1.2 二次函数的图像和性质（一）《知识解读·题型专练》 -2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 以“性质-图象-应用”为逻辑主线，通过表格化知识梳理与分层题型训练，系统构建二次函数图象性质的认知体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识解读|1表格+3方法点|图象画法四步法（列表-描点-连线-对称）、平移规律（上下左右）、性质判定三要素（开口方向/对称轴/顶点）|从特殊形式性质（顶点/对称轴/最值）到图象绘制，再到平移变换，形成概念-原理-应用链条| |题型训练|8题型（各1例+3变式）|图象辨识五看（开口/顶点/对称轴/与轴交点/单调性）、性质应用三析（参数意义/增减区间/最值计算）|按“图象辨识→性质分析”交替设题，覆盖不同形式函数（一般式/顶点式）的核心考法| |随堂检测|12题|综合应用前序方法解决顶点坐标、单调性、最值等问题|聚焦中考高频考点，强化知识迁移与问题解决能力|

1.2 二次函数的图象和性质（一）（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 二次函数的图象】 2 【题型2 二次函数的性质】 4 【题型3 二次函数的图象】 6 【题型4 二次函数的性质】 8 【题型5 二次函数的图象】 10 【题型6 二次函数的性质】 12 【题型7 二次函数的图象】 14 【题型8 二次函数的性质】 16 【随堂检测】 18 知识点1 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 二次函数 的图象的画法 （1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值． （2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点． （4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧． 3. 几种二次函数图象间的平移规律 例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象． 【题型1 二次函数的图象】 【例1】抛物线的图像大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的开口方向和顶点坐标即可判断． 本题主要考查了而函数图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键 【详解】解：∵抛物线中，， ∴图像开口向上，且顶点为坐标原点， 故选：A． 【变式1-1】如图，图象对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图象的识别，掌握根据图象形状判断函数类型，结合函数的性质分析选项是解题的关键． 通过观察函数图象的形状，判断函数类型，再逐一分析每个选项的函数类型及图象特征是否符合． 【详解】解：A、是一次函数，图象是直线，与题目中抛物线形状不符，不符合题意； B、是反比例函数，图象是双曲线，与题目中抛物线形状不符，不符合题意； C、是二次函数，开口向下，顶点在原点，与题目中图象形状一致，符合题意； D、是二次函数，开口向上，与题目中图象开口方向不符，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】二次函数的图象经过（   ） A．第一、二象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像性质，由于，图像开口向上，顶点在原点，因此图像经过第一、二象限． 【详解】∵二次函数中，， ∴图像开口向上，顶点为． 当时，，对应第一象限， 当时，，对应第二象限， ∴图像经过第一、二象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象特点，解题的关键是掌握开口方向和顶点位置． 【变式1-3】二次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质，逐一将点的坐标代入验证即可． 【详解】解：A.当时，，该选项不符合题意； B. 当时，，该选项不符合题意； C. 当时，，该选项不符合题意； D. 当时，，该选项符合题意； 故选：D． 【题型2 二次函数的性质】 【例2】下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小． 【详解】解： ∵二次函数， ∴，图像开口向上，对称轴为． 对于选项A：当时，，∴A错误． 对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误． 对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误． 对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确． 故选：D． 【变式2-1】关于四个函数 的共同点，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最大值 D．y 随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的基本性质，关键是通过系数 判断对称轴； 通过分析每个二次函数的系数，判断开口方向、对称轴、最值和增减性，找出共同点． 【详解】解：∵ 二次函数 的对称轴为 ， 对于函数 ，，对称轴为 轴； 对于函数 ，，对称轴为 轴； 对于函数 ，，对称轴为 轴； 对于函数 ，，对称轴为 轴； ∴ 所有函数的对称轴都是 轴，选项 B 正确； 函数 和 开口向下，函数 和 开口向上，故 A 错误； 函数 和 有最大值，函数 和 有最小值，故 C 错误； 所有函数在对称轴两侧增减性不同，无统一增减趋势，故 D 错误； 故选：B． 【变式2-2】嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大， ∴和原图象相比，发生改变的是开口大小， 故选：B． 【变式2-3】已知点，，都在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】∵ 点 在 上， ∴ ； ∵ 点 在上， ∴ ； ∵ 点 在上， ∴； ∴， 故选：B． 【题型3 二次函数的图象】 【例3】如图所示的抛物线对应的函数关系式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图可知抛物线的顶点坐标为，再逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图可得，抛物线的顶点坐标为， A、的顶点坐标为，故此选项符合题意； B、的顶点坐标为，不为，故此选项不符合题意； C、的顶点坐标为，不为，故此选项不符合题意； D、的顶点坐标为，不为，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】二次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据函数解析式可知二次函数的图象开口方向向下，顶点在y轴的负半轴，从而判断出函数的大致图像． 【详解】解：， ， 当时，， 二次函数的图象开口方向向下，顶点在y轴的负半轴， 故选：C． 【变式3-2】二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象，根据二次函数特征判断图象即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，与y轴交于负半轴， 故选：B． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；②其对称轴为直线；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．根据解析式直接判断即可选择． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，与y轴交点为（位于x轴下方），对称轴为直线（即为y轴）， ∴只有A选项符合题意． 故选：A． 【题型4 二次函数的性质】 【例4】关于二次函数的图象，下列说法错误的是(　　) A．开口向上 B．与坐标轴有三个交点 C．当时，y随的增大而增大 D．当时，y有最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据的图象与性质，逐项分析判断即可即可求解． 【详解】解：二次函数中，， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y随的增大而减小，当时，y随的增大而增大， 当时，y有最小值， 由于开口向上，且y有最小值，所以抛物线与坐标轴有三个交点， 当 时，y 随 x 的增大而减小，故该选项说法错误。 故选：C． 【变式4-1】下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，时开口向上，顶点为最小值点；对称轴为直线，当时函数递增；顶点坐标可直接由解析式得出，然后问题可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口向上，A正确； 当时，，因为，顶点为最小值点，故B错误； 对称轴为直线，，当时，y随x增大而增大，C正确； 顶点坐标为，D正确； 故选B． 【变式4-2】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 故选：C． 【变式4-3】若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，对称性．抛物线的对称轴是轴，因此点关于轴对称的点也在抛物线上，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，抛物线的对称轴是轴， ∵抛物线经过点，且点关于轴对称的点是， ∴必在抛物线上， 故选：D 【题型5 二次函数的图象】 【例5】已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 【变式5-2】二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，关键是利用顶点式快速确定顶点坐标和开口方向，再通过这两个核心要素筛选选项．熟练掌握二次函数顶点式的结构是解题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点式为 ，其中顶点坐标为， 二次函数的顶点坐标为， ， 二次函数图像开口向下，   结合顶点坐标和开口向下的特征，只有选项B的图象满足． 故选：B． 【变式5-3】如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 【题型6 二次函数的性质】 【例6】关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象及其性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 【变式6-1】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查抛物线顶点式的性质．根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，当时，y随的增大而减小． 【详解】解：由得抛物线开口向下，故选项A说法错误，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B说法正确，符合题意； 当时，y随的增大而减小，故选项C说法错误，不符合题意； 顶点坐标为，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：B． 【变式6-2】若是抛物线上的三个点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为直线，根据二次函数的性质来判断纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，， ∴离对称轴最远，其次为，最近为， ∴， 故选：D． 【变式6-3】已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为(   ) A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得二次函数的对称轴为：，进而可得，进而可得，当时，代入二次函数即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：二次函数的对称轴为：， ， ， 当时，， 故选A． 【题型7 二次函数的图象】 【例7】二次函数的图像大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一分析判断即可． 【详解】解：在中由可知抛物线的开口向上，故选项A错误； 其对称轴为直线，在y轴的左侧，故选项B错误； 二次函数，当时，，即该抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），在y轴负半轴上，故选项D错误； 该抛物线开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点在y轴负半轴上，符合以上条件的只有选项C． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对二次函数的图像和性质的应用，运用数形结合思想的分析问题是解题关键． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数图象的开口向上、顶点的纵坐标为进行判断即可得． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴这个二次函数图象的开口向上、顶点的纵坐标为， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 【变式7-2】二次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键． 根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 【详解】解：由条件可知，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 【变式7-3】二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键． 直接根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y最大； 当时，y最小． 故选：C． 【题型8 二次函数的性质】 【例8】已知抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口方向向下 B．形状与相同 C．顶点是 D．函数最大值为4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及拋物线的开口方向的确定，是基础题，熟记性质是解题的关键． 根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、抛物线，抛物线开口向下，此选项正确； B、抛物线形状与相同，此选项正确； C、抛物线顶点坐标是，此选项错误； D、抛物线抛物线开口向下，顶点坐标是，函数有最大值为4，此选项正确． 故选：C． 【变式8-1】抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：B． 【变式8-2】已知关于x的二次函数的图象经过，，，四点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象点的坐标特征由图象中存在，两个对称点可得是抛物线与x轴右侧交点，作出图象求解． 【详解】解：如图， 设点与关于抛物线对称轴对称， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式8-3】已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 随堂检测c 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数顶点式的顶点坐标为，直接求出结果即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 2．下列函数中，的值随的值增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不同函数的增减性逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A，是二次函数，开口向上，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求． 选项B，，是一次函数，，随的增大而减小，不符合要求． 选项C，，是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求. 选项D，是一次函数，，随的增大而增大，符合要求． 3．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 4．二次函数图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据顶点式的对称轴为直线，即可直接得出结果． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线． 5．二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】已知二次函数为顶点式，可根据开口方向直接确定函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴二次项系数，二次函数开口向下，函数存在最大值， ∵顶点式的顶点坐标为，该函数顶点坐标为， ∴的最大值为． 6．已知抛物线经过三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据抛物线顶点式得到开口方向和对称轴，利用开口向下的抛物线的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，即可比较大小. 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 分别计算三个点到对称轴的距离： ，，， ∵，开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越大，对应的值越小， ∴. 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称性．由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴， 故选：C． 8．与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【答案】 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为． 9．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 10．抛物线的对称轴是直线_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 11．函数，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握好二次函数的增减性是解题关键． 二次函数开口向上，顶点处取得最小值，结合自变量范围确定函数值范围． 【详解】解：对于二次函数，其开口向上，对称轴为直线． ∵， ∴当，y随x的增大而减小；当，y随x的增大而增大， ∴当时，取最小值3，同时没有最大值， ∴当时，． 故答案为：． 12．在二次函数中，若时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质， 根据二次函数的性质，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数递减．因此，要使时y随x增大而减小，需对称轴在右侧或重合． 【详解】∵中二次项系数为 ∴图象开口向上， ∵对称轴为直线． ∴当时，y随x的增大而减小 ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 二次函数的图象和性质（一）（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 二次函数的图象】 2 【题型2 二次函数的性质】 3 【题型3 二次函数的图象】 3 【题型4 二次函数的性质】 4 【题型5 二次函数的图象】 5 【题型6 二次函数的性质】 6 【题型7 二次函数的图象】 6 【题型8 二次函数的性质】 7 【随堂检测】 8 知识点1 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 二次函数 的图象的画法 （1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值． （2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点． （4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧． 3. 几种二次函数图象间的平移规律 例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象． 【题型1 二次函数的图象】 【例1】抛物线的图像大致是（   ） A．B． C． D． 【变式1-1】如图，图象对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】二次函数的图象经过（   ） A．第一、二象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【变式1-3】二次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【题型2 二次函数的性质】 【例2】下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【变式2-1】关于四个函数 的共同点，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最大值 D．y 随x的增大而增大 【变式2-2】嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 【变式2-3】已知点，，都在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 二次函数的图象】 【例3】如图所示的抛物线对应的函数关系式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】二次函数的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【变式3-2】二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（　　） A．B．C．D． 【题型4 二次函数的性质】 【例4】关于二次函数的图象，下列说法错误的是(　　) A．开口向上 B．与坐标轴有三个交点 C．当时，y随的增大而增大 D．当时，y有最小值 【变式4-1】下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【变式4-2】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 二次函数的图象】 【例5】已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A．B．C． D． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式5-2】二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【题型6 二次函数的性质】 【例6】关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【变式6-1】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标为 【变式6-2】若是抛物线上的三个点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为(   ) A． B． C． D．0 【题型7 二次函数的图象】 【例7】二次函数的图像大致是（    ） A．B．C．D． 【变式7-1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【变式7-2】二次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 【题型8 二次函数的性质】 【例8】已知抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口方向向下 B．形状与相同 C．顶点是 D．函数最大值为4 【变式8-1】抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】已知关于x的二次函数的图象经过，，，四点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 随堂检测c 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，的值随的值增大而增大的是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．二次函数图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 5．二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 6．已知抛物线经过三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 8．与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 9．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 10．抛物线的对称轴是直线_______． 11．函数，当时，的取值范围是________． 12．在二次函数中，若时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $