29.4 圆锥的侧面积 《知识解读·题型专练》2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“圆锥的侧面积”核心知识点，系统梳理圆锥母线、高、底面半径的关系及侧面积公式，衔接圆的周长、圆柱表面积等前置知识，构建从概念理解到公式应用的学习支架。 资料以7类分层题型为特色，涵盖基础计算、实际应用（如圆锥形竹篓、灯罩）及最短距离问题，通过具体实例培养几何直观与空间观念，提升运算推理能力和应用意识，课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺。

29.4 圆锥的侧面积（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 求圆锥的侧面积】 2 【题型2 求圆锥的侧面积】 2 【题型3 求圆锥的高】 3 【题型4 求圆锥的母线长】 4 【题型5 求圆锥的侧面积展开图的圆心角】 5 【题型6 圆锥计算与实际应用问题】 5 【题型7 圆锥与最短距离】 6 知识点 圆锥的侧面积和全面积 1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3. 圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形． 4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即． 【题型1 求圆锥的侧面积】 【例1】如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】正值云南春季干燥季节，小明的爷爷准备用传统手工制作一个圆锥形竹篓来收纳新采摘的茶叶．已知竹篓口大小（底面直径）为，篓高（圆锥高）为，则这个竹篓的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【题型2 求圆锥的侧面积】 【例2】若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为40，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2-1】若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】小明想用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则做成的圆锥底面半径为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（    ） A． B． C．1 D．2 【题型3 求圆锥的高】 【例3】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】把半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（    ） A． B． C．2 D． 【变式3-2】在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（   ） A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm 【题型4 求圆锥的母线长】 【例4】如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【变式4-1】若圆锥的底面半径为，侧面积为，则圆锥的母线是___． 【变式4-2】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径cm，扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线l长为（    ）． A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【变式4-3】若一个圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥的母线与其底面圆的半径之比为，则这个圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 【题型5 求圆锥的侧面积展开图的圆心角】 【例5】已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 【变式5-1】某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，圆锥的高与母线夹角为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型6 圆锥计算与实际应用问题】 【例6】湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为______．（结果保留） 【变式6-1】某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【变式6-2】如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式6-3】如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为__________．（结果保留）    【题型7 圆锥与最短距离】 【例7】综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【变式7-1】如图，是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为，母线长，若一只小虫从点沿圆锥的侧面爬行到母线的中点．则小虫爬行的最短路径是______m． 【变式7-2】综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【变式7-3】为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 随堂检测 【随堂检测】 1．若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．用半径为，圆心角是的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 3．一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为（     ） A． B． C． D． 4．若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 5．草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为______． 6．某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）． 7．如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深_________； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为_________． 8．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 9．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.4 圆锥的侧面积（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 求圆锥的侧面积】 2 【题型2 求圆锥的侧面积】 3 【题型3 求圆锥的高】 5 【题型4 求圆锥的母线长】 8 【题型5 求圆锥的侧面积展开图的圆心角】 10 【题型6 圆锥计算与实际应用问题】 12 【题型7 圆锥与最短距离】 14 知识点 圆锥的侧面积和全面积 1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3. 圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形． 4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即． 【题型1 求圆锥的侧面积】 【例1】如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 【变式1-1】正值云南春季干燥季节，小明的爷爷准备用传统手工制作一个圆锥形竹篓来收纳新采摘的茶叶．已知竹篓口大小（底面直径）为，篓高（圆锥高）为，则这个竹篓的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥侧面积公式与勾股定理，先根据勾股定理求出圆锥的母线长，再代入圆锥侧面积公式计算，即可选出正确选项． 【详解】解：∵圆锥底面直径为，圆锥高为， ∴圆锥底面半径， 由勾股定理得圆锥母线长， ∴圆锥侧面积． 【变式1-2】某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面积. 【详解】解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 【变式1-3】如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据底面周长求出底面半径，再利用勾股定理求出母线长，最后根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为 ， ∴圆锥的底面半径， ∵圆锥的高， ∴圆锥的母线长， ∴该吊灯外罩的侧面积． 【题型2 求圆锥的侧面积】 【例2】若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为40，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 【变式2-1】若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆锥侧面展开图的性质，利用圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长这一关系列方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥的底面圆的半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长， ∴，化简得，解得， ∴该圆锥的底面圆的半径为， 故选B． 【变式2-2】小明想用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则做成的圆锥底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长即可求解． 本题主要考查扇形弧长公式和圆锥底面周长， 掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径是r， 根据题意有 解得：． ∴做成的圆锥底面半径为． 故选：C． 【变式2-3】如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧交于点E，将扇形剪下来做成圆锥，若，则该圆锥底面半径为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查圆锥的计算，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式． 首先由正方形的性质得到是等腰直角三角形，进而得到，然后由勾股定理求出，然后根据扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中， ， ∵， 是等腰直角三角形， ，， ， 扇形的弧长等于围成的圆锥的底面圆的周长， 圆锥的底面圆的半径为， ， 解得． 故选：A． 【题型3 求圆锥的高】 【例3】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 【变式3-1】把半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得圆锥的底面半径，再利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：设此圆锥的底面半径为， 由题意，得， 解得． 故圆锥的高为：． 故选：A． 【变式3-2】在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为(cm)，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为(cm)， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故选B． 【变式3-3】如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（   ） A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm 【答案】B 【分析】设圆锥底面的圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形求出r的值，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面的圆的半径为r，360°-144°=216°， 根据题意得， 解得r=9， 所以这个圆锥的高=（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【题型4 求圆锥的母线长】 【例4】如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 【变式4-1】若圆锥的底面半径为，侧面积为，则圆锥的母线是___． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面积公式，其中为圆锥的底面半径，为圆锥的母线长，将数据直接代入求出即可． 【详解】解：圆锥的底面半径是，侧面积为， 圆锥侧面积公式， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了圆锥侧面积公式的有关计算，解决问题的关键是正确记忆圆锥的侧面积公式，以及各字母所代表的意义． 【变式4-2】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径cm，扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线l长为（    ）． A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【答案】C 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长结合弧长公式列式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：l＝6， 即该圆锥母线l的长为6． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【变式4-3】若一个圆锥的侧面展开图的面积为，圆锥的母线与其底面圆的半径之比为，则这个圆锥的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面积，设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则：母线长为，由题意，得： ， ∴（负值舍去）， ∴母线长为； 故选：D． 【题型5 求圆锥的侧面积展开图的圆心角】 【例5】已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的性质：侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，列方程求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角为 ， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥底面半径 ，母线长 ， ∴圆锥底面周长 ，扇形弧长公式为，据此列方程得 ， 解得 ， ∴圆心角为． 【变式5-1】某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆锥底面圆直径为， 圆锥底面圆周长 ， 扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长 设扇形圆心角为，根据扇形弧长公式，可得： 解得， 扇形纸片的圆心角为． 【变式5-2】如图，圆锥的高与母线夹角为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，设半径，圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于n的方程即可． 【详解】解：设半径，圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， ， ， 根据题意得， 解得， 即它的侧面展开图的圆心角的度数为， 故选：C． 【变式5-3】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据题意得出圆锥的底面圆周长即为侧面展开图弧长，再根据，求出扇形半径，最后根据，即可求出圆心角度数． 【详解】解：∵该圆锥的底面圆周长为， ∴侧面展开图弧长， ∵侧面积为，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴这个扇形的圆心角的度数是， 故选：D． 【题型6 圆锥计算与实际应用问题】 【例6】湖南是全国13个粮食主产省之一，水稻播种面积、总产量均居全国第一．2024年3月19日，习近平总书记来到常德市鼎城区谢家铺镇港中坪村，走进当地粮食生产万亩综合示范片区，察看秧苗培育和春耕备耕进展．如图为某农户家的圆锥形粮仓示意图，已知其底面周长为米，高度为米，则此粮仓的侧面积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，先计算底面半径和母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．熟知圆锥的侧面是扇形以及扇形的面积计算方法是关键． 【详解】解：∵底面周长为米 ∴底面半径为： 母线长为：米 故粮仓的侧面积为：， 故答案为：． 【变式6-1】某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 【变式6-2】如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为 ，进而得到 ，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为 ， 四边形为正方形， 则 ，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得 ， 故选：C． 【变式6-3】如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为__________．（结果保留）    【答案】 【分析】根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，底面圆周长即是扇形的弧长，根据扇形面积公式可求出扇形面积． 【详解】解：帽子底面圆周长为：， 则扇形弧长为， 扇形面积 故答案为： 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，掌握圆锥的性质和扇形的面积公式是求解的关键． 【题型7 圆锥与最短距离】 【例7】综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 【变式7-1】如图，是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为，母线长，若一只小虫从点沿圆锥的侧面爬行到母线的中点．则小虫爬行的最短路径是______m． 【答案】 【分析】本题考查了两点之间线段最短的应用，圆锥的相关计算，弧长公式，勾股定理的应用，熟记弧长计算公式是解题的关键． 将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”可得出小虫爬行的最短路线，再由勾股定理即可求解最短的路程． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为， 则：，其中 ∴，如图所示： 由题意可知，，且点P为的中点， 在中，， ∴ (米)， 故小虫沿线段爬行，路程最短，最短的路程是米， 故答案为：． 【变式7-2】综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 【变式7-3】为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 随堂检测 【随堂检测】 1．若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵圆锥底面半径 ，母线长 ，圆锥侧面积公式为， ∴代入数据得． 2．用半径为，圆心角是的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“扇形弧长等于圆锥底面圆的周长”列方程即可求解底面半径． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为 ， ∵圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，已知扇形半径为，圆心角为， ∴根据弧长公式和圆的周长公式可得， 化简等式右边得， 解得． 3．一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形的半径，利用该关系列方程即可求解圆心角度数． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵母线长为，底面圆半径为，且圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长为，侧面展开扇形的弧长为， ∴， 解得， ∴侧面展开图圆心角度数为． 4．若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的相关计算，核心知识点为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，根据该关系列方程即可求解母线长． 【详解】解：圆锥底面半径为， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的母线长为，根据题意得， 整理得， 解得． 5．草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，根据勾股定理可求得，进而求得圆锥底面圆的周长，进而求得侧面展开后形成的扇形的圆心角． 【详解】根据题意可知． 圆锥底面圆的周长． 侧面展开后形成的扇形的圆心角． 侧面积． 故答案为： 6．某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）． 【答案】 【分析】求出圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：圆锥形小丑帽子的底面半径为， 圆锥的底面周长为， 扇形木纸板的半径为， 扇形木纸板的面积为， 7．如图漏斗，圆锥形内壁的母线长为，开口直径为． （1）因直管部分堵塞，漏斗内灌满了水，则水深_________； （2）若将贴在内壁的滤纸（忽略漏斗管口处）展开，则展开滤纸的圆心角为_________． 【答案】 /180度 【分析】（1）勾股定理求出圆锥的高即可； （1）利用圆锥底面周长等于扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得，圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为； 即：水深cm； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴， ∴展开滤纸的圆心角为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求圆锥的高，以及求扇形的圆心角．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，是解题的关键． 8．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 9．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $