第74讲 条件概率与常见分布模型 讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦条件概率、离散型随机变量、正态分布等核心考点，按“定义-性质-公式-应用”逻辑梳理知识清单，通过考情分析明确方向、典题精练分层突破、高考真题实战检验的教学流程，帮助学生构建概率统计知识网络，突破解题难点。 资料以“考法分类+方法总结”创新设计，如全概率公式“化整为零”分解复杂事件，对比辨析二项分布与超几何分布差异，培养学生数学思维与模型意识。设置基础到综合的分层练习，配合真题演练，确保高效复习，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升学生应考能力。

第74讲 条件概率与常见分布模型 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精讲 8 考点一：条件概率与相互独立事件 8 考点二：全概率公式与贝叶斯公式 12 考点三：离散型随机变量及其分布列 16 考点四：离散型随机变量的数字特征（均值与方差） 19 考点五：常见离散型分布模型（两点分布、二项分布、超几何分布） 24 考点六：正态分布及其应用 28 四、高考真题 33 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第9题 多选题 第14题 填空题 11分 直接考察 正态分布的概率计算 离散型随机变量的概率计算 2025 第14题 填空题 5分 直接考察 离散型随机变量的期望 2026 第8题 单选题 第17题 解答题 20分 直接考察 离散型随机变量的期望 分布列与条件概率 近三年全国一卷均有直接考查，题型涵盖单选题、多选题、填空题和解答题，分值在5分到20分之间. 2. 命题角度与特色 （1） 重点考查离散型随机变量的分布列与数学期望，常结合具体情境（如抽卡片、取球、投篮等）进行考查. （2） 正态分布的对称性与概率计算也是考查的重点，常以多选题形式出现. （3） 条件概率与全概率公式的考查常与分布列结合，在解答题中作为重要步骤出现. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握离散型随机变量分布列的求解方法，准确计算数学期望与方差. （2） 深刻理解正态分布曲线的对称性及其在概率计算中的应用，牢记特殊区间的概率值. （3） 加强对条件概率、全概率公式及相互独立事件的理解，提升在复杂情境中分解事件、计算概率的能力. 二、知识清单 1. 条件概率 （1） 定义：一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. ① 条件概率中“”后面就是条件. ② 若，表示条件A不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行. （2） 性质： ① 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即. ② 必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0. ③ 如果B与C互斥，则. ④ 如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么. ⑤ 已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即. 2. 相互独立与条件概率的关系 （1） 相互独立事件的概念及性质： ① 相互独立事件的概念：对于两个事件A，B，如果，则意味着事件A的发生不影响事件B发生的概率.设，根据条件概率的计算公式，，从而.由此我们可得：设A，B为两个事件，若，则称事件A与事件B相互独立. ② 概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若，则.我们称上式为概率的乘法公式. ③ 相互独立事件的性质：如果事件A，B互相独立，那么A与，与B，与也都相互独立. ④ 两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这n个事件同时发生的概率. （2） 事件的独立性： ① 事件A与B相互独立的充要条件是. ② 当时，A与B独立的充要条件是. ③ 如果，A与B独立，则成立. 3. 全概率公式与贝叶斯公式 （1） 全概率公式： ① . ② 定理1：若样本空间中的事件满足：任意两个事件均互斥，即；；.则对中的任意事件B，都有，且. （2） 贝叶斯公式： ① 一般地，当且时，有. ② 定理2：若样本空间中的事件满足：任意两个事件均互斥，即；；.则对中的任意概率非零的事件B，都有，且. ③ 贝叶斯公式的意义是导致事件B发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.贝叶斯公式充分体现了之间的转关系，即之间的内在联系. 4. 离散型随机变量及其分布列 （1） 随机变量： ① 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母表示. ② 一般地，如果一个试验满足下列条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果.这种试验就是随机试验. ③ 有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示.如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上. ④ 随机变量的线性关系：若X是随机变量，，是常数，则Y也是随机变量. （2） 离散型随机变量： ① 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量. ② 本章研究的离散型随机变量只取有限个值. ③ 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出. （3） 离散型随机变量的分布列的表示： ① 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为，X取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： ② 我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也用等式表示X的分布列. （4） 离散型随机变量的分布列的性质： ① 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：；. ② 随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率. 5. 离散型随机变量的均值与方差 （1） 均值： ① 若离散型随机变量X的分布列为： ② 称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. ③ 均值刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征. ④ 根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值.但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值.这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值.而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质. （2） 均值的性质： ① （C为常数）. ② 若，其中为常数，则Y也是随机变量，且. ③ . ④ 如果相互独立，则. （3） 方差： ① 若离散型随机变量X的分布列为： ② 则称为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差. ③ 描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小. ④ 标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. （4） 方差的性质： ① 若，其中为常数，则Y也是随机变量，且. ② 方差公式的变形：. 6. 常见离散型分布模型 （1） 两点分布： ① 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为： 0 1 ② 其中，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布.其中称为成功概率. ③ 两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1.两点分布又称0-1分布、伯努利分布，其应用十分广泛. ④ 两点分布的均值与方差：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则，. （2） n次独立重复试验： ① 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. ② 独立重复试验的条件：每次试验在同样条件下进行；各次试验是相互独立的；每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. ③ 每次试验中，事件发生的概率是相同的；每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例. （3） 二项分布： ① 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，不发生的概率，那么事件A恰好发生k次的概率是. ② 于是得到X的分布列： 0 1 ③ 由于表中第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作，并称p为成功概率. ④ 由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式. ⑤ 二项分布的适用范围及本质：各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. ⑥ 二项分布的期望、方差：若，则，. （4） 超几何分布： ① 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件发生的概率为，，其中，且，，，称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. 0 1 ② 超几何分布的适用范围及本质：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y的概率分布.本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的. 7. 正态分布 （1） 正态曲线： ① 我们把函数（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线呈钟形，即中间高，两边低. ② 正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线对称；曲线在处达到峰值（最大值）；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. （2） 正态分布： ① 随机变量X落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间的概率的近似值. ② 一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足，则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数确定，因此正态分布常记作.如果随机变量X服从正态分布，则记为. ③ 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计. （3） 3原则： ① 若，则对于任意的实数，为图中的面积，对于固定的和a而言，该面积随着的减小而变大.这说明越小，X落在区间的概率越大，即X集中在周围的概率越大. ② 特别地，有；；. ③ 由，知正态总体几乎总取值于区间之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件.在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取之间的值，并简称之为3原则. 三、典题精讲 考点一：条件概率与相互独立事件 考法1：利用定义与样本空间判断相互独立事件 1.（2026·福建厦门双十中学·模拟）设事件，事件，已知事件与事件相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据相互独立事件的定义，利用概率公式计算出样本空间中基本事件的总数. 【解析】因为事件与事件相互独立，所以. 由题意知，，设样本空间中基本事件的总数为， 则，，， 所以，解得. 所以样本空间可能为. 故选：B. 考法2：利用条件概率公式与乘法公式计算条件概率 2.（2026·安徽临泉·二模）在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】记出事件并明确对应概率，直接代入条件概率公式求解. 【解析】记事件 A 为“甲打破纪录”，事件 B 为“乙打破纪录”， 因为，，， 所以在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为. 故选：D. 考法3：结合古典概型与排列组合计算条件概率 3.（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】分别计算出条件事件和目标事件包含的基本事件数，再利用条件概率公式求解. 【解析】设事件为“甲被派去B服务站”，事件为“甲、乙被派去同一个服务站”. 四名志愿者分到三个服务站，每个站至少一人，共有种分法. 甲被派去B站的情况：若B站有2人，甲在其中，有种；若B站有1人（即甲），有种. 所以. 甲乙同在B站的情况：即B站有甲乙2人，其余2人分到A、C站，有种. 所以. 因此. 故选：A. 考法4：利用独立事件乘法公式计算同时发生或不发生概率 4.（2026·江西赣州·二模）已知事件满足．若，，则（　　） A. 0.12 B. 0.18 C. 0.28 D. 0.42 【答案】A 【思路】由条件概率与无条件概率相等判定独立性，再利用对立事件及独立事件的性质求解. 【解析】因为，所以事件相互独立. 由得. 又因为独立，所以也相互独立， 所以. 因此. 故选：A. 考法5：结合分布列与期望计算相互独立事件综合概率 5.（2026·广东梅州·检测）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（　　）元. A. 3600 B. 3800 C. 4000 D. 4200 【答案】C 【思路】分类讨论甲赢得比赛的局数情况，利用独立事件乘法公式求出总概率，进而按比例分配奖金. 【解析】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局. 2局结束，即甲连赢2局，概率为； 3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为， 所以甲赢得比赛的总概率为. 同理可求得乙赢得比赛的总概率为. 所以甲分得奖金为元. 故选：C. 6.（2026·山东东营·一模）在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响. （1）在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率； （2）在某一局比赛中, 记“经过个回合甲获胜”为事件, 分别求及在该局比赛中甲获胜的概率； （3）比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列. (附: 当时, ) 【答案】（1），；（2），，，，；（3）分布列见解析 【思路】（1）根据独立重复试验概率公式分别计算；（2）分析各回合获胜的条件，利用无穷等比数列求和计算总概率；（3）确定局数可能取值，结合二项分布模型计算概率并列出分布列. 【解析】（1）经过2回合结果为平局，即甲、乙各得1分， 概率. 经过4回合结果为平局，即前2回合平局且后2回合也平局， 概率. （2）经过1回合甲无法净胜2分，所以. 经过2回合甲获胜，即甲连得2分，概率. 经过3回合甲无法净胜2分（净胜2分必须是偶数回合），所以. 经过4回合甲获胜，即前2回合平局，后2回合甲连得2分， 概率. 在该局比赛中，甲获胜的概率 . （3）比赛采用五局三胜制，的可能取值为3, 4, 5. 甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为. ； ； . 的分布列为： 3 4 5 【考点一 方法总结】 1. 用定义法求条件概率的步骤： （1） 分析题意，弄清概率模型； （2） 计算，； （3） 代入公式求. 2. 判断事件是否相互独立的方法： （1） 定义法：事件A，B相互独立 . （2） 由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. （3） 条件概率法：当时，可用判断. 3. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤： （1） 首先确定各事件之间是相互独立的. （2） 求出每个事件的概率，再求积. 注意：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的. 考点二：全概率公式与贝叶斯公式 考法6：利用全概率公式计算复杂事件概率 7.（2026·山东东营·二模）某公司开发了两款智能模型和用于客服系统. 测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用. 若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8.则第2天使用模型的概率为（　　） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 【答案】C 【思路】设定事件，利用全概率公式将第二天使用模型A的概率分解为第一天不同选择下的条件概率之和. 【解析】记事件为“第1天使用模型A”，为“第1天使用模型B”，为“第2天使用模型A”. 由题意知，系统在第1天随机选择一款模型，所以，. 已知，. 根据全概率公式，. 故选：C. 8.（2026·广东江门·二模）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为0.6，选择乙餐厅的概率为0.4，甲餐厅的准时送达率为0.95，乙餐厅的准时送达率为0.9．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． （1）求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． （2）在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于0.7，求的最小值． （3）平台推出“准时保”，每单需支付0.5元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.3元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【答案】（1）0.93；（2）11；（3）他愿意购买“准时保”，理由见解析 【思路】（1）利用全概率公式计算准时送达的总概率；（2）利用二项分布的方差公式建立不等式求解；（3）列出净收益的分布列，计算期望并与条件比对. 【解析】（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”， 依题意，，， 由全概率公式得， 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. （2）依题意，的所有可能取值为，， 则，由的方差大于0.7，得， 解得，所以的最小值为11. （3）他愿意购买“准时保”. 设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为， ，， 显然，即亏损期望不超过元， 所以他愿意购买“准时保”. 考法7：利用贝叶斯公式计算逆向条件概率 9.（2025·江西上进联考·检测）已知编号为的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为，红球在号箱中分别占．从个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自号箱中的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先利用全概率公式求出取出红球的总概率，再利用贝叶斯公式求逆向条件概率. 【解析】设事件为“取出的红球在号箱中”，事件为“取出的是红球”，则组成了完整的样本空间，且两两互斥. 由题意有， 则由全概率公式，， 则在取出的球为红球的条件下，其取自3号箱的概率为. 故选A. 考法8：结合二项分布与期望综合应用全概率与贝叶斯公式 10.（2026·江西萍乡·二模）有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球．随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】分别利用全概率公式求出第一次取红球的概率和两次都取红球的概率，再根据条件概率公式作商. 【解析】设事件分别表示选择甲、乙、丙盒，则. 设事件表示第一次取出红球，事件表示第二次取出红球. 由全概率公式得. 事件表示两次都取出红球， 则 . 所以在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为. 考法9：利用状态转移矩阵与递推数列求解马尔可夫链概率 11.（2026·江西南昌·一模）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】设出每次操作后A盒中红球个数的概率状态，建立递推关系，逐步计算出前几次操作后的状态概率. 【解析】设经过次操作后，盒中恰有个红球的概率为.初始时盒有3个红球，即. 每次操作，若取到黑球则红球数加1，概率为；若取到红球则红球数不变，概率为. 因为“直到盒中6个球全是红球为止”，所以表示第次操作后恰好全是红球的概率，即. 根据递推关系： ， ， . 由，可得： ，，； ，，； ，，； . 所以，. 则. 【考点二 方法总结】 1. 全概率公式的应用：全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑. 2. 利用贝叶斯公式求概率的步骤： （1） 利用全概率公式计算，即； （2） 计算，可利用求解； （3） 代入求解. 3. 贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即. 考点三：离散型随机变量及其分布列 考法10：利用随机变量定义辨析离散型随机变量 12.下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A. 将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B. 某人早晨在车站等出租车的时间 C. 连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D. 袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性 【答案】C 【思路】根据离散型随机变量的定义，判断其取值是否可以一一列举出来. 【解析】对于 A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为 5，是常量，A 错误； 对于 B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B 错误； 对于 C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C 正确； 对于 D，事件发生的可能性不是随机变量，D 错误. 故选：C. 考法11：利用概率和为1及期望公式求解分布列参数 13.设随机变量的分布列，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用分布列中所有概率之和为1求出参数k，再计算对应区间的概率. 【解析】因为，可得，解得， 因此. 考法12：结合古典概型与排列组合求解离散型随机变量分布列 14.（2026·安徽江淮十校·模拟）在一次元宵节三角函数公式竞答决赛活动中，甲、乙两人角逐冠军. 规则如下:①共5次竞答机会,每次竞答两人均从A,B两个箱子中选择一个公式回答,答完放回;②甲答对A、B箱中一个公式的概率分别为;乙答对A、B箱中一个公式的概率均为;③每答对A箱中一个公式得20分,每答对B箱中一个公式得30分;④5次竞答后总得分最高者获得冠军. （1）规定甲前两次都从A箱中选择,后三次都从B箱中选择,五次竞答完成后,求甲总分得分至少110分的概率. （2）若前两次甲、乙均从B箱中选择公式,两次竞答后甲得总分60分,乙得总分30分. 后三次竞答在即,深思熟虑后甲决定后三次都在A箱子中选择公式竞答,乙决定后三次仍然都在B箱子中选择公式竞答,请问最终冠军最有可能是谁? 【答案】（1）；（2）甲获得冠军的可能性更大 【思路】（1）列举出甲得分至少110分的所有可能情况，利用独立事件概率公式计算.（2）分别列出甲乙后三次得分的分布列，计算期望并比较总期望. 【解析】（1）甲至少110分有三种情况:前两次甲得40分,后三次甲得90分;前两次甲得20分,后三次甲得90分; 故概率为. （2）后三次甲选A袋,甲五次总得分可能为60、80、100、120,; ,,, 随机变量的分布列为: 60 80 100 120 分. 后三次乙选B袋,乙五次总得分可能为30、60、90、120, ;,, ,随机变量的分布列为: 30 60 90 120 分, 所以,故甲获得冠军的可能性更大. 15.（2026·安徽安庆·二模）某棋手与一台智能机器人进行象棋比赛，规则如下：每局比赛，若棋手赢机器人，则棋手得1分；若棋手输给机器人，则棋手得分；若为平局，则棋手不得分；比赛共进行三局，三局比赛结束后，若棋手得分不低于1分，则棋手获胜．在每局比赛中，棋手赢机器人的概率为，棋手输给机器人的概率为，平局的概率为．每局比赛的结果互不影响． （1）求三局比赛结束后棋手得2分的概率； （2）在比赛过程中，棋手每赢1局，获奖金1000元，输给机器人或平局都没有奖金．记三局比赛结束后棋手获得的奖金为元，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）0.054；（2）分布列见解析， 【思路】（1）分析得2分的胜负平组合情况，利用独立事件概率公式计算.（2）确定奖金的可能取值，计算对应概率，列出分布列并求期望. 【解析】（1）由题意，要使三局比赛结束后棋手得2分， 则棋手在三局比赛中赢了2局，平了1局， 所以三局比赛结束后棋手得2分的概率为. （2）由题意，的可能取值为， 而棋手每局赢机器人的概率为，输给机器人或平局的概率为， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1000 2000 3000 0.343 0.441 0.189 0.027 则. 【考点三 方法总结】 1. 离散型随机变量的分布列性质的应用： （1） 利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； （2） 利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率； （3） 可以根据性质及判断所求的分布列是否正确. 2. 求解离散型随机变量分布列的步骤： （1） 审题； （2） 计算随机变量取每一个值的概率； （3） 列表，列出分布列，并检验概率之和是否为1； （4） 求解，根据均值、方差公式求解其值. 考点四：离散型随机变量的数字特征（均值与方差） 考法13：利用期望公式与线性性质计算离散型随机变量均值 16.（2026·浙江金丽衢十二校·联考）掷一枚均匀的骰子2次，记出现的点数分别为，令，则的数学期望（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】列举出X的所有可能取值，分别计算其概率，再利用期望公式求解. 【解析】掷骰子2次，样本空间共有36个等可能基本事件. 的可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6. . 故选：D. 17.（2026·安徽淮北·二模）已知袋子中共有个形状相同的球，红、黄、蓝三种颜色，其中红球有个，随机不放回依次逐个取出一球，直到将球全部取出. （1）求第二次取出的球是红球的概率； （2）若红球、黄球、蓝球的个数分别是3、2、2，求红球被全部取出时袋子里还有黄球和蓝球的概率； （3）记随机变量为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【思路】（1）利用排列组合计算第二次取红球的概率.（2）分类讨论最后一次取出的球的颜色，计算条件概率.（3）写出X的分布列，利用组合数恒等式求和化简期望表达式. 【解析】（1）记第二次取出的球是红球为事件，将个红球的安排情况作为样本空间， 则样本点总数为， 事件表示第二次取出红球，则其他个红球在剩余的个位置中随机安排， 则事件包含的样本点数为， 则. （2）记最后一次取出的是黄球为事件，最后一次取出是蓝球为事件， 显然事件、互斥，记红球最先被取完为事件，则， 当事件发生时，只需考虑取出所有蓝球之前红球被取完， 则， 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球之前红球被取完， 则， 所以. （3）由题意得的取值为， 则随机变量的分布列为， 所以随机变量的期望 ， 所以. 考法14：利用方差公式与线性性质计算离散型随机变量方差 18.（2026·安徽合肥十一中·检测）已知随机变量的所有可能取值为0，1，2，且，则（　　） A. 0.48 B. 0.54 C. 0.76 D. 0.92 【答案】C 【思路】利用概率和为1以及期望公式列方程组，求出未知概率，再利用方差公式计算. 【解析】设，. 由概率和为1得，即. 由期望公式得，即. 解得，. 所以. 故选：C. 19.（2026·山东淄博·二模）随机变量的取值为0，1，2，若，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】根据概率之和为1和期望公式求出分布列，再代入方差公式进行计算. 【解析】设，. 则. 又. 解得，. 则. 考法15：结合导数与不等式求解期望最值与参数范围 20.（2026·山东师大附中·检测）为备战2026年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）.初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已进入决赛的参赛者允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. （1）已知初赛6道题中甲能答对其中4道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）假设该校共选拔出9名同学进入决赛，若这9名同学获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【思路】（1）识别出超几何分布模型求期望，利用条件概率公式求概率.（2）列出奖金的分布列求出期望，建立关于p的不等式，利用导数求解. 【解析】（1）记甲答对的题目数为，则服从超几何分布， 数学期望. 事件“已答对一题”即；“仍未进入决赛”即， 由条件概率公式得：. （2）设进入决赛的同学获得的奖金为元， 其分布为，， ，， 期望，化简得 . 9名同学总奖金的期望， 即. 整理得. 令，由知在单调递增， 又，因此不等式解为，结合，得. 考法16：比较期望与方差解决实际情境决策问题 21.（2025·安徽合肥·二模）当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．假设通常情况下，它们发生的概率分别是和，用这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量的分布列为，，．则称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小． （1）若的分布列为，，，求的最大值； （2）证明：； （3）若，且为定值，设，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【思路】（1）构造函数求导，利用导数判断单调性求最值.（2）利用对数函数的性质及不等式放缩证明.（3）利用二项分布的对称性及导数的奇偶性证明. 【解析】（1）由题意知，，其中． 令，则． 所以当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以在时取得最大值，且最大值为． （2）要证，即证， 因为 （当且仅当，即时等号成立）， ， 所以． （3）由题意知， 则， 由，则， 所以，则，即得． 22.（2024·广东华师附中·三模）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为0.6，选择乙餐厅的概率为0.4，甲餐厅的准时送达率为0.95，乙餐厅的准时送达率为0.9．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． （1）求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． （2）在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于0.7，求的最小值． （3）平台推出“准时保”，每单需支付0.5元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.3元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【答案】（1）0.93；（2）11；（3）他愿意购买“准时保”，理由见解析 【思路】（1）利用全概率公式计算准时送达的总概率；（2）利用二项分布的方差公式建立不等式求解；（3）列出净收益的分布列，计算期望并与条件比对. 【解析】（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”， 依题意，，， 由全概率公式得， 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. （2）依题意，的所有可能取值为，， 则，由的方差大于0.7，得， 解得，所以的最小值为11. （3）他愿意购买“准时保”. 设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为， ，， 显然，即亏损期望不超过元， 所以他愿意购买“准时保”. 【考点四 方法总结】 1. 均值与方差在决策中的应用：随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 2. 两种应用策略： （1） 当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断. （2） 若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策. 考点五：常见离散型分布模型（两点分布、二项分布、超几何分布） 考法17：利用两点分布与独立重复试验计算概率与数字特征 23.设随机变量服从两点分布，若，则（　　） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】D 【思路】根据两点分布中概率之和为1，结合已知条件求出对应概率，再利用期望公式计算. 【解析】由题意得， 因为， 所以解得， 所以， 故选：D. 考法18：利用超几何分布模型计算不放回抽样概率与均值 24.（2026·河南五市·一模）采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用全概率公式，分别计算在不同次品率包中拒绝购买的概率，再求总概率. 【解析】设事件为“包含6个次品”，为“包含2个次品”，为“采购员拒绝购买”， 则， 则，， 故. 故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是. 考法19：利用二项分布模型计算放回抽样概率与数字特征 25.（2026·山东济宁·二模）抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】识别出二项分布模型，确定参数n和p，直接利用二项分布的均值和方差公式计算. 【解析】抛掷一次质地均匀的正方体骰子，出现6点的概率. 在30次独立重复试验中，成功次数服从二项分布，即. 均值. 方差. 故选：B. 考法20：结合频率分布直方图与实际情境综合应用二项分布与超几何分布 26.（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】利用正态分布的对称性求出期望，再利用二项分布的方差公式及方差的性质建立等式求解. 【解析】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 故选：D. 27.（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为100分，得分不低于80分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了100名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取50人，这50名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】（1）25人；（2）分布列见解析，；（3）12 【思路】（1）利用频率分布直方图计算优秀的频率，再乘以样本容量.（2）利用分层抽样确定各层人数，识别超几何分布模型求分布列和均值.（3）识别二项分布模型，利用相邻项概率比值法求概率最大时的k值. 【解析】（1）该样本中学生分数为优秀的频率， 故优秀的人数为人； （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为0,1,2. ，， 则的分布列为: 0 1 2 所以. （3）由题意知，， 则， 令， 当，解得 因为，所以时，， 当时，， 所以当时，最大. 【考点五 方法总结】 1. 超几何分布和二项分布的区别： （1） 超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2） 超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 2. 随机变量是否服从超几何分布的判断：若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：该试验是不放回地抽取n次；随机变量X表示抽取到的次品件数（或类似事件），反之亦然. 3. 求超几何分布的分布列的步骤： （1） 验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； （2） 根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； （3） 列出分布列. 4. 二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率. 5. 二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是： （1） 根据题意设出随机变量； （2） 分析出随机变量服从二项分布； （3） 找到参数n，p； （4） 写出二项分布的分布列； （5） 将k值代入求解概率. 6. 在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解.解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验. 考点六：正态分布及其应用 考法21：利用正态密度函数解析式与图象辨析正态曲线特征 28.（2026·河北石家庄一中·一模）设随机变量服从正态分布，若，则的值为（　　） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【思路】利用正态分布曲线的对称性，建立关于参数a的方程求解. 【解析】由题意，根据正态分布的对称性， 故选：A. 29.（2025·河南金科新未来·联考）已知随机变量服从标准正态分布，若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】0.1 【思路】利用标准正态分布曲线关于y轴对称的性质进行概率转化计算. 【解析】因为随机变量服从标准正态分布，即， 所以正态曲线关于对称. 由得， 所以. 根据正态曲线的对称性，有. 考法22：利用正态曲线对称性计算区间概率与参数 30.（2026·广东梅州·一模）为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（　　）人一分钟跳绳超过200次. A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 【答案】A 【思路】利用正态分布的对称性求出目标区间的概率，再乘以总人数进行估算. 【解析】因为，则有， 所以， 该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为. 故选：A. 31.（2026·安徽黄山·检测）已知随机变量，若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】0.2 【思路】利用正态分布的对称性，将所求区间概率转化为已知概率的运算. 【解析】因为随机变量，所以正态曲线关于对称. 由，根据对称性可得. 所以. 考法23：结合3σ原则与标准正态分布解决实际估算问题 32.（2026·河北沧州十二校·一模）某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用表示这500个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是＿＿＿＿＿＿. 【答案】45 【思路】先利用正态分布的对称性求出单次抽取的概率，再识别出二项分布模型计算方差. 【解析】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，， 故. 故答案为：45. 33.（2026·山东德州·三模）某学校为了了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示. 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得，且该校现有在读学生1万人.（近似值替代时按四舍五入保留到整数位） （1）试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助.具体赠送方案如下： 方案1：每人每月人均赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补. 如果方案二比方案一支出不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 【答案】（1）0.8186；（2）学校能顺利实施方案二 【思路】（1）利用组中值估算平均数，结合3σ原则计算区间概率.（2）分别计算两种方案的期望支出，比较差额比例得出结论. 【解析】（1）由题知，各组中点值分别为：325,375,425,475,525,575. ， 根据要求， 由题知， 所以 因此 . （2）已知月度餐费，总学生人数为10000人. 方案一，每人补助100元，总补助为万元； 方案二，按月度餐费区间赠送不同金额，设每位学生获得钱数为，则 元 所以方案二的总补助为万元， 因为129.519万元-100万元=29.519万元 且 所以方案二比方案一支出高29.519个百分点，小于50个百分点，学校能顺利实施方案二. 考法24：结合二项分布与泊松分布综合应用正态分布模型 34.（2026·浙江Z20联盟·检测）若随机变量，随机变量，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【思路】利用正态分布的对称性求出期望，再结合二项分布的期望公式求出参数n，最后代入方差公式计算. 【解析】因为随机变量，且， 根据正态曲线的对称性，可知. 所以. 又因为随机变量，且， 所以，解得. 所以. 故选：B. 35.（2026·河南豫东名校·二模）泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，，且，，其中，为自然对数的底数，则称服从泊松分布，记作． （1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有．已知某快递公司共有30000个包裹待配送，每个包裹有0.0001的概率出现配送延迟．试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） （3）若，且，求的取值范围． 参考数据：若，，则有，，． 【答案】（1）0.6827；（2）0.58；（3） 【思路】（1）利用泊松分布的近似正态分布性质及3σ原则计算.（2）利用泊松分布近似二项分布，结合对立事件求概率.（3）代入泊松分布公式建立关于λ的不等式，构造函数利用导数求解. 【解析】（1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若， 当时，泊松分布近似于正态分布， 即，，要计算， 根据正态分布的性质，， ． （2）当，时，可以用泊松分布近似二项分布， 即对于，， 设为配送延迟包裹数，则，， ，， ， ， 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为： ． （3）由，得， 根据泊松分布的概率公式：，，得． 设（）， 由，知在上为减函数． ，， ，即， 的取值范围为． 【考点六 方法总结】 1. 求正态曲线的两个方法： （1） 图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值，纵坐标为. （2） 待定系数法：求出，便可. 2. 正态分布下两类常见的概率计算： （1） 利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，曲线与x轴之间的面积为1. （2） 利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个. 3. 正态总体在某个区间内取值概率的求解策略： （1） 充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1. （2） 熟记，，的值. 4. 求正态变量x在某区间内取值的概率的基本方法： （1） 根据题目中给出的条件确定与的值. （2） 将待求问题向，，这三个区间进行转化. （3） 利用x在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果. 5. 假设检验的思想： （1） 统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设. （2） 若随机变量服从正态分布，则落在区间内的概率为0.9974，亦即落在区间之外的概率为0.0026，此为小概率事件.如果此事件发生了，就说明不服从正态分布. （3） 对于小概率事件要有一个正确的理解：小概率事件是指发生的概率小于3%的事件.对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的.不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性. 四、高考真题 1.（2026·全国一卷·第8题）设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为 A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】由题意可知. 解法一：依题意，可得， ， ，， ，， 所以. 解法二：根据对称性可知：，，，，， 又，， 所以. 解法三：因为，， 对于任意一点，均存在与之对应，可知这两点的坐标和为0， 因为，样本空间， 可知样本空间中存在唯一点与点对应， 所以中所有点的坐标和的总和为， 故. 2.（2024·全国一卷·第9题）（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（　　）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误. 故选：BC. 3.（2024·全国一卷·第14题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 4.（2025·全国一卷·第14题）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数，则数学期望＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情况有种， 故， 所以. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 5.（2026·全国一卷·第17题）设整数.某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习.设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立.记为停止练习时该同学的投篮次数. （1）当，时，求的分布列； （2）设，均为自然数. （i）当时，求； （ii）当时，证明：. 【答案】（1）分布列见解析；（2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】（1）由题意，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 所以的可能取值为1，2，3，4. 当时，表示第一次就投进球，； 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，； 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，； 当时，表示在第4次停止，此事件等价于前3次投篮均未投中，. 作出的分布列如下： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， 所以. （ii）由题意及（2）（i）得， ， 即. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第74讲 条件概率与常见分布模型 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精练 8 考点一：条件概率与相互独立事件 8 考点二：全概率公式与贝叶斯公式 10 考点三：离散型随机变量及其分布列 12 考点四：离散型随机变量的数字特征（均值与方差） 13 考点五：常见离散型分布模型（两点分布、二项分布、超几何分布） 15 考点六：正态分布及其应用 17 四、高考真题 20 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第9题 多选题 第14题 填空题 11分 直接考察 正态分布的概率计算 离散型随机变量的概率计算 2025 第14题 填空题 5分 直接考察 离散型随机变量的期望 2026 第8题 单选题 第17题 解答题 20分 直接考察 离散型随机变量的期望 分布列与条件概率 近三年全国一卷均有直接考查，题型涵盖单选题、多选题、填空题和解答题，分值在5分到20分之间. 2. 命题角度与特色 （1） 重点考查离散型随机变量的分布列与数学期望，常结合具体情境（如抽卡片、取球、投篮等）进行考查. （2） 正态分布的对称性与概率计算也是考查的重点，常以多选题形式出现. （3） 条件概率与全概率公式的考查常与分布列结合，在解答题中作为重要步骤出现. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握离散型随机变量分布列的求解方法，准确计算数学期望与方差. （2） 深刻理解正态分布曲线的对称性及其在概率计算中的应用，牢记特殊区间的概率值. （3） 加强对条件概率、全概率公式及相互独立事件的理解，提升在复杂情境中分解事件、计算概率的能力. 二、知识清单 1. 条件概率 （1） 定义：一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. ① 条件概率中“”后面就是条件. ② 若，表示条件A不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行. （2） 性质： ① 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即. ② 必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0. ③ 如果B与C互斥，则. ④ 如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么. ⑤ 已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即. 2. 相互独立与条件概率的关系 （1） 相互独立事件的概念及性质： ① 相互独立事件的概念：对于两个事件A，B，如果，则意味着事件A的发生不影响事件B发生的概率.设，根据条件概率的计算公式，，从而.由此我们可得：设A，B为两个事件，若，则称事件A与事件B相互独立. ② 概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若，则.我们称上式为概率的乘法公式. ③ 相互独立事件的性质：如果事件A，B互相独立，那么A与，与B，与也都相互独立. ④ 两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这n个事件同时发生的概率. （2） 事件的独立性： ① 事件A与B相互独立的充要条件是. ② 当时，A与B独立的充要条件是. ③ 如果，A与B独立，则成立. 3. 全概率公式与贝叶斯公式 （1） 全概率公式： ① . ② 定理1：若样本空间中的事件满足：任意两个事件均互斥，即；；.则对中的任意事件B，都有，且. （2） 贝叶斯公式： ① 一般地，当且时，有. ② 定理2：若样本空间中的事件满足：任意两个事件均互斥，即；；.则对中的任意概率非零的事件B，都有，且. ③ 贝叶斯公式的意义是导致事件B发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.贝叶斯公式充分体现了之间的转关系，即之间的内在联系. 4. 离散型随机变量及其分布列 （1） 随机变量： ① 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母表示. ② 一般地，如果一个试验满足下列条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果.这种试验就是随机试验. ③ 有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示.如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上. ④ 随机变量的线性关系：若X是随机变量，，是常数，则Y也是随机变量. （2） 离散型随机变量： ① 对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量. ② 本章研究的离散型随机变量只取有限个值. ③ 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出. （3） 离散型随机变量的分布列的表示： ① 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为，X取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： ② 我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也用等式表示X的分布列. （4） 离散型随机变量的分布列的性质： ① 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：；. ② 随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率. 5. 离散型随机变量的均值与方差 （1） 均值： ① 若离散型随机变量X的分布列为： ② 称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. ③ 均值刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征. ④ 根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值.但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值.这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值.而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质. （2） 均值的性质： ① （C为常数）. ② 若，其中为常数，则Y也是随机变量，且. ③ . ④ 如果相互独立，则. （3） 方差： ① 若离散型随机变量X的分布列为： ② 则称为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差. ③ 描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小. ④ 标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. （4） 方差的性质： ① 若，其中为常数，则Y也是随机变量，且. ② 方差公式的变形：. 6. 常见离散型分布模型 （1） 两点分布： ① 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为： 0 1 ② 其中，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布.其中称为成功概率. ③ 两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1.两点分布又称0-1分布、伯努利分布，其应用十分广泛. ④ 两点分布的均值与方差：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则，. （2） n次独立重复试验： ① 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. ② 独立重复试验的条件：每次试验在同样条件下进行；各次试验是相互独立的；每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. ③ 每次试验中，事件发生的概率是相同的；每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例. （3） 二项分布： ① 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，不发生的概率，那么事件A恰好发生k次的概率是. ② 于是得到X的分布列： 0 1 ③ 由于表中第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作，并称p为成功概率. ④ 由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式. ⑤ 二项分布的适用范围及本质：各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. ⑥ 二项分布的期望、方差：若，则，. （4） 超几何分布： ① 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件发生的概率为，，其中，且，，，称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. 0 1 ② 超几何分布的适用范围及本质：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y的概率分布.本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的. 7. 正态分布 （1） 正态曲线： ① 我们把函数（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线呈钟形，即中间高，两边低. ② 正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线对称；曲线在处达到峰值（最大值）；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. （2） 正态分布： ① 随机变量X落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间的概率的近似值. ② 一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足，则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数确定，因此正态分布常记作.如果随机变量X服从正态分布，则记为. ③ 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计. （3） 3原则： ① 若，则对于任意的实数，为图中的面积，对于固定的和a而言，该面积随着的减小而变大.这说明越小，X落在区间的概率越大，即X集中在周围的概率越大. ② 特别地，有；；. ③ 由，知正态总体几乎总取值于区间之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件.在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取之间的值，并简称之为3原则. 三、典题精练 考点一：条件概率与相互独立事件 考法1：利用定义与样本空间判断相互独立事件 1.（2026·福建厦门双十中学·模拟）设事件，事件，已知事件与事件相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（　　） A. B. C. D. 考法2：利用条件概率公式与乘法公式计算条件概率 2.（2026·安徽临泉·二模）在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（　　） A. B. C. D. 考法3：结合古典概型与排列组合计算条件概率 3.（2026·山东东营·一模）在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（　　） A. B. C. D. 考法4：利用独立事件乘法公式计算同时发生或不发生概率 4.（2026·江西赣州·二模）已知事件满足．若，，则（　　） A. 0.12 B. 0.18 C. 0.28 D. 0.42 考法5：结合分布列与期望计算相互独立事件综合概率 5.（2026·广东梅州·检测）甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（　　）元. A. 3600 B. 3800 C. 4000 D. 4200 6.（2026·山东东营·一模）在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，即从0比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为，乙得分的概率为.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜负互不影响. （1）在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率和经过4回合结果为平局的概率； （2）在某一局比赛中, 记“经过个回合甲获胜”为事件, 分别求及在该局比赛中甲获胜的概率； （3）比赛结束时，双方共进行了局比赛，求的分布列. (附: 当时, ) 【考点一 方法总结】 1. 用定义法求条件概率的步骤： （1） 分析题意，弄清概率模型； （2） 计算，； （3） 代入公式求. 2. 判断事件是否相互独立的方法： （1） 定义法：事件A，B相互独立 . （2） 由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. （3） 条件概率法：当时，可用判断. 3. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤： （1） 首先确定各事件之间是相互独立的. （2） 求出每个事件的概率，再求积. 注意：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的. 考点二：全概率公式与贝叶斯公式 考法6：利用全概率公式计算复杂事件概率 7.（2026·山东东营·二模）某公司开发了两款智能模型和用于客服系统. 测试期间，系统在第1天随机选择一款模型投入使用. 若第1天使用模型，则第2天继续使用模型的概率为0.6；若第1天使用模型，则第2天切换到模型的概率为0.8.则第2天使用模型的概率为（　　） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9 8.（2026·广东江门·二模）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为0.6，选择乙餐厅的概率为0.4，甲餐厅的准时送达率为0.95，乙餐厅的准时送达率为0.9．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． （1）求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． （2）在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于0.7，求的最小值． （3）平台推出“准时保”，每单需支付0.5元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.3元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 考法7：利用贝叶斯公式计算逆向条件概率 9.（2025·江西上进联考·检测）已知编号为的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为，红球在号箱中分别占．从个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自号箱中的概率为（　　） A. B. C. D. 考法8：结合二项分布与期望综合应用全概率与贝叶斯公式 10.（2026·江西萍乡·二模）有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球．随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为＿＿＿＿＿＿. 考法9：利用状态转移矩阵与递推数列求解马尔可夫链概率 11.（2026·江西南昌·一模）已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则＿＿＿＿＿＿. 【考点二 方法总结】 1. 全概率公式的应用：全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑. 2. 利用贝叶斯公式求概率的步骤： （1） 利用全概率公式计算，即； （2） 计算，可利用求解； （3） 代入求解. 3. 贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即. 考点三：离散型随机变量及其分布列 考法10：利用随机变量定义辨析离散型随机变量 12.下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　） A. 将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B. 某人早晨在车站等出租车的时间 C. 连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数 D. 袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性 考法11：利用概率和为1及期望公式求解分布列参数 13.设随机变量的分布列，则＿＿＿＿＿＿. 考法12：结合古典概型与排列组合求解离散型随机变量分布列 14.（2026·安徽江淮十校·模拟）在一次元宵节三角函数公式竞答决赛活动中，甲、乙两人角逐冠军. 规则如下:①共5次竞答机会,每次竞答两人均从A,B两个箱子中选择一个公式回答,答完放回;②甲答对A、B箱中一个公式的概率分别为;乙答对A、B箱中一个公式的概率均为;③每答对A箱中一个公式得20分,每答对B箱中一个公式得30分;④5次竞答后总得分最高者获得冠军. （1）规定甲前两次都从A箱中选择,后三次都从B箱中选择,五次竞答完成后,求甲总分得分至少110分的概率. （2）若前两次甲、乙均从B箱中选择公式,两次竞答后甲得总分60分,乙得总分30分. 后三次竞答在即,深思熟虑后甲决定后三次都在A箱子中选择公式竞答,乙决定后三次仍然都在B箱子中选择公式竞答,请问最终冠军最有可能是谁? 15.（2026·安徽安庆·二模）某棋手与一台智能机器人进行象棋比赛，规则如下：每局比赛，若棋手赢机器人，则棋手得1分；若棋手输给机器人，则棋手得分；若为平局，则棋手不得分；比赛共进行三局，三局比赛结束后，若棋手得分不低于1分，则棋手获胜．在每局比赛中，棋手赢机器人的概率为，棋手输给机器人的概率为，平局的概率为．每局比赛的结果互不影响． （1）求三局比赛结束后棋手得2分的概率； （2）在比赛过程中，棋手每赢1局，获奖金1000元，输给机器人或平局都没有奖金．记三局比赛结束后棋手获得的奖金为元，求的分布列与数学期望． 【考点三 方法总结】 1. 离散型随机变量的分布列性质的应用： （1） 利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值； （2） 利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率； （3） 可以根据性质及判断所求的分布列是否正确. 2. 求解离散型随机变量分布列的步骤： （1） 审题； （2） 计算随机变量取每一个值的概率； （3） 列表，列出分布列，并检验概率之和是否为1； （4） 求解，根据均值、方差公式求解其值. 考点四：离散型随机变量的数字特征（均值与方差） 考法13：利用期望公式与线性性质计算离散型随机变量均值 16.（2026·浙江金丽衢十二校·联考）掷一枚均匀的骰子2次，记出现的点数分别为，令，则的数学期望（　　） A. B. C. D. 17.（2026·安徽淮北·二模）已知袋子中共有个形状相同的球，红、黄、蓝三种颜色，其中红球有个，随机不放回依次逐个取出一球，直到将球全部取出. （1）求第二次取出的球是红球的概率； （2）若红球、黄球、蓝球的个数分别是3、2、2，求红球被全部取出时袋子里还有黄球和蓝球的概率； （3）记随机变量为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：. 考法14：利用方差公式与线性性质计算离散型随机变量方差 18.（2026·安徽合肥十一中·检测）已知随机变量的所有可能取值为0，1，2，且，则（　　） A. 0.48 B. 0.54 C. 0.76 D. 0.92 19.（2026·山东淄博·二模）随机变量的取值为0，1，2，若，，则＿＿＿＿＿＿. 考法15：结合导数与不等式求解期望最值与参数范围 20.（2026·山东师大附中·检测）为备战2026年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）.初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已进入决赛的参赛者允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立. （1）已知初赛6道题中甲能答对其中4道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）假设该校共选拔出9名同学进入决赛，若这9名同学获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围. 考法16：比较期望与方差解决实际情境决策问题 21.（2025·安徽合肥·二模）当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．假设通常情况下，它们发生的概率分别是和，用这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量的分布列为，，．则称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小． （1）若的分布列为，，，求的最大值； （2）证明：； （3）若，且为定值，设，证明：． 22.（2024·广东华师附中·三模）某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为0.6，选择乙餐厅的概率为0.4，甲餐厅的准时送达率为0.95，乙餐厅的准时送达率为0.9．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． （1）求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． （2）在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于0.7，求的最小值． （3）平台推出“准时保”，每单需支付0.5元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.3元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【考点四 方法总结】 1. 均值与方差在决策中的应用：随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 2. 两种应用策略： （1） 当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断. （2） 若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策. 考点五：常见离散型分布模型（两点分布、二项分布、超几何分布） 考法17：利用两点分布与独立重复试验计算概率与数字特征 23.设随机变量服从两点分布，若，则（　　） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 考法18：利用超几何分布模型计算不放回抽样概率与均值 24.（2026·河南五市·一模）采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是＿＿＿＿＿＿. 考法19：利用二项分布模型计算放回抽样概率与数字特征 25.（2026·山东济宁·二模）抛掷一枚质地均匀、六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体骰子，当出现6点时，就说这次试验成功，每次试验的结果相互独立，则在30次试验中成功次数的均值和方差分别为（　　） A. B. C. D. 考法20：结合频率分布直方图与实际情境综合应用二项分布与超几何分布 26.（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，，且，则（　　） A. B. C. D. 27.（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为100分，得分不低于80分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了100名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取50人，这50名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【考点五 方法总结】 1. 超几何分布和二项分布的区别： （1） 超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2） 超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 2. 随机变量是否服从超几何分布的判断：若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：该试验是不放回地抽取n次；随机变量X表示抽取到的次品件数（或类似事件），反之亦然. 3. 求超几何分布的分布列的步骤： （1） 验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； （2） 根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； （3） 列出分布列. 4. 二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率. 5. 二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是： （1） 根据题意设出随机变量； （2） 分析出随机变量服从二项分布； （3） 找到参数n，p； （4） 写出二项分布的分布列； （5） 将k值代入求解概率. 6. 在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解.解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验. 考点六：正态分布及其应用 考法21：利用正态密度函数解析式与图象辨析正态曲线特征 28.（2026·河北石家庄一中·一模）设随机变量服从正态分布，若，则的值为（　　） A. B. C. 3 D. 5 29.（2025·河南金科新未来·联考）已知随机变量服从标准正态分布，若，则＿＿＿＿＿＿. 考法22：利用正态曲线对称性计算区间概率与参数 30.（2026·广东梅州·一模）为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（　　）人一分钟跳绳超过200次. A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 31.（2026·安徽黄山·检测）已知随机变量，若，则＿＿＿＿＿＿. 考法23：结合3σ原则与标准正态分布解决实际估算问题 32.（2026·河北沧州十二校·一模）某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用表示这500个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是＿＿＿＿＿＿. 33.（2026·山东德州·三模）某学校为了了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示. 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得，且该校现有在读学生1万人.（近似值替代时按四舍五入保留到整数位） （1）试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助.具体赠送方案如下： 方案1：每人每月人均赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补. 如果方案二比方案一支出不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 考法24：结合二项分布与泊松分布综合应用正态分布模型 34.（2026·浙江Z20联盟·检测）若随机变量，随机变量，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 4 35.（2026·河南豫东名校·二模）泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，，且，，其中，为自然对数的底数，则称服从泊松分布，记作． （1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有．已知某快递公司共有30000个包裹待配送，每个包裹有0.0001的概率出现配送延迟．试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） （3）若，且，求的取值范围． 参考数据：若，，则有，，． 【考点六 方法总结】 1. 求正态曲线的两个方法： （1） 图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值，纵坐标为. （2） 待定系数法：求出，便可. 2. 正态分布下两类常见的概率计算： （1） 利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，曲线与x轴之间的面积为1. （2） 利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个. 3. 正态总体在某个区间内取值概率的求解策略： （1） 充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1. （2） 熟记，，的值. 4. 求正态变量x在某区间内取值的概率的基本方法： （1） 根据题目中给出的条件确定与的值. （2） 将待求问题向，，这三个区间进行转化. （3） 利用x在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果. 5. 假设检验的思想： （1） 统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设. （2） 若随机变量服从正态分布，则落在区间内的概率为0.9974，亦即落在区间之外的概率为0.0026，此为小概率事件.如果此事件发生了，就说明不服从正态分布. （3） 对于小概率事件要有一个正确的理解：小概率事件是指发生的概率小于3%的事件.对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的.不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性. 四、高考真题 1.（2026·全国一卷·第8题）设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为 A. B. C. 0 D. 2.（2024·全国一卷·第9题）（多选）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（　　）（若随机变量Z服从正态分布，） A. B. C. D. 3.（2024·全国一卷·第14题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为＿＿＿＿＿＿. 4.（2025·全国一卷·第14题）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数，则数学期望＿＿＿＿＿＿. 5.（2026·全国一卷·第17题）设整数.某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习.设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立.记为停止练习时该同学的投篮次数. （1）当，时，求的分布列； （2）设，均为自然数. （i）当时，求； （ii）当时，证明：. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $