基础集训10 函数 试卷-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 2027届新高考I卷数学一轮复习函数基础集训卷，贴合真题难度，聚焦函数奇偶性、周期性等核心概念，通过定义法证明单调性、新定义“偏差”等设计，强化数学思维与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数奇偶性（1题）、周期性（3题）、定义域（4题）|基础概念辨析，如判断偶函数、求周期函数值| |多选题|3/15|单调性（9题）、零点问题（11题）|选项分层设计，如第11题结合极值点与参数范围| |填空题|3/15|函数性质综合（13题）、图像应用（14题）|多性质融合，如13题偶函数周期性求函数值| |解答题|5/80|定义法单调性（15题）、新定义“偏差”（19题）|回归课本（15题定义证明）与创新应用（19题新定义探究）结合，贴合高考命题趋势|

2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训10 函数部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：函数部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题 1．下列函数中是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．已知是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义域为的函数满足，，当时，，则（    ） A． B．2 C． D．3 6．函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 7．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，设，则在上的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9．已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．的解集为或 B．为偶函数 C． D．，不等式恒成立 11．已知函数，其中，则（ ） A．若函数有且仅有1个零点，则 B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．存在，使函数存在唯一的极值点 D．若对恒成立，则 三、填空题 12．已知函数，则__________． 13．已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则________． 14．对于任意的实数，设函数取，两个函数值中的最小值，若恰有2个零点，则的取值范围是__________． 四、解答题 15．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 16．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 17．已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．已知函数，． (1)当时，求证：函数是奇函数； (2)当时，求的最小值． 19．若定义在非空集合上的函数，以及函数，且函数，的最大值称为，的“偏差”． (1)函数，，，求，的“偏差”： (2)函数，，，若，的“偏差”为3，求的值； (3)函数，，，当，的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训10 函数部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：函数部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题 1．下列函数中是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义逐项判断. 【详解】对于A：的定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，A错误； 对于B：的定义域为，，故不是偶函数，B错误； 对于C：的定义域为，，故是偶函数，C正确； 对于D：的定义域为，，故是奇函数，D错误. 2．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的性质求解即可. 【详解】已知函数为奇函数，则，解得. 因为，所以，解得. 因此. 3．已知是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，， 可得，即函数关于中心对称，所以， . 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得且， 故定义域为 5．已知定义域为的函数满足，，当时，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得. 【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数， 又，所以， 所以，则是周期为的周期函数， 又因为，即， 又当时，，所以，解得， 所以， 所以. 6．函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过求函数的零点排除部分选项，再根据时的函数极限值确定最终选项； 【详解】令，即，因为恒成立，所以或， 即函数的图象与轴有两个交点，分别为和， A选项：图象在时恒小于0，无正零点，排除；A错误 C选项：图象在处有一个零点，与题意不符，排除；C错误 对于B、D选项，当时，且，所以，B、D均符合。 考虑时，，故D选项符合题意。 故选：D. 7．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，所以. 又因为函数周期，因此， ，且， 则 因此. 8．已知函数，设，则在上的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先令推出，令，作出函数与函数的图象即可判断. 【详解】由题得，，令，则，解得， 因为，因此，解得， 故，此时，满足条件. 令，由，则，则， 作出函数与函数的图象如下： 由图知，函数在上的零点个数为2. 二、多选题 9．已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 10．已知函数，则（    ） A．的解集为或 B．为偶函数 C． D．，不等式恒成立 【答案】BCD 【分析】利用一元二次不等式的解法即可验证A项，利用偶函数的定义即可验证B项；化简函数，得到函数在单调递减，在单调递增，利用单调性得到即可验证C项；由函数为偶函数和其单调性，将，不等式恒成立，转化为，不等式恒成立，即恒成立即可验证D项. 【详解】对于A项，即，化简得到，解得，故A错误； 对于B项，定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数，故B正确； 对于C项， ， 因为在单调递增，所以在单调递增， 所以函数在单调递减， 因为为偶函数，所以函数在单调递增， 所以，故C正确； 对于D项，因为为偶函数，函数在单调递增，单调递减， 所以要证，不等式恒成立， 等价于，不等式恒成立，即恒成立 因为恒成立， 所以，不等式恒成立，故D正确. 11．已知函数，其中，则（ ） A．若函数有且仅有1个零点，则 B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．存在，使函数存在唯一的极值点 D．若对恒成立，则 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，由分离参数法构造函数，利用导数确定函数性质判断AD；求出导数并分离参数构造函数，再利用导数确定函数性质判断BC. 【详解】对于A，由，得，令，求导得， 由，得或，由，得， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减， 在上单调递增，函数值集合为，函数的图象如下： 直线与函数的图象当且仅当有一个公共点，则，A正确； 对于B，，函数有且仅有2个极值点，则有两个变号零点， 由，得，令，求导得， 由，得，由，得或， 函数在上单调递增，在上单调递减，函数的图象如下： 直线与函数的图象有两个交点，则， 因此函数有且仅有2个极值点，a的取值范围是，B错误； 对于C，由选项B知，当时，直线与函数的图象仅有一个交点， 此时函数有且仅有一个变号零点，即函数有唯一的极值点，C正确； 对于D，， 由选项A，得当时，，因此，D正确. 三、填空题 12．已知函数，则__________． 【答案】 【详解】因为，所以. 13．已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则________． 【答案】 / 【分析】先利用偶函数性质将转化为，再结合周期为2的性质将自变量转化到区间内，代入已知解析式计算即可. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 由可知，函数是周期为的周期函数， 因此. 因为，所以， 故. 14．对于任意的实数，设函数取，两个函数值中的最小值，若恰有2个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用零点与方程思想，结合二次函数分类讨论零点存在的区间，即可得到参数的取值范围. 【详解】设，，则 ， 由二次函数的判别式 ， 当时，，此时， 由于有两个零点，都满足， 所以的两个零点就是的两个零点，故满足题意； 当 时，，， 此时由于，开口向上， 的两零点分别位于 和 ，都满足 ， 所以的两个零点就是的两个零点，故满足题意； 当 时，，， 此时由于，开口向上，有一个零点在 ，另一个零点在 ， 所以的一个零点和在 的一个零点就是的两个零点，故满足题意； 当时，的零点为，由于有两个零点， 仍然满足只有两个零点，故满足题意； 当时，的零点为，由于有两个零点， 此时有三个零点和，故不满足题意； 当 时，，， 因为，所以设两个零点分别为，则， 可知，此时有四个零点和，此时不符合题意， 综上，的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 16．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)；. (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）结合幂函数和一次函数定义，通过待定系数法求解方程； （2）根据二次函数性质结合给定区间求解最值即可. 【详解】（1）设幂函数，因为过点， 代入得：，得，因此 . 设一次函数，由题意：，得， 又过点，则，解得，故. （2）由题意得：，对称轴为， 且，则最大值在对称轴处取得：； 由，，可得最小值为. 所以在上的最大值为，最小值为. 17．已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出解析式，根据条件得到方程组，求出解析式； （2）转化为，分，和三种情况，得到不等式，求出答案 【详解】（1）设， 由，得， 即， 所以，解得， 所以，当时，取到最小值. 又的最小值为5，所以，解得. 所以. （2）由（1）知，所以不等式， 即. 当时，二次函数开口向下， 不等式不可能对恒成立； 当时，不等式，即，其对恒成立； 当时，不等式，即， 因为对，不等式恒成立， 所以，即， 化简可得，所以且，解得或， 又，所以或. 综上所述，或，即实数的取值范围是. 18．已知函数，． (1)当时，求证：函数是奇函数； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)当时，，定义域为， 因为，即， 所以函数是奇函数 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明. （2）利用基本不等式求和的最小值. 【详解】（1）略 （2）由函数解析式可得 ， ， 得，由，得， 根据基本不等式，， 当且仅当，即时，取到最小值． 19．若定义在非空集合上的函数，以及函数，且函数，的最大值称为，的“偏差”． (1)函数，，，求，的“偏差”： (2)函数，，，若，的“偏差”为3，求的值； (3)函数，，，当，的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为； （2），利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值得到的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得. 【详解】（1）， 因为，所以， 则， 所以函数与的“偏差”为. （2）令， ∵，∴是单调减函数，∴ 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍） 所以 （3）， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $