3.5　圆内接四边形 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆内接四边形的定义及对角互补性质，通过圆柱形原木锯正方形截面的实际情境导入，引导学生观察四边形顶点与圆的位置关系，衔接圆的相关知识，搭建认知支架。 以探究活动为主线，学生通过测量、猜想、证明自主发现对角互补性质，结合几何画板动态演示深化理解，培养抽象能力与推理意识。应用实例解决实际问题，拓展变式训练发展应用意识，助力学生提升探究与应用能力，为教师提供完整教学流程与反思指导。

3.5　圆内接四边形 　　　　 　　　　　　　　 课题 3.5　圆内接四边形 授课人 教 学 目 标 1.能说出圆内接四边形的定义和识别方法. 2.会计算圆内接四边形中对角的度数并验证对角互补的性质. 3.能根据圆内接四边形的性质解决实际问题. 教学 重点 理解圆内接四边形的定义,掌握圆内接四边形对角互补的性质. 教学 难点 熟悉圆内接矩形、正方形中对角的关系. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 木料工厂在制造木材时,常常需要将原木截成各种不同的形状.为满足市场需求,现需要将一批圆柱形原木锯成截面为正方形的木材,并使截面正方形的面积尽可能地大,该如何操作呢? 图3-5-10 　　通过了解实际情境,观察实际生活中的图片,感知本节内容与实际生活联系的紧密性,激发学生的学习兴趣. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 圆内接四边形的定义和性质 观察图3-5-11中的图形,图中的四边形与圆有什么样的位置关系? 图3-5-11 由学生观察并说出图中四边形的四个顶点均在圆上. 给出定义:如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上,那么这个四边形叫作圆的内接四边形,这个圆叫作四边形的外接圆. 举例:如图3-5-12,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O是四边形ABCD的外接圆. 图3-5-12 活动 二: 探究 与 应用 任意画一个圆,在圆上依次取四个点A,B,C,D,连结AB,BC,CD,DA.请测量四边形ABCD中任意一组对角的度数,计算它们的和.你发现了什么? 猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°.  你能对你的猜想给出证明吗? 已知:如图3-5-13,四边形ABCD内接于☉O. 求证:∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°. 图3-5-13 证明:把∠A所对的弧记作,∠C所对的弧记作,则∠A,∠C. 因为与的度数之和是360°,所以∠A+∠C+=(+)=×360°=180°. 同理可证∠B+∠D=180°. 归纳:圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补. 符号语言:因为四边形ABCD内接于☉O,所以∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°. 【探究2】 利用圆内接四边形的性质证明 已知:如图3-5-14,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D.求证:DB=DC. 图3-5-14 分析:要证明DB=DC,只需证明∠DBC=∠DCB.根据“在同圆中,同弧所对的圆周角相等”,得∠DBC=∠DAC.又根据“圆内接四边形的对角互补”和“同角的补角相等”,可得∠DCB=∠DAE.而已知∠DAC=∠DAE,这就证明了∠DBC=∠DCB. 证明:因为AD是∠EAC的平分线, 所以∠DAC=∠DAE.　 因为四边形ABCD内接于圆O, 所以∠BAD+∠DCB=180°(圆内接四边形的对角互补), 所以∠DCB=∠DAE. 而∠DAC=∠DBC(在同圆中,同弧所对的圆周角相等), 得∠DCB=∠DBC,所以DB=DC. 【探究3】 圆内接四边形的性质的实际应用 如果要把横截面直径为30 cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材,并使截面尽可能地大,应怎样锯?如果这根原木长15 m,问:锯出的木材的体积为多少立方米(树皮等损耗略去不计)? 图3-5-15 解:设原木的横截面为☉O(图3-5-15).要使锯出的木材的横截面正方形ABCD尽可能地大,正方形ABCD应内接于☉O.由正方形ABCD四个内角都是直角,得它的两条对角线是☉O的两条直径,且这两条直径互相垂直.所以只要在☉O内作两条互相垂直的直径AC和BD,就可以作出☉O的内接正方形ABCD. 当原木的直径为30 cm时,AO=BO=15 cm, 正方形ABCD的面积为4××AO×BO=4××15×15=450(cm2)=4.50×10-2(m2). 所以木材的体积为4.50×10-2×15=0.675(m3). 答:如图3-5-15,沿正方形ABCD的四条边,就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材.如果这根原木长15 m,那么锯出木材的体积为0.675 m3. 　　引导学生经历操作、观察、分析、交流、猜想、证明等基本数学活动,探究圆内接四边形对角互补的性质. 教师使用几何画板做进一步的演示和验证,在动态演示中研究圆内接四边形对角的关系,让学生观察变量与不变量,帮助学生理解圆内接四边形对角的关系. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　如图3-5-16,点A,B,C,D在☉O上,点E在AD的延长线上.若∠ABC= 60°,则∠CDE的度数为 (　C　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图3-5-16 A.30° B.45° C.60° D.70° 例2　已知☉O是▱ABCD的外接圆.求证:四边形ABCD为矩形. 证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以∠A=∠C,∠B=∠D. 因为四边形ABCD内接于☉O, 所以∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°, 所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°, 所以四边形ABCD为矩形. 　　应用举例是对课堂学习的针对性练习. 【拓展提升】 例3　已知:如图3-5-17①,四边形ABCD内接于☉O,则∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=∠180°. 根据已知条件和结论解答下列问题: (1)如图②,若点C在☉O外,且A,C两点分别在直线BD的两侧,试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系; (2)如图③,若点C在☉O内,且A,C两点分别在直线BD的两侧,试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系. 图3-5-17 [答案:(1)∠A+∠BCD<180°　(2)∠A+∠BCD>180°] 　　进一步巩固所学的知识,夯实基础,同时培养学生发现问题、解决问题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.如图3-5-18,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠C=130°,则∠BOD的度数是 (　C　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图3-5-18 A.80° B.90° C.100° D.110° 2.如图3-5-19,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上.若∠C=100°,则∠E的度数为 (　A　) 图3-5-19 A.10° B.20° C.30° D.25° 　　学以致用,达标测评,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,让每名学生都能有所收益、有所提高. 活动 三: 课堂 总结 反思 3.如图3-5-20,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,F是上任意一点,连结AF并延长,交DC的延长线于点G,连结FC,FD.若∠GFC=65°,求∠CFD的大小. 图3-5-20 [答案:50°] 处理方式:学生在练习本上完成后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生的答题情况.学生根据答案进行纠错. 【课堂小结】 活动内容:通过本节课的学习学到了哪些知识?掌握了哪些数学方法?体会到了哪些数学思想?还有哪些发现与猜想?谈一谈本节课的学习收获吧! 活动方式:找3名同学结合问题谈谈自己本节课的收获及困惑. 　　课堂小结是知识沉淀的过程,让学生对本节课所学的知识进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈、自主发展的意识. 【板书设计】 3.5　圆内接四边形 圆内接四边形的定义: 圆内接四边形的性质: 例: 学生板演区 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 关于圆内接四边形的性质是直接示范证明给出的,但是学生已经学过了关于圆心角、圆周角与弧之间的关系,已经具备了一定的知识基础,也可以尝试让学生自主探究该性质. ②[讲授效果反思] 在完成课本例题讲解后,需要给学生梳理四边形与圆之间的关系.并非所有四边形都有内接圆,比如一般的平行四边形或菱形. ③[师生互动反思]  　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $