30.3 正多边形和圆《知识解读·题型专练》2026-2027学年九年级数学上册（人教版）

本讲义聚焦正多边形和圆核心知识点，系统梳理正多边形概念、圆内接正多边形定义，相关概念（中心、半径、中心角、边心距），有关计算（内角、中心角、周长、面积及半径、边长、边心距关系），画法（量角器与尺规作图），构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过7类题型（角度计算、周长面积等）结合蜂巢、窗格等实例，培养数学眼光，证明与最值问题发展推理能力，尺规作图提升数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

30.3 正多边形和圆（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 正多边形和圆有关的角度计算】 3 【题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题】 3 【题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系】 4 【题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系】 4 【题型5 正多边形与圆有关的尺规作图问题】 5 【题型6 正多边形和圆中的证明】 6 【题型7 正多边形和圆中的最值问题】 8 知识点1 正多边形及有关概念 1. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2. 圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆． 3. 与正多边形有关的概念 （1）中心，即正多边形的外接圆的圆心； （2）半径，即正多边形的外接圆的半径； （3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角； （4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离． 知识点2 正多边形的有关计算 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 （1）每个内角为；每个中心角为；每个外角为； （2）半径、边长、边心距的关系为 （3）周长；面积 以正六边形为例： 知识点3 正多边形的画法 画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法： 1. 用量角器等分 特点：（1）可以画出任意正多边形； （2）边数很大时，容易产生较大误差． 步骤：（1）用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的； （2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点； （3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形． 2. 用尺规等分 特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等；（2）作图比较准确． 画正六边形的步骤：（1）作直径AD； （2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E； （3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF． 【题型1 正多边形和圆有关的角度计算】 【例1】如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点O为正八边形的中心，则．的度数为___________． 【变式1-3】如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为______． 【题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题】 【例2】如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为（    ）    A． B． C．3 D．18 【变式2-1】已知正六边形的半径为2，则这个正六边形的周长是（   ） A．8 B．12 C． D． 【变式2-2】如图，六边形是⊙O的内接正六边形，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图所示，已知正六边形外接圆的半径为，那么这个正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系】 【例3】如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】正六边形的边长是，则它的外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系】 【例4】如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【变式4-1】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是_________． 【变式4-2】如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 【题型5 正多边形与圆有关的尺规作图问题】 【例5】利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形． 【变式5-1】根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 【变式5-2】按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【变式5-3】如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【题型6 正多边形和圆中的证明】 【例6】如图，若折线ABCD是的内接正十边形的三条边，AD分别交OB，OC于点M，N．求证：． 【变式6-1】如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【变式6-2】如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【变式6-3】如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 【题型7 正多边形和圆中的最值问题】 【例7】如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式7-1】如图，已知正六边形的边长是6，点P是上一动点，则的最小值是_________．    【变式7-2】如图，正八边形ABCDEFGH的边长为1，点P从点B出发，沿B—C—D—E运动至点E，点是点B关于直线AP的对称点．点P从点B运动至点E的过程中，点到点F的距离的最小值是（ ） A．-1 B．1 C．+1 D． 随堂检测 【随堂检测】 1．在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．下列图形旋转后可以与原图形重合的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 4．如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（   ） A． B． C． D． 6．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 7．如图，A，B，C，D为·一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 8．我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（　  　） A． B． C． D． 9．如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 10．如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.3 正多边形和圆（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 正多边形和圆有关的角度计算】 3 【题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题】 5 【题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系】 8 【题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系】 9 【题型5 正多边形与圆有关的尺规作图问题】 12 【题型6 正多边形和圆中的证明】 16 【题型7 正多边形和圆中的最值问题】 21 知识点1 正多边形及有关概念 1. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2. 圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆． 3. 与正多边形有关的概念 （1）中心，即正多边形的外接圆的圆心； （2）半径，即正多边形的外接圆的半径； （3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角； （4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离． 知识点2 正多边形的有关计算 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 （1）每个内角为；每个中心角为；每个外角为； （2）半径、边长、边心距的关系为 （3）周长；面积 以正六边形为例： 知识点3 正多边形的画法 画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法： 1. 用量角器等分 特点：（1）可以画出任意正多边形； （2）边数很大时，容易产生较大误差． 步骤：（1）用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的； （2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点； （3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形． 2. 用尺规等分 特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等；（2）作图比较准确． 画正六边形的步骤：（1）作直径AD； （2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E； （3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF． 【题型1 正多边形和圆有关的角度计算】 【例1】如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 【变式1-1】正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 【变式1-2】如图，点O为正八边形的中心，则．的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：作正八边形的外接圆，连接，如图： ∴，F、O、B共线， 由圆周角定理得： ． 【变式1-3】如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的中心角，连接，根据中心角的计算方法，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵点O是正六边形的中心点， ∴， ∴； 故答案为： 【题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题】 【例2】如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为（    ）    A． B． C．3 D．18 【答案】D 【分析】连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长，即可得到周长． 【详解】解：连接、，如图：   的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为3， ∴正六边形的周长为18， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于，从而得到是等边三角形． 【变式2-1】已知正六边形的半径为2，则这个正六边形的周长是（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正六边形的性质．根据正六边形的半径等于边长进行解答即可． 【详解】解：∵正六边形的半径等于正六边形的边长， ∴正六边形的边长， 正六边形的周长， 故选：B． 【变式2-2】如图，六边形是⊙O的内接正六边形，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，涉及正六边形性质、含的直角三角形性质及勾股定理求线段长等知识，熟练掌握含的直角三角形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 根据圆周角定理，得到是含的直角三角形，再根据的直角三角形性质及勾股定理求出的长，即可得的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是⊙O的内接正六边形， ，． ，． ． ． ． ． 故选：C． 【变式2-3】如图所示，已知正六边形外接圆的半径为，那么这个正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于点C，可证明是等边三角形，得到，再由等边三角形的性质和勾股定理求出的长，根据求解即可． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，过点O作于点C， 由题意得， ∵正六边形外接圆的半径为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系】 【例3】如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，利用中心角和边的关系求解是解题的关键；根据中心角是，得到等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B ． 【变式3-1】正六边形的边长是，则它的外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的内角度数和外接圆的定义，找到正多边形的外接圆圆心和正多边形的关系是解题关键． 利用先求出正六边形的内角度数，再通过正六边形的外接圆中边所对圆心角的度数，得到正六边形的边与外接圆的半径的关系即可． 【详解】解：如图，正六边形每个边所对圆心角为， 故图中正六边形的任意两个相邻顶点与外接圆圆心之间的连线构成的三角形是等边三角形， 所以正六边形的边长等于外接圆半径， 所以半径为， 故选：C． 【题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系】 【例4】如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形以及三角函数，连接，利用正六边形的性质得到圆心角的度数，证明是等边三角形后利用三角函数即可． 【详解】解：连接， 正六边形内接于， ， ， ， 是等边三角形， ， 是边心距， ， ． 故选：B． 【变式4-1】大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确正六边形的特点． 连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：2． 【变式4-2】如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接． ∵六边形是正六边形， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，． 【题型5 正多边形与圆有关的尺规作图问题】 【例5】利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形． 【答案】 【分析】设已知圆为，半径为，作的内接正方形：过圆心作任意直径，作的垂直平分线，交于、两点，顺次连接、、、，四边形即为的内接正方形． 作的内接正六边形：将圆规两脚的间距调整为的半径，在上任取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点、点，以为圆心，为半径画弧，交于点；重复该步骤，依次得到交点，，顺次连接，，，，，，六边形即为的内接正六边形． 【详解】略 【变式5-1】根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 【答案】(1) 如图，即为所求： (2) 如图，即为所求： 【分析】（1）先任意作一条直径，再分别以直径的端点为圆心，的半径为半径画与相交的弧，间隔一个弧连接可得等边； （2）过M作直线，交于D，过D作的垂线，过M作的垂线，交于E，过E作的垂线交于C，作射线交于F，过F作的垂线交于A，交于B，则即为所求． 【详解】（1）解：由作图痕迹得， ∴，则为等边三角形； （2）解：由作图痕迹，，又是的半径， ∴与相切， ∵， ∴， ∵，是的半径， ∴与相切，， 同理与相切， ∴为的一个外切直角三角形． 【变式5-2】按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【答案】(1) 如图，正方形即为所求； (2) 如图所示： 【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径，过点O作的垂直平分线，与交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求作的正方形． （2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在上任意找一点A，以点A为圆心为半径画弧，交于点B，然后以点B为圆心为半径画弧，交于点C，依次找出点D、E、F，连接、、、、、，即可将圆的面积6等分． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-3】如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理，正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键． （1）作出直径，再作的线段垂直平分线，与相交于、，顺次连接、、、即可； （2）利用正方形的性质可得，，再结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形． 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 是的直径， ， 四边形是正方形； （2）解：的半径为，四边形是正方形， ，， ． 即正方形的边长为． 【题型6 正多边形和圆中的证明】 【例6】如图，若折线ABCD是的内接正十边形的三条边，AD分别交OB，OC于点M，N．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了正多边形与圆、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识点，解题的关键是掌握平行线的判定． 连接，，先计算出正十边形的中心角得到，再根据三角形内角和定理结合等边对等角计算出，然后根据三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理结合等边对等角计算出，最后根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】证明：如图，连接，． ∵折线是的内接正十边形的三条边， ∴ ，， ， ． 又， ， ． 【变式6-1】如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键． （1）由正方形得，可得，由得，由得，从而可得结论； （2）由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接得是等腰直角三角形，可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴M为的中点 （2）解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，即圆的半径为． 【变式6-3】如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证明，可得，从而可得结论； （2）作，，证明，，四边形是矩形，从而可得答案． 【详解】（1）证明：连接，正八边形， ∴，    ，， ， ∴． （2）∵，同理可证：，， ∴四边形为等腰梯形， ， 作，，    ∵， ， 在中，，， ， 同理可得， ∵，，， ∴四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查的是圆与正多边形的知识，圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握正多边形的性质是解本题的关键． 【题型7 正多边形和圆中的最值问题】 【例7】如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可． 【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：    则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值， 由题意可得：，， 由勾股定理可得：， ∴， 故选：D． 【变式7-1】如图，已知正六边形的边长是6，点P是上一动点，则的最小值是_________．    【答案】12 【分析】易知点B关于的对称点为点F，连接交于点P，根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】解：利用正多边形的性质可得点B关于的对称点为点F，连接交于点P， 那么有，此时最小．    ∵六边形是正六边形，对角线交于P， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，轴对称的性质，掌握正六边形的性质以及轴对称路线最短问题的解题方法是正确解答的关键． 【变式7-2】如图，正八边形ABCDEFGH的边长为1，点P从点B出发，沿B—C—D—E运动至点E，点是点B关于直线AP的对称点．点P从点B运动至点E的过程中，点到点F的距离的最小值是（ ） A．-1 B．1 C．+1 D． 【答案】D 【分析】点从点运动至过程中，点的运动轨迹是弧线，连接与弧交于点，此时最短，，即为到点的距离的最小值． 【详解】解：点从点运动至过程中， ， 点的运动轨迹是弧线， 连接与弧交于点，此时最短， ， 连接， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 正八边形的边长为1， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，解题的关键是找出点的运动轨迹． 随堂检测 【随堂检测】 1．在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出，，再证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 2．如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵五边形是正五边形， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 故选：D． 3．下列图形旋转后可以与原图形重合的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 【答案】A 【分析】根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正六边形的中心角为：，绕它的中心旋转后可以和原图形重合，符合题意； B、正五边形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； C、正方形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； D、正三角形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； 4．如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正五边形的中心角的计算，圆周角定理的应用，连接，求得，结合圆周角定理，计算求得即可． 【详解】解：如图，连接， 正五边形内接于， ， ， 故选：B． 5．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连结，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆是解题的关键；连接，由题意易得正八边形每段弧所对的圆心角为，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，可知：正八边形每段弧所对的圆心角为， ∴， ∴点位于点的北偏东的角度是； 故选：C． 6．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】解： 的半径为1， 的面积， 圆的内接正十二边形的中心角为， 过点A作，如图所示： ， 圆的内接正十二边形的面积， ， 故选：A． 7．如图，A，B，C，D为·一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形与圆、圆周角定理等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系即可解答． 【详解】解：如图，连接，，作出外接圆， ∵，， ， ∵， ∴这个正多边形为正十二边形． 故选A． 8．我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（　  　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据垂径定理可得，，再证明是等边三角形，可得，，再根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：连接，交于点M，连接， ∵六边形是的内接正六边形， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接正多边形，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识点． 9．如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 【答案】 【分析】如图：连接，过O作于H，易得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过O作于H， ∵点O是正六边形的中心，且正六边形的边长为2， ∴,, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即该正六边形的边心距为． 10．如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $