30.2 三角形的内切圆《知识解读·题型专练》2026-2027学年九年级数学上册（人教版）

本讲义聚焦初中数学“三角形的内切圆”核心知识点，以切线长定理为基础，系统衔接三角形内心的定义、性质及与外心的区别，延伸至圆与圆的位置关系，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过9类分层题型设计，结合例题与变式训练，培养学生几何直观与空间观念，如作内切圆提升动手能力，应用切线长定理求角度、长度等强化推理意识与模型意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过随堂检测查漏补缺，夯实知识。

30.2 三角形的内切圆（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 作三角形的内切圆】 2 【题型2 三角形内切圆中求角的度数】、 6 【题型3 三角形内心有关的应用】 9 【题型4 应用切线长定理求长度】 12 【题型5 应用切线长定理求周长】 15 【题型6 应用切线长定理求面积】 19 【题型7 应用切线长定理求角度】 23 【题型8 三角形的内切圆与外接圆的综合】 26 【题型9 圆与圆的位置关系】 29 知识点1 切线长及切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识点2 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 知识点3 圆和圆的位置关系 两圆外离d>R+r； 两圆外切d=R+r； 两圆相交R-r<d<R+r(R≥r)； 两圆内切d=R-r(R>r)； 两圆内含d<R-r(R>r)． 【题型1 作三角形的内切圆】 【例1】如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆． （2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，， 的周长为， ． 的面积为，， ， ， 它的内切圆的半径为． 【变式1-1】如图，在中，请利用尺规作图法作出的内心O．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作三角形的内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，分别作的角平分线，二者所在的直线交于点O，则点O即为所求． 【详解】解：如图所示，分别作的角平分线，二者所在的直线交于点O，则点O即为所求． 【变式1-2】（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【分析】本题主要考查了尺规作三角形内切圆，切线长性质定理， 对于（1），作的平分线，再作的平分线，交于点O，过点O作，交于点D，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求作； 对于（2），根据切线长定理得，再结合，可得答案． 【详解】解：（1）如图所示． （2）如图所示， ∵的内切圆与分别相切与点D，E，F， ∴． ∵， ∴， ∴． 则， ∴， 则， 即， 解得． 【变式1-3】已知：在中，， (1)利用直尺和圆规作的外接圆； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）分别作的垂直平分线，二者的交点为圆心，以为半径作圆，即可求解； （2）连接，，根据圆周角定理得出，证出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图即为所作． （2）解：如图，连接，， 则：， ， ， 是等边三角形， ， 即：的半径为6． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，三角形的外接圆，圆周角定理，等边三角形的性质和判定等，掌握作法及相关的定理是解题的关键． 【题型2 三角形内切圆中求角的度数】、 【例2】如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，点是的内心，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的内心、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．由题意易得，分别是，的角平分线，然后可得，进而根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点O是的内心， ∴，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-2】如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内心，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键．过点分别作于，于，于，得到点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作于，于，于， 直线， ， 点是的内心，即点为三个内角平分线的交点， ， ， 故选：D． 【变式2-3】如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内心的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、圆周角定理；由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据，由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：I是的内心， 分别平分， ，， ， ， ， ， 故选：D． 【题型3 三角形内心有关的应用】 【例3】如图，在中，，则的内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心的性质，勾股定理；设的内切圆的半径为r，切点为，过点A作于点D，设，则，根据勾股定理求得的值，即可得出，连接，根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，设的内切圆的半径为r，切点为，过点A作于点D， 设，则， ， 连接， ． 【变式3-1】如图，是的内切圆，分别连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内接圆得到，，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的内切圆， ∴，， ∴，， ∴ 故选：B． 【变式3-2】如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形面积以及切线的性质，正确将四边形分割成三角形是解题关键．利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出的半径． 【详解】解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，， 连接，，，，，，，，的半径为，如图： ，， 四边形的面积 ， 解得：． 故的半径为3． 故选：B． 【变式3-3】如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，与边交于点，延长交于点，延长交于点，则图中阴影部分的周长为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内心、正方形的判定与性质、勾股定理逆定理、平移的性质，连接，，由三角形内心的性质得出，由平移可得，，得到，从而得出，推出，同理可得：，即可得出的周长，由勾股定理逆定理得出，证明出四边形是正方形，求出的长即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ，点为的内心， 平分， ， 由平移可得：，， ，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得：， 的周长为， ， 为直角三角形， ， 四边形是矩形， 点为的内心， ， 四边形是正方形， ， 正方形的周长为， 图中阴影部分的周长为， 故选：B． 【题型4 应用切线长定理求长度】 【例4】如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为3，则其内切圆半径的长为________． 【答案】1.5 【分析】因为三角形为等边三角形，所以外接圆和内切圆共圆心，均为，过点作于点，利用直角三角形中对应边为斜边一半，求得长即为内切圆半径． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即其内切圆半径的长为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了等边三角形的内切圆和外接圆共圆心，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【变式4-1】如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为：8． 【变式4-2】如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：A． 【变式4-3】如图，的内切圆与分别相切于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理，由切线长定理得，，，设，，，根据题意列出方程组解答即可求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点， ∴，，， 设，，， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 【题型5 应用切线长定理求周长】 【例5】如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为，则，，得到的周长为，勾股定理求出，利用，求出，证明四边形是正方形，得到，求出，即可得到结果． 【详解】解：如图，设与三边的切点分别为，与的切点为，连接，设的半径为， 则，， ∴的周长为， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 【变式5-1】如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 【变式5-2】如图，是外一点，分别和相切于点A、B，点是弧上任意一点，过点作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为___________． 【答案】30 【分析】本题考查切线长定理，由分别和相切于点A、B，得；因为过C作的切线分别交于点D、E，所以，，所以，即可求出的周长． 【详解】解：∵分别和相切于点A、B， ∴， ∵过C作的切线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴的周长为30． 故答案为：30． 【变式5-3】如图，已知在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A、B分别作⊙O的切线，两切线交于点P，若⊙O的半径为1，则△PAB的周长为 ____________． 【答案】 【分析】过点A作直径AD，连接BD，则△ABD是直角三角形，且∠ADB=60°，根据三角函数即可求得AB的长，根据切线长定理以及弦切角定理，即可证明△PAB是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：过点A作直径AD，连接BD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD=90°， ∵∠C=60°， ∴∠ADB=∠C=60°， ∴∠BAD=30°， ∵⊙O的半径为1， ∴AD=2， ∴AB=AD•sin60°=， ∵AP为切线， ∴∠DAP=90°，∠PAB=60°， 又∵AP=BP， ∴△PAB为等边三角形， ∴△PAB的周长=3AB=3． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理，勾股定理，切线长定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【题型6 应用切线长定理求面积】 【例6】如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-1】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（   ） A．4 B．6.25 C．9 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、切线的性质、切线长定理，熟练掌握切线长定理求内切圆半径是解题的关键． 先判断的形状，再利用切线长定理求出内切圆半径，最后计算四边形的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是内切圆，切点为、、， ∴，，，四边形是正方形， 设内切圆半径为，则， 由切线长定理：， ∴， ∴四边形的面积， 故选：A． 【变式6-2】如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则ABC的面积是______． 【答案】6 【分析】根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接DO，EO， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=2，AF=AE=3又∵∠C=90°，∴四边形OECD是矩形，又∵EO=DO，∴矩形OECD是正方形，设EO=x，则EC=CD=x，在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2故（x+2）2+（x+3）2=52，解得：x=1，∴BC=3，AC=4，∴S△ABC=×3×4=6.故答案为：6． 【点睛】本题主要考查三角形内切圆与内心，根据题意得出四边形OECF是正方形以及运用方程思维和勾股定理进行分析是解题的关键． 【变式6-3】在梯形中，，，以为直径的半圆切于点M，若这个梯形的面积是，周长是，则半圆O的半径为________． 【答案】 【分析】由切线长定理可得，，从而可得，再根据梯形的周长和面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，由切线长定理可得，， ∴， 设半圆O的半径为，则， ∵这个梯形的面积是，周长是， ∴，， ∴， 整理可得：， 解得：或 ， 当时，，，此时，不符合题意，舍去， ∴，即半圆O的半径为． 【题型7 应用切线长定理求角度】 【例7】如图，分别与相切于两点，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键． 连接，由与都为圆O的切线，利用切线的性质得到垂直于垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知的度数求出的度数，在四边形中，根据四边形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， 则． 故选D． 【变式7-1】如图，、是的切线，切点为A、D，点B、C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 【详解】解：连接， 、是的切线，切点为A、D，点B、C在上， 四边形是的内接四边形， ， 、是的切线，切点为A、D， 根据切线定理得出：， ， ， ， 故选：B． 【变式7-2】如图、分别与相切，切点分别为，，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握切线长定理是解决此题的关键．由切线长定理得到，由等腰三角形的性质得，再由三角形的内角和即可得解． 【详解】解：、分别与相切， ， ， ， ， ， 故选：B ． 【变式7-3】已知：如图，为的直径，是的切线，A、C为切点，．则的度数为_____．    【答案】56° 【分析】由圆的切线的性质，得，结合得．由切线长定理得到，得是等腰三角形，从而可得． 【详解】∵是的切线，为的直径， ∴，即． ∵， ∴． 又∵切于点A、C， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题着重考查了圆的切线的性质定理、切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质定理和切线长定理． 【题型8 三角形的内切圆与外接圆的综合】 【例8】如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选：C． 【变式8-1】如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心，且结合切线性质 ∴ ∵ ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：B． 【变式8-2】如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（    ） A．60° B．65 C．70° D．75° 【答案】B 【分析】利用三角形内心的性质得OB，OC分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案． 【详解】解：连接OB，OC，如图， 点 O 是△ABC 的内心， ，， ， ， 点 O是△DBC 的外心， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键． 【题型9 圆与圆的位置关系】 【例9】如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（     ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆相切的性质，分两圆外切和两圆内切两种情况讨论，利用圆心距等于两半径之和或之差求解． 【详解】解：设圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，则 ，． 两圆相切， 分两圆外切和两圆内切两种情况： 当两圆外切时，如图1，圆心距 ； 当两圆内切时，如图2，圆心距 ． 综上所述，， 两点的距离等于或． 【变式9-1】已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【答案】D 【分析】根据两圆圆心距、半径与两圆位置和公共点个数的对应关系即可求解． 【详解】解：和的半径分别是5和7，且，， A、当时，，两圆内切，有1个公共点，故A错误； B、当时，，两圆相交，有2个公共点，故B错误； C 当时，，两圆内含，没有公共点，故C错误； D 当时，，两圆相交，有2个公共点，故D正确． 【变式9-2】已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆与圆的位置关系，两圆有公共点包含相切和相交两种情况，求出两种临界情况的半径即可得到r的取值范围． 【详解】解：∵半径为4，两圆圆心距， 当内切于时，的半径，此时两圆有一个公共点，符合要求； 当内切于时，的半径，此时两圆有一个公共点，符合要求； 当时，两圆相交，有两个公共点，符合要求； ∴与有公共点时，的半径r的取值范围是． 【变式9-3】如图，的外接的半径为5，，点P为的中点，以点P为圆心作，若与相切，则的半径为（　　） A．3 B．3.5 C．2或8 D．2或4 【答案】C 【分析】本题考查相切两圆的性质，分两种情况，由相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 当在的内部时，两圆相切于M，如图（1）， ∴， ∴此时的半径为2， 当在的外部时，两圆相切于N，如图（2）， ∴， ∴此时的半径为8， ∴的半径为8或2． 故选：C． 随堂检测 【随堂检测】 1．三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 2．如图，在中，，点I是的内心，连接，则的度数是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形内心的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再由内心的定义得到分别平分，根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的内心等知识，熟练掌握三角形的内心的定义是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形的内心可得平分，平分，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，任意长为半径画弧交射线，于两点，分别以这两点为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，以下说法中错误的是（    ）    A．点到边的距离相等 B．平分 C．点是的内心 D．点到三点的距离相等 【答案】D 【分析】根据作图先判断平分，再由三角形内心的性质解答即可． 【详解】解：A．由作图可知，是的平分线， ∴I到边的距离相等，故选项正确，不符合题意； B．∵平分，三角形三条角平分线交于一点， ∴平分，故选项正确，不符合题意； C．由上可知，I是的内心，故选项正确，不符合题意， D．∵I是的内心， ∴I到的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质． 5．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 6．如图是的内切圆，切点分别是D，E，F，其中，若与相切与G点，与相交于M，N点，则的周长等于 _______．    【答案】14 【分析】根据切线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：∵是的内切圆，且与相切于点G；    根据切线长定理，设，，，； ∵， ∴．解得， ∴的周长， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长定理，三角形周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 7．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，，，，，I为的内心，则______．    【答案】 【分析】此题重点考查勾股定理、三角形的内心的性质、正方形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点于点于点，连接、、，由 ，求得，因为为的内心，所以，则四边形是正方形，设，则，求得 ，由，求得 ，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点于点 于点，连接、、，    ∴四边形是矩形， ∵为的内心， ∴四边形是正方形， 设 解得， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.2 三角形的内切圆（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 作三角形的内切圆】 2 【题型2 三角形内切圆中求角的度数】、 4 【题型3 三角形内心有关的应用】 5 【题型4 应用切线长定理求长度】 6 【题型5 应用切线长定理求周长】 6 【题型6 应用切线长定理求面积】 8 【题型7 应用切线长定理求角度】 8 【题型8 三角形的内切圆与外接圆的综合】 10 【题型9 圆与圆的位置关系】 10 知识点1 切线长及切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识点2 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 知识点3 圆和圆的位置关系 两圆外离d>R+r； 两圆外切d=R+r； 两圆相交R-r<d<R+r(R≥r)； 两圆内切d=R-r(R>r)； 两圆内含d<R-r(R>r)． 【题型1 作三角形的内切圆】 【例1】如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【变式1-1】如图，在中，请利用尺规作图法作出的内心O．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1-2】（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 【变式1-3】已知：在中，， (1)利用直尺和圆规作的外接圆； (2)若，求的半径． 【题型2 三角形内切圆中求角的度数】、 【例2】如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，点是的内心，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型3 三角形内心有关的应用】 【例3】如图，在中，，则的内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，是的内切圆，分别连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【变式3-3】如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，与边交于点，延长交于点，延长交于点，则图中阴影部分的周长为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【题型4 应用切线长定理求长度】 【例4】如图，等边三角形ABC的外接圆的半径OA的长为3，则其内切圆半径的长为________． 【变式4-1】如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【变式4-2】如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-3】如图，的内切圆与分别相切于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型5 应用切线长定理求周长】 【例5】如图，在中，，，，是的内切圆，是的切线，交，分别于点．则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【变式5-1】如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【变式5-2】如图，是外一点，分别和相切于点A、B，点是弧上任意一点，过点作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为___________． 【变式5-3】如图，已知在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A、B分别作⊙O的切线，两切线交于点P，若⊙O的半径为1，则△PAB的周长为 ____________． 【题型6 应用切线长定理求面积】 【例6】如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积是（   ） A．4 B．6.25 C．9 D．16 【变式6-2】如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则ABC的面积是______． 【变式6-3】在梯形中，，，以为直径的半圆切于点M，若这个梯形的面积是，周长是，则半圆O的半径为________． 【题型7 应用切线长定理求角度】 【例7】如图，分别与相切于两点，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，、是的切线，切点为A、D，点B、C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图、分别与相切，切点分别为，，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式7-3】已知：如图，为的直径，是的切线，A、C为切点，．则的度数为_____．    【题型8 三角形的内切圆与外接圆的综合】 【例8】如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【变式8-2】如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（    ） A．60° B．65 C．70° D．75° 【题型9 圆与圆的位置关系】 【例9】如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（     ） A．或 B． C． D． 【变式9-1】已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【变式9-2】已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，的外接的半径为5，，点P为的中点，以点P为圆心作，若与相切，则的半径为（　　） A．3 B．3.5 C．2或8 D．2或4 随堂检测 【随堂检测】 1．三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 2．如图，在中，，点I是的内心，连接，则的度数是（    ） 　 A． B． C． D． 3．如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，任意长为半径画弧交射线，于两点，分别以这两点为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，以下说法中错误的是（    ）    A．点到边的距离相等 B．平分 C．点是的内心 D．点到三点的距离相等 5．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 6．如图是的内切圆，切点分别是D，E，F，其中，若与相切与G点，与相交于M，N点，则的周长等于 _______．    7．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 8．如图，在中，，，，，I为的内心，则______．    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $