3.7 弧长和扇形的面积《知识解读·题型专练》2026-2027学年九年级数学上册（浙教版）

本讲义聚焦弧长公式和扇形面积公式核心知识点，先梳理公式推导过程，再通过求弧长、半径、圆心角、弧形运动路径、扇形面积、弓形面积、旋转扫过面积及不规则图形面积等8类题型构建学习支架，帮助学生逐步掌握知识应用。 资料以折扇、摩天轮等现实情境为例设计题型，培养学生用数学眼光观察世界的能力。题型分层递进，从基础计算到综合问题，提升数学思维中的推理与运算能力，课中辅助教学，课后随堂检测助力学生查漏补缺，强化知识应用。

3.7 弧长和扇形的面积（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 利用弧长公式求弧长】 2 【题型2 利用弧长公式求半径】 3 【题型3 利用弧长公式求圆心角】 3 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 4 【题型5 利用扇形面积公式求面积】 5 【题型6 求弓形面积】 6 【题型7 求图形旋转后扫过的面积】 7 【题型8 不规则图形的面积计算】 8 【随堂检测】 9 知识点1 弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 知识点2 扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 【题型1 利用弧长公式求弧长】 【例1】折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，半径为5的与正五边形相切于点B、E，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转．则（   ） A．120 B．116 C．108 D．100 【题型2 利用弧长公式求半径】 【例2】已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-1】若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2-2】一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【变式2-3】如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为__________． 【题型3 利用弧长公式求圆心角】 【例3】一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）． A． B． C． D． 【变式3-1】一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】，是上的两点，，劣弧的长是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 【例4】如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【变式4-1】摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【变式4-2】将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 【变式4-3】如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【题型5 利用扇形面积公式求面积】 【例5】如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图是完全展开的扇形纸扇，夹角为，的长为，的长为，则扇面（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型6 求弓形面积】 【例6】如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-1】如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【变式6-3】如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【题型7 求图形旋转后扫过的面积】 【例7】如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【变式7-1】如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)在（1）中，求线段扫过部分的面积． 【变式7-3】如图：正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，直接写出点的坐标______． (2)画出绕点O顺时针旋转后的． (3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留） 【题型8 不规则图形的面积计算】 【例8】如图所示，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得，点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 【变式8-2】如图，在中，，，，D为的中点，连接．以点D为圆心，长为半径作弧，若于点E，于点F，则图中阴影部分的面积为________． 【变式8-3】如图是小明同学用尺规画的一个“蝴蝶风筝”图案，其中，，分别以，为直径画半圆交于点，则阴影部分的面积为________ 随堂检测 【随堂检测】 1．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 2．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 4．如图，，，，，是以五边形的顶点为圆心两两不相交的圆，并且半径都是，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为，两直管道的长度都为．则管道的展直长度（即为图中虚线所表示的中心线的长度）为（   ） A． B． C． D． 6．玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品．古语有“君子无故，玉不去身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 8．已知弧长等于，弧所在圆的半径为6，则该弧的度数是___． 9．如图，用一个滑轮和一个半径为的滑轮组成一个滑轮组用来拉重物上升，如果滑轮旋转了，假设钢绳粗细不计并都铅直于地面，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了__________．（结果保留） 10．如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则________ ． 11．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧）长度为______m．（结果保留） 12.家具厂利用如图所示的直径为1m的圆形材料加工成一种扇形家具部件．已知扇形的圆心角，则扇形部件的面积为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.7 弧长和扇形的面积（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 目录 【题型1 利用弧长公式求弧长】 2 【题型2 利用弧长公式求半径】 4 【题型3 利用弧长公式求圆心角】 6 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 8 【题型5 利用扇形面积公式求面积】 11 【题型6 求弓形面积】 13 【题型7 求图形旋转后扫过的面积】 16 【题型8 不规则图形的面积计算】 19 【随堂检测】 23 知识点1 弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 知识点2 扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 【题型1 利用弧长公式求弧长】 【例1】折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的长． 【变式1-1】如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理可得，再根据垂径定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ∴， ， 弧的长度为：． 【变式1-2】如图，半径为5的与正五边形相切于点B、E，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，根据正五边形的性质得到的度数，根据切线的性质得到的度数，利用弧长公式解答即可． 【详解】解：连接，， ∵五边形是正五边形， ， 、与相切， ， ， 弧的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键． 【变式1-3】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转．则（   ） A．120 B．116 C．108 D．100 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故选C． 【题型2 利用弧长公式求半径】 【例2】已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解半径．即． 【详解】解：设此扇形的半径为，圆心角，弧长， ∴， ∴两边约去，整理得 ， 解得． 【变式2-1】若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 【变式2-2】一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 【变式2-3】如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案． 【详解】解：设扇形的半径是R， 则 解得：． 故答案为：． 【题型3 利用弧长公式求圆心角】 【例3】一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形弧长公式的应用，已知扇形半径和弧长，利用弧长公式即可求解圆心角度数． 【详解】解：设此扇形的圆心角为， ∵扇形半径，弧长， ∴， 解得， ∴此扇形的圆心角为． 【变式3-1】一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式得到，即可得到答案． 【详解】解：重物上升， 故， 即， 解得，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为． 【变式3-2】，是上的两点，，劣弧的长是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查弧长的计算，解题的关键是熟练的掌握弧长的计算．直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可． 【详解】 ，劣弧的长是， ， 解得， 故选：B． 【变式3-3】如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 【例4】如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长． 【变式4-1】摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，根据转速求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为， 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为， ∴后圆心角， ∴的长度为． 【变式4-2】将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 【答案】 【分析】利用三角板全等的性质，可得，结合，可判定的形状，进而得到的度数，该角度即为三角板的旋转角，进而求出点A运动路径对应的圆心角．最后使用弧长公式，代入旋转角度数和半径的长度，即可计算出路径长度． 【详解】由题意可知：是直角三角形，，， 两块三角板全等，因此旋转后可得 ． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 点的运动路径是以为圆心、为半径的圆弧， ∴点A运动路径的长度为 ． 【变式4-3】如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】点滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点为圆心，长为半径，旋转角度为，第二次翻滚是以点为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，矩形的对角线长为， 第一次翻滚，点经过的路径长为， 第二次翻滚，点经过的路径长为， 则点滚动所经过的路径长为． 【题型5 利用扇形面积公式求面积】 【例5】如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 【变式5-1】如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，由勾股定理得出，根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 由勾股定理得， ∴， ∴扇形面积为． 【变式5-2】如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正多边形内角公式求出的度数，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴． 【变式5-3】如图是完全展开的扇形纸扇，夹角为，的长为，的长为，则扇面（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及弧长的计算，先根据弧的长求出的长，再用大扇形的面积减去小扇形的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵的长为，， ∴， 解得， ∴，， ∴扇面的面积为：． 故选：A． 【题型6 求弓形面积】 【例6】如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，再根据即可得到解答． 【详解】解：∵扇形， ∴， 又∵， ∴为大圆的直径， ∴， ∴， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质和扇形面积公式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【变式6-1】如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 【变式6-2】《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 【变式6-3】如图，所在圆的半径，则和弦围成的图形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，设圆心为，连接，过点作于点，得出是等边三角形，进而根据扇形面积减去等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点， ∵，即 ∴是等边三角形 ∴， 在中， ∴和弦围成的图形面积是 故选：C． 【题型7 求图形旋转后扫过的面积】 【例7】如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 【变式7-1】如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积的计算．首先根据钟面的特点求出时针转过的圆心角度数，再结合时针长度（即半径），利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：钟面一圈为，共有12个大格，时针每小时转过的角度为， 从点到点半，经过了30分钟，即小时， 时针转过的圆心角， 时针长，即扇形半径， 时针扫过的面积． 【变式7-2】如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)在（1）中，求线段扫过部分的面积． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出的长，再根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得：， 由旋转可得，， 线段扫过部分的面积为： ． 【变式7-3】如图：正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，直接写出点的坐标______． (2)画出绕点O顺时针旋转后的． (3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留） 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求, ∴坐标为； (2) 解：如图所示，即为所求； (3) 【分析】（1）先根据关于x轴对称的特点，找到A、B、C的对应点，然后顺次连接，即可得到答案； （2）根据绕原点旋转90度的特点，画出旋转图形即可； （3）旋转时线段扫过的面积进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵，． ∴，， ∴旋转时线段扫过的面积． 【题型8 不规则图形的面积计算】 【例8】如图所示，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得，点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据直角三角形的性质可得，，即旋转角为．根据即可求出阴影部分的面积．本题主要考查直角三角形的性质，旋转的性质和扇形的面积．熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．扇形的面积，其中n表示圆心角的度数，r表示扇形的半径． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 根据旋转的性质可得，， ∴ ． 【变式8-1】如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 【答案】平方米 【分析】设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接，先证明，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据 计算即可． 【详解】解：如图，设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接， ∵为直径， ∴，即， ∵三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴米， ∴ 平方米． 答：阴影部分的面积为平方米． 【变式8-2】如图，在中，，，，D为的中点，连接．以点D为圆心，长为半径作弧，若于点E，于点F，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由，，根据等腰三角形三线合一的性质得，，再根据阴影部分的面积等于扇形面积减去矩形的面积，计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形，，， ∴阴影部分的面积为． 【变式8-3】如图是小明同学用尺规画的一个“蝴蝶风筝”图案，其中，，分别以，为直径画半圆交于点，则阴影部分的面积为________ 【答案】50 【分析】设，的中点分别为点E、F，连接，根据割补法可知，进而问题可求解． 【详解】解：设，的中点分别为点E、F，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴“蝴蝶风筝”图案左边部分阴影面积等于等腰直角三角形的面积， ∴根据轴对称图形的性质可知：． 随堂检测 【随堂检测】 1．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题已知扇形的半径和圆心角，可直接利用扇形面积公式计算结果，再选出正确选项.用到的扇形面积公式为，其中为圆心角度数，为扇形半径． 【详解】解：由题意得，该扇形的半径，圆心角， 代入扇形面积公式得． 2．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 3．如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴B点经过的路线长． 4．如图，，，，，是以五边形的顶点为圆心两两不相交的圆，并且半径都是，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和、扇形的面积，由多边形的内角和得 ，由圆的面积和扇形面积公式得，即可求解． 【详解】解： ， 五个扇形（阴影部分）的面积之和为 （）， 故选：B． 5．如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为，两直管道的长度都为．则管道的展直长度（即为图中虚线所表示的中心线的长度）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，根据图形和弧长公式计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：图中管道的展直长度， 故选：D． 6．玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品．古语有“君子无故，玉不去身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键． 先求出的长，再根据扇形面积公式，求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 故选：C． 7．已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解O经过的路线是解题关键． O经过的路线是两个半径是m，圆心角为的弧，平移的距离是半径长是 m，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解：O经过的路线是两个半径是（m）， ， ∵， ∴， ∴， O旋转的长度是：（m）， O移动的距离是（m）， ∴圆心O所经过的路线长是：（m）， 故选：B． 8．已知弧长等于，弧所在圆的半径为6，则该弧的度数是___． 【答案】/120度 【分析】设该弧的度数为，根据弧长列方程求解即可． 【详解】解：设该弧的度数为， 根据题意得，， 解得， ∴该弧的度数为． 9．如图，用一个滑轮和一个半径为的滑轮组成一个滑轮组用来拉重物上升，如果滑轮旋转了，假设钢绳粗细不计并都铅直于地面，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了__________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题是数学与物理的综合题，利用弧长公式求出钢绳移动的距离，再结合物理知识中使用动滑轮可以省力，同时物体上升的高度是钢绳移动距离的一半来求解． 【详解】解：滑轮旋转了，则钢绳的移动距离为， ∵滑轮是动滑轮， ∴物体上升的高度是钢绳移动距离的一半， ∴物体上升的高度是． 10．如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则________ ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，垂径定理，扇形面积的计算，解题的关键在于正确表示阴影部分的面积． 设的半径为r，根据，可求出，然后代入求面积即可． 【详解】解：由题意知，， 设的半径为r，则， ∴， ∵，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：6． 11．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧）长度为______m．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求扇形的弧长，根据摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，可知扇形所对的圆心角度数为，根据扇形的弧长公式求出的长度即轿厢经过的路径长度． 【详解】解：摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点， ， ． 故答案为： ． 12.家具厂利用如图所示的直径为1m的圆形材料加工成一种扇形家具部件．已知扇形的圆心角，则扇形部件的面积为______． 【答案】 【分析】先确定扇形的半径，再根据扇形面积公式进行面积计算． 【详解】解：①首先确定扇形的半径： 已知圆形材料的直径为，连接， ∵， ∴是圆的直径，即． 在中，，根据勾股定理， ∴，解得：，即扇形半径． ②计算扇形的面积： 已知圆心角，根据扇形面积公式得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及勾股定理的应用，解题关键是确定扇形的半径，熟练掌握扇形面积公式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $