3.4 -3.5圆周角《知识解读·题型专练》2026-2027学年九年级数学上册（浙教版）

本讲义聚焦圆周角与圆内接四边形核心知识点，系统梳理圆周角的定义、定理（含与圆心角关系、同弧等弧性质、直径与直角关系）及圆内接四边形的定义与对角互补性质，构建从概念到应用的学习支架。 资料以7大题型系统归纳应用，含例题及变式题，题型7融入三角板综合运用，培养几何直观与推理意识。随堂检测助力课后查漏补缺，课中辅助教师高效授课，提升学生数学思维与应用能力。

3.4-3.5 圆周角和圆内接四边形（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 目录 【题型1 圆周角的概念】 2 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】 3 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 6 【题型4 直径所对的圆周角是直角】 7 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 10 【题型6 圆内接四边形对角互补】 13 【题型7 圆周角定理与三角板的综合运用】 15 【随堂检测】 18 知识点1 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 （1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，=． （2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． （3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 3. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 知识点2 圆内接四边形 1. 圆内接四边形的定义 如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补； 拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【题型1 圆周角的概念】 【例1】判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项D中的角是圆周角． 【变式1-1】下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义，圆周角是指顶点在圆上，并且两条边都与圆相交的角，据此断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项B的角是圆周角， 故选：B． 【变式1-2】如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或， 故选：C． 【变式1-3】图中是圆周角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】 【例2】如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 【变式2-1】如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由圆周角定理得到，再由垂径定理得到，即可根据等弧所对圆心角相等求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴． 【变式2-3】如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【详解】解：， ， 又， ， 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例3】如图，在中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同圆中，等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 【变式3-1】如图，是等腰直角三角形，，是的外接圆，点在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中求角度，涉及等腰直角三角形性质、同弧所对的圆周角相等等知识，熟记等腰直角三角形性质及同弧所对的圆周角相等是解决问题的关键． 先由等腰直角三角形性质得到，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解： 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故选：C． 【变式3-2】如图，中，弦相交于点，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【变式3-3】如图，是的弦， 点 C， D 都在上， 若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【题型4 直径所对的圆周角是直角】 【例4】如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理得出，根据直径所对圆周角为直角得出，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，为的直径，、是上两点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据同弧所对的圆周角相等可得：． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ． 【变式4-2】如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 【变式4-3】如图，在中，是直径，点、在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出，再结合直径所对的圆周角是直角求出． 【详解】解：和所对的弧都是弧， ， 所对的是直径， ， ． 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 【例5】小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：根据的圆周角所对的弦是直径，只有选项A中的工件合格． 【变式5-1】在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 【变式5-2】如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理和直角三角形的性质，连接，由，可得为的直径，当，可得，在中， ，则，故可得解． 【详解】解：连接，如图， ∵，即， ∴为的直径， ∵所对的圆周角是， ∴ 在中，， ， 故选：A． 【变式5-3】如图，中，弦，，，则直径的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由可知为直径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∴为直径， 由勾股定理可得：， 故选：A 【点睛】此题考查了圆的有关性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识． 【题型6 圆内接四边形对角互补】 【例6】如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，点、、、分别在圆上， ∴， ∵， ∴ 【变式6-1】如图，点在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得，代入的度数即可求解． 【详解】解：∵点在上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，四边形内接于，若，则它的外角的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．熟悉圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与它相邻的内角的对角），是解题的关键． 首先根据圆周角定理，得到，再根据圆内接四边形的外角性质，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】如图，四边形的顶点O是的圆心，顶点A，C，D均在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角，圆的内接四边形，掌握知识点是解题的关键． 在优弧上取点B，连接，推导出，得到，即可解答． 【详解】解：在优弧上取点B，连接，如图 ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即． 故选B． 【题型7 圆周角定理与三角板的综合运用】 【例7】如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，先确定点在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点在该量角器所在的圆上， ∴， 故选：B ． 【变式7-1】将量角器和三角板按如图所示的方式放置，三角板与量角器交于B，C两点（点B和点C对应的刻度分别为和），则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．本题根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，设量角器的中心为O， 由题意，得：， ∴． 故选：B． 【变式7-2】如图，将含角的三角板的顶点放在半圆上，这个三角板的两边分别与半圆相交于点A，B，则弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据圆周角定理得出． 【详解】解：连接，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出是解此题的关键． 【变式7-3】如图，含角的三角板的斜边与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，点D在量角器上的读数是，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由题意可知，，由圆周角定理得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，点，，在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2．如图，是的内接三角形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先得出，然后，根据三角形的内角和定理得出，最后根据圆周角定理得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，是的直径，是的弦，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出是直角三角形，进而利用两锐角互余求解. 【详解】解：∵是的直径， ∴， 在中，， ∴. 4．如图，是的直径，若，，则的长等于（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】连接，由圆周角定理可得，证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， 由圆周角定理可得：， ∴， ∵是的直径，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 5．如图，点，，，在上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理、平行线的性质、等边对等角，解题关键是熟练掌握圆周角定理． 连接，根据圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半求得，结合平行线的性质、等边对等角求出，则． 【详解】解：连接， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 6．如图，是的弦（不经过圆心O），半径于点D，点E，F分别是上的点，连接．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理和圆周角定理，由垂径定理得到，则可推出，再由圆周角定理可得，即；根据现有条件无法得到，据此可得答案． 【详解】解：∵是的弦（不经过圆心O），半径， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故C结论正确； 根据现有条件无法得到，故A、B、D结论错误； 故选：C． 7．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 8．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、均在小正方形的顶点上，且都在同一个圆的圆弧上，是上一点，连接，．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】先根据网格中线段的位置关系，利用圆周角定理确定为圆的直径，再用勾股定理求出的长度，得到圆的半径；接着根据已知角度和半径相等，判定为等边三角形；最后通过扇形的面积减去的面积，求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵点、、在同一圆的圆弧上，且由网格可知， ∴， ∴是的直径． 设圆心为点，过点作于点，连接， ∵在中，，， ∴， ∴的半径 ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵过点作于点， ∴ ∵在中，， ∴ ∵， ∴， ∴ 9．如图，是的直径，，则的度数为______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角为直角可得的度数，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再由直角三角形两锐角互余即可得解． 【详解】是的直径， ， ， ， ． 10．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4-3.5 圆周角和圆内接四边形（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 目录 【题型1 圆周角的概念】 2 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】 3 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 4 【题型4 直径所对的圆周角是直角】 5 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 6 【题型6 圆内接四边形对角互补】 7 【题型7 圆周角定理与三角板的综合运用】 8 【随堂检测】 9 知识点1 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 （1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，=． （2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． （3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 3. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 知识点2 圆内接四边形 1. 圆内接四边形的定义 如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补； 拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【题型1 圆周角的概念】 【例1】判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】图中是圆周角的是（    ） A．B．C． D． 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半】 【例2】如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，是的直径，是的一条弦，，连接，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，是的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例3】如图，在中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，是等腰直角三角形，，是的外接圆，点在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，中，弦相交于点，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，是的弦， 点 C， D 都在上， 若， 则（    ） A． B． C． D． 【题型4 直径所对的圆周角是直角】 【例4】如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，为的直径，、是上两点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在中，是直径，点、在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 【例5】小星用直角三角尺检查某种半圆形工业配件是否合格．下列配件中，合格的是（   ） A．B．C． D． 【变式5-1】在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【变式5-2】如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（    ） A．12 B． C．6 D． 【变式5-3】如图，中，弦，，，则直径的长是（    ）． A． B． C． D． 【题型6 圆内接四边形对角互补】 【例6】如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，点在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，四边形内接于，若，则它的外角的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-3】如图，四边形的顶点O是的圆心，顶点A，C，D均在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型7 圆周角定理与三角板的综合运用】 【例7】如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】将量角器和三角板按如图所示的方式放置，三角板与量角器交于B，C两点（点B和点C对应的刻度分别为和），则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，将含角的三角板的顶点放在半圆上，这个三角板的两边分别与半圆相交于点A，B，则弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，含角的三角板的斜边与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，点D在量角器上的读数是，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，点，，在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的内接三角形，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，是的弦，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，若，，则的长等于（    ） A． B． C．5 D． 5．如图，点，，，在上，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，是的弦（不经过圆心O），半径于点D，点E，F分别是上的点，连接．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、均在小正方形的顶点上，且都在同一个圆的圆弧上，是上一点，连接，．若，则阴影部分的面积为________． 9．如图，是的直径，，则的度数为______． 10．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $