30.1 直线与圆《知识解读·题型专练》2026-2027学年九年级数学上册（人教版）

本讲义聚焦初中数学“直线与圆”核心知识点，系统梳理直线与圆相交、相切、相离的位置关系（含d与r关系、公共点个数），以及切线的判定定理（连半径证垂直、作垂直证半径）和性质定理（切线垂直过切点的半径）。通过表格梳理基础概念，再分9大题型（判断位置关系、求半径/距离、证明切线等），配合例题与变式构建完整学习支架。 资料以核心素养为特色，通过多样化题型（如判断位置关系、证明切线）培养几何直观与推理能力，动态平移问题（如圆平移相切）渗透模型意识。课中辅助教师分层教学，课后学生可通过变式练习强化知识应用，有效查漏补缺。

30.1 直线与圆（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 判断直线与圆的的位置关系】 2 【题型2 已知直线与圆的的位置关系求半径的取值范围】 3 【题型3 已知直线与圆的的位置关系求圆心到直线的距离】 3 【题型4 连半径证明某直线是圆的切线】 4 【题型5 作垂直证明某直线是圆的切线】 5 【题型6 切线性质的应用】 7 【题型7 切线的判定和性质的综合应用】 8 【题型8 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 10 【题型9 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 11 知识点1 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 知识点2 切线的判定定理和性质定理 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 【题型1 判断直线与圆的的位置关系】 【例1】如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式1-1】已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式1-2】如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【变式1-3】如图是江边的一幅景象，若将图中的江面和太阳分别看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 【题型2 已知直线与圆的的位置关系求半径的取值范围】 【例2】已知的半径为4，点到直线的距离为d．若直线与公共点的个数为2，则的值可能为（    ） A．5 B． C．4 D． 【变式2-1】如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【变式2-2】如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． 【题型3 已知直线与圆的的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知与直线无公共点，若半径为，则圆心到直线的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【题型4 连半径证明某直线是圆的切线】 【例4】如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式4-1】如图，是的直径，弦平分，，垂足为E．试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式4-2】如图，在中，，O是底边的中点，与腰相切于点D，求证：与相切． 【变式4-3】如图，中，，点O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 【题型5 作垂直证明某直线是圆的切线】 【例5】如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由． 【变式5-1】如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 【变式5-2】如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式5-3】如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，试求的长． 【题型6 切线性质的应用】 【例6】如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，，是的切线，A，B是切点．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【题型7 切线的判定和性质的综合应用】 【例7】如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式7-1】如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 【变式7-2】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E． (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长． 【变式7-3】如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【题型8 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【变式8-1】如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 【变式8-2】如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是_______________．    【题型9 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例9】如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为________ 时，与直线相切． 【变式9-1】如图，已知在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为(3，－3)，当该圆向上平移________个单位时，它与x轴相切． 【变式9-2】如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【变式9-3】已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移______，才能使与相切? 随堂检测 【随堂检测】 1．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．的半径为3，点到直线l的距离为4，则反映直线l与位置关系的图形（　　） A． B． C． D． 3.如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且．则这个油桶的底面半径是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，点在上，是的切线，为切点，连接并延长交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，均为的切线，分别为切点，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，D是上的一点，以为直径的与相切于点E，连接、，若，，则的直径为（   ） A．4 B． C．5 D． 8．已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 9．如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 10．如图，是抛物线上的一点，以点为圆心、1个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为___________ 11．如图，在中，，过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则的度数为______． 12．如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.1 直线与圆（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 判断直线与圆的的位置关系】 2 【题型2 已知直线与圆的的位置关系求半径的取值范围】 3 【题型3 已知直线与圆的的位置关系求圆心到直线的距离】 5 【题型4 连半径证明某直线是圆的切线】 7 【题型5 作垂直证明某直线是圆的切线】 12 【题型6 切线性质的应用】 16 【题型7 切线的判定和性质的综合应用】 19 【题型8 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 25 【题型9 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 28 知识点1 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 知识点2 切线的判定定理和性质定理 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 【题型1 判断直线与圆的的位置关系】 【例1】如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 【变式1-1】已知圆的半径是，如果圆心到直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离，然后比较即可求解． 【详解】解：根据题意得圆的半径，圆心到直线的距离， ∵， ∴根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交， ∴直线和圆的位置关系是相交． 【变式1-2】如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】比较圆的半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到位置关系，规则为：时直线与圆相交，时相切，时相离． 【详解】解：∵的半径，圆心到直线的距离， ∴， 根据判定规则可得和直线的位置关系是相交． 【变式1-3】如图是江边的一幅景象，若将图中的江面和太阳分别看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 【题型2 已知直线与圆的的位置关系求半径的取值范围】 【例2】已知的半径为4，点到直线的距离为d．若直线与公共点的个数为2，则的值可能为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据公共点个数判断位置关系，再结合半径确定的取值范围，从而选出符合条件的选项． 【详解】解：∵直线与的公共点个数为2， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离半径． 观察选项，只有，符合条件； 故选：D． 【变式2-1】如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 【变式2-2】如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 【变式2-3】如图，若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，圆的性质，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据点到直线的距离，确定点所在的直线，然后根据圆的性质确定半径的取值范围即可． 【详解】解：如图所示， 到直线的距离为1的点在两条与平行的直线上，即和轴， ∵若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，圆心坐标为，直线为， ∴圆与直线有两个交点，与轴无交点， ∴， 故选：B． 【题型3 已知直线与圆的的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【变式3-1】已知与直线无公共点，若半径为，则圆心到直线的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 由直线与圆无公共点可知两者相离，圆心到直线的距离大于半径，据此判断即可． 【详解】解：根据题意得，与直线无公共点， 则直线与相离， 因此圆心到直线的距离大于， 选项中只有， 故选：A． 【变式3-2】已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 【变式3-3】已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 【题型4 连半径证明某直线是圆的切线】 【例4】如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理和含直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定和性质，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，求出，得出，根据切线的判定得出即可； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∵为的斜边上的中线， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：∵为的斜边上的中线， ． 【变式4-1】如图，是的直径，弦平分，，垂足为E．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】与相切，理由见解析 【分析】本题考查了证明某直线是圆的切线，连接，由得，由AD平分得，推出，，即可求证； 【详解】解：与相切，理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与相切． 【变式4-2】如图，在中，，O是底边的中点，与腰相切于点D，求证：与相切． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，切线的性质和判定，等腰三角形的性质， 连接，作，根据等腰三角形的性质，再根据切线的性质得，然后根据角平分线性质定理的逆定理得，即可得出答案． 【详解】连接，过点O作于E， ∵，O是底边的中点， ∴. ∵与相切于点D， ∴. ∵， ∴. ∵为的半径， ∴与相切． 【变式4-3】如图，中，，点O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查切线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及判定、扇形面积公式及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）过点O作于点G，连接，由题意易得平分，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得为等腰直角三角形，则有四边形是正方形，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】（1）证明：过点O作于点G，连接，如图所示： ∵腰与相切于点D， ∴， ∵，点O是底边的中点， ∴平分，， ∴， ∵都是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：如图（1）， ∵，， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【题型5 作垂直证明某直线是圆的切线】 【例5】如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由． 【答案】相切；理由见解析 【分析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了角平分线定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键． 【详解】解：相切，理由如下， 过点P作于点E，    ∵点是平分线上一点， ∴， 即为的半径， ∴与相切． 【变式5-1】如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)证明：如图，过点作于点， ， ， 平分交于点，， ， 点在上， 又， 与相切； (2) 【分析】（1）过点作于点，首先根据角平分线的性质证明，继而根据切线的判定定理证明与相切． （2）通过证明，得到，根据勾股定理得到，继而得到，在中根据勾股定理解得． 【详解】（1）略； （2）解：，， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 圆的半径为， ， ， ， 在中，，即，解得：， 圆的半径． 【变式5-2】如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定性质、等腰三角形性质与角平分线性质、勾股定理与方程思想． （1）通过作辅助线构造垂线段，利用等腰三角形“三线合一”得角平分线，结合角平分线性质证明垂线段等于半径，从而判定切线． （2）先在中求出半径，再设，利用等腰三角形三线合一与勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，，作于点． ∵，为的中点， ∴平分． ∵与相切于点， ∴是的半径，， ∵，平分， ∴． ∴也是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，，， ∴． 设，则． ∵，为的中点， ∴，即． 在中，； 在中，， ∴， 展开化简得，解得， ∴． 【变式5-3】如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用角平分线的性质证明，再根据切线的判定求解； （2）先利用勾股定理求得，再证明，从而可求得，进而求得，设的半径为，再利用勾股定理得到关于的方程求解，从而可求得． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， 又为半径，， ∴是的切线； （2）∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），证明某直线是圆的切线，切线的性质定理，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【题型6 切线性质的应用】 【例6】如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，进而求得的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴ 【变式6-1】如图，，是的切线，A，B是切点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，，即， ∵， ∴． 【变式6-2】如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再求出，再结合圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图： ∵五边形是正五边形， ∴， ∵点，分别是边，与的切点， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．利用切线长定理得出，结合三角形周长及等量代换求解即可 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 【题型7 切线的判定和性质的综合应用】 【例7】如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）根据切线的性质得到，求得．根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接．    ， ， ， ， ， ． ， ， 是的切线； （2）解：，为直径， 是的切线． 是的切线， ， ， ． ， 在中，， ， ． 的半径为1． 【变式7-1】如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：，又为的半径， 为的切线；    (2) 【分析】（1）连接、，由圆周角定理，得到，然后由平行线的判定和性质，即可得到结论成立； （2）由题意，先求出的半径，然后由弧长公式进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， 则， 由（1）可知：， 为直角三角形， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， 为等边三角形， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，切线的判定定理，以及平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 【变式7-2】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E． (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长． 【答案】(1)DE是⊙O的切线，理由见解析； (2)DE的长为． 【分析】（1）连接OD，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DE，从而证得DE是⊙O的切线； （2）由等腰三角形的性质求出BD=CD=8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案． 【详解】（1）解：DE是⊙O的切线，理由如下： 连接OD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：连接AD， ∵∠ADB=90°，AB=AC， ∴BD=CD， ∵⊙O的半径为5，BC=16， ∴AC=AB=10，CD=8， ∴AD= ， ∵S△ADC=AC•DE=AD•CD， ∴DE=． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的判定与性质是解题的关键． 【变式7-3】如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，则，求得，所以的半径长为． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 【题型8 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 【变式8-1】如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 【变式8-2】如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是_______________．    【答案】/ 【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 【题型9 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例9】如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为________ 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 【变式9-1】如图，已知在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为(3，－3)，当该圆向上平移________个单位时，它与x轴相切． 【答案】1或5 【详解】欲求直线和圆有几个公共点，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较． 若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 解答：解：设圆的半径为r，圆心到直线的距离d，要使圆与x轴相切，必须d=r； ∵此时d=3， ∴圆向上平移1或5个单位时，它与x轴相切． 【变式9-2】如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 【变式9-3】已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移______，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 随堂检测 【随堂检测】 1．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆的位置关系：①当时，直线与相交；②当时，直线与相切；③当时，直线与相离；据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为，且， ∴直线与的位置关系是相交． 2．的半径为3，点到直线l的距离为4，则反映直线l与位置关系的图形（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握判断方法是解题的关键．根据圆的半径和圆心到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：⊙的半径为3，圆心到直线l的距离为4， ，即：， 直线l与的位置关系是相离，如图所示， 故选：D． 3.如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且．则这个油桶的底面半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质和正方形的判定、性质，解题关键是理解和掌握切线的性质． 根据切线的性质，连接过切点的半径，构造正方形求解即可． 【详解】解：如图； 设油桶所在的圆心为O，连接 ∵与相切于点A、C， ∴ 又∵ ∴四边形是正方形， ∴ 故选：D． 4．如图，是的直径，点在上，是的切线，为切点，连接并延长交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．根据切线的性质，可以先得出为直角；再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出，从而得到的度数． 【详解】解：∵是的切线，是的直径， ， ， ， ， 故选：C． 5．如图，均为的切线，分别为切点，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，熟记圆的切线长定理是解决问题的关键． 根据题意，由切线长定理得到，数形结合表示出的周长，等量代换转化为求解即可得到答案． 【详解】解： 均为的切线，分别为切点， 由切线长定理可知， 的周长 （）， 故选：D． 6．如图，是的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了切线的性质定理、圆周角定理等知识．连接，根据切线性质得到，由四边形内角和求出，由圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是的两条切线， ， ∴， 根据四边形内角和得到 ， 根据圆周角定理得出． 故选：C 7．如图，在中，，D是上的一点，以为直径的与相切于点E，连接、，若，，则的直径为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】连接，由30度角所对的直角边等于斜边一半，可得，再结合圆的切线的性质，证明出是等边三角形，进而得出，，最后得出，求出半径，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 与相切于点E， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 的直径为4． 8．已知半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是________． 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断直线与圆位置关系． 【详解】解：∵半径为，圆心O到直线的距离为，， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即直线与相交． 9．如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 【答案】/74度 【分析】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 10．如图，是抛物线上的一点，以点为圆心、1个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为___________ 【答案】或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，切线的性质，根据题意得到点的纵坐标为1或，然后代入求解即可． 【详解】解：∵的半径为1，当与轴相切时， ∴点P到x轴的距离为1 ∴点的纵坐标为1或， 当时， 解得； 当时， 解得； ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 11．如图，在中，，过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的性质和判定， 先连接，根据切线的性质得，进而得出，再根据平行线的性质得，然后根据圆周角定理求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $