基础集训11 不等式-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦不等式性质、解法及应用，通过分层题型系统覆盖一轮复习核心考点，强化运算能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质与解法|10题（单选1-5、多选9-10、填空12）|判断性质正误、求解各类不等式解集|从不等式基本性质推导解法，建立“性质-解法-应用”逻辑链| |基本不等式应用|7题（单选6-8、多选11、填空13-14）|条件最值计算、多变量关系转化|围绕“一正二定三相等”条件，训练代数式变形与最值推导| |综合应用|5题（解答15-19）|函数不等式、实际问题建模|结合函数与方程思想，培养用数学语言表达现实问题的模型意识|

2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训11 不等式部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：不等式部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题 1．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，结合的条件逐一验证各选项的恒成立性. 【详解】选项A.已知，则， 已知，则. 因此，故A错误. 选项B.已知，则. 因为，则，故B正确. 选项C.由，所以，进而，故C错误. 选项D.取，左边，右边，，不等式不成立，故D错误. 2．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可． 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 3．若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，则，所以，故B正确； 对于选项C：因为，则，所以，故C正确； 对于选项D：可得，故D错误. 4．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 5．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可． 【详解】，，， 即，解得， 所以不等式的解集为. 6．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 7．已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 8．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 二、多选题 9．已知，，为正实数，并且，则下列结论正确的有（     ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A.借助均值不等式求最值；B. 借助二次函数求最值；C. 借助导数求最值；D .先分离完成分式放缩，再对单变量求导求最小值. 【详解】，逐一验证选项： 选项 A： , 由均值不等式，，当且仅当时取等号, ，最大值 2，A 正确； 选项 B：由得， 所以， 设二次函数，开口向下，对称轴， 最大值，B 错误； 选项 C： 得，， 设，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当，取得最大值是，的最大值是，C 正确； 选项 D：得 ， 由，， 当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ，令 ，令，， 当，，单调递减；当，，单调递增； 所以时，取得最小值，所以， 故的最小值是，D 正确. 10．已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 【答案】BD 【分析】根据题意，利用不等式的性质，作差比较法，以及基本不等式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且， 由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，所以D正确. 11．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 三、填空题 12．已知一元二次方程的两个根为和，则__________. 【答案】 3 【详解】由题设，根据韦达定理得， 所以. 13．已知实数满足，当取得最大值时，________. 【答案】 【分析】将已知方程视为关于的一元二次方程，利用可得的最大值，代入原方程即可解此时的值. 【详解】已知， 将原方程整理为关于的一元二次方程：， 因为是实数，所以该方程的判别式， 即， 解得，所以的最大值为， 将代入原方程可得， 解得. 14．已知，，且满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】方法一：令，令，变形得到，由基本不等式得最小值为． 方法二：设其中，．令再令，得到，由基本不等式得到最小值为. 【详解】方法一：令，由，得 令 因为，所以，且从而 于是，， ， 因为，所以由基本不等式得， 因此，当且仅当，即 时等号成立． 此时 由，，得 此时，，且，所以所求最小值为． 方法二：设其中，． 由 ，得 因此， ， 令则， 且 再令 则 由基本不等式 所以 当 ，即时等号成立． 此时，所以． 结合，得 故所求最小值为 ． 四、解答题 15．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，不等式等价于，             ∴．                              ∴或． ∴不等式的解集为． （2）∵不存在实数x，使得不等式成立， ∴不等式的解集为空集．               ∴方程的判别式，即，                  ∴．∴实数b的取值范围为． 16．方程的两根分别为、． (1)求、； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由可得，又，所以， 解得 或，所以，. （2）由韦达定理可得，， 所以. 17．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个全等的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为（单位：m） (1)设长为（单位：m），求出关于的函数解析式； (2)设总造价为（单位：元），求出关于的函数关系式； (3)当为何值时，总造价最小，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)当时，取得最小值为. 【分析】（1）利用十字形地域的面积表达式，可求得关于的函数解析式； （2）分别求出三部分造价并相加即可得出关于的函数表达式； （3）利用基本不等式可求得当时，取得最小值为. 【详解】（1）根据题意可知十字形地域的面积为4个阴影部分面积加上一个正方形的面积， 因此，即，因为，所以； 可知. （2）由题意可知正方形的造价为元， 花岗岩地坪造价为， 草坪造价为； 所以总造价. 因此关于的函数关系式为； （3）易知; 当且仅当时，即时，等号成立； 因此当时，取得最小值为. 18．已知函数的图象关于点对称． (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）变形后得到在区间单调递减，从而得到不等式，由根的判别式分两种情况，求出不等式的解集 【详解】（1）因为的图象关于点对称， 所以恒成立 即， 所以， 所以，即， 所以． （2）因为，所以， 由此可知，函数在区间单调递减， 因为，， 所以，即， 其中， 当时，，不等式的解集为R； 当时，，不等式的解集为． 19．设，，记． (1)证明：； (2)若，求b的取值范围． 【答案】(1)由， 由，且， 所以，当且仅当时取等号； (2) 【分析】（1）由题设，再应用基本不等式证明即可； （2）由题设得且，结合对勾函数的单调性求的范围，进而求b的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由及，知， 又，故，即，且， 由，知，结合，知， 注意到在上单调递减，在上单调递增， 且，，，而， 所以，从而. 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训11 不等式部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：不等式部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题 1．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 4．设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 8．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，为正实数，并且，则下列结论正确的有（     ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 10．已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 11．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 三、填空题 12．已知一元二次方程的两个根为和，则__________. 13．已知实数满足，当取得最大值时，________. 14．已知，，且满足，则的最小值为______． 四、解答题 15．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 16．方程的两根分别为、． (1)求、； (2)求． 17．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个全等的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为（单位：m） (1)设长为（单位：m），求出关于的函数解析式； (2)设总造价为（单位：元），求出关于的函数关系式； (3)当为何值时，总造价最小，并求出这个最小值． 18．已知函数的图象关于点对称． (1)求实数的值； (2)求关于的不等式的解集． 19．设，，记． (1)证明：； (2)若，求b的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $