第62讲 曲线的轨迹方程·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦曲线的轨迹方程核心考点，涵盖直接法、定义法、相关点法等六大求法，按考情分析、知识清单、分层典题、高考真题的逻辑架构展开，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化实战能力，助力学生系统突破轨迹方程难点。 讲义突出分层考法设计与核心素养融合，如定义法中引导学生利用中垂线性质转化距离关系，培养数学思维的逻辑推理能力；直接法通过距离乘积、向量关系等几何条件列式，提升数学语言的代数表达能力。设置从基础到综合的梯度练习，配合方法总结与真题解析，确保学生高效掌握解题技巧，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

第62讲 曲线的轨迹方程 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精讲 3 考点一：直接法求轨迹方程 3 考点二：定义法求轨迹方程 13 考点三：相关点法求轨迹方程 23 考点四：交轨法求轨迹方程 27 考点五：参数法与点差法求轨迹方程 32 考点六：向量与新定义曲线的轨迹问题 35 四、高考真题 38 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2026 — — — — 2025 第18题 解答 17分 间接考察 利用相关点法和代数关系求动点轨迹方程 2024 第11题 多选 6分 直接考察 根据几何条件求轨迹方程并探究曲线性质 在近三年全国一卷中，本讲内容2024年以多选题形式直接考查（6分），2025年以解答题形式间接考查（17分），2026年未考查. 2. 命题角度与特色 （1） 依托几何条件建系立式：常以距离、角度、向量等几何关系为载体，要求考生直接翻译为代数方程，如2024年利用距离乘积为定值求轨迹. （2） 结合相关点与代数关系探究轨迹：在解答题中，常结合相关点法或斜率关系，要求先求出动点的轨迹方程，再进一步探究最值或范围问题，如2025年通过斜率倍数关系求出动点轨迹为圆. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握求轨迹方程的基本方法：如直接法、定义法、相关点法、交轨法和参数法等，能够根据题目条件灵活选择合适的方法. （2） 强化代数化简与图形性质分析能力：在求出轨迹方程后，往往需要结合方程的代数特征（如范围、对称性、渐近趋势等）分析曲线的几何性质，或结合圆锥曲线的定义解决最值问题. 二、知识清单 1. 曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下的关系： （1） 曲线上点的坐标都是这个方程的解. （2） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2. 曲线的对称性与交点 （1） 曲线的对称性： ① 若曲线方程 中，以 代替 方程不变，即 ，则曲线关于 轴对称. ② 若以 代替 方程不变，即 ，则曲线关于 轴对称. ③ 若同时以 代替 ， 代替 方程不变，即 ，则曲线关于原点对称. ④ 若以 代替 ， 代替 方程不变，即 ，则曲线关于直线 对称. （2） 两曲线的交点：设曲线 的方程为 ，曲线 的方程为 ，则两曲线的交点坐标就是方程组 的实数解.若方程组无实数解，则两曲线无交点. 3. 直接法求动点的轨迹方程 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： （1） 建系：建立适当的坐标系. （2） 设点：设轨迹上的任一点 . （3） 列式：列出有限制关系的几何等式. （4） 代换：将轨迹所满足的条件用含 的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为 的方程式化简. （5） 证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验），简记为：建设现代化，补充说明. 4. 定义法求动点的轨迹方程 回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点 和满足焦点标志的定点连起来判断.熟记焦点的特征： （1） 关于坐标轴对称的点. （2） 标记为 的点. （3） 圆心. （4） 题目提到的定点等等. 当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程. 5. 相关点法求动点的轨迹方程 如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 的轨迹方程. 6. 交轨法求动点的轨迹方程 在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数. 7. 参数方程法求动点的轨迹方程 动点 的运动主要是由于某个参数 的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即 ，，再消去参数. 8. 点差法求动点的轨迹方程 圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 ， 的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得 ，，， 等关系式，由于弦 的中点 的坐标满足 ， 且直线 的斜率为 ，由此可求得弦 中点的轨迹方程. 三、典题精讲 考点一：直接法求轨迹方程 考法1：利用距离或向量关系直接列式求轨迹方程 1.（2026·湖南永州·一模）已知两条直线 ，，有一动圆 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点，且 ，，则圆心 轨迹为（　　） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【思路】根据弦长公式和圆心到直线的距离，列出圆心坐标满足的等式，化简即可得到轨迹方程. 【解析】分别求得圆心到直线 ， 的距离 ，由 可求解. 设动圆的圆心坐标为 ， 圆心到直线 的距离为 ， 圆心到直线 距离为 ， 又动圆 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点，且 ，， 所以 ，即 ， 化简得 ，所以圆心 的轨迹为双曲线， 故选：C. 2.（2026·湖北孝感·二模）如图①，在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足.点 在 的延长线上，且 .当点 在圆上运动时，点 的轨迹为曲线 .（当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合.） （1） 求曲线 的方程； （2） 矩形 中，， 分别是矩形的四条边的中点. （i） 如图②，已知点 是线段 上靠近原点 的 4 等分点，直线 与曲线 交于 两点，与圆 交于 两点，求 的值； （ii） 如图③，已知点 是线段 的 等分点，点 是线段 的 等分点.证明：直线 与 的交点 在曲线 上. 【答案】（1） （2） （i） （ii） 证明见解析 【思路】（1） 设出点 和点 的坐标，根据向量或线段比例关系找出坐标间的联系，代入圆的方程即可求得轨迹方程；（2） 结合直线方程与曲线方程联立，利用韦达定理或坐标代入法求解交点坐标，进而求得线段比值或证明点在曲线上. 【解析】 （1） 设点 坐标为 ，点 的坐标为 ，则点 的坐标为 由 得 ，，所以 ， 因为点 在圆 上，所以 ，把 ， 代入得：，即曲线 的方程是： （2） （i） 由题意，点 ，，， 所以直线 方程为 由 得 所以 由 得 所以 由相似得 （ii） 证明：由题知：，，， ， 直线 方程： 直线 方程： 联立直线 方程和直线 方程，得 ，所以 代入直线 方程得 所以 所以 所以，点 在椭圆 上. 考法2：利用绝对值方程探究曲线对称性与交点问题 3.（2025·江西上饶·二模）（多选）已知曲线 ，则下列说法正确的是（　　） A. 直线 与曲线 没有交点 B. 已知点 ，则曲线 上存在点 ，使得 C. 若过点 的直线 与曲线 有三个不同的交点，则直线 的斜率的取值范围是 D. 点 是曲线 上在第四象限内的一点，过点 向直线 与直线 作垂线，垂足分别为 ，则 【答案】BCD 【思路】通过去绝对值，将曲线 分象限转化为椭圆或双曲线的一部分，画出图象，结合圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系逐项分析. 【解析】曲线 ，当 时，曲线 ，表示焦点在 轴上的椭圆的一部分， 当 时，曲线 ，表示焦点在 轴上的双曲线在第四象限的部分， 其渐近线方程为 ，焦点为 ，， 当 时，曲线 ，表示焦点在 轴上 双曲线第二象限的部分， 其渐近线方程为 ， 当 时，曲线 ，不表示任何图形， 对于 A，由 ，解得 ，直线 与曲线 交于点 ，A 错误； 对于 B，当曲线 上的点 的坐标满足 时，，B 正确； 对于 C，观察图形知，直线 与曲线 有三个不同的交点，直线 的斜率 ， 其方程为 ，由 消去 得 ， 由 ，得 ，而此时 ， 直线 过点 时，，因此当 时，直线 与 （）交于 2 点， 而曲线 （）的渐近线为 ，直线 与直线 相交， 则直线 与曲线 （）必有 1 个交点； 由 消去 得 ， 由 ，得 ，而此时 ， 因此当 时，直线 与曲线 （）交于 2 点， 与曲线 （）必有 1 个交点， 从而过点 直线 与曲线 有三个不同的交点，则直线 的斜率的取值范围是 ，C 正确； 对于 D，设 ，则 ，则 ，D 正确. 故选：BCD. 4.（2026·福建泉州·一模）（多选）已知曲线 与坐标轴交于 两点，点 在 上，则（　　） A. B. 为轴对称图形 C. 直线 与 有两个公共点 D. 使得 的面积为 的点 恰有 2 个 【答案】ABD 【思路】将绝对值方程分象限讨论，转化为双曲线或圆的一部分，画出图象，结合图形的对称性、渐近线及点到直线的距离公式进行判断. 【解析】当 时，；当 时，，不存在； 当 时，；当 时，； 对于选项 A：令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以 ， 两点之间的距离为 ，所以 ，故选项 A 正确； 对于选项 B：设 在 上，因为 关于 的对称点 也在 上，所以 关于直线 对称， 为轴对称图形，故选项 B 正确； 对于选项 C：将直线 与 联立可得，，该方程无解，故选项 C 错误； 对于选项 D：若 的面积为 ，则 到直线 的距离为 ，若 在第四象限，则 面积的最大值为 ，因为 ，所以不存在满足条件的点 .因为曲线 ， 的渐近线为 ，直线 与 之间的距离为 ，若 的面积为 ，则 到直线 （）的距离为 ，满足题意的点 恰有两个，故选项 D 正确；故选 ABD. 考法3：联立方程组消参求曲线族交点轨迹 5.（2026·浙江名校协作体·二模）若曲线族(具有某种共同性质的所有曲线的集合)满足条件：存在直线 ，使得曲线族中存在无数个点在该直线上，称该曲线族是“完美的”，下列曲线族是“完美的” 是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】根据新定义，将曲线族转化为圆的方程，求出圆心轨迹方程，判断圆心到轨迹上某直线的距离与半径的大小关系，从而得出结论. 【解析】由题意得，若存在直线 ，使得曲线族中存在无数个点在该直线上， 即曲线族中圆心 满足 ，且半径 到直线 的距离 ， 对于 A，圆心为 ，则圆心在直线 上， 半径 ，圆心 到直线 的距离 ， 因为 ，所以 恒成立， 所以曲线族中存在无数个点在直线 上，所以 A 不是“完美的”； 对于 B，圆心为 ，则圆心在直线 上， 半径 ，圆心 到直线 的距离 ， 因为 ，所以 恒成立， 所以曲线族中存在无数个点在直线 上，所以 B 不是“完美的”； 对于 C，圆心为 ，则圆心在直线 上， 半径 ，圆心 到直线 的距离 ， 因为 ，所以 恒成立， 所以曲线族中存在无数个点在直线 上，所以 C 是“完美的”； 对于 D，圆心为 ，则圆心在直线 上， 半径 ，圆心 到直线 的距离 ， 因为 ，所以 恒成立， 所以曲线族中存在无数个点在直线 上，所以 D 不是“完美的”； 故选：C. 6.（2025·河南·检测）已知曲线 . （1） 在答题卡中画出 的大致图形，并说明理由. （2） 若 是 上的动点，，，证明： 为定值. （3） 若直线 与 的所有交点的纵坐标之和大于 ，求 的取值范围. 【答案】（1） 见解析 （2） 证明见解析 （3） 【思路】（1） 将方程化为两个因式乘积为零的形式，分别对应直线和圆，画出图形；（2） 根据点 的横坐标范围确定其在圆上，利用两点间距离公式代入计算即可；（3） 分别求出直线与直线 的交点纵坐标，再联立直线与圆的方程，利用韦达定理求出交点纵坐标之和，列不等式求解. 【解析】（1） 由 ，得 或 ， 所以 由两条直线 以及圆 组成. 故 的图形如图所示. （2） 证明：因为 ，所以点 在圆 上， 所以 ， 所以 为定值. （3） 将 代入 ，得 ，将 代入 ，得 . 因为 ，所以 不经过点 ，，依题意可得 与圆 的所有交点的纵坐标之和大于 . 当 时， 与 的所有交点的纵坐标之和为 ， 所以 不符合题意. 当 时，联立 ，消去 得 ， 因为 过定点 ，且该点在圆 的内部，所以 与圆 总有两个交点. 设 与圆 的交点为 ，，则 ， 解得 ，故 的取值范围为 . 考法4：结合极坐标与三角换元探究曲线交点与最值 7.（2026·浙江温州·一模）已知点 ，， 在曲线 上，记 ，则存在函数 ，对曲线上任意一点 都有（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先由曲线方程确定点 的轨迹为右半圆，然后结合函数的定义，即自变量与因变量的唯一对应关系，通过几何图形分析各选项中变量间的对应情况. 【解析】确定点 的轨迹后，结合函数定义逐项判断即可得. 由 ，可得 ，， 故 在以原点为圆心，半径为 的圆的右半圆上. 对 A、C：如图：当 位于点 或 时，有 与 全等， 则 ，即当 时， 可为 或 ， 可为 或 ， 故 、 都不是关于 的函数，故 A、C 错误； 对 B：当 时，如图， 可能位于点 或点 处， 显然 ，故一个 可能得到两个不同的 ， 故 不是关于 的函数，故 B 错误； 对 D：由 ，则 确定时， 唯一确定， 则当 确定时，点 也唯一确定， 则每一个 都有相对应的一个 ， 故 是关于 的函数，故 D 正确. 故选：D. 8.（2026·山东青岛·二模）（多选）已知曲线 ，点 是 上一点，则（　　） A. 关于原点对称 B. 直线 与曲线 有且仅有两个交点 C. 到原点的距离可以为 1 D. 到原点的距离最大值为 【答案】AC 【思路】利用代数替换法判断对称性；联立直线与曲线方程，构造函数利用导数判断交点个数；通过换元法将方程转化为参数形式，结合三角函数的有界性求出距离的范围. 【解析】选项 A.若点 在曲线 上，满足 . 将 代入方程， 左边 ，右边 左边， 因此 也在曲线 上，曲线关于原点中心对称，A 正确. 选项 B.联立 代入曲线方程，整理得 ， 即 ， 令 ，则 ， 当 时，， 单调递增， 又 ，， 所以 在 上无零点， 同理 在 上也无零点， 所以直线 与曲线 没有交点，B 错误. 选项 C.令 ，则 ，代入原方程可得参数形式：，. 要使 有意义，则 ， 令 ，则 ， 当 时，， 单调递减， 又 ，， 所以存在 ，使得 ， 所以当 时，， 此时 ， 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，， 所以 到原点的距离可以为 1，C 正确. 选项 D.由 C 知， 的最大值为 ， 所以 到原点的距离最大值为 ，D 错误. 故选：AC. 9.（2026·江苏南师大附中·模拟）（多选）曲线 ，，下列说法正确的是（　　） A. 若点 在曲线 上，则点 也一定在曲线 上 B. 若曲线 表示双曲线，则其离心率 C. 若 ，则曲线 表示焦点在 轴上的椭圆 D. 不论 为何值，直线 与曲线 恒有两个交点 【答案】ABD 【思路】根据曲线方程的代数特征判断对称性；分类讨论 的取值范围，将方程转化为圆锥曲线的标准方程，进而求出离心率或判断焦点位置；联立直线与曲线方程，利用判别式判断交点个数. 【解析】根据题意，对各选项进行分析即可. A：将点 代入方程左边： 由于 在曲线上，故原式等于 1，所以 也在曲线上， 该曲线 关于原点对称，所以 A 正确. B：曲线方程可改写为：，当 时，即 ， 此时方程为：， 即标准双曲线形式：， 其中 ，， 双曲线离心率公式：， 所以 B 正确. C：因为 ，所以 ， 方程为：， 是椭圆标准形式，可得：，， 因为 ，所以 ，故 ，焦点在 轴上， 所以 C 错误. D：将直线代入曲线方程： ，展开：， 整理成关于 的二次方程： ， 根据判别式：， 化简得：，因为 ，所以 恒成立， 方程恒有两个不同实根，直线与曲线恒有两个交点. 所以 D 正确 故选：ABD. 【考点一 方法总结】 1. 直接法求轨迹方程：当动点满足的几何条件容易直接转化为代数等式时，可设动点坐标为 ，直接列出关于 的方程并化简.如利用距离公式、斜率公式等. 2. 绝对值方程与曲线对称性：含有绝对值的曲线方程，常通过去掉绝对值符号，将其转化为分象限的圆锥曲线的一部分.分析其对称性时，可通过代数替换（如以 替换 ）来判断. 3. 联立方程组消参法：当动点坐标由其他参数（如角度、斜率等）表示时，可通过联立方程组消去参数，得到仅含 的轨迹方程. 4. 极坐标与三角换元：对于涉及圆或椭圆的轨迹问题，可引入极坐标或三角换元，将问题转化为三角函数的最值或值域问题，结合三角函数的有界性进行求解. 考点二：定义法求轨迹方程 考法5：利用圆锥曲线定义求轨迹方程 10.（2026·湖南邵阳·二模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ，，动点 满足 .当 取最大值时， ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】根据两点间距离公式，由已知条件求出点 的轨迹方程（阿波罗尼斯圆），再结合几何图形，当直线 与圆相切时， 取得最大值，利用勾股定理求解. 【解析】设 ，则由 得 ， 整理得 ，即 ， 所以点 的轨迹是以 为圆心，2 为半径的圆， 当 取最大值时，直线 与圆相切， 此时 ， 所以 . 11.（2026·河北沧州八校·二模）在平面直角坐标系 中，点 到直线 的距离的平方比点 到点 的距离的平方大 ，记动点 的轨迹为 . （1） 求 的方程. （2） 已知 为 上不同的三点. （i）若线段 的中点坐标为 ，求 的面积; （ii）若直线 和直线 均与圆 相切，证明：直线 与圆 相切. 【答案】（1） （2） （i）；（ii）证明见解析. 【思路】（1） 设出动点坐标，根据题意列出等式，化简即可得到轨迹方程；（2） 利用点差法或设线法求出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式、点到直线的距离公式进行计算或证明. 【解析】（1）设动点 的坐标为 ， 由已知点 到 的距离的平方比到原点 的距离平方大 ， 所以 化简可得 ， 所以 的方程为 ， （2）（i）设 ， 因为 都在 上，故 ， 所以 ， 所以直线 的斜率 ， 因为 中点为 ，所以 ， 所以 ，直线 的方程为 ，即 ， 联立直线与抛物线方程： ， 方程 的判别式 由韦达定理得 ， 所以 所以 的面积 ( 是直线在 轴截距)； （ii）设 ， 所以直线 的方程为 ， 圆 的圆心为 ，半径 ， 因为 与圆 相切，故圆心到直线距离等于 1， 所以 ，即 ， 所以 ， 同理 ， 所以 ， 是一元二次方程 的两个根， 故 ， 是方程 ， 方程 的判别式 由韦达定理得 ，， 对直线 ，同理得圆心到 的距离平方为 ， 又 ，故 ， 所以 ，即 ，故直线 与圆 相切. 考法6：转化中垂线与相切关系求圆锥曲线轨迹 12.（2026·广东东莞·模拟）已知 为圆 上的一个动点，定点 ，线段 的垂直平分线交线段 于点 ，则 点的轨迹为（　　） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】A 【思路】利用垂直平分线的性质将线段转化，结合圆的半径，得出点 到两定点的距离之和为定值，进而根据椭圆的定义判断轨迹形状. 【解析】根据垂直平分线的性质可得 ，进而得 ，结合椭圆的定义即可求解. 由 可得 ， 所以圆心 ，半径 ， 因为点 在线段 的垂直平分线上，所以 ， 又点 在线段 上，所以 ， 所以点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 6 的椭圆. 故选：A. 13.（2026·湖北楚天协作体·联考）已知圆 与直线 相切，且与圆 外切，则圆心 的轨迹为（　　） A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 抛物线 D. 圆 【答案】C 【思路】根据圆与直线相切及圆与圆外切的条件，将几何关系转化为点到定点的距离等于点到定直线的距离，利用抛物线的定义判断轨迹形状. 【解析】由题意圆心 在直线 的左侧，可转化为圆心 到 的距离等于圆心 到直线 的距离，由抛物线的定义知圆心 的轨迹为抛物线，轨迹方程为 . 方法一：由题意圆心 在直线 的左侧，可转化为圆心 到 的距离等于圆心 到直线 的距离，由抛物线的定义知圆心 的轨迹为抛物线，轨迹方程为 .故选 C. 方法二：解：设所求圆的圆心为 ，半径为 ， 由圆与直线 相切，得 ，已知圆 的圆心为 ，半径为 1， 当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即 ，得 ， 当 时，方程变为 ， 平方后整理得 ，但此时 与 矛盾，无解； 当 时，方程变为 ，平方后整理得 ，， 故轨迹方程为 ，是抛物线.故选 C. 14.（2024·广东华南师大附中·检测）（多选）已知定圆 ，点 是圆 所在平面内一定点，点 是圆 上的动点，若线段 的中垂线交直线 于点 ，则点 的轨迹可能为（　　） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】ABC 【思路】利用垂直平分线的性质，将点 满足的条件转化为到两定点距离之和或差为定值，再根据定点 与圆 的位置关系分类讨论，判断轨迹形状. 【解析】根据垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义进行判断即可. 因为点 在线段 的中垂线上，所以 ， 又点 是圆 上的动点，所以 ， 当点 在圆 内，且 与 不重合时，， 所以点 的轨迹是椭圆； 当点 在圆 外时，， 所以点 的轨迹是双曲线； 当点 与 重合时，点 到点 的距离为 2， 所以点 的轨迹是圆； 综上所述，点 的轨迹可能为圆、椭圆、双曲线. 故选：ABC 考法7：结合圆锥曲线定义探究直线交点与面积最值 15.（2026·山东枣庄·检测）如图， ，，圆 的半径为 4， 是圆 上任意一点.线段 的垂直平分线 和半径 相交于点 ，当 在圆上运动时，记动点 的轨迹为 . （1） 求 的方程； （2） 过点 分别作直线交 于 四点 ( 在 轴的上方)，且 . （i） 判断四边形 的形状 (只提供结论，无需证明)； （ii） 求四边形 面积的最大值. 【答案】（1） （2） （i） 平行四边形；（ii） 【思路】（1） 利用垂直平分线性质转化为椭圆定义求轨迹方程；（2） 设出平行直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出弦长和距离，进而表示出面积，通过换元法求最值. 【解析】（1） 连接 ，则 ， 所以 . 由椭圆定义知，点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，且 ， 所以 . 所以 的方程为：. （2） （i） 四边形 为平行四边形，且 为其中心. （ii） 显然直线 的斜率不为 0，设直线 方程为 ， 联立 的方程 ，消 得： ，显然 ， 且 . 所以 ， 令 ，则 ，且 . 令 ，显然 在 时单调递减， 所以 . 即 的最大值为 6，此时直线 的方程为 ，直线 的方程为 . 16.（2025·河北NT20·二模）平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，点 的坐标为 ，点 是圆上任意一点，线段 的垂直平分线交半径 于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹为曲线 . （1） 求点 的轨迹 的方程； （2） 过点 作一条直线 与点 的轨迹 相交于 ， 两点，满足 ，点 满足 ，问：点 是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） 是， 【思路】（1） 利用垂直平分线的性质转化为椭圆定义求解；（2） 设出各点坐标，利用向量共线转化为坐标关系，消去参数 得到点 坐标与交点坐标的关系，再结合直线方程与椭圆联立后的韦达定理证明结论. 【解析】（1） 由题意知 . 所以 点的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 4 的椭圆. 设椭圆的方程为 ，则 ，，， 所以椭圆方程为 . （2） 解法一：韦达定理法（直线设为纵截式） 设 ，，，， 由 可得 ， 则 ，即 ①. 由 可得 ， 则 ，即 ②. 所以 ，整理得 ③. 当直线 的斜率存在时，设直线的方程为：，联立得 ， 消去 得 ，， . 代入③得 ，又因为 ，所以 . 直线 的斜率不存在时，不妨取 ，， 则 ，，则 ，，解得 . 综上可得，点 在一条定直线上，直线方程为 . 解法二：韦达定理法（直线设为横截式） 设 ，，，， 由 可得 ， 则 ，即 ①. 由 可得 ， 则 ，即 ②. 所以 ，整理得 ③. 当直线 的斜率不存在或不为 0 时，设直线方程为 ， 联立 ，消去 得 ， ，. 代入③得 . 当直线 的斜率为 0 时，，， 则 ， 恒成立，点 在 上也成立， 综上可得，点 在一条定直线上，直线方程为 . 17.（2026·河北邯郸·一模）已知 是 的两个顶点， 是 的重心， 分别是边 的中点，且 .记点 的轨迹为曲线 . （1） 求 的方程. （2） 若 的面积为 24，求点 的坐标. （3） 已知点 ，过 的直线 与曲线 交于 两点，直线 与 交于点 ，试判断 是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2） 或 或 或 （3） 是， 【思路】（1） 根据重心性质将中线长转化为重心到顶点的距离，利用双曲线定义求轨迹方程；（2） 利用三角形面积公式求出重心纵坐标，代入轨迹方程求出横坐标，再利用重心坐标公式求出点 坐标；（3） 设直线方程并与双曲线联立，写出两直线方程求交点，利用韦达定理化简证明. 【解析】（1） 由题意知 ，， 所以 ，即 . 因为 是 的重心，所以 ， 所以 ，， 所以 . 所以点 的轨迹是以 为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）. 故 的方程为 . （2） 设 .因为 的面积为 24，所以 ，得 . 由 ，得 . 因为 是 的重心，所以 或 或 或 . （3） 由题意可知 的斜率存在，可设 的方程为 ，. 由 得 . 则 ，得 ，则 . 直线 的方程为 ，直线 的方程为 . 则 由 ，得 . 则 . 得 ，故点 在定直线 上. 18.（2026·福建厦门·检测）已知 为椭圆 上的动点， 为圆 上的两个动点，若 的最大值为 ，则 的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】根据切线与圆的几何性质，将角度最值问题转化为点 到原点距离的条件，代入椭圆方程求出参数关系，进而求得离心率. 【解析】设 ，则 ， 当 取得最大值时， 为圆 的切线， 此时 ，所以 ， 即 ，代入椭圆方程得 ， 因为 ，解得 ， 此时 ， 当 时，，此时 ， 当 在短轴端点时， 取得最大值，即 ， 此时 的最大值不为 ， 所以 ， 此时 ， 结合选项， 的离心率为 . 故选：D. 考法8：识别圆内滚动轨迹与新定义曲线图形 19.（2026·江苏南京·二模）如右图，一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 M，N 在大圆内所绘出的图形大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】通过分析小圆在大圆内壁滚动时的弧长相等关系，找出圆心角和转过角度的联系，从而确定点在不同时刻的位置，判断其轨迹. 【解析】如图，取小圆上一点 ，连接 并延长交大圆 于点 ，连接 ，，则在小圆 中，，在大圆 中，，根据大圆的半径是小圆半径的 倍，可知 的中点 是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是 ，综上可知小圆 在大圆内壁上滚动，圆心转过 角后的位置为点 ，小圆 上的点 ，恰好滚动到大圆上的 也就是此时的小圆 与大圆的切点.而在小圆 中，圆心角 （ 是小圆 与 的交点）恰好等于 ，则 ，而点 与点 其实是同一个点在不同时刻的位置，则可知点 与点 是同一个点在不同时刻的位置.由于 的任意性，可知点 的轨迹是大圆水平的这条直径.类似的可知点 的轨迹是大圆竖直的这条直径. 故选 A. 20.（2026·湖南师大附中·模拟）已知平面直角坐标系中不同的三点 ，，，圆心在 轴上的圆 经过 三点，设点 的坐标为 ，则点 的轨迹方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用圆心在 轴上，求出圆心坐标和半径的表达式，再将点 坐标代入圆的方程，化简即可得到点 的轨迹方程. 【解析】因为圆心在 轴上，所以 关于 轴对称， 即 ，又 在圆上，所以 ， 因为 为不同的三点，所以 ， 所以 ，即 ，与 矛盾， 所以圆心不在 轴上，题目有误. 若圆心在 轴上，且过 ， 则 的中垂线为 ，即圆心为 ， 则 ， 又 在圆上，所以 ， 化简得 . 故选 D. 【考点二 方法总结】 1. 利用圆锥曲线定义求轨迹方程：当动点到定点的距离之和、差或距离的比例满足圆锥曲线的定义时，可直接判定轨迹形状，求出基本量 后写出标准方程.注意检验是否需要剔除某些特殊点. 2. 转化中垂线与相切关系：题目中出现垂直平分线时，常利用中垂线上的点到线段两端点距离相等的性质，将线段长度进行转化；出现两圆相切时，利用圆心距与两圆半径和（或差）的关系，转化为动点到定点距离的和（或差）为定值，进而运用圆锥曲线定义. 3. 圆内滚动轨迹的识别：对于圆在圆内滚动的问题，需通过弧长相等建立圆心角与滚动角度的关系，结合几何图形分析特殊点在不同时刻的位置，从而确定轨迹形状. 考点三：相关点法求轨迹方程 考法9：利用相关点法代入已知曲线求轨迹方程 21.（2026·安徽江淮十校·模拟）已知点 为圆 上一动点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ，设点 的轨迹为曲线 . （1） 求曲线 的方程； （2） 已知点 、， 为直线 上的动点，连接 交曲线 于 ，连接 交曲线 于 . (ⅰ) 证明直线 过定点 ； (ⅱ) 若线段 上存在点 ，有 ，连接 与 交于点 ，求证：. 【答案】（1） （2） (ⅰ) 证明见解析；(ⅱ) 证明见解析 【思路】（1） 设出动点坐标，利用向量关系找到相关点坐标之间的联系，代入已知圆的方程求轨迹；（2） 设出动点坐标，联立直线与曲线方程，利用韦达定理求出交点坐标，进而求出直线方程验证过定点，再利用向量共线关系证明比例等式. 【解析】（1） 设 ，，则 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，， 又点 在圆 上，所以 ， 即 ，所以曲线 的方程为 . （2） (ⅰ) 设 ，当 时，则 联立 可得 因为 ，，同理可得：， ，，故 过定点 . 当 时，易得 过定点 . 综上： 过定点 . (ⅱ) 证明：若 ，不妨设 ，设 ，设 ，， ① 又 ， 已知 ， 代入①可得： 即 故点 在直线 上，过 .同理，若线段 上存在点 ，使得 ， 可证点 也在直线 上，又 与 交点唯一确定，所以 与 重合. 22.（2025·河北沧州·一模）已知圆 ，直线 过点 . （1） 当直线 与圆 相切时，求直线 的斜率； （2） 线段 的端点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【思路】（1） 设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求斜率；（2） 设出中点坐标，利用中点坐标公式表示出点 坐标，代入圆的方程即可. 【解析】（1） 设直线斜率为 ， 则直线方程是 ，即 ， 则圆心到直线距离为 ， 解得直线的斜率 . （2） 设点 则， 由点 是 的中点得，， 所以 ① 因为 在圆 上运动，所以 ② ①代入②得，， 化简得点 的轨迹方程是 . 考法10：结合相关点法探究动点轨迹与距离面积最值 23.（2025·河北承德·一模）在平面直角坐标系中，，，，点 分别是 的外心和垂心，若 ，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】根据外心和垂心的性质，求出点 的坐标表达式，再利用向量共线关系求出点 的轨迹方程，结合椭圆性质求出参数范围. 【解析】因为 ，所以外心 在 轴上，设其坐标为 ，则 ， 所以 ，所以 ，即 . 设 ，则 .因为 ，所以 ， 所以 ，所以 .又因为 ， 即 ，所以 ， 故点 的轨迹方程为 ，所以 ，所以 ，故选 A. 24.（2026·河南湘豫联盟·检测）（多选）已知圆 ，双曲线 ，经过原点 的直线与 交于点 ，与 交于点 .设点 是直线 上的动点，且满足 ，记 的轨迹为曲线 ，如图所示，则（　　） A. 曲线 的方程为 B. 与 有公共点 C. 的最大值为 D. 点 到 轴的最大距离为 【答案】AC 【思路】利用向量共线设出点 与点 的坐标关系，代入已知曲线方程求出比例系数，再根据已知等式求出轨迹方程，结合不等式和导数分析各选项. 【解析】设 ，，，另设 ，则 ，即 代入 ， 解得 .设 ，则 ，即 代入 ，解得 ，由 四点共线且 ，得 ，即 ，所以 ， 化简得 ，此为曲线 的方程，A 正确.将 代入 ，得 ，所以 ，即 ，此时以 为两根的一元二次方程为 ，其判别式为 ，所以该方程无解，从而 与 无公共点，B 错误.，即 ，从而 ，所以当且仅当 时，，C 正确.设 ，，，代入 ，得 ，则 .令 ，则 ，所以 .当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减.所以 是 的最大值点，即 ，D 错误.故选 AC. 【考点三 方法总结】 1. 相关点法求轨迹方程：当动点 的坐标依赖于已知曲线上的另一点 时，可通过几何条件或向量关系，求出 关于 的表达式，再将 代入已知曲线方程，化简即得动点 的轨迹方程. 2. 结合相关点法探究最值：在求出轨迹方程后，若涉及距离、面积的最值问题，常结合轨迹的几何性质（如圆的半径、椭圆的长短轴）或引入参数（如极坐标、三角换元），利用基本不等式或导数进行求解. 考点四：交轨法求轨迹方程 考法11：利用交轨法求动直线交点轨迹方程 25.（2026·浙江绍兴·检测）设 两点的坐标分别为 ，，直线 ， 相交于点 （ 位于第一象限），且它们的斜率之积是 1，记 的轨迹为曲线 . （1） 求 的方程； （2） 若 是 上的点，. （i） 求 的坐标； （ii） 记直线 ，， 的斜率分别为 ，，，证明： 为定值. 【答案】（1） （2） （i） ；（ii） 证明见解析 【思路】（1） 设出交点坐标，利用斜率公式列出等式，化简求得轨迹方程；（2） 利用向量数量积的坐标表示求出点 坐标，再分别表示出各直线斜率，代入代数式进行化简证明. 【解析】（1） 设 ，由题意知 ， 得 ， 所以 的方程是 . （2） （i） 设 ，则 ， 所以 ， 解得 ，， 所以 . （ii） 法一： 因为 ， 又因为 为定值. 法二： 因为 . 因为 为定值. 考法12：利用斜率乘积定值探究直线与圆锥曲线交点轨迹 26.（2026·山东菏泽·一模）已知双曲线 与直线 有唯一的公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴、 轴于 、 两点.当点 运动时，点 的轨迹方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】利用直线与双曲线相切的条件求出参数关系，进而求出切点坐标，写出垂线方程求出截距，通过消参法求出轨迹方程. 【解析】因为双曲线 与直线 有唯一的公共点 ， 所以直线 与双曲线相切， 联立 ，消去 并整理得 ， 所以 ，即 ， 将 代入 得 ，， 因为 ，，所以 ， 所以 ，，即 ， 由 可知 ， 所以过点 且与 垂直的直线为 ， 令 ，得 ；令 ，得 ， 则 ，，则 ，所以 ，， 代入 得 ，即 ， 故选：C. 27.（2026·湖北楚天协作体·联考）（多选）如图，圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切于点 ，与圆 内切于点 ，记圆心 的轨迹为曲线 ，若直线 与曲线 交于 两点，则下列说法正确的是（　　） A. 曲线 的方程为 B. 的最小值为 C. D. 【答案】ABC 【思路】利用圆与圆相切的条件，转化为动点到两定点距离之和为定值，求出轨迹方程；结合几何图形及向量数量积公式、基本不等式和椭圆的性质进行综合判断. 【解析】对于 A，设动圆 的半径为 ，由条件得 ，，则 ，且 不重合，故点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆 ( 去掉 重合的点 ) ，则曲线 的方程为 ，故 A 正确； 对于 B，由图可知 与 互补，当 点为椭圆短轴端点时， 最大， 此时 ，所以 ，则 的最大值为 ，所以 的最小值为 ，故 B 正确； 对于 C，，当且仅当 时等号成立，故 C 正确； 对于 D，椭圆上任意一点与椭圆上关于原点对称两点连线的斜率之积为定值，有 ，故 D 错误. 故选：ABC. 28.（2026·湖北武汉·检测）在平面直角坐标系 中，， 是两定点，动点 与 连线的斜率之积为 . （1） 求动点 的轨迹方程； （2） 过点 的直线 与 的轨迹相交于点 ，直线 与直线 分别交于点 . （i） 证明：； （ii） 记 的面积分别为 ，且 ，求直线 的方程. 【答案】（1） （2） （i） 证明见解析；（ii） 或 【思路】（1） 利用斜率公式列出等式，化简求出轨迹方程；（2） 设出直线方程并与椭圆联立，利用韦达定理化简向量数量积证明垂直；利用向量面积公式表示出各三角形面积，代入已知关系式求出参数. 【解析】（1） 设点 ，由 知，，化简得 . 所以动点 的轨迹方程为 . （2） （i） 可设直线 方程为 ，点 ， 联立 得，，则 ， 又直线 、 方程分别为 ，， 分别与 联立，得 ，. ，. 所以，. （ii） 先证明：在任意三角形 中，若 ，， 三角形 的面积 由 （i） 知 ，， ，同理 又 ， 由 知，，解得 . 所以直线 的方程为 或者 . 【考点四 方法总结】 1. 交轨法求轨迹方程：当动点是两条动直线的交点时，若这两条直线的方程中含有同一个参数，可通过解方程组或直接消去该参数，得到仅含 的方程，即为交点的轨迹方程. 2. 斜率乘积定值问题：若动点与两定点连线的斜率之积为定值，可直接利用斜率公式列出等式，化简后即可得到轨迹方程.通常该轨迹为圆锥曲线的一部分（需注意剔除使得斜率不存在或为0的点）. 考点五：参数法与点差法求轨迹方程 考法13：利用参数方程探究摆线轨迹与交点最值 29.（2026·山东潍坊·模拟）（多选）半径为 1 的圆 沿圆 外侧无滑动滚动一周，设圆 上的点 的运动轨迹为曲线 .已知点 的初始位置为 ，则（　　） A. 点 在曲线 上 B. 曲线 围成的区域面积等于 16 C. 曲线 与直线 有三个交点 D. 曲线 上点的横坐标的最大值为 【答案】ACD 【思路】利用向量法求出点 轨迹的参数方程，然后代入点的坐标验证；利用定积分求面积；构造函数利用导数判断交点个数及求横坐标最值. 【解析】设圆 滚动时，圆心 的坐标为 ， 设点 的坐标为 ，则 ， 因为圆 沿圆 外侧无滑动滚动， 所以圆 转过的角度为 ， 所以 与 轴正方向的夹角为 ， 所以 ， 所以 ， 对于 A，当 时，，， 所以点 在曲线 上，故 A 正确； 对于 B，曲线 围成的区域面积 由于 ， ， ， 所以 ， 面积为 ，故 B 错误； 对于 C，直线 即 ， 当 时，，，满足 ， 当 时，，，不满足 ， 当 时，，，不满足 ， 当 时，，，不满足 ， 当 时，， 令 ， 则 ， 当 时，， 所以 在 上单调递增， 又 ，， 所以 在 上没有零点， 同理可得， 在 上有一个零点，在 上有一个零点，在 上没有零点， 所以曲线 与直线 有三个交点，故 C 正确； 对于 D，， 令 ，， 则 ， 当 时，， 单调递减， 当 时，， 单调递增， 当 时，， 单调递减， 所以 的最大值为 ， 所以曲线 上点的横坐标的最大值为 ，故 D 正确. 故选：ACD. 考法14：利用点差法结合斜率乘积定值求轨迹方程 30.（2024·江西上饶·检测）（多选）已知 ，，，动点 满足 与 的斜率之积为 ，动点 的轨迹记为 ，过点 的直线交 于 两点，且 的中点为 ，则（　　） A. 的轨迹方程为 B. 的最小值为 1 C. 若 为坐标原点，则 面积的最大值为 D. 若线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 点的横坐标是 点的横坐标的 4 倍 【答案】ACD 【思路】利用斜率公式列出等式求出轨迹方程；利用两点间距离公式转化为二次函数求最值；联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出面积和中点坐标，进而判断各选项. 【解析】对于 A，设 的坐标为 ，显然 ， 由题意得 ，整理得 ，故 M 的轨迹方程为 ，A 正确； 对于 B，因为 的轨迹方程为 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，故 B 错误； 对于 C，设 所在直线方程为 ，设 ， 联立 ，得 ， ， ， ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 因为 ，所以等号不成立， 因为 在 上单调递增， 所以当 ，即 时， 取得最大值，最大值为 ，故 C 正确； 对于 D，设 ，则 ，， 所以 ， 线段 的垂直平分线方程为 ， 令 ，得 ， 所以 ，故 D 正确. 故选：ACD. 【考点五 方法总结】 1. 参数法求轨迹方程：若动点坐标由某个参数（如角度 ）表示，可通过三角恒等变换消去参数，得到 的关系式.对于复杂的参数方程，可利用导数研究其性质. 2. 点差法求轨迹方程：当涉及圆锥曲线的弦中点轨迹问题时，设弦的端点坐标，代入曲线方程后两式相减，利用平方差公式分解，将弦所在的直线斜率与弦中点坐标联系起来，从而求得中点轨迹方程. 考点六：向量与新定义曲线的轨迹问题 考法15：利用向量基底表示探究圆锥曲线轨迹与面积最值 31.（2026·河北石家庄一中·一模）已知圆 与 正半轴交于点 ，与直线 在第一象限的交点为 .点 为圆 上任一点，且满足 ，以 ， 为坐标的动点 的轨迹记为曲线 . （1） 求曲线 的方程； （2） 若两条直线 和 分别交曲线 于点 、 和 、，求四边形 面积的最大值，并求此时的 的值； （3） 研究曲线 的对称性并证明 为椭圆，并求椭圆 的焦点坐标. 【答案】（1） （2） 时，四边形 的面积最大值为 （3） 答案见解析 【思路】（1） 求出点 的坐标，利用向量的坐标运算表示出点 的坐标，代入圆的方程即可；（2） 将两直线方程分别代入曲线方程求出弦长，利用四边形面积公式和基本不等式求最值；（3） 利用代数替换法证明对称性，通过旋转变换或定义法证明其为椭圆并求焦点. 【解析】（1） 由题意可得 ，即 . 由 得，， 则将 代入 ，化简得 . 故曲线 的方程为 . （2） 由 ，消 得 ， 解得 ，由已知直线 交曲线于 ， 不妨设 ， 所以 ，同理 . 由题意知 ，所以四边形 的面积 . ， ∵ ，∴ ， 当且仅当 时等号成立，此时 . ∴ 当 时，四边形 的面积最大值为 . （3） 曲线 的方程为 ，它关于直线 、 和原点对称， 下面证明： 设曲线 上任一点的坐标为 ， 则 ，点 关于直线 的对称点为 ， 因为 ，所以点 在曲线 上，故曲线 关于直线 对称， 同理可得点 关于直线 的对称点 也在曲线 上， 故曲线 关于直线 对称， 同理可证曲线 关于原点对称. 下面证明 为椭圆. 证明：①联立曲线 和直线 方程， 解得交点坐标为 ， 联立曲线 和直线 方程， 解得交点坐标为 ， 则 ，，，. 在 上取点 ， 设 为曲线 上任一点，则 （因为 ） . 即曲线 上任一点 到两定点 的距离之和为定值 . ②若点 到两定点 的距离之和为定值 ， 设 为曲线 上任一点，则 ， 移项得 平方整理得，， 再移项平方得 化简可得 故点 的轨迹方程为 ， 综上所述曲线 是椭圆，其焦点坐标为 . 考法16：探究新定义曲线方程的对称性与交点问题 32.（2025·江西赣州·联考）（多选）尼科梅德斯蚌线(Conchoid of Nicomedes)是一种经典的曲线，已知一条尼科梅德斯蚌线 的方程为 及一条直线 ，下列判断正确的是（　　） A. 曲线 关于 轴对称 B. 曲线 上点的横坐标的取值范围是 C. 直线 与曲线 一定有且仅有两个交点 D. 直线 被曲线 截得的线段的中点在定直线上 【答案】ABCD 【思路】利用代数替换法判断对称性；分离变量求出 的表达式，利用非负性求出 的取值范围；联立直线与曲线方程，化简后利用根的判别式和中点坐标公式判断交点个数及中点轨迹. 【解析】对于 A，将 替换为 ，方程不变，因此 A 正确； 对于 B，，解得 ，因此 B 正确； 对于 CD，联立方程，得到 ，解得 ，且 ，因此 CD 正确. 故选：ABCD. 【考点六 方法总结】 1. 向量基底法求轨迹方程：当动点坐标由向量的基底表示时，可先求出基底向量的坐标，再通过向量运算将动点坐标用参数表示，最后消去参数得到轨迹方程. 2. 新定义曲线的探究：对于陌生的曲线方程，通常从其代数结构入手，利用代数替换判断对称性，利用非负性求变量范围，通过联立直线方程探究交点问题.必要时，可通过坐标变换或定义法证明其为常见的圆锥曲线. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷·第11题）（多选）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 C 的一部分.已知 C 过坐标原点 O.且 C 上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为 4，则（　　） A. B. 点 在 C 上 C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1 D. 当点 在 C 上时， 【答案】ABD 【解析】对于 A：设曲线上的动点 ，则 且 ， 因为曲线过坐标原点，故 ，解得 ，故 A 正确. 对于 B：又曲线方程为 ，而 ， 故 . 当 时，， 故 在曲线上，故 B 正确. 对于 C：由曲线的方程可得 ，取 ， 则 ，故此时 ， 故 C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于 1，故 C 错误. 对于 D：当点 在曲线上时，由 C 的分析可得 ， 故 ，故 D 正确. 故选：ABD. 2.（2025·全国一卷·第18题）设椭圆 的离心率为 ，下顶点为 A，右顶点为 B，. （1） 求椭圆的标准方程； （2） 已知动点 P 不在 y 轴上，点 R 在射线 AP 上，且满足 . （i） 设 ，求点 R 的坐标（用 m，n 表示）； （ii） 设 O 为坐标原点，M 是椭圆上的动点，直线 OR 的斜率为直线 OP 的斜率的 3 倍，求 的最大值. 【答案】（1） （2） （i） ；（ii） 【解析】（1） 由题可知，，所以 ，解得 ， 故椭圆的标准方程为 . （2） （i） 设 ，易知 ， 法一：所以 ，故 ，且 . 因为 ，，所以 ， 即 ，解得 ，所以 ， 所以点 R 的坐标为 . 法二：设 ，则 ，所以 ，，故 点 R 的坐标为 . （ii） 因为 ，，由 ，可得 ，化简得 ，即 ， 所以点 P 在以 为圆心， 为半径的圆上（除去两个点）， 为 M 到圆心 N 的距离加上半径， 法一：设 ，所以 ，当且仅当 时取等号， 所以 . 法二：设 ，则 ， ，当且仅当 时取等号， 故 . 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第62讲 曲线的轨迹方程 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 三、典题精练 3 考点一：直接法求轨迹方程 3 考点二：定义法求轨迹方程 6 考点三：相关点法求轨迹方程 8 考点四：交轨法求轨迹方程 10 考点五：参数法与点差法求轨迹方程 11 考点六：向量与新定义曲线的轨迹问题 12 四、高考真题 13 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2026 — — — — 2025 第18题 解答 17分 间接考察 利用相关点法和代数关系求动点轨迹方程 2024 第11题 多选 6分 直接考察 根据几何条件求轨迹方程并探究曲线性质 在近三年全国一卷中，本讲内容2024年以多选题形式直接考查（6分），2025年以解答题形式间接考查（17分），2026年未考查. 2. 命题角度与特色 （1） 依托几何条件建系立式：常以距离、角度、向量等几何关系为载体，要求考生直接翻译为代数方程，如2024年利用距离乘积为定值求轨迹. （2） 结合相关点与代数关系探究轨迹：在解答题中，常结合相关点法或斜率关系，要求先求出动点的轨迹方程，再进一步探究最值或范围问题，如2025年通过斜率倍数关系求出动点轨迹为圆. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握求轨迹方程的基本方法：如直接法、定义法、相关点法、交轨法和参数法等，能够根据题目条件灵活选择合适的方法. （2） 强化代数化简与图形性质分析能力：在求出轨迹方程后，往往需要结合方程的代数特征（如范围、对称性、渐近趋势等）分析曲线的几何性质，或结合圆锥曲线的定义解决最值问题. 二、知识清单 1. 曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下的关系： （1） 曲线上点的坐标都是这个方程的解. （2） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2. 曲线的对称性与交点 （1） 曲线的对称性： ① 若曲线方程 中，以 代替 方程不变，即 ，则曲线关于 轴对称. ② 若以 代替 方程不变，即 ，则曲线关于 轴对称. ③ 若同时以 代替 ， 代替 方程不变，即 ，则曲线关于原点对称. ④ 若以 代替 ， 代替 方程不变，即 ，则曲线关于直线 对称. （2） 两曲线的交点：设曲线 的方程为 ，曲线 的方程为 ，则两曲线的交点坐标就是方程组 的实数解.若方程组无实数解，则两曲线无交点. 3. 直接法求动点的轨迹方程 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： （1） 建系：建立适当的坐标系. （2） 设点：设轨迹上的任一点 . （3） 列式：列出有限制关系的几何等式. （4） 代换：将轨迹所满足的条件用含 的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为 的方程式化简. （5） 证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验），简记为：建设现代化，补充说明. 4. 定义法求动点的轨迹方程 回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点 和满足焦点标志的定点连起来判断.熟记焦点的特征： （1） 关于坐标轴对称的点. （2） 标记为 的点. （3） 圆心. （4） 题目提到的定点等等. 当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程. 5. 相关点法求动点的轨迹方程 如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 的轨迹方程. 6. 交轨法求动点的轨迹方程 在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数. 7. 参数方程法求动点的轨迹方程 动点 的运动主要是由于某个参数 的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即 ，，再消去参数. 8. 点差法求动点的轨迹方程 圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 ， 的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得 ，，， 等关系式，由于弦 的中点 的坐标满足 ， 且直线 的斜率为 ，由此可求得弦 中点的轨迹方程. 三、典题精练 考点一：直接法求轨迹方程 考法1：利用距离或向量关系直接列式求轨迹方程 1.（2026·湖南永州·一模）已知两条直线 ，，有一动圆 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点，且 ，，则圆心 轨迹为 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 2.（2026·湖北孝感·二模）如图①，在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足.点 在 的延长线上，且 .当点 在圆上运动时，点 的轨迹为曲线 .（当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合.） （1） 求曲线 的方程； （2） 矩形 中，， 分别是矩形的四条边的中点. （i） 如图②，已知点 是线段 上靠近原点 的 4 等分点，直线 与曲线 交于 两点，与圆 交于 两点，求 的值； （ii） 如图③，已知点 是线段 的 等分点，点 是线段 的 等分点.证明：直线 与 的交点 在曲线 上. 考法2：利用绝对值方程探究曲线对称性与交点问题 3.（2025·江西上饶·二模）（多选）已知曲线 ，则下列说法正确的是 A. 直线 与曲线 没有交点 B. 已知点 ，则曲线 上存在点 ，使得 C. 若过点 的直线 与曲线 有三个不同的交点，则直线 的斜率的取值范围是 D. 点 是曲线 上在第四象限内的一点，过点 向直线 与直线 作垂线，垂足分别为 ，则 4.（2026·福建泉州·一模）（多选）已知曲线 与坐标轴交于 两点，点 在 上，则 A. B. 为轴对称图形 C. 直线 与 有两个公共点 D. 使得 的面积为 的点 恰有 2 个 考法3：联立方程组消参求曲线族交点轨迹 5.（2026·浙江名校协作体·二模）若曲线族(具有某种共同性质的所有曲线的集合)满足条件：存在直线 ，使得曲线族中存在无数个点在该直线上，称该曲线族是“完美的”，下列曲线族是“完美的” 是 A. B. C. D. 6.（2025·河南·检测）已知曲线 . （1） 在答题卡中画出 的大致图形，并说明理由. （2） 若 是 上的动点，，，证明： 为定值. （3） 若直线 与 的所有交点的纵坐标之和大于 ，求 的取值范围. 考法4：结合极坐标与三角换元探究曲线交点与最值 7.（2026·浙江温州·一模）已知点 ，， 在曲线 上，记 ，则存在函数 ，对曲线上任意一点 都有 A. B. C. D. 8.（2026·山东青岛·二模）（多选）已知曲线 ，点 是 上一点，则 A. 关于原点对称 B. 直线 与曲线 有且仅有两个交点 C. 到原点的距离可以为 1 D. 到原点的距离最大值为 9.（2026·江苏南师大附中·模拟）（多选）曲线 ，，下列说法正确的是 A. 若点 在曲线 上，则点 也一定在曲线 上 B. 若曲线 表示双曲线，则其离心率 C. 若 ，则曲线 表示焦点在 轴上的椭圆 D. 不论 为何值，直线 与曲线 恒有两个交点 【考点一 方法总结】 1. 直接法求轨迹方程：当动点满足的几何条件容易直接转化为代数等式时，可设动点坐标为 ，直接列出关于 的方程并化简.如利用距离公式、斜率公式等. 2. 绝对值方程与曲线对称性：含有绝对值的曲线方程，常通过去掉绝对值符号，将其转化为分象限的圆锥曲线的一部分.分析其对称性时，可通过代数替换（如以 替换 ）来判断. 3. 联立方程组消参法：当动点坐标由其他参数（如角度、斜率等）表示时，可通过联立方程组消去参数，得到仅含 的轨迹方程. 4. 极坐标与三角换元：对于涉及圆或椭圆的轨迹问题，可引入极坐标或三角换元，将问题转化为三角函数的最值或值域问题，结合三角函数的有界性进行求解. 考点二：定义法求轨迹方程 考法5：利用圆锥曲线定义求轨迹方程 10.（2026·湖南邵阳·二模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ，，动点 满足 .当 取最大值时， ＿＿＿＿＿＿. 11.（2026·河北沧州八校·二模）在平面直角坐标系 中，点 到直线 的距离的平方比点 到点 的距离的平方大 ，记动点 的轨迹为 . （1） 求 的方程. （2） 已知 为 上不同的三点. （i）若线段 的中点坐标为 ，求 的面积; （ii）若直线 和直线 均与圆 相切，证明：直线 与圆 相切. 考法6：转化中垂线与相切关系求圆锥曲线轨迹 12.（2026·广东东莞·模拟）已知 为圆 上的一个动点，定点 ，线段 的垂直平分线交线段 于点 ，则 点的轨迹为 A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 13.（2026·湖北楚天协作体·联考）已知圆 与直线 相切，且与圆 外切，则圆心 的轨迹为 A. 椭圆 B. 双曲线的一支 C. 抛物线 D. 圆 14.（2024·广东华南师大附中·检测）（多选）已知定圆 ，点 是圆 所在平面内一定点，点 是圆 上的动点，若线段 的中垂线交直线 于点 ，则点 的轨迹可能为 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 考法7：结合圆锥曲线定义探究直线交点与面积最值 15.（2026·山东枣庄·检测）如图， ，，圆 的半径为 4， 是圆 上任意一点.线段 的垂直平分线 和半径 相交于点 ，当 在圆上运动时，记动点 的轨迹为 . （1） 求 的方程； （2） 过点 分别作直线交 于 四点 ( 在 轴的上方)，且 . （i） 判断四边形 的形状 (只提供结论，无需证明)； （ii） 求四边形 面积的最大值. 16.（2025·河北NT20·二模）平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，点 的坐标为 ，点 是圆上任意一点，线段 的垂直平分线交半径 于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹为曲线 . （1） 求点 的轨迹 的方程； （2） 过点 作一条直线 与点 的轨迹 相交于 ， 两点，满足 ，点 满足 ，问：点 是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由. 17.（2026·河北邯郸·一模）已知 是 的两个顶点， 是 的重心， 分别是边 的中点，且 .记点 的轨迹为曲线 . （1） 求 的方程. （2） 若 的面积为 24，求点 的坐标. （3） 已知点 ，过 的直线 与曲线 交于 两点，直线 与 交于点 ，试判断 是否在一条定直线上.若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 18.（2026·福建厦门·检测）已知 为椭圆 上的动点， 为圆 上的两个动点，若 的最大值为 ，则 的离心率为 A. B. C. D. 【考点二 方法总结】 1. 利用圆锥曲线定义求轨迹方程：当动点到定点的距离之和、差或距离的比例满足圆锥曲线的定义时，可直接判定轨迹形状，求出基本量 后写出标准方程.注意检验是否需要剔除某些特殊点. 2. 转化中垂线与相切关系：题目中出现垂直平分线时，常利用中垂线上的点到线段两端点距离相等的性质，将线段长度进行转化；出现两圆相切时，利用圆心距与两圆半径和（或差）的关系，转化为动点到定点距离的和（或差）为定值，进而运用圆锥曲线定义. 3. 圆内滚动轨迹的识别：对于圆在圆内滚动的问题，需通过弧长相等建立圆心角与滚动角度的关系，结合几何图形分析特殊点在不同时刻的位置，从而确定轨迹形状. 考点三：相关点法求轨迹方程 考法8：识别圆内滚动轨迹与新定义曲线图形 19.（2026·江苏南京·二模）如右图，一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 M，N 在大圆内所绘出的图形大致是 A. B. C. D. 20.（2026·湖南师大附中·模拟）已知平面直角坐标系中不同的三点 ，，，圆心在 轴上的圆 经过 三点，设点 的坐标为 ，则点 的轨迹方程为 A. B. C. D. 考法9：利用相关点法代入已知曲线求轨迹方程 21.（2026·安徽江淮十校·模拟）已知点 为圆 上一动点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ，设点 的轨迹为曲线 . （1） 求曲线 的方程； （2） 已知点 、， 为直线 上的动点，连接 交曲线 于 ，连接 交曲线 于 . (ⅰ) 证明直线 过定点 ； (ⅱ) 若线段 上存在点 ，有 ，连接 与 交于点 ，求证：. 22.（2025·河北沧州·一模）已知圆 ，直线 过点 . （1） 当直线 与圆 相切时，求直线 的斜率； （2） 线段 的端点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程. 考法10：结合相关点法探究动点轨迹与距离面积最值 23.（2025·河北承德·一模）在平面直角坐标系中，，，，点 分别是 的外心和垂心，若 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 24.（2026·河南湘豫联盟·检测）（多选）已知圆 ，双曲线 ，经过原点 的直线与 交于点 ，与 交于点 .设点 是直线 上的动点，且满足 ，记 的轨迹为曲线 ，如图所示，则 A. 曲线 的方程为 B. 与 有公共点 C. 的最大值为 D. 点 到 轴的最大距离为 【考点三 方法总结】 1. 相关点法求轨迹方程：当动点 的坐标依赖于已知曲线上的另一点 时，可通过几何条件或向量关系，求出 关于 的表达式，再将 代入已知曲线方程，化简即得动点 的轨迹方程. 2. 结合相关点法探究最值：在求出轨迹方程后，若涉及距离、面积的最值问题，常结合轨迹的几何性质（如圆的半径、椭圆的长短轴）或引入参数（如极坐标、三角换元），利用基本不等式或导数进行求解. 考点四：交轨法求轨迹方程 考法11：利用交轨法求动直线交点轨迹方程 25.（2026·浙江绍兴·检测）设 两点的坐标分别为 ，，直线 ， 相交于点 （ 位于第一象限），且它们的斜率之积是 1，记 的轨迹为曲线 . （1） 求 的方程； （2） 若 是 上的点，. （i） 求 的坐标； （ii） 记直线 ，， 的斜率分别为 ，，，证明： 为定值. 考法12：利用斜率乘积定值探究直线与圆锥曲线交点轨迹 26.（2026·山东菏泽·一模）已知双曲线 与直线 有唯一的公共点 ，过点 且与 垂直的直线分别交 轴、 轴于 、 两点.当点 运动时，点 的轨迹方程为 A. B. C. D. 27.（2026·湖北楚天协作体·联考）（多选）如图，圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切于点 ，与圆 内切于点 ，记圆心 的轨迹为曲线 ，若直线 与曲线 交于 两点，则下列说法正确的是 A. 曲线 的方程为 B. 的最小值为 C. D. 28.（2026·湖北武汉·检测）在平面直角坐标系 中，， 是两定点，动点 与 连线的斜率之积为 . （1） 求动点 的轨迹方程； （2） 过点 的直线 与 的轨迹相交于点 ，直线 与直线 分别交于点 . （i） 证明：； （ii） 记 的面积分别为 ，且 ，求直线 的方程. 【考点四 方法总结】 1. 交轨法求轨迹方程：当动点是两条动直线的交点时，若这两条直线的方程中含有同一个参数，可通过解方程组或直接消去该参数，得到仅含 的方程，即为交点的轨迹方程. 2. 斜率乘积定值问题：若动点与两定点连线的斜率之积为定值，可直接利用斜率公式列出等式，化简后即可得到轨迹方程.通常该轨迹为圆锥曲线的一部分（需注意剔除使得斜率不存在或为0的点）. 考点五：参数法与点差法求轨迹方程 考法13：利用参数方程探究摆线轨迹与交点最值 29.（2026·山东潍坊·模拟）（多选）半径为 1 的圆 沿圆 外侧无滑动滚动一周，设圆 上的点 的运动轨迹为曲线 .已知点 的初始位置为 ，则 A. 点 在曲线 上 B. 曲线 围成的区域面积等于 16 C. 曲线 与直线 有三个交点 D. 曲线 上点的横坐标的最大值为 考法14：利用点差法结合斜率乘积定值求轨迹方程 30.（2024·江西上饶·检测）（多选）已知 ，，，动点 满足 与 的斜率之积为 ，动点 的轨迹记为 ，过点 的直线交 于 两点，且 的中点为 ，则 A. 的轨迹方程为 B. 的最小值为 1 C. 若 为坐标原点，则 面积的最大值为 D. 若线段 的垂直平分线交 轴于点 ，则 点的横坐标是 点的横坐标的 4 倍 【考点五 方法总结】 1. 参数法求轨迹方程：若动点坐标由某个参数（如角度 ）表示，可通过三角恒等变换消去参数，得到 的关系式.对于复杂的参数方程，可利用导数研究其性质. 2. 点差法求轨迹方程：当涉及圆锥曲线的弦中点轨迹问题时，设弦的端点坐标，代入曲线方程后两式相减，利用平方差公式分解，将弦所在的直线斜率与弦中点坐标联系起来，从而求得中点轨迹方程. 考点六：向量与新定义曲线的轨迹问题 考法15：利用向量基底表示探究圆锥曲线轨迹与面积最值 31.（2026·河北石家庄一中·一模）已知圆 与 正半轴交于点 ，与直线 在第一象限的交点为 .点 为圆 上任一点，且满足 ，以 ， 为坐标的动点 的轨迹记为曲线 . （1） 求曲线 的方程； （2） 若两条直线 和 分别交曲线 于点 、 和 、，求四边形 面积的最大值，并求此时的 的值； （3） 研究曲线 的对称性并证明 为椭圆，并求椭圆 的焦点坐标. 考法16：探究新定义曲线方程的对称性与交点问题 32.（2025·江西赣州·联考）（多选）尼科梅德斯蚌线(Conchoid of Nicomedes)是一种经典的曲线，已知一条尼科梅德斯蚌线 的方程为 及一条直线 ，下列判断正确的是 A. 曲线 关于 轴对称 B. 曲线 上点的横坐标的取值范围是 C. 直线 与曲线 一定有且仅有两个交点 D. 直线 被曲线 截得的线段的中点在定直线上 【考点六 方法总结】 1. 向量基底法求轨迹方程：当动点坐标由向量的基底表示时，可先求出基底向量的坐标，再通过向量运算将动点坐标用参数表示，最后消去参数得到轨迹方程. 2. 新定义曲线的探究：对于陌生的曲线方程，通常从其代数结构入手，利用代数替换判断对称性，利用非负性求变量范围，通过联立直线方程探究交点问题.必要时，可通过坐标变换或定义法证明其为常见的圆锥曲线. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷·第11题）（多选）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 C 的一部分.已知 C 过坐标原点 O.且 C 上的点满足横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为 4，则 A. B. 点 在 C 上 C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1 D. 当点 在 C 上时， 2.（2025·全国一卷·第18题）设椭圆 的离心率为 ，下顶点为 A，右顶点为 B，. （1） 求椭圆的标准方程； （2） 已知动点 P 不在 y 轴上，点 R 在射线 AP 上，且满足 . （i） 设 ，求点 R 的坐标（用 m，n 表示）； （ii） 设 O 为坐标原点，M 是椭圆上的动点，直线 OR 的斜率为直线 OP 的斜率的 3 倍，求 的最大值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $