第23讲三角函数的综合应用（知识清单+3典例精讲+5方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数综合应用，覆盖三角恒等变换、图象性质、解三角形等核心考点，按知识清单（8大知识点）、典例精讲（3类题型）、方法技巧（5大招）、分层训练（基础/拔高/错题）的逻辑架构编排，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生系统构建知识网络，突破高频难点。 资料以“问题驱动-技巧提炼-分层突破”为特色，如通过“降幂+辅助角标准化”技巧培养数学思维，用“角的配凑”策略提升运算能力，设置基础过关到错题复盘的梯度训练，确保学生高效掌握解题模型，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 第23讲三角函数的综合应用 (知识清单+3典例精讲+5方法技巧+分层训练) 考情导航 近3年考查情况 题型 分值 三角恒等变换、三角函数图象与性质、同角三角函数关系 选择、填空题 5分 两角和差公式、二倍角公式、三角函数单调性、解三角形综合 选择、填空题 5分 二倍角公式、正余弦定理、函数图象平移与奇偶性综合 选择题 5分 核心高频：三角恒等变换、图象性质、解三角形综合 选择、填空、 5分/12分 解答题 如识清单 【知识点01】同角三角函数基本关系 sin2a+cos2a=1 tana=照(cosa≠0 适用场景：己知一个三角函数值，求另外两个三角函数值的化简与求值问题。 【例1】已知cxe(0,),sina=,求tana的值。 解析：由平方关系：sin2a十cos2a=1 cosa=V1-sin"a =V1-()2= 由商数关系：ta=器- 答案：tana=星 【知识点2】诱导公式（化简必备） 口诀：奇变偶不变，符号看象限 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 sin(π-d=sina,cos(π-d=-cosa sin(-a)=cosa,cos(-a)=sina 【例2】化简求值：sin(+c)+cos(π+a 解析：由诱导公式：sin(钙+a)=-cosa,cos(π+)=-cos 原式=-cosa-cos&=-2cosx 答案：-2c0sC 【知识点3】两角和与差公式 sin(a±β)=sinacos3±cosasin B cos(&±β=cosacosB干sinasinB tarc士-年器 【例3】求sin15°的精确值。 解析：拆分角度：sin15°=sin(45°-30) sin(45°-309=sin45°cos30°-cos45°sin30° -号9-9= 答案：sin15°=6-互 4 【知识点04】二倍角公式 sin2a 2sinacosa cos2a cos2a-sina 2cos2a-1=1-2sin2a tan2a-1-tan a Zana 【例4】已知sinu=寻，&e(0,),求cos2a。 解析：选用二倍角公式：cos2a=1-2sin2ca cos2a=1-2×(得)2=-1-号=品 答案：cos2a=品 【知识点5】降幂与升幂公式（最值专用） 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 sin2a=1-cos2g 2 cos2a=1+cos2a 2 3 1±sin2a=(sina±cosa 【例5】化简函数：fx=sinx,并求其最小正周期。 解析：由降幂公式：f)=上9整=-c0s2x+月 最小正周期：T=受=π 答案：fx)=-cos2x+克，周期T=π 【知识点06】辅助角公式 asinx+bcosx=Va2+b2 sin(x+p) tanp=贵，最大值Va2+b2,最小值-√a2+b2 【例6】求函数fx)=sinx+cosx的最大值与最小正周期。 解析：a=1,b=1,Va2+b=2 fs)=V巨sin(x+) 最大值：√2，最小正周期：T=2元 答案：最大值V2,周期2元 【知识点07】正弦型函数图象性质 函数：y=Asin(ωx+p)+kω>0 最小正周期：T=要，振幅：A 【例7】求y=2sn(2x-)的最小正周期与最大值。 解析：ω=2，A=2 周期：T=受=π 最大值：2 答案：周期π，最大值2 3 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【知识点8】三角函数综合压轴题型 三角恒等变换+函数最值、单调性、区间值域、解三角形周长与面积最值综合。 【例8】已知函数fx)=2sin3x+2cosx-3,求函数在x∈[0，]上的最大值。 解析：由降幂公式化简：sin2x=1-cos2x f(x)=2(1-cos2x)+2cosx-3=-2cos2x+2cosx-1 令t=cosx,由x∈[0，]得tE[0,1] 二次函数：y=-2t2+2t-1,开口向下，对称轴t=专 代入t=支，得ymax=-专 答案：最大值为一青 典例精讲 【题型一】三角恒等变换化简与求值 【例1】(20河育开封恢银预0)已知cosa-叭-子sasn0-g则eo2a+2:（） A.1 4 B.4 D. 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换求解。 1 详解】因为cosa-B=cosacosf+sins-}sinasin明 所以cos0cosB= 8 所以cos(a+B)=coB--sinsin B=g82' 511 所uca2a+2p-or[2a+pj]-2oas1a+l-12x}1- 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末。 【例2】（多选）(2026安徽滁州三模)已知a∈ 后引且s2a=m-号.则() 3 1 A.tana = B.sina-cosa=- 5 C. 3 sin(a+B)=- D. sin2β+4cos2B_1 5 sin2β-4cos2β5 【答案】AC 【分析】根据cos2a=-ana可判断A,根据ama=-3及sin'a+cosa-1即可判断B,根据两角和的正弦公式可 1+tan2a 判断C；代入可判断D, 【详解】cos2a=cos2a-sin2a=cosa-sin'a=1-tan2a-7 cos2a+sin2a 1+tan2a 25 解得ma=±子又ae π 所以aa=-子故A正确： tana=sina3 cosg4及a∈T,元 sina=3 联立 2π解得 41 sin2a +cos2 a=1 cosa = 7 所以sina-cosa=写，故B错误： sinB=12 同理根据tanB= 解得 13 cosB=13 35,4)1233 所以sin(a+B)=sinacosβ+cosasinβ=÷× 3+5i5-65, X 故C正确； sin2B-2sin B cos B-2x125120 1313169 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 4x25 120 所以sin2B+4cos2B_169 169=5故D错误 sinB-4cos B 1444x 25 169 169 【例3】(2026海南海口模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 sinB sinC sin(A-B). (1)求角A; (2)AD是∠BAC的角平分线，且AD=2.当b+c取最小值时，求此时ABC的面积. 【答案】(1)A=120° (2)4V5 【分折】（1)替换snC=sm(4+B到得到cos4=,即可求出， (2)由S4c=了4+Sm利用三角形面积公式可得子+2=1，根据基本不等式解出b+c的最小值，应用取等条件求 出三角形面积 【详解】(I)sinB+sinC=sin(A-B) ∴.sinB+sin(A+B)=sinA-B)得到sinB=sinA-B-sinA+B） 1 得到sinB=-2 cosAsinB,sinB≠0，∴cosA=- 2 又：A∈(0，π，A=120° 1 e=besin/BAC=ADsin/BAD+b ADs 得)xbesin120°=2×2 xcxsin60°+5x2 x bsin60, 2 2 2 化简得bc=2c+2b,即2+2-1， b c 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 所以6+c=+[2+2+2≥2 +4=8, 当且仅当b=c=4时等号成立，b+c取得最小值， 1 此时， ABC面积为5 xbxexsinl20=x4x4x5 =4V5, 2 【变式1】（2026新南西三)楼已知cofa+=2snla-,anB=号则an2a=（) A.-4 B. 5 C 8 D. 16 15 15 【答案】C 【分析】通过两角和与差的正余弦公式得出tana和tanB的关系，再利用二倍角的正切公式即可得结果 【详解】由cos(a+B)=2sina-),得cosacosB-sinasinB=2 sinacosB-2 cosasinB, 即(cosa-2 2sina)osB=(sina-2cosa)simB,所以cosa-2sima =tanB, sina-2cosa 所以1-2tana 2tana 8 tana-2 2,tana=-4,所以tan2a= 1-tan'a 15 【变式2】(2024新课标Ⅱ卷高考真题)已知a为第一象限角，B为第三象限角，tana+tanB=4, tana tan B=√2+l,则sin(a+B)= 【答案】-22 3 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tana+B)=-2√2，再缩小a+B的范围，最后结合同角的平方和关系即 可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案 【详解】法一：由题意得an(a+B)=ana+tanB =-22 1-tan a tanB1-（√2+1 7 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 因为a∈2km,2k+ 2Be2mm+元，2m+ π k,m∈Z, 2 则a+B∈(2m+2k)元+元，2m+2k)π+2π，k,m∈Z, 又因为tan(a+B)=-22<0, 则a+B=（2m+2)x+经(2m+2x+2a ,k,m∈Z,则sina+B）<0, lo+）-2反，联立m(a+B+csa+)=1,解得sina+f例=25 则 osa+B】 3 法二：因为a为第一象限角，阝为第三象限角，则cosa>0,cosB<0, cosa 1 cos B -1 cosa cos B= sin2a +cos2a 1+tana Vsin2B+cos2β V1+tan2β' 则sin(a+B)=sina cos B+cosa sin B=cosa cosβ(tana+tanβ) -4 -4 -42√2 =4cosa cos B= V1+tan2aV1+tan2β (tan a tan B)2+(tan a tan B-1)242+2 3 故答案为： 2v2 3 【变式3】(2024全国·模拟预测)已知ABC为锐角三角形，且sinC+3cosC=3cosA-B). (I)求tanA+tanB的值； (2)求 的最小值. sinAsinBsinC 【答案】(1)6 2)37-1 3 【分析】(1)利用三角形内角和为刀，结合两角和与差的正弦余弦公式将sinC+3cosC=3cos(A-B)变形，求解即可； 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)结合(1)把 变形，整理得到关于正切的式子，令a=tanA,b=tanB,然后利用不等式求解最小值 sinAsinBsinC 【详解】(1)因为A+B+C=π，所以sinC=sinA+B),cosC=-cosA+B), 在锐角ABC中，因为sinC+3cosC=3cos(A-B), 所以sin(A+B)-3cosA+B)=3cosA-B), sin(4+B)=3[cos(A+B)+cos(4-B)], 所以sinAcosB+cosAsinB=6 cosAcosB, 在锐角ABC中，A,B为锐角，所以cosAc0sB≠0， 所以tanA+tanB=6; (2)由(1)知sinAcosB+cosAsinB=6 cosAcosB,所以sin(A+B)=6 cosAcosB, 即sinC=6 cosAcosB, 1 1 所以 sinAsinBsinC 6sinAcosAsinBcosB 1 sin2A+cos24 sin2B+cos2B 6 sinAcosA sinBcosB 1 tan4+- 6 tanB+l） tanA tanB 令a=tanA,b=tanB,则a+b=6, 限）e ab ab -66）-品-小，西-小 3一 9 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 当且仅当a-沿，即an4em85历，又aB4+n8:6. tan 4=3+9-37 tan 4=3-19-37 即 或 tanC=- tanB=3-V9-√37tanB=3+V9-√37 6-√37+1时等号成立，符合锐角三角形，所以原式的 37-16 最小值为37-1 3 【题型二】三角函数图象与性质综合 【例4】(20s源俏株拼三模)若函数y=sm2x-骨到引与函数e=mor+po>00<p<引 图象的对称中 心完全一致，则p=() A B. 6 c. D.3 【答案】D 【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案 【详解】了的最小正周期7=受，了儿两个对称中心的同展为受 2 也即8的对称中心的间需为子， 所以gx)的最小正周期T'=工=刀x2,0=1, 02 所以g(x)=tan(x+p) 由2x-子，解得x-经+keZ, 26 之，解得x= 由x+p= 2-0=(k-子+-，keZ, 22 依题意，f(与8(x)图象的对称中心完全一致，0<9< 2, 10 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 所以φ=石Q之T 2 3 【例5】（多选）(2026安徽合肥·三模)已知函数fx=cos2x+p)(0<0<π)为奇函数，则() A.∫(x)的最小正周期为刀 B。将)的图象向右Y移号个华位可得到函数y=m2x+引 的图象 C.f(x)在区间 0, 上单调递增 4 D.直线x=是曲线)=+君)的一条对称轴 【答案】ABD 【详解】由题意，0)=0s9=0,由0<9<1，则9=7，故f)=-sin2x. 对于A,f(x)的最小正周期为 2π 2 =π，故A正确； 对于B,将f(x)的图象向右平移个单位可以得到函数 =m(-引-m2xn2+引故B正 对于C,当x0时，1=2xe0引 而函数，-sn:在0上单调递诚，故C错误： 对打D,y=+引-m2x+引=时，y=-m2x+写}-山， 所以x=音是其对称辅，故D正确 【例6】(2026重庆·二模)已知函数f(x=asin2x-2sin2x(aeR). 11 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 (1)求f(x)的最小正周期： (2)若曲线y=f(x关于直线x=匹对称，求a以及fx的值域. 【答案】(1)刀 (2)a=3,[-3,1 【分析】(1)根据三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的周期公式得解， (2)根据对称性取特殊值求解，再检验得出函数解析式，根据正弦型函数值域求解 【详解】(1)因为f(x=asin2x-(1-cos2x=asim2x+cos2x-1=Va2+lsin(2x+p)-1, a 1 (其中c0sp= sin a2+ ) Va2+1 所以最小正周期7：=， 2 (2)因为曲线y=f(x)关于直线x=严对称， 所以f(0)=f 即0=asin2-2sin2元， 所以 a-3=0,解得a=5, 2 2 此时f到-5sn2x+cos2-1=2sin2x+}-1. 当x=时， 6 =2sin-1=1,符合题意， 2 因为-1≤sin2xr+ 6 ≤1，所以-3≤f(x≤1. 即f(x)的值域为[-3，。 12 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 【变式1】(2026云南昭通·模拟预测)已知函数f(x)=cos, 在-x利上的大致图象如图所示，则fx)的最小 r+π 正周期为() 4π0 10π A. B. 7π C. D. 3π 9 6 3 9 【答案】C 【分析】先根据函数的图象特征排除A,D,再结合 4π =0及函数f(x)在x= 4红附近的单调性可得 ?9k,keZ,进而由0r<T<13还可得8<o<,进而求解即可 0= 22 9 9 13 【解】由图象可海故小正周期小于号)-，大于2-}-g,排除AD, 由图象可得/（号o(行君引-0，且函绿1车=智附近调避塔， 以、4πT=-元+2k元，k∈Z,即0=与-5k,k∈Z 9 6 2 由于 当且仅当k=0时符合题意，此时®则T-杯 3 3 【变式2】(2026江西模拟预测)已知0>0，函数f)=cos@X与g(x)=cos(-ox)的图象相交，若相邻的三个交 点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则ω= 13 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 【答案】3m 3 【分析】结合差角的余弦公式求出函数∫(x),g(x)图象相邻的三个交点坐标，再利用对称性建立方程求出ω值 【详解】由f)=8四，得cos0r=cos(o),整理特anor3 解得ox=元+k,keZ,则r=乃+红，keZ, 6 600 不妨取函数f3g(图象相部的个交点为A〔60，之之，B(。,-))C(3rV3 60’-2 60’2 依题意， A8C是等腰直角三角形，由对称性得4B18C,则2π=25， 所以o=3n 故答案为： √3元 3 【变式3】 (2026四川泸州极教预0)已知函数=s(x+p1(0<p<,点（子0是图象的一个对称中 心 (1)求f(x): ②设函数g到=f-引 求g(x)的最大值和单调递增区间 【答案】0f(到=sm+到 25； 红+keZ 【分析】(1)根据对称中心结合正弦函数性质可得-牙，即可得函数个的解析式： 14 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)利用诱导公式以及倍角公式可得g(x)=-二cos2x,结合余弦函数性质求最大值和单调递增区间. 【详解】（1)由题意可知： 3π 4 且0<0<元，则3r<3 7π < -+0< 44 4 可得买+0=，解得p=异， 所以到=sm+引 2因为=sm+}m[+}引-smx+引x+到-n2x-}o2 当2x=2+元keZ,即=红+eZ时，函数g取到最大值 令2km≤2x≤2km+元，k∈Z,解得M≤x≤m+T,k∈Z, 所以函数gx)的单调递增区间为 kπ，k+ 2 (k∈Z) 【题型三】三角函数区间最值与值域问题 【例7】(2025·江苏苏州模拟预测)己知角与β的终边关于y轴对称，且a∈ ππ 6'3 则cosB的最大值是() A. √5 1 B. C. D. 2 2 2 2 【答案】B 【分析】推导出cosB=-cosa,利用余弦函数的基本性质可得出cosB的最大值 【详解】因为角a与B的终边关于y轴对称，则B=2km+π-a(keZ),故cosB=cos2kπ+π-a)=-cosa, 15 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 因为u[后引osa9,所以osB=--c0 「31 2-21 故cosB的最大值为- 故选：B. 【例8】(2026河北模拟预测)f(x)=sinx+√2cosx在区间[0，π]上的值域为 【答案】「-V2,5 【分析】先应用辅助角公式化简，再应用正弦函数值域计算求解 【详】辩能题意，函数f=snx+Zcox=V5snx+pj,amp=万，p香引， sin2+cos2=1 6 sino 因为tanp=反，所以sinp=2 ，所以 3 5 coso 3 在区间[0，π]上，由于0≤x≤π，p≤x+p≤π+p, 所以当x+9时，f八y=5, 当x+9=+p时，fxn-V5sin(x+p=-V5sin0:-5×6.-2, 3 所以f(x)在区间[0，x]上的值域为[-√2，] 【例9】226宁受项银预)已知函数=5sn受ow空+ao竖-o>0的图聚象的相能两个对称心之 间的距离为？ ①求f的值： 16 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 (2)求f(x)在区间 受0上的最大值和最小值。 【答案】①)分 (②)最大值为)，最小值为-1 【分析】(1)利用二倍角公式和箱助角公式将函数化简为f(x)=sinox+- 6 根据对称中心间距确定周期T从而 求出0=2，最后代入x=刀计算函数值， 2 (2)根据自变量x的范围求出相位2x+刀的取值范围，结合正弦函数的图像与性质，找出该范围内使函数取得最 6 大值和最小值的点并求解 【详解】(1)f(x)=V3 sin cos+cos2o-1 2 2 22 2 sinox+1+cosox1 2 2 3 1 sinox2 cosx=sinx+石 根装题意子-行解得7，即 因为@>0，所以o=2,则f到=sim2x+), }m）片 （2)据题意-x≤0，-≤2x<0,0≤2x+及 6 66 当2x+名名甲：=0时，升=分所以到的最大值为号 17 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 o. 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 当2+名受即=f小=m =-1,所以fx)的最小值为-1. 【变式1】(2024全国模拟预测)把函数f(x)=sir+cosx的图象向右平移”个单位长度，可以得到函数g(x)的图 象，则$y [π5π f(x) 在 38 上的最小值为() A.2+万 B.2-5 C.V2-1 D.1-√2 【答案】B 【分析】法一：将函数∫(x)化为“一角一函数”的形式，利用三角函数图象的平移变换法则得到g(x的表达式，写出 g(x) 的表达式并将其化为“一角一函数”的形式，借助正切函数的图象与性质、两角和的正切公式等即可得解 f(x) 法二：由三角函数图象的平移可得g(x的表达式，利用弦化切可得 g(x) f(x) 的表达式，根据x的范围，结合正切函数的 性质以及两角差的正切公式，即可求得答案 【详解】法一：由题意知f小时=smr+osr=n+引则-in:-至+引-5or+引 则8(y -2cosx+ 4 。三一 f(x)√2sinx+x 4 tanx+】 4 12’8 上单调递增， tan"+tan 故mx+到在[ π5π 上的最小值为tan 4 3 (4+31-ama 3=-(2+5), π 4 3 故在[西 f(x) 38 上的最小值为2+2-5， 18 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 法二：由1到=sinx+cosx可得8=sm-+cos- π sinx-cosx, 当x=时， g因-1； 2 f(x) 时，gy-sinr=cosr=lanr-l=tanx-T 时，x)sinx+-cosx1+tanr 4 tan-tan π_π =34=2-5, 34 π 1+ta "3 tan 4 故8y 「π5π 在 fx)3'8 上的最小值为2-√5， 故选：B 【变式2 】(2926河北席坊模)已知函数1-c0在区间口-名a+日 上的最大值为g(ad,其中ae[0,2π]，则 6 函数g(d的值域为 【答案】 v3 2 【分析】应用区间长度分类讨论结合余弦函数性质计算求解值域即可 【群解1因为e0,所以若1a+若e后1。 6 6e16’6 当a6e-云时，即ae0时，a+e后1. 函数1=cor在区何[Q-名0上单调递塔，在区向0a+名上单调递减，此时f小n=f10=1, 6 19 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未一 a+ 2)当 6 10-0 即ag时，函数=cor在区间a-a+ (6’6 上单调递减，此时 6 a-s元 6 二时.通数川在可0看上调避该，在区同a+合上阳 6’6 当-o-}a+引-，即aeg小时，1-=o-别mo-引 当o}+},即ag]时.0引m a+2元 6 兰红川曲，函数cor在区间a+上单调路琳，型 (6’6 6 6 a-fo+引-ome+} +]时a2x时，(g, 医数1-cor区问口一名2上单词递增，在区间2红a+ 上单谓递减，此时f(x)m=f(2m)=1; 所以g(ad={cosa- π ,a∈ 6 6π (11π +6♪ae元6 20 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ≤ga<1, 当g]时a+g25<1os1 所以函数g(a)的值域为 【变式3】(2026海南儋州一模)己知函数f(x)=Asin(ox+p) 4>0,o>0,lp<》 的部分图象如图所示. VA 12 (1)求函数∫(x)的解析式及其图象的对称轴方程； ②)若函数8()的图象可由函数)的图象上所有的点向右平移？个单位得到，求当x0,π 012 时，函数gx的值域 【答案】(1)f(x)=2sin 2x+ π 对称轴方程为x k+元，k∈Z 212 (2)[-1,2] 【分析】(1)根据函数图象可求出函数∫(x)的解析式，利用正弦函数的对称性可求其对称轴； (2)利用图象变换可求得gx的解析式，利用换元法求解gx)的值域 【详解】(1)设函数fx)的最小正周期为T, 21 宋老师数学图文制作室 姬初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 由题意可得，A=2,T=4× 2π 312= 故0=2， 所以f(x)=2sin(2x+p). 因为2×T+0=2m+D,k∈Z, 12 所以p=2a+骨keZ,又oK号，所以p-骨 所以)=2sm（2x+写到 所以函数f)的对称轴方程为x=+石，kZ, 212 (2)由题意得， g(x)=2sin -引引-2max副 当03x≤晋时，君≤2x 3 6 所以-1≤g(x)≤2，即g()的值域为[-1,2]. 方法技巧 【解题大招01】角的配凑与整体代换技巧 解决给值求值问题，优先观察已知角与未知角的关系，利用和、差、倍、互补、互余关系配凑角度，规避盲目求 单角，简化运算。 常用配凑关系：2=(c+B)+(a-)、e=(c+B)-B 【例1】已知cos(a+)=,sin(B-)=是，且a,B为锐角，求cos(a+) 解析：角度配凑：a+=(a+β)-(B-) 22 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末。 由范围得：sin(a+)=青，cos(B-)=捐 cos(a+) =cos(&+F)-(B-】 =cos(a+B)cos(B)+sin(a+B)sin(B-) =是×号+×是 =3 答案： 【解题大招02】弦切互化与齐次式化简技巧 对于分式、整式二次齐次式，利用tan&=器，cosacos2a上下同除以或将弦式转化为切式，快速求值。 【例2】已知tan&=2,求mgsg sina-cosa 的值。 解析：分子分母同除cos: sina+cosa sina-cosa = n牛= tang-1 爿=3 答案：3 【解题大招03】降幂+辅助角标准化技巧 所有三角函数二次式，统一套路：y=Asin(ωx+p)+k降幂公式降次→合并同类项→辅助角公式标准化为 ,可解决周期、最值、单调区间所有问题。 核心公式：sin2a=-c9s2g,cos2a=+cos2g asinx+bcosx=va2+b2 sin(x+o 【例3】化简f(x)=2sinx+2cosx并求最大值。 f(x)=2(1-cos2x)+2cosx 解析 =-2cos2x+2cosx+2 令t=cosx∈[-1,1]，得二次函数：y=-2t2+2t+2 对称轴t=方，代入得ymx=昌 答案：最大值为 【解题大招04】三角函数图象平移“提系数”易错规避技巧 函数左右平移x只针对未知数，若x带有系数，必须先提出系数再平移，是高考高频易错点。 【例4】将y=sin2x的图象向左平移个单位，求平移后解析式。 23 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 解析：易错写法：y=sin(2x+晋)（错误） 正确解法：y=sim[2(x+)】=sin(2x+) 答案：y=sin(2x+晋) 【解题大招05】整体代换求单调区间、对称轴技巧 针对y=Asin(ωx+p),将ωx+p看作整体，结合基础正弦函数性质求解，x杜绝直接对判断单调性。 【例5】求y=sin(2x-)的单调递增区间。 解析：令2kπ-号≤2x-号≤2kπ+号，k∈☑ 解得：kT-歪≤x≤kπ+晋k∈☑ 答案：单调递增区间为[kπ-最，kπ+爵k∈Z 分层训练 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1.(2026福建福州模拟预测)当函数f(x=3sinr-4cosx取得最小值时，tanr=() A.3 4 3 4 4 B.- C. 4 D. 【答案】A 【详解】根据辅助角公式，(y=3sinr-4cosr=5sinx+p),其中sinp=-4，, 3 5' 当x+0=-T+2km,k∈Z时，f(x)取得最小值，x=-T+2km-p, 2 2.(2026广东深频模拟预测)已知函数/1-2c0s6x+君》· 则f(x)的一个对称中心的坐标可以是() 24 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 D.(g0 【答案】D 【详架1令6+名-a+号eZ,解得r名+层e2 6 长=0时，，则0是的一个对称中心 +a cos 3.（2026河南信阳·三模)已知tana=-2,则 sin(π-a)-sin 3π 2 -a A.1 B. C.1 D.-2 【答案】D 【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解 -sina 【详解】 3π sinπ-a)-sin sina +cosa 2 -a -sina cosa -tana =-2 sina+cosa tana+1 cosa 二、多选题 4(226山西智中模拟预测)已知函数f八刻-5sn2x+母，则《） A.函数f(x)的最小值为√2 B.点 50 8 是函数f(x)图象的一个对称中心 25 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 C.函数f(x)在区间 π3π 88 上单调递增 D.函数f(的图象可由y=V2cos2x的图象向左平移8个单位长度得到 【答案】AB 【分析】利用正弦函数性质依次判断ABC;利用平移变换求出解析式判断D. 【详解】对于A,当2x+刀=3+2kx,k∈Z时，函数f(x取得最小值一2，A正确： 42 对于B,-径)=s(-利=0，点(-0是函数图象的-个对称中心，B正确： 对于C由e(侵受、有2x+晋（受，因此茶数在区间爱）上单调避减，C错误 8'8 4 88 对于D,y=V2cos2x的图象向左平移5个单位长度得到y=V2cos(2x+不)=-V2sin(2x-不)，D错误. 三、填空题 5.(2025重庆三模)函数y=sin6x+5cos6r在0，石 上的值域为 18 【答案】[5,2 【分析】根据题意可得y=2s如6x+》,以6x+号为整体，结合正弦函数的有界性运算求解 【详解】由题意可得：y=sn6x+5cos6=2sn6x+写}】 可得sin 26 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 所以所求函数的值域为「5,2] 故答案为：「5,2] 6. (2026河北张家口一模)已知锐角a满足tana= 巨，则sima+买的值为 4 【答案】 V6+25 6 【详解】已知a是锐角，且ana-2 则sina>0,cosa>0, 设sina=√2k,cosa=2k,k>0, 则sina+cos2a=22+4h2=6k=,解得k-6 6 6=等，cosa=2xV6、V6 .sina=v2x16 v3 63 sina+ 4 =sina cos tcosasin6+2 4 4-3232 6 四、解答题 7.(2025广东清远一模)已知函数f(x)=sinox+√3 cos@x(o>0)的最小正周期为刀. (1)求0及 6 (2)若f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数gx)的图象，求g(x)在区间 元π 12'2 上的值域。 【答案】(1)2：√5 (2)-1,2] 【分析】(1)利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值； 27 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 (2)根据三角函数图像变换先得gx)解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可 【详解】(1)易知f(x)=sinox+V3 cos@x=2 sin@x+ 3 又最小正周期为2不=元，所以0=2， 即=2sm2x+引则/}=3n5 C2》1的图象位右平移号个华位长度符到8到=2sm2-}+引-2m2x-引 因为[品引时.2号[引 限接正孩圣数的草调性可知2-子=君即音时，如2：》=片 2x号时即x受m2r-引l,即s2:-到[，则e12小 32 8.(2026四川眉山模拟预测)已知向量ā=(sinx,cosx),石= 设f(x=a.6 (1)求函数y=f(x)的最小正周期； (2)记ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知f()=V3,b=V3,△ABC的面积为V5,求a的长 【答案】(1)刀 (2)a=√7 【分析】(1)利用降幂公式及辅助角公式将函数化简，从而可求得函数的最小正周期： (2)根据4=5，求得A=名，再根据648C的面积为，求得c=4,再利用余弦定理即可得出答案 28 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【详解】(1)由题意，f(x)=-方=-sinxcos+5 cosxsinx+ sinxcosx+3cosx 2 2 所以函数y=x的最小正周期T=2=元； 2》由=5有m24到}5。 因为4@小，所以21+（后），解54吾 因为csin4=x5ex5,所以c=4 由余弦定理得a2=b2+c2-2bc0sA=52+4-2x4×5x5=7,所以a=V万 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1.(2026重庆渝中.二模)若f(x)=2 sinxcosx+ 3/ 将f八x)的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 倍，得到y=g(x)的图象，则gx)在区间 ππ 6'12 的最大值是() A.2 B.1 c.3 D.6+2 2 4 【答案】B +32 sin 2 29 宋老师数学图文制作室 姬初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 +骨[ 根据三角函数图象可知，gx)的最大值为1. 2.(2026河北那台三模)已知am(a+B)=4tamB,1+an2B=8 B+4sina1-iamB,则siaa=（） 1 A. B. 20 10 3 1 C.- D. 20 5 【答案】C 【分析】先利用正切和角公式化简条件，得到tana与tanB的关系式；再对第二个条件同乘以cos2B,转化为正弦和角 形式，得出sna+2)-=,代入展开化简，道过整体比例代接直接求出sna= 3 20 【销餐】由ama+创-子g,海 =tan B 所以4(tana+tanβ)=tanβ(1-tanatanβ)， 化简得tana= -3tanβ 4+tan2B' -3sinβ 3 所以tana= cosβ -3sinβcosβ_-3sinβcosβ_ 2 sin2B -3sin2β 4+sinp 4cos+sin 3cosB+.+cos5+3cos2B cos2B 2 化简得5sina+3 sina cos2p=-3 cosa sin2p,即5sina=-3sin(a+2β)①， 由l+tan2B=8 cosatan/β+4sina1-tan2β)， (1+tan2B)cosB=8cosatanB +4sina(1-tan2B)cosB 即in2B+in2B=子即snla+2p)-号 30 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故其代入①，5sina=-3sim(a+2p)=-3x2=-3 3 故sin= 44 20 二、多选题 3. (2026河南核拟预已知函数-m+引+o,则下列造项正确的有() A.函数f(x)是偶函数 B.刀是函数∫x)的最小正周期 C.直线x=工是函数f(x)的图象的一条对称轴 6 D.函数f(x的值域为 ,5 【答案】BCD 【分析】选项A,利用偶函数的定义∫(-x)=∫(x判断；选项B,利用周期的定义求解；选项C,利用 f任小（侣菜解，选项D,因为的设小正周期为元只研究x0,可上的值拔。分别求出引 [匠，[冬小]时到的衣达式。为利用正孩商数的图修和性质求解，利用装小正周期得氧到的管蚊 【详解】选项A:)=mx+君+eos时， -到=sn（-x+geos-=snx-geos， 则f(-x≠f(x), (}-sm后+os-多f}m+omr(到引1. 31 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ()f引，故A错误 选项B:+列-m+ox+到+os 再验证是否存在更小的周期， ro-mo+叫-任引m, o 故？不是周期 因此是最小正周期，B正确 选酸c+小后引o小m侣小m 任*m任小后居 后m&+各m任og 因此名+小倍c正确 选项D:因为f(x)的最小正周期为刀，只需研究x∈[0，π上的值域， 故f对=m++aos=sn}eas 32 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 =sin xcos+cosxsin+cosx 6 6 -2sinx+cosx+cosx -V3 2 因为[引所以+[后所以到 5兽a 当[时+后[得}0ws… y-m+引+ao=(+-eos sin x cocosincosin 1 6 2 sinx+cosx-cosx 2 因为[所以号引所以m-引[小 即f(x∈ =n（++eos=-sm+-cosx =-sin x cos -cosxsin 6 -0sx=- 6 s咖nr-。 COsx-COSx 33 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 o. 教学课件、讲义、单元、月考、期中期抹 s、 -sinx-3 cosx=-/3 因为x∈ g小两以[到 综上可知，当x∈[0，时，f(x)∈ . 因为f(x)的最小正周期为刀， 所以根据周期的定义可以得到x∈R的f(x)的值域为 心3，D正确 三、填空题 2026 4.(2026河南周口·三模)若函数f(x)=8sin(ox+o)(o>0)是偶函数，则当f(x的最小正周期最大时，f 3 【答案】4 【分析】根据函数的奇偶性得到方程，求出。=子，代入求值即可 【详解】f(x)=8 sin(ox-+o(o>0)是偶函数，故f-x=fx), 则8sin(-0x+o)=8sin(ox+o）,即sin(-0x+o=sin(ox+o), sin(-ox)coso+cos(-ox)sin@sin(@x)cos@+cos(@x)sin@, -sin (ox]coso +cos(ox]sino=sin (ox)coso cos(ox]sino, -sin(ox)coso=sin(ox)coso,2sin(ox)coso=0, 34 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 由于2 sin(ox)cos0=0对Hx恒成立，故coso=0, 2+k,kez, 所以o= 由于0>0，故f)的最小正周期为2 0 故当上=0时，0取得最小留，最小值为受，此时西最大，满足要求， 0 故f(x)=8sin 所以f 2026 =8cos x2026）-8o/37+2a =8cos =8×=4 23 5. (2026广东广州三模)设f(a)=sin*a+cosa,x∈{nn=2k,k∈N},当x=4时，f(a)的取值范围是 当x取一般值时f(a)的取值范围是 【答案】 【分析】由x=2k可知x为正偶数。令t=sina,则cos'a=1-t,且0≤t≤1.当x=4时，即k=2,可直接配方求范 围；当x=2k时，研究函数g(t)=t+(1-t)在[0，上的最值即可. 【详解】因为x=2k,其中k为正整数，所以f(a)=sin2a+cos2*a. 令t=sina,则0≤t≤1，且cos2a=1-t. 于是f(a)=+(1-t). 先求当x=4时的范围. 此时=2，所以71a=+l-=2r-2+1=21-习+号 35 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考全 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。一 因为0≤11，所以0(-s因此sas1. 改当=4时，)的照值范围为， 再求x取一般值时的范围. 设g(t)=*+1-t),0≤1≤1. 当&=1时，8川=1+1-小=1，范周为，符合[小 当k≥2时，g(=k-k1-)=k-1-) 若0<1<？则1<1-1，所以1<1-)，从而g<0: 若号1<1则>1-1，所以>1-，从面g小>0 因此g0在[0， 上单调递减， 在 上单调递增。 所以g(t)的最小值在t=二时取得，最大值在1=0或1=1时取得. 当=8+日女 当t=0或t=1时，gt=1. 故当x=2k时，f(a)的取值范围为 四、解答题 6.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)已知函数f(x)=cos4x+2W3 sinxcosx-sinx 36 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (I)求∫(x)的最小正周期及对称轴方程： (2)若函数g(x)=f(x)+m的最大值为1，求使g(x)>0成立的x的取值范围. 【答案】(1)T=π，x= (2)x∈ ,k∈Z 【分析】(1)利用平方差公式、二倍角公式化简三角函数为正弦型形式，再由正弦型函数性质计算即可求得结果； (2)借助正弦函数最值求解参数m,再求解三角不等式即可 【详解】(1)因为fx)=cosx+2W3 sinxcosx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)+V3sin2x cs2x+sim2x2(co sin 2x)=2sin(2x+, 2 2 61 所以T=元， 令2x+亚=D+km,k∈Z,所以x=+k,keZ, 62 62 所以儿国的称轴方程为x:经e7 (2)由题意知，g(x)=f(x)+m=2sin(2x++m, 6 因为g(x)的最大值为1，即2+m=1,所以m=-1, 由g(x)=2sin(2x+)-1>0, 6 +6>2所以+2m<2+<+2eZ, 即sin2x+>1 6 66 所以红<r骨+缸keZ,即r骨+a太eZ 37 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1.(2026陕西偷林模拟预测)若anB=2ana,Sm(B-a)-},则e0s2a+2p)=（) 1 1 1 A. C. 16 B. D.- 8 8 16 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得 【详解】因为tanB=2tana,所以simg-2sina, ,故sin B cosa=2 sina cos B.又 cosB cosa 1 sin(B-a)=sinβcosa-cosβsina= 4 所以=子，sinpcos-:所以sn(B+a)=inpo+cosBsina- 41 所以ea+2-w2B+a1-2sB+a小1-2目- 2.（2026湖南怀化三模)已知函数f)=sin20x-石0<0<2)在区间 48 上单调递增，直线x=为f)的 图象的一条对称轴，则方程f(x)+fx=1在区间(0,2π上所有不相等的实数根之和为() A.4 B.2π C. 11π 4 D.3π 【答案】C 【分析】根据对称轴求出0=或0= 3 一，再银据单调性得到。一号，分为)<0和国≥0两种情况分别解方程即可 求出答案 【详解】因为直线x=为f(x)的图象的一条对称轴， 38 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 3 所以20x刀=T+km,k∈Z,即0=2+k,k∈Z, 262 3 又0<0<，所以0号或a月 3 当时=m君引当时，引 函数=血x在（任》 6'3 上单调递增， 上 单调递增，符合题意； 函数y=sinx在 2π13π 312 上不单调递增， 故f(x)=sin 上不单调递增，不符合题意， 所以。= 当f(x<0时，方程f(x)+f(x=1可化为fx)-∫(x)=1,方程无解， 当f(x)≥0时，方程f(x)+f(x=1可化为f(x)+f(x)=1, 所以传8 6 6 4 4, 39 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 所以方程在区间(0,2上所有不相等的实数根之和为+3江+7江=1 4444 二、多选题 3.(2026江苏常州三模)已知函数f(x)=sin2x(2cos2x-V2-√2cos2x,则() A.π为函数f(x)的一个周期 B.八的最小值为青 C.f(x)在区间 3ππ 8- 24 上单调递增D.x)的图象关于直线x=对称 8 【答案】AD 【分析】使用二倍角公式，辅助角公式化简函数∫(x,使用周期函数的定义分析选项A,换元法分析选项B和C,使 用f石+)=f(石-)分析选项D 8 8 【详解】f)=2sin2xcos2x-V2sin2x-2cos2x=sin4x-2sin2x+牙， f(x+四）=sin4x+)-2sin(2x+2m+马=sin4x-2sin(2x+马=f,选项A正确： 4 41 令1=2x+子，测2x=1-景，4x=24-号y=sm21-孕-2sin1=-cos24-2sin1=-0-2sm0-2sin4=2sin1-2sn1-l 令m=sint,m∈[-l,1,则y=2m2-2m-1, 当m时，=所以到的最小值为，选项B错关： f=4eos-4eo2x+宁，令2x+子，则=2- ()co)co4sin2csincocoi) 40 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 皆reg4时M2x+2ac0su>0,2sinn-<0,f<0 4 函数f(x)单调递减，选项C错误 2=cos4x-2cos2x 4 cos4x-2cos 2x 所以后+刘=f哈 所以f(x)的图象关于直线x=及对称，选项D正确， 8 三、填空题 4. 《2s河北承德碳极预)已如aB色引、且na+=-年，ma--则 1 1 的值为 tana tanB 【答案】24或 4 1 【分析】先由oa,B范围确定oa+B、oa-B的区间并判断三角函数符号，求出cosa+β)与sina-阝)，cosa-阝)，再把 1 通分化简为 -sina-β) 利用积化和差公式算出sin a sin阝，最后代入数值计算得出结果 tana tan B sinasinB 1 【详解】 1 cosa cosBsin B cosa-cos B sinasin(a-B) tana tan B sina sin B sin a sin B sina sin B 由角范国附：Q+e红2a.a-Be(经】 由ama-A)=-所以a-Be?a 41 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。。 得sina-B)=亏，cos(a-B)=- 由sina+B)=a+BEa,2,得cosa+B)=± 若coNa+)=-子则 ua加9：-oa+n-me-明-含》-动0 3 代入司标式：C-手-24 40 若cosa+B)= sin sin p=cosa+Bl-cosa-B]-3t}=-)别=-别 24522040 代入月标式：-sina-2.-5.-24 sina sin B -3131 40 1 综上所述， 1 =24或 1124 tand tanβ tana tanB 31 四、解答题 5.(2026陕西·模拟预测)已知函数f(x)=cos(asinx)-sin(bcosx),a,b∈R 0若a=06=受，求国的值城， 2若a=天b=，求f(在(0到上的所有零点： 4 4 (3)若对于满足a2+b2≥m的所有a,b,都存在x使得fxo)≤0，求正实数m的最小值 42 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】(1)[0,2： (2)唯一一个零点x= 6 (3)m的最小值为元 【分析】(1)利用特殊值代入将原函数化简为常数与正弦型函数的复合，通过分析内层函数的值域及外层正弦函数的 值域确定整体值域； (2)利用诱导公式将方程转化为余弦相等，再结合自变量范围化去余弦得到三角方程，运用辅助角公式与三角函数的 值域求解零点： (3)通过反证法取特殊值证明下界，再借助辅助角公式与三角函数的有界性说明当参数满足条件时存在零点，从而确 定参数的最小值 【详解】》代入a-06-有：到=w0-s[任msrl-sn(任eor 由-川，将owr2引敢co-川， 从而1-sm（5oxl0.2,故f八的值域为[02 4 因为sa=aor(行-小所以eomr任mrco任co 当：}时.有子到要o咖任到o, 43 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 因为余弦函数在(0，π)上单调递减，所以Tsir= πV3π coSx. 4 24 化简得sinr+V3cosx=2. sinx+3cosx=2sinx +3所以2sinx+ 3/2 即+}1 由于引所以x+），+号-号解得= 因此f国在0到)上的唯一零点为x=君 (3)当0<m<花时，取a=0.b=m<受 4 取f)=1-si血mcosx)>小0，不满足条件，故m≥元 当m=花时，：asin+bsin-=a+sinx+p),而Va2+62≥m- 2, ,R,使得ain+=后+农s加(6+p=受 )-cos(asin,)-sin(ins)cos(asi)-cosbim =0,满足条件： 综上，正实数m的最小植为写 44 第23讲三角函数的综合应用 （知识清单+3典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 三角恒等变换、三角函数图象与性质、同角三角函数关系 选择、填空题 5分 两角和差公式、二倍角公式、三角函数单调性、解三角形综合 选择、填空题 5分 二倍角公式、正余弦定理、函数图象平移与奇偶性综合 选择题 5分 核心高频：三角恒等变换、图象性质、解三角形综合 选择、填空、解答题 5分/12分 【知识点01】同角三角函数基本关系 适用场景：已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值的化简与求值问题。 【例1】已知 ，，求 的值。 【知识点02】诱导公式（化简必备） 口诀：奇变偶不变，符号看象限 【例2】化简求值： 【知识点03】两角和与差公式 . 【例3】求 的精确值。 【知识点04】二倍角公式 【例4】已知 ，，求 。 【知识点05】降幂与升幂公式（最值专用） 【例5】化简函数：，并求其最小正周期。 【知识点06】辅助角公式 ，最大值，最小值 【例6】求函数 的最大值与最小正周期。 【知识点07】正弦型函数图象性质 函数： 最小正周期：，振幅： 【例7】求 的最小正周期与最大值。 【知识点8】三角函数综合压轴题型 三角恒等变换+函数最值、单调性、区间值域、解三角形周长与面积最值综合。 【例8】已知函数 ，求函数在上的最大值。 【题型一】三角恒等变换化简与求值 【例1】（2026·河南开封·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）（2026·安徽滁州·三模）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（2026·海南海口·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求角A； (2)是的角平分线，且．当取最小值时，求此时的面积． 【变式1】（2026·湖南湘西·三模）已知，则（   ） A．-4 B． C． D． 【变式2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知为锐角三角形，且． (1)求的值； (2)求的最小值． 【题型二】三角函数图象与性质综合 【例4】（2026·湖南株洲·三模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【例5】（多选）（2026·安徽合肥·三模）已知函数为奇函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 C．在区间上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴 【例6】（2026·重庆·二模）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若曲线关于直线对称，求以及的值域． 【变式1】（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数在上的大致图象如图所示，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江西·模拟预测）已知，函数与的图象相交，若相邻的三个交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则________． 【变式3】（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，点是图象的一个对称中心. (1)求； (2)设函数，求的最大值和单调递增区间. 【题型三】三角函数区间最值与值域问题 【例7】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知角与的终边关于轴对称，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例8】（2026·河北·模拟预测）在区间上的值域为______． 【例9】（2026·宁夏·模拟预测）已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【变式1】（2024·全国·模拟预测）把函数的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北廊坊·一模）已知函数在区间上的最大值为，其中，则函数的值域为________． 【变式3】（2026·海南儋州·一模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及其图象的对称轴方程； (2)若函数的图象可由函数的图象上所有的点向右平移个单位得到，求当时，函数的值域． 【解题大招01】角的配凑与整体代换技巧 解决给值求值问题，优先观察已知角与未知角的关系，利用和、差、倍、互补、互余关系配凑角度，规避盲目求单角，简化运算。 常用配凑关系：、 【例1】已知 ，，且 为锐角，求 。 【解题大招02】弦切互化与齐次式化简技巧 对于分式、整式二次齐次式，利用，上下同除以或将弦式转化为切式，快速求值。 【例2】已知 ，求 的值。 【解题大招03】降幂+辅助角标准化技巧 所有三角函数二次式，统一套路：降幂公式降次 → 合并同类项 → 辅助角公式标准化为 ，可解决周期、最值、单调区间所有问题。 核心公式： 【例3】化简 并求最大值。 【解题大招04】三角函数图象平移“提系数”易错规避技巧 函数左右平移只针对未知数 ，若 带有系数，必须先提出系数再平移，是高考高频易错点。 【例4】将 的图象向左平移 个单位，求平移后解析式。 【解题大招05】整体代换求单调区间、对称轴技巧 针对 ，将 看作整体，结合基础正弦函数性质求解，杜绝直接对判断单调性。 【例5】求 的单调递增区间。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·福建福州·模拟预测）当函数取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·河南信阳·三模）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 4.（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数，则（   ） A．函数的最小值为 B．点是函数图象的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 三、填空题 5．（2025·重庆·三模）函数在上的值域为________. 6．（2026·河北张家口·一模）已知锐角满足，则的值为______． 四、解答题 7.（2025·广东清远·一模）已知函数的最小正周期为． (1)求及； (2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 8．（2026·四川眉山·模拟预测）已知向量.设. (1)求函数的最小正周期； (2)记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·重庆渝中·二模）若，将的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，则在区间的最大值是（   ） A． B．1 C． D． 2．（2026·河北邢台·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·河南·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．是函数的最小正周期 C．直线是函数的图象的一条对称轴 D．函数的值域为 三、填空题 4.（2026·河南周口·三模）若函数是偶函数，则当的最小正周期最大时，________． 5. （2026·广东广州·三模）设，当时，的取值范围是________；当x取一般值时的取值范围是_________． 四、解答题 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数的最大值为1，求使成立的的取值范围. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南怀化·三模）已知函数在区间上单调递增，直线为的图象的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·江苏常州·三模）已知函数，则（    ） A．为函数的一个周期 B．的最小值为 C．在区间上单调递增 D．的图象关于直线对称 三、填空题 4．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 四、解答题 5.（2026·陕西·模拟预测）已知函数. (1)若，求的值域； (2)若，求在上的所有零点； (3)若对于满足的所有，都存在使得，求正实数的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $