第09讲 函数的对称性和周期性的综合应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数对称性、周期性及综合应用核心考点，以奇偶性、对称性、周期性的内在联系为线索，通过基础回顾梳理定义与关系，题型精讲提炼方法，例题与课时精练强化应用，构建系统复习框架，助力学生突破综合应用难点。 讲义突出数学思维与模型观念培养，如在综合应用题型中引导学生推导对称性与周期性的周期公式，通过分层练习（单选、多选、解答）适配不同学情。结合真题演练与即时反馈，帮助学生高效掌握解题规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第09讲 函数的对称性和周期性的综合应用 题型一 函数的对称性及应用 2 题型二 函数的周期性的应用 8 题型三 对称性与奇偶性、周期性的综合应用 12 【基础回顾】 知识点1：奇函数、偶函数的对称性 （1）奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． （2）若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图像的对称轴为x＝a； （3）若f(x＋a）是奇函数，则函数f(x)图像的对称中心为(a,0)． 知识点2：任意函数的对称 若函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(2a＋x)，则函数的图像关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(2a－x)+f(x)=2b，则函数的图像关于点(,b)对称． 知识点3．两个函数图像的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称． (4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(,b)对称． 知识点4.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期． (3)常见周期：f(x＋A)＝-f(x)，T=2|A| f(x＋A)+f(x)=B，T=2|A| f(x＋A)f(x)=B，T=2|A| f(x＋1)=f(x)+f(x+2)，则T=6 知识点5：函数的周期性和对称性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图像有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 题型一 函数的对称性及应用 一．对称性的表述 1.轴对称： 验证是否对某常数a恒成立． 2.中心对称： 验证是否对某常数a,b恒成立． 若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）． 特别的对称： 二次函数：关于对称． 三次函数：关于点中心对称 二．对称性的证明： 1.利用对称性建立等式： 若关于对称，则，代入已知点求未知值． 若关于对称，f(x)=2b-f(2a-x)，用于递推或构造方程． 2.对称变换法： 若关于对称，则（g为偶函数）． 若关于对称，则f(x)=b+h(x-a)（h为奇函数）． 【例题精讲】 1．（2026·陕西咸阳·一模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件可得的值，再结合对称性可得的值，进而可得结果. 【详解】当时，，得. 再由，，所以. 故选：C. 2．（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数满足，若函数与的图像有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由函数的对称性易得和的图像都关于直线对称，从而根据对称性求解两个图像所有交点横坐标的和. 【详解】由知的图像关于直线对称， 又的图像也关于直线对称， 所以函数与的图像有6个交点，分3对分别关于直线对称， 每对交点的横坐标之和为4，所以. 故选：D. 3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可. 【详解】由题意得，都有成立，则函数图像关于点对称， 为偶函数，的图像关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数， 在上单调递增， 函数图像关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 4．（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性定义分析函数的对称性和周期性，根据函数性质逐项分析判断. 【详解】由为偶函数，得，即关于对称. 由为奇函数，得，令可得. 所以，， 联立得，，周期为. 选项A：仅知关于对称，无任何条件可推出，值不确定，A错误. 选项B：由为奇函数得，由对称性，未知，故不一定成立，B错误. 选项C：由，令，得，即恒成立，C正确. 选项D：在中，令，得，由， 所以，故，不一定等于，D错误. 5．（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图像的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】判断出两函数的图像都关于点中心对称，根据复合函数的性质判断出函数的定义域为上单调递增，作出两函数的图像，可得交点个数，根据函数的对称性求解即可. 【详解】因为， 且， 所以的图像关于点中心对称； 又因为， 由，可得， 即函数的定义域为， 且， 易知函数在上单调递增， 又， 所以的图像关于点中心对称； 所以两函数的交点也关于点中心对称； 作出两函数的图像，如图所示： 由此可得两函数图像共有3个交点，其中一个交点为， 设另外两个交点分别为， 则， 所以. 6．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的图像关于直线对称，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用对称性的特征可得，再利用求解，最后得到即可. 【详解】函数的定义域满足，即， 由函数的图像关于直线对称，得的定义域关于对称， 则的解集只能为，故. 由，得， 故，即得 则，解得，故. 7．（2026·江西宜春·一模）设函数满足对任意的，都有，且，则（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】B 【详解】因为函数满足对任意的，都有， 所以是周期为2的周期函数， 又因为，令，则， 所以函数的图像关于对称， 令替换上式中的，则， 结合周期性可得：， 即，所以是偶函数， 又因为函数的图像关于对称，所以在上一定不是单调函数，故C、D错误. （多选）8．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（   ） A． B．函数的图像关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【详解】对于A：因为为偶函数，当时，， 所以，故A正确； 对于B：因为函数为偶函数，所以， 所以函数的图像关于直线对称，故B错误； 对于C：因为和均为偶函数，所以， 在中，将替换为，得，故， 所以的一个周期为2，故C正确； 对于D：当时，， 故， 故当时，，所以函数在上单调递增，故D正确． （多选）9．（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图像关于直线对称 D．是的周期 【答案】ACD 【详解】在中,令，可得，所以，故A正确； 由，可得的图像关于直线对称，故C正确； 在中，令，可得，又由选项A知，故， 若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误； 由，可得的图像关于点对称，又因为的图像关于直线对称， 故，故D正确． （多选）10．（2026·安徽合肥·模拟预测）若是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（    ）. A．2是的一个周期 B．一定为正数 C．若，则 D．若在上单调递增，则 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性与对称性，推得函数的周期性，再利用周期性，赋值代入求值判断即可. 【详解】对于A，因是定义在上的偶函数，则，又的图像关于直线对称， 则，故有，即2是的一个周期，故A正确； 对于B，因对任意，都有，若取，则得， 若取函数，显然满足题设条件，则有，故B错误； 对于C，因为对任意，，都有， 所以对任意，取，得； 若，即，故，故C正确； 对于D，假设，因及，， 可得，，则， 这与在上单调递增矛盾，即假设不成立，故D正确. 题型二 函数的周期性的应用 【例题精讲】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足对于任意的实数，都有，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据可求的周期，根据函数周期性即可求值. 【详解】由得， 所以函数的周期， 所以． 故选：B. 2．（2026·四川遂宁·二模）已知定义域为的函数满足，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据周期性得出，再根据解析式及对数运算求解. 【详解】因为函数满足，所以， 当时，，则. 3．（2026·重庆·模拟预测）设是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和周期性，将所求自变量转化到已知解析式的区间内计算即可. 【详解】由是偶函数，得：， 由周期为，得：， 易知，代入已知解析式： 因此. 4．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的周期，结合函数周期性求值即可. 【详解】因为，所以， 所以，即. 所以是周期为4的周期函数. 所以. 在中，令，则，所以. 因此. 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用已知函数的奇偶性、周期性求出对应函数值，再结合已知关系式列方程求参数值. 【详解】由题设， 又，且，， 所以，即， 所以，可得（负值舍去）. 6．（2026·天津和平·二模）已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，再结合函数单调性的表示可知函数在上单调递减，再利用单调性比较大小即可． 【详解】解： ，， ， 又对，，（），有， 则函数在上单调递减， ，即． 7．（2026·浙江·二模）已知是定义在R上的奇函数，，且当时，，则的值是（    ） A．0 B．1 C．4 D．2026 【答案】C 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 又因为，所以函数的图像关于直线对称. 所以， 所以， 所以函数是周期为8的周期函数，. （多选）8．（2026·河北沧州·一模）定义在上的奇函数周期为2，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为函数周期为2，所以， 所以，故A正确； 对于B，若，又函数周期为2，则， 所以，所以函数为偶函数，与函数为上的奇函数矛盾，故B错误； 对于C，因为函数为上的奇函数，所以， 所以，所以，故C正确； 对于D，若，又函数周期为2， 所以，所以， 所以对任意，都有， 如为上的奇函数，周期为2，但不满足恒为0，故D错误. （多选）9．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的周期为2 B．函数的图像关于对称 C．函数的图像关于对称 D．函数为奇函数 【答案】BC 【分析】根据题意，综合利用周期性、对称性、奇偶性，逐一对选项进行分析判断. 【详解】选项A，，即函数的周期为4，所以选项A错误； 选项B，因为是偶函数，则有，即函数的图像关于对称，所以选项B正确； 选项C，因为，则，所以函数的图像关于对称，所以选项C正确； 选项D，因为，则，所以函数为偶函数，所以选项D错误. 故选：BC. （多选）10．（2026·河北保定·一模）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图像关于点对称 C．当时 D． 【答案】ACD 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】，拿换，得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得：， 因此，图像关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，， 所以， 从而的值域为，在此区间上， 所以， 故恒成立，选项D正确. 题型三 对称性与奇偶性、周期性的综合应用 知识点1：对称性与周期性的关系： 若函数有两条对称轴和（），则周期． 若函数有一个对称中心和一条对称轴（），则周期． 若函数有两个对称中心和（），则周期． 知识点2：奇偶性与对称性的结合： 奇函数+关于对称周期． 偶函数+关于对称周期． 【例题精讲】 1．（25-26高一下·山西运城·期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上有5个零点 D． 【答案】B 【分析】根据函数周期的定义、偶函数单调性的性质，结合函数零点的定义、指数的运算性质逐一判断即可. 【详解】对选项A：由可知函数的一个周期为2，所以在区间上的图像与在区间上相同. 又是偶函数，则时的单调性与时的单调性相反. 因时，单调递减，故时，单调递增，故时，单调递增，故A错误； 对选项B：，故B正确； 选项C：当时，令0，得，因为为偶函数，所以，又因为周期为2，所以，共6个零点，故C错误； 选项D：，， 因为当时，单调递减， 所以，即，故D错误. 2．（2026·山东日照·二模）已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意，函数的周期为2，且的图像关于直线对称，即可求解. 【详解】由题可得， 所以2是函数的周期，且的图像关于直线对称. 当时，， 则. 3．（25-26高一下·陕西西安·期中）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性可求得函数的周期为4，再根据所给解析式求出一个周期内的函数值之和，可求出结果. 【详解】为偶函数，所以， 令，可得，也即， 因此函数的对称轴为，且； 又因为为奇函数，因此，所以 所以，也即，； 可得，可知函数的周期为4， 又因为当时，（且），所以，可得； 又易知，由可得，可得; 所以； 因此则. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，可求得函数关于轴对称，关于中心对称，周期为4，再根据函数的对称性和周期性，即可求解. 【详解】因为为偶函数，为奇函数， 所以，， 所以函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 所以，令，则，即， 所以，令，则，所以的周期为4， 又，，所以，所以， 又函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 又的周期为4，所以，，， 所以函数一个周期内的函数值为，，，， 所以， 所以 ，所以. 5．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数的周期，结合可求的值. 【详解】因为为奇函数，故， 因为为偶函数，故， 故，所以， 故是周期函数且周期为4，而， 故， 而，故. 6．（25-26高三下·安徽淮北·月考）已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A． B．2025 C．1 D． 【答案】B 【详解】因为①， 所以，所以， 所以函数是周期函数，且周期为4. 所以. 在①中，令得： . 因为为奇函数，所以② 在②中，令可得：. 结合①可得③. 在②中，令，可得； 在③中，令，可得； 在②中，令，可得 . 由函数的周期性可知，的值呈周期变化， 故 . 7．（2026·河北·模拟预测）已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对称性求解即可. 【详解】由题可得，所以2是函数的周期，且的图像关于直线对称. 当时，，则. （多选）8．（2026·广东中山·三模）已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. （多选）9．（2026·广西河池·二模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A．为的周期 B．关于对称 C． D． 【答案】ABD 【分析】先用赋值法求特殊值，可以排除C，再通过判断奇偶性，结合中心对称性进一步推出周期性判断A，利用中心对称性验证选项B，利用周期性拆分求和项，即可判断D. 【详解】因为定义域为的函数，对任意实数、都有， 所以令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故， 所以，所以，可知C错误； 令，得，即， 在原函数方程中，令，得，即， 所以，由，令替换为，得， ，所以，， 所以，故函数的一个周期为4，得A正确； 因为，所以是偶函数，所以， 又因为周期为4，所以，所以， 所以关于对称，选项 B正确； 因为周期为4，所以，所以D正确. （多选）10．（2026·浙江·二模）已知定义在R的函数和均为奇函数，且满足函数是奇函数，函数是偶函数．若当时，，则（    ）． A． B．对任意， C．当且仅当， D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据奇偶性，结合上的解析式求解判断；对于B选项，构造函数，，进而结合题意得与分别是以2和4为周期的周期函数，再结合周期性求得对任意，即可判断；对于C，结合B选项，说明不满足条件即可；对于D选项，结合奇函数的定义得，均为奇函数，再根据对称性，结合时的解析式求得，的值域为，再根据即可判断. 【详解】对于A，因为为定义在R上的奇函数，所以， 因为当时，， 所以，故A正确； 对于B，因为函数为奇函数， 所以，即， 所以，又因为， 所以，即， 令， 则，即， 所以是以2为一个周期的周期函数， 因为，，所以， 所以对任意，，即，也即， 因为为定义在R上的奇函数且函数是偶函数， 所以，，， 即，故， 所以， 令，则， 所以，即是以4为一个周期的周期函数， 因为，，，， 所以，对于任意的，，即，也即. 综上，对任意，，故B正确； 对于C，由B选项知，，，，故C错误； 对于D，对于，， ，所以，均为奇函数， 因为当时，， 则当时，，， 所以当时，，， 所以，当时，，， 又，故关于对称，故当时，， 综上，，，的值域为. 所以，即， 所以，D正确. 课时精练 一、单选题 1．（2026·安徽淮北·二模）已知是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是定义在上周期为4的奇函数， 又当时，， 故. 2．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）设是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，，则（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为是定义在R上且周期为3的奇函数， 所以. 3．（25-26高三下·陕西咸阳·月考）若为奇函数，则函数的图像关于（   ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称 【答案】A 【分析】根据函数的平移变换求解即可. 【详解】因为为奇函数，则关于原点对称， 根据函数的平移变换，函数的图像是将的图像向右平移个单位，再向上平移个单位， 则对应的对称中心也向右平移个单位，再向上平移个单位， 故关于点对称. 4．（2026·黑龙江大庆·二模）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性和对称性可证明周期性，从而利用周期性来求值，即可求出结果. 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 即， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 即，所以，所以函数以4为周期, 即， 所以. 故选：B 5．（25-26高一上·河北雄安·期末）函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.该结论可以推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．4052 D．4053 【答案】C 【分析】先根据解析式求得，首尾相加可得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 所以， 故选：C. 6．（2026·吉林·二模）已知函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的对称性得到恒成立，通过平方化简即可求解. 【详解】由关于直线对称，且在上单调递减， 因为，恒成立， 所以 ， 两边平方展开化简： 即 ， 整理得， 因为对任意不等式恒成立，故，即， 故的取值范围是. 7．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图像上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】点关于原点的对称点为，即时，， 已知函数， ， 当时，，方程图像有两个交点； 当时，，方程图像有1个交点； 综上，图像上关于原点对称的点有3对． 8．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 【答案】A 【分析】根据曲线方程中的对称性设出点的坐标，代入方程检验判断（1）（2）；由方程解出，再根据函数的有界性与单调性判断（3）（4）即可》 【详解】若点在曲线：上，将点代入曲线：成立， 所以曲线关于原点中心对称，故（1）正确； 再将点代入曲线：不能恒成立，所以曲线不关于直线对称，故（2）错误； 由条件可得，易得，即的取值范围不是，故（3）错误； 又因，当时，取得最小值， 所以时，的最小值为，故（4）正确. 二、多选题 （多选）9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（   ） A．点与点关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【详解】取得，，取得， 所以，，故A错误； 因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 取得， 所以， ， 所以， 若，则故C错误； ，故D正确． （多选）10．（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是偶函数 C．的图像关于点中心对称 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法结合函数奇偶性的判断可判断选项A、B，利用函数对称性结合特殊值以及运算规律判断C、D. 【详解】对于A，令，则，又， 所以，解得：，故A正确； 对于B，令，则， 即， 又函数的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； 对于C，若的图像关于点中心对称，则， 由，不符合题意，故C错误； 对于D，令，则， 即， 所以， ， ， ， 所以 ，故D正确. （多选）11．（25-26高一上·安徽黄山·期末）我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B．当时，在上单调递增 C．若方程有实根，则 D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图像共有2026个交点，记为，则的值为6078 【答案】ACD 【分析】对于A,利用奇函数的定义验证即可；对于B，由的定义域知B错误；对于C，有实数根，即有实数根，分类讨论即可；对于D，利用两个函数的对称性即可求解. 【详解】对于A，令，则， ，所以为奇函数，故A正确； 对于B，由知，区间不符合定义域，故B错误； 对于C，由题意知有实数根，即有实数根， 当时显然不成立；故，解得或，故C正确； 对于D，由A可知，关于对称，当时，对称中心为， 又函数也关于中心对称， 故 .故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（25-26高一上·福建泉州·月考）已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则_____. 【答案】 【分析】利用，结合函数的周期性与奇偶性，推出，再代入已知函数的解析式中，求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 因为函数的周期为2，且是偶函数， 所以， 又当时，， 所以. 13．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数对任意恒有，且，给出下列结论：①；②是偶函数；③的图像关于点对称；④．其中正确结论的序号为_____． 【答案】①②④ 【分析】令可判断①；令可判断②；中取，得， ，即可判断③；用代换中的可得，即可判断④. 【详解】取，得， 即，解得或（舍去）， 所以，①正确； 令，得， 整理得，故是偶函数，②正确； 的定义域为， 若的图像关于点对称，则, 中取，得， 又，所以， 所以的图像不关于点对称，故③错误； 用代换中的,并结合函数为偶函数，可得，得， 所以，④正确. 综上所述，正确结论的序号为①②④. 14．（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数．关于有下列四个结论： ①的图像关于对称； ②是周期函数； ③若，则； ④若时，，则函数的零点个数为10． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【分析】由函数是偶函数，是奇函数可得函数关于对称以及是以4为周期的周期函数，由此求解即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即，所以关于直线对称，故①错误； 又因为是奇函数，所以，又因为，可得， 进而，所以是以4为周期的周期函数，故②正确； 因为，因为是以4为周期的周期函数，所以，所以，所以，故③正确； 因为时，，因为函数关于对称，所以时，，因为函数的周期为4，可得时，， 时，，当时，交点横坐标为，，且在区间，，，内各有一个交点， 当，交点在区间，，，内各有一个交点，共9个交点，故④错误. 四、解答题 15．（25-26高一上·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)8106. 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. （3）由（2）知，，，则 16．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数的图像如图所示，其周期为2，试回答下列问题：    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数，的解析式； (3)判断函数的图像是否具有对称性，如果有，写出函数的对称轴及对称中心. 【答案】(1)2； (2)； (3)具有对称性，函数的对称轴为，，对称中心为，. 【分析】（1）由函数的周期性得出结论； （2）从图像分析得到函数解析式； （3）从图像分析得到函数的对称轴和对称中心. 【详解】（1）因为函数的周期为2， 所以， 故函数的最小正周期为2. （2）由函数图像可得函数的解析式为. （3）具有对称性， 函数的对称轴为，， 对称中心为，. 17．（25-26高一上·山东菏泽·期末）已知函数． (1)当时，化简； (2)判断函数的奇偶性，写出函数图像的对称中心，并给予证明； (3)证明：函数的零点个数为奇数． 【答案】(1) (2)奇函数，对称中心为，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）代入计算可得； （2）利用定义判断函数的奇偶性，，，故的对称中心为，可用定义证； （3）显然，即1是函数的一个零点；         设 是函数的一个零点，则是的一个零点，因此的不等于1的零点成对出现．故函数的零点个数为奇数． 【详解】（1）因为，所以 所以 （2）由，定义域为， ， 即，所以为奇函数．             的对称中心为，证明过程如下： 由 ， 所以函数图像的对称中心为． （3）显然，即1是函数的一个零点；         设 是函数的一个零点，即 由（1）知 所以是的一个零点，因此的不等于1的零点成对出现． 故函数的零点个数为奇数． 18．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数是定义域为的奇函数. (1)若时，，求当时，的解析式； (2)若函数在上单调递增，判断函数在上单调递增还是单调递减，并证明； (3)若函数的图像还关于直线对称，求证：函数是一个周期函数. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求出 的解析式，再利用奇偶性写出即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. （3）结合函数的奇偶性、对称性求解即可. 【详解】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数， 设，则， 则 即当时，. （2）判断：函数在上单调递增. 证明：设，则， 由函数在上单调递增，有， 所以， 因此，函数在上单调递增. （3）证明：因为函数是奇函数， 所以对于任意，都有， 又图像关于直线对称，可得，即， 则，所以， 因此函数为周期函数，周期为12. 19．（25-26高一上·浙江杭州·期末）我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. (1)是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在请求出一个的值；若不是请说明理由； (2)已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 【答案】(1)存在一个的值为. (2)（i）（ii）答案见解析 【分析】（1）根据以及即可根据“伴随函数”的定义求解， （2）（i）根据“伴随函数”的定义可得是周期为的函数，即可利用周期性以及对称性求解；（ii）作出在上的图像如图所示，根据周期性结合图像，对进行讨论即可求解. 【详解】（1）存在正常数，使得是“伴随函数”. 因为，所以， 因为，所以， 所以存在一个的值为. （2）（i）由，得， 所以是周期为的函数. 由，得，所以为的一条对称轴， 当时，. 当时， ， 所以由对称性可知. 所以当时，. 易知在上的图像如图所示， 长度为，恰好包含 2 个完整周期， 根据周期性结合图像， 当，或，或时，方程在区间内有 4 个根，两两关于 、对称， ； 当时，方程在区间内有 7个根， ； 当时，方程在区间内有 6个根， ； 当或时，方程在区间内有 8个根， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 函数的对称性和周期性的综合应用 题型一 函数的对称性及应用 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】ACD 9．【答案】ACD 10【答案】ACD 题型二 函数的周期性的应用 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】AC 9．【答案】BC 10．【答案】ACD 题型三 对称性与奇偶性、周期性的综合应用 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】ABD 9．【答案】ABD 10．【答案】ABD 课时精练 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】BD 10．【答案】ABD 11．【答案】ACD 12．【答案】 【分析】利用，结合函数的周期性与奇偶性，推出，再代入已知函数的解析式中，求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 因为函数的周期为2，且是偶函数， 所以， 又当时，， 所以. 13．【答案】①②④ 【分析】令可判断①；令可判断②；中取，得， ，即可判断③；用代换中的可得，即可判断④. 【详解】取，得， 即，解得或（舍去）， 所以，①正确； 令，得， 整理得，故是偶函数，②正确； 的定义域为， 若的图像关于点对称，则, 中取，得， 又，所以， 所以的图像不关于点对称，故③错误； 用代换中的,并结合函数为偶函数，可得，得， 所以，④正确. 综上所述，正确结论的序号为①②④. 14．【答案】②③ 【分析】由函数是偶函数，是奇函数可得函数关于对称以及是以4为周期的周期函数，由此求解即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即，所以关于直线对称，故①错误； 又因为是奇函数，所以，又因为，可得， 进而，所以是以4为周期的周期函数，故②正确； 因为，因为是以4为周期的周期函数，所以，所以，所以，故③正确； 因为时，，因为函数关于对称，所以时，，因为函数的周期为4，可得时，， 时，，当时，交点横坐标为，，且在区间，，，内各有一个交点， 当，交点在区间，，，内各有一个交点，共9个交点，故④错误. 15．【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)8106. 【分析】（1）利用恒等式赋值，即可求解； （2）利用恒等式赋值，结合奇函数恒等式即可证明； （3）利用，再利用加法交换律和结合律即可求和. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 所以， 即，所以函数为奇函数. （3）由（2）知，，，则 16．【答案】(1)2； (2)； (3)具有对称性，函数的对称轴为，，对称中心为，. 【分析】（1）由函数的周期性得出结论； （2）从图像分析得到函数解析式； （3）从图像分析得到函数的对称轴和对称中心. 【详解】（1）因为函数的周期为2， 所以， 故函数的最小正周期为2. （2）由函数图像可得函数的解析式为. （3）具有对称性， 函数的对称轴为，， 对称中心为，. 17．【答案】(1) (2)奇函数，对称中心为，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）代入计算可得； （2）利用定义判断函数的奇偶性，，，故的对称中心为，可用定义证； （3）显然，即1是函数的一个零点；         设 是函数的一个零点，则是的一个零点，因此的不等于1的零点成对出现．故函数的零点个数为奇数． 【详解】（1）因为，所以 所以 （2）由，定义域为， ， 即，所以为奇函数．             的对称中心为，证明过程如下： 由 ， 所以函数图像的对称中心为． （3）显然，即1是函数的一个零点；         设 是函数的一个零点，即 由（1）知 所以是的一个零点，因此的不等于1的零点成对出现． 故函数的零点个数为奇数． 18．【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求出 的解析式，再利用奇偶性写出即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. （3）结合函数的奇偶性、对称性求解即可. 【详解】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数， 设，则， 则 即当时，. （2）判断：函数在上单调递增. 证明：设，则， 由函数在上单调递增，有， 所以， 因此，函数在上单调递增. （3）证明：因为函数是奇函数， 所以对于任意，都有， 又图像关于直线对称，可得，即， 则，所以， 因此函数为周期函数，周期为12. 19．【答案】(1)存在一个的值为. (2)（i）（ii）答案见解析 【分析】（1）根据以及即可根据“伴随函数”的定义求解， （2）（i）根据“伴随函数”的定义可得是周期为的函数，即可利用周期性以及对称性求解；（ii）作出在上的图像如图所示，根据周期性结合图像，对进行讨论即可求解. 【详解】（1）存在正常数，使得是“伴随函数”. 因为，所以， 因为，所以， 所以存在一个的值为. （2）（i）由，得， 所以是周期为的函数. 由，得，所以为的一条对称轴， 当时，. 当时， ， 所以由对称性可知. 所以当时，. 易知在上的图像如图所示， 长度为，恰好包含 2 个完整周期， 根据周期性结合图像， 当，或，或时，方程在区间内有 4 个根，两两关于 、对称， ； 当时，方程在区间内有 7个根， ； 当时，方程在区间内有 6个根， ； 当或时，方程在区间内有 8个根， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 函数的对称性和周期性的综合应用 题型一 函数的对称性及应用 2 题型二 函数的周期性的应用 4 题型三 对称性与奇偶性、周期性的综合应用 5 【基础回顾】 知识点1：奇函数、偶函数的对称性 （1）奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． （2）若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图像的对称轴为x＝a； （3）若f(x＋a）是奇函数，则函数f(x)图像的对称中心为(a,0)． 知识点2：任意函数的对称 若函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(2a＋x)，则函数的图像关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(2a－x)+f(x)=2b，则函数的图像关于点(,b)对称． 知识点3．两个函数图像的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称． (4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(,b)对称． 知识点4.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期． (3)常见周期：f(x＋A)＝-f(x)，T=2|A| f(x＋A)+f(x)=B，T=2|A| f(x＋A)f(x)=B，T=2|A| f(x＋1)=f(x)+f(x+2)，则T=6 知识点5：函数的周期性和对称性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图像有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 题型一 函数的对称性及应用 一．对称性的表述 1.轴对称： 验证是否对某常数a恒成立． 2.中心对称： 验证是否对某常数a,b恒成立． 若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）． 特别的对称： 二次函数：关于对称． 三次函数：关于点中心对称 二．对称性的证明： 1.利用对称性建立等式： 若关于对称，则，代入已知点求未知值． 若关于对称，f(x)=2b-f(2a-x)，用于递推或构造方程． 2.对称变换法： 若关于对称，则（g为偶函数）． 若关于对称，则f(x)=b+h(x-a)（h为奇函数）． 【例题精讲】 1．（2026·陕西咸阳·一模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山西太原·月考）已知函数满足，若函数与的图像有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南郑州·二模）已知函数，若函数与函数的图像的交点有个，记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的图像关于直线对称，则（    ） A．2 B．0 C． D． 7．（2026·江西宜春·一模）设函数满足对任意的，都有，且，则（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 （多选）8．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（   ） A． B．函数的图像关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 （多选）9．（2026·广东茂名·二模）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图像关于直线对称 D．是的周期 （多选）10．（2026·安徽合肥·模拟预测）若是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（    ）. A．2是的一个周期 B．一定为正数 C．若，则 D．若在上单调递增，则 题型二 函数的周期性的应用 【例题精讲】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足对于任意的实数，都有，且，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2026·四川遂宁·二模）已知定义域为的函数满足，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）设是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（   ） A． B．1 C．2 D．3 6．（2026·天津和平·二模）已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（   ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江·二模）已知是定义在R上的奇函数，，且当时，，则的值是（    ） A．0 B．1 C．4 D．2026 （多选）8．（2026·河北沧州·一模）定义在上的奇函数周期为2，则（   ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的周期为2 B．函数的图像关于对称 C．函数的图像关于对称 D．函数为奇函数 （多选）10．（2026·河北保定·一模）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为周期函数 B．的图像关于点对称 C．当时 D． 题型三 对称性与奇偶性、周期性的综合应用 知识点1：对称性与周期性的关系： 若函数有两条对称轴和（），则周期． 若函数有一个对称中心和一条对称轴（），则周期． 若函数有两个对称中心和（），则周期． 知识点2：奇偶性与对称性的结合： 奇函数+关于对称周期． 偶函数+关于对称周期． 【例题精讲】 1．（25-26高一下·山西运城·期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上有5个零点 D． 2．（2026·山东日照·二模）已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则（   ） A． B．1 C． D．2 3．（25-26高一下·陕西西安·期中）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A．1 B．0 C． D． 5．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 6．（25-26高三下·安徽淮北·月考）已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A． B．2025 C．1 D． 7．（2026·河北·模拟预测）已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 （多选）8．（2026·广东中山·三模）已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． （多选）9．（2026·广西河池·二模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A．为的周期 B．关于对称 C． D． （多选）10．（2026·浙江·二模）已知定义在R的函数和均为奇函数，且满足函数是奇函数，函数是偶函数．若当时，，则（    ）． A． B．对任意， C．当且仅当， D． 课时精练 一、单选题 1．（2026·安徽淮北·二模）已知是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）设是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，，则（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高三下·陕西咸阳·月考）若为奇函数，则函数的图像关于（   ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称 4．（2026·黑龙江大庆·二模）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 5．（25-26高一上·河北雄安·期末）函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.该结论可以推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，即.已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．4052 D．4053 6．（2026·吉林·二模）已知函数的图像关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图像上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 8．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 二、多选题 （多选）9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（   ） A．点与点关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当时， D．当时， （多选）10．（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是偶函数 C．的图像关于点中心对称 D． （多选）11．（25-26高一上·安徽黄山·期末）我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B．当时，在上单调递增 C．若方程有实根，则 D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图像共有2026个交点，记为，则的值为6078 三、填空题 12．（25-26高一上·福建泉州·月考）已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则_____. 13．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）已知函数对任意恒有，且，给出下列结论：①；②是偶函数；③的图像关于点对称；④．其中正确结论的序号为_____． 14．（2026·北京通州·一模）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数．关于有下列四个结论： ①的图像关于对称； ②是周期函数； ③若，则； ④若时，，则函数的零点个数为10． 其中所有正确结论的序号是________． 四、解答题 15．（25-26高一上·海南·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 16．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数的图像如图所示，其周期为2，试回答下列问题：    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数，的解析式； (3)判断函数的图像是否具有对称性，如果有，写出函数的对称轴及对称中心. 17．（25-26高一上·山东菏泽·期末）已知函数． (1)当时，化简； (2)判断函数的奇偶性，写出函数图像的对称中心，并给予证明； (3)证明：函数的零点个数为奇数． 18．（25-26高一上·广东梅州·期末）已知函数是定义域为的奇函数. (1)若时，，求当时，的解析式； (2)若函数在上单调递增，判断函数在上单调递增还是单调递减，并证明； (3)若函数的图像还关于直线对称，求证：函数是一个周期函数. 19．（25-26高一上·浙江杭州·期末）我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. (1)是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在请求出一个的值；若不是请说明理由； (2)已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $