B. 在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和 D. 样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 考法14：利用最小二乘法求解一元线性回归方程 22.（2025·广东江门·一模）东湖公园统计连续天入园参观的人数（单位：千人）如下： 日期 1月13日 1月14日 1月15日 1月16日 1月17日 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 （1） 建立关于的回归直线方程，预测第天入园参观人数； （2） 东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同一个门出园的概率为.假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率. 附：参考数据：，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 考法15：利用样本中心点性质求解回归模型参数 23.（2026·山东日照·二模）某校学生会依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（）关于“身高”（）的回归方程，则该回归方程（　　） A. 表示与之间的函数关系 B. 表示与之间的不确定关系 C. 反映与之间的真实关系 D. 反映与之间的真实关系的一种最佳拟合 24.（2026·河北衡水·检测）（多选）已知样本点，，，的回归直线的方程为，相关系数为，样本均值分别为.现令，.设新样本点的回归直线为，则（　　） 附：相关系数；回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. A. 过点 B. 的斜率为 C. 与的相关系数为 D. 的截距为 考法16：结合线性回归方程进行残差计算与数据预测 25.（2026·安徽铜陵·模拟）已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（　　） 2 4 4 7 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为 26.（2026·河北石家庄·一模）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额： 月份 1 2 3 4 5 带货金额/万元 350 440 580 700 880 （1） 计算变量的相关系数（结果精确到0.01）. （2） 求变量之间的线性回归方程，并据此预测2023年6月份该公司的直播带货金额. 参考数据： 参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率，截距. 【考点四 方法总结】 1. 判定两个变量相关性的方法： （1） 画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关. （2） 样本相关系数：当时，正相关；当时，负相关；越接近于1，相关性越强. （3） 经验回归方程：当时，正相关；当时，负相关. 2. 求经验回归方程的步骤： （1） 计算出，或的值. （2） 利用公式计算系数. （3） 写出经验回归方程. 考点五：非线性回归模型与误差分析 考法17：利用换元法将非线性模型转化为线性回归模型 27.（2026·山东济宁·二模）用模型拟合一组数据，令，若根据样本数据计算可得，且与的经验回归方程为，则（　　）（参考数据） A. B. C. D. 28.（2025·山东名校·二模）每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来.某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， （1） 根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ （2） 根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 样本相关系数为. 参考数据：. 令. 考法18：比较相关指数与残差平方和评价模型拟合效果 29.（2025·河北沧州·一模）若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为（　　） A. B. C. D. 30.已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，实现信息化监控有着重要意义.某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果.相关指数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好.依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（　　） A. 相关指数 误差平方和 均方根值 0.949 8.491 0.499 B. 相关指数 误差平方和 均方根值 0.933 4.179 0.436 C. 相关指数 误差平方和 均方根值 0.997 1.701 0.141 D. 相关指数 误差平方和 均方根值 0.997 2.899 0.326 【考点五 方法总结】 1. 建立非线性回归模型的基本步骤： （1） 确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量. （2） 画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）. （3） 由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）. （4） 通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型. （5） 按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程. （6） 消去新元，得到非线性回归方程. （7） 得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 2. 常见的非线性回归模型： （1） 指数函数型且：两边取自然对数，，即，令，，原方程变为，然后按线性回归模型求出. （2） 对数函数型：令，，原方程变为，然后按线性回归模型求出. （3） 幂函数型：两边取常用对数，，即，令，，原方程变为，然后按线性回归模型求出. （4） 二次函数型：令，，原方程变为，然后按线性回归模型求出. （5） 反比例函数型：令，，原方程变为，然后按线性回归模型求出. 考点六：列联表与独立性检验 考法19：提取图表信息补全列联表并计算卡方值 31.（2025·江西新余·二模）（多选）某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药.为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子（其中一部分用该药做了处理）进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8.未填写完整的列联表如下，则（　　） 抗病虫害 不抗病虫害 合计 种子经过该药处理 60 种子未经过该药处理 14 合计 100 附：. 0.1 0.01 0.005 0.001 2.706 6.635 7.879 10.828 A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒 B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒 C. 的观测值约为13.428 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为该新药有效 32.（2026·湖南新高考·联考）在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表： 思维任务类型 信号同步性 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 （1） 分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由. （2） 根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 考法20：利用卡方临界值反求样本量或参数范围 33.通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有的男大学生“不看”，有的女大学生“不看”，若有的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（　　） A. 150 B. 170 C. 240 D. 175 考法21：结合独立性检验与概率模型求解分布列与期望 34.（2026·河北衡水·检测）某兴趣小组对当地家庭的收入情况与消费情况量化并进行建模，最终得到收支情况良好与较差的两类情况，统计结果如下： 收支情况良好 收支情况较差 类家庭 80 20 类家庭 75 25 这里家庭种类与恩格尔系数相关. （1） 用频率估计概率，从收支情况良好的家庭中任选一家，求其为类家庭的概率； （2） 根据小概率值的独立性检验，分析收支情况是否与家庭种类相关. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 35.（2026·安徽铜陵·一模）为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1） 根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2） 在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望. 附：，. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【考点六 方法总结】 1. 独立性检验的一般步骤： （1） 根据样本数据制成列联表. （2） 根据公式计算. （3） 比较与临界值的大小关系，作统计推断. 四、高考真题 1.（2026·全国一卷·第1题）样本数据的中位数为（　　） A. B. C. D. 2.（2025·全国一卷·第15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表： 超声波检查结果 / 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 （1） 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值； （2） 根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $