3.3 垂直于弦的直径《知识解读·题型专练》2026-2027学年九年级数学上册（浙教版）

本讲义聚焦“垂直于弦的直径”核心知识点，先系统梳理圆的定义、点与圆位置关系、弦与弧等基础概念，再通过6类题型（基础求解、平行弦、同心圆、综合问题、推论应用、实际场景）构建从概念到应用的学习支架。 资料亮点在于题型分层设计，例题与变式题结合，如实际应用中货船过桥、月洞门半径计算等问题，培养几何直观与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后随堂检测帮助学生查漏补缺，提升推理能力与问题解决能力。

3.2 垂直于弦的直径（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 目录 【题型1 利用垂径定理求解】 2 【题型2 利用垂径定理求平行弦问题】 4 【题型3 利用垂径定理求同心圆问题】 4 【题型 4··利用垂径定理求解其他问题】 5 【题型 5··垂径定理的推论】 7 【题型6 垂径定理的实际应用】 8 【随堂检测】 10 知识点1 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点2 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点3 圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 【题型1 利用垂径定理求解】 【例1】如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-1】如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式1-2】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为4cm，瓶内液体超过一半，最大深度，则截面圆中弦的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【题型2 利用垂径定理求平行弦问题】 【例2】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-1】在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 【变式2-2】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 【变式2-3】⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 【题型3 利用垂径定理求同心圆问题】 【例3】如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【变式3-2】如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【变式3-3】如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【题型 4··利用垂径定理求解其他问题】 【例4】在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【变式4-1】如图，等腰的底边交⊙O于点、．求证：． 【变式4-2】如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是圆的一部分，路面米，拱高米． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心； (2)求圆的半径． 【变式4-3】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【题型 5··垂径定理的推论】 【例5】如图，在中，分别为弦的中点，，不平行于．求证： (1) (2)． 【变式5-1】如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式5-2】如图，是的直径，四边形内接于，交于点E， (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式5-3】如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且． (1)求证：； (2)若，，求． 【题型6 垂径定理的实际应用】 【例6】石拱桥在黔西南州处处可见，小明要帮一船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，其示意图如图所示．现测得桥下水面宽度为，此时拱顶高出水面（），点O为该圆弧所在圆的圆心．已知货船宽，船舱顶部为矩形且高出水面，此货船能顺利通过这座拱桥吗？并说明理由． 【变式6-1】月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． 【变式6-2】图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，． (1)若于点，求的长． (2)求公路隧道轮廓的最大高度． 【变式6-3】一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度． (1)圆弧形桥拱的半径是______； (2)现有一艘宽，船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 随堂检测 【随堂检测】 1.如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，据书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，测量锯口深和锯道长，便可得径为几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯去锯这木材，测量锯口深和锯道长，可以算出圆的直径．“现有一木材和锯如图所示，测得寸，寸，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径是（   ） A．10寸 B．15寸 C．17寸 D．20寸 4．如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，若，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，CD为弦，于点E，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 7．已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 8．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是所在圆的圆心，通过测量，发现弦的长度是，所在圆的半径是，则上的点到弦的距离的最大值是____． 9．如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为C，下列结论： ①，②，③，④上述结论中，正确的有_______（填序号） 10．如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 11．晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 垂直于弦的直径（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 目录 【题型1 利用垂径定理求解】 2 【题型2 利用垂径定理求平行弦问题】 6 【题型3 利用垂径定理求同心圆问题】 10 【题型 4··利用垂径定理求解其他问题】 13 【题型 5··垂径定理的推论】 18 【题型6 垂径定理的实际应用】 22 【随堂检测】 27 知识点1 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点2 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点3 圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 【题型1 利用垂径定理求解】 【例1】如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，由垂径定理可得，由，，可得，在中，由即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴， ， ， 在中，， ∵是的直径，弦， ∴ 故选：B． 【变式1-1】如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 由可得，，进而利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵圆心到弦的距离， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 【变式1-2】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为4cm，瓶内液体超过一半，最大深度，则截面圆中弦的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，根据勾股定理求出，根据垂径定理可知． 【详解】解：如下图所示，连接， 球的半径为， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1-3】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及推论的应用、勾股定理，由是中弦的中点，则，所以，故有，（米），设的半径为米，则（米），然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是中弦的中点， ∴， ∴， ∴，（米）， 设的半径为米，则（米）， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【题型2 利用垂径定理求平行弦问题】 【例2】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式2-1】在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键． 由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接， 由垂径定理可知， 在中，； 在中，， 所以； ②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接， 同（一）可知：， 所以． 故答案为：2或14． 【变式2-2】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【变式2-3】⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 【答案】1cm或7cm． 【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝4−3＝1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝OF＋OE＝7cm． ∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故填1cm或7cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． 【题型3 利用垂径定理求同心圆问题】 【例3】如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A 【变式3-1】如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 【变式3-2】如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握圆的直径性质，切线性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键． 根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值．若大圆的弦与小圆有两个公共点，即与小圆相交，再结合上面分析即得答案． 【详解】解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图． 当是大圆直径时，的值最大， ∵大圆半径为5， ∴最大值为． 当与小圆相切时，最小． 设切点为C，连接， 则， ∴， ∵小圆的半径为4， ∴， ∴． ∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交， ∴． 故答案：． 【变式3-3】如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 【题型 4··利用垂径定理求解其他问题】 【例4】在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1) 如图，点O即为所求．    (2)圆片的半径是 【分析】（1）分别作弦的垂直平分线，交于点O，即为所求； （2）连接交于点D，连接，，则有，，再利用勾股定理构造方程求半径R即可． 【详解】（1）略 （2）连接交于点D，连接，．    ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，． 在中，， ∴． 在中，， ∴， 解得． ∴圆片的半径是． 【变式4-1】如图，等腰的底边交⊙O于点、．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理和等腰三角形的性质三线合一，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点O点作，垂足为M，根据垂径定理可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而可求证． 【详解】证明：过点O点作，垂足为M． ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是圆的一部分，路面米，拱高米． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心； (2)求圆的半径． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，作垂直平分线； （1）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求； （2）利用垂径定理求出的长，设米，得到米，再利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，则， 路面米， 米， 设米， 拱高米， 米， ， ， 解得， 圆的半径为米． 【变式4-3】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． (2) 证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 【题型 5··垂径定理的推论】 【例5】如图，在中，分别为弦的中点，，不平行于．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理的推论，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）连接，则，根据中点的定义得到，根据垂径定理的推论得到，根据证明，即可得到； （2）根据垂径定理的推论得到，根据等边对等角得到，即可证明． 【详解】（1）证明：连接， ∴， ∵分别为弦的中点，， ∴，， ∴ ∴； （2）证明：∵分别为弦的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】如图，圆内接四边形，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：为的半径，且， 由垂径定理可知，，且 ； (2) 【分析】本题考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）由垂径定理即可得，进而得证； （2）由（1）可知，为直角三角形，由勾股定理可求出直径的长，进而可得半径的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ， ， 为直角三角形， 在中，， ， 为半径， ， 故的长为． 【变式5-2】如图，是的直径，四边形内接于，交于点E， (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， 是的中位线， ； (2) 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、垂径定理、勾股定理，掌握相关的定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，再根据三角形中位线定理证明； （2）设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为r，则， 由（1）可知， ， ， 在中，，即， 解得：， 的半径为． 【变式5-3】如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证； （2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 【题型6 垂径定理的实际应用】 【例6】石拱桥在黔西南州处处可见，小明要帮一船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，其示意图如图所示．现测得桥下水面宽度为，此时拱顶高出水面（），点O为该圆弧所在圆的圆心．已知货船宽，船舱顶部为矩形且高出水面，此货船能顺利通过这座拱桥吗？并说明理由． 【答案】不能，理由见解析 【分析】设货船最大限度通过拱桥时，船舱顶部与拱桥的交点为M，N，连接，．根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理，得，解得．在中，，根据垂径定理得出，然后判断与12的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：如图，设货船最大限度通过拱桥时，船舱顶部与拱桥的交点为M，N，连接，． ∵，， ∴． 又∵， ∴设，则． 在中，根据勾股定理，得，解得． ∵船舱顶部为矩形且高出水面， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴此货船不能顺利通过这座拱桥． 【变式6-1】月洞门是中国古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能．如图是某园林中的一处月洞门，门洞的形状为圆弧形．如图是该月洞门的几何示意图，设该弧所在圆的圆心为，过点作，为垂足，与该弧交于点，测得弦，，求这个月洞门所在圆的半径． 【答案】这个月洞门所在圆的半径为 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 连接，设的半径为，则，，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图2，连接， 设的半径为，则，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 答：这个月洞门所在圆的半径为． 【变式6-2】图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，． (1)若于点，求的长． (2)求公路隧道轮廓的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的实际应用，关键是通过作辅助线构造矩形和直角三角形，利用“同圆半径相等”的性质设未知数列方程，将实际问题转化为几何线段计算． （1）利用垂径定理确定的中点，结合已知的长度，通过线段的差计算的长； （2）先作构造矩形转化线段，再用勾股定理分别表示两个直角三角形中的半径，根据半径相等列方程求，最后结合半径求出隧道最大高度． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）解：如图，过点作于点，连接、，延长交弧于点，． ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，． 由（1）知，故； 设，则． ∴． 在中，根据勾股定理，； 在中，同理得． ∵， ∴， 解得，即． 在中，， 即的半径． ∴； 答：公路隧道轮廓的最大高度为． 【变式6-3】一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度． (1)圆弧形桥拱的半径是______； (2)现有一艘宽，船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 【答案】(1) (2)能顺利通过 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用． （1）设拱桥所在圆的圆心为点，过点作于点，连接，在中用勾股定理求的长； （2）设拱桥所在圆的圆心为点，连接，则点在上．作弦交于点，使得，连接，在中，用勾股定理求出，再求的长，比较与的大小，即可求解 【详解】（1）如图，点是桥拱所在圆的圆心．过点作于点，连接， 由垂径定理知，是的中点， 设半径是， 由勾股定理，得， 即 解得 桥拱的半径为 故答案为：． （2）这艘轮船能顺利通过．理由如下： 如图，设拱桥所在圆的圆心为点，连接，则点在上．作弦交于点，使得，，连接 由（1），得 在中， ， 这艘轮船能顺利通过． 随堂检测 【随堂检测】 1.如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的直径，弦于点，， ∴． 2．如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 3．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，据书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，测量锯口深和锯道长，便可得径为几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯去锯这木材，测量锯口深和锯道长，可以算出圆的直径．“现有一木材和锯如图所示，测得寸，寸，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径是（   ） A．10寸 B．15寸 C．17寸 D．20寸 【答案】C 【分析】连接，设的半径为r，在中，，，，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为，连接， 设的半径为r寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 由题意得，寸， ∴寸， 在中，， ∴， 解得， ∴的直径为17寸． 4．如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，若，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理在中求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵直径垂直于弦，， ∴， 在中，， ∴． 5．如图，是的直径，CD为弦，于点E，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，据此解答即可. 【详解】解：根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，可知： A、不符合题意； B、符合题意； C、不符合题意； D、不符合题意． 故选：B. 6．如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的运用以及翻折变换的性质，解题的关键在于作出辅助线利用数形结合解答． 连接，过点O作于点E，交于点D，由折叠的性质得：，在中，利用勾股定理可得，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，交于点D， 由折叠的性质得：， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：B 7．已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【答案】5 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 8．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是所在圆的圆心，通过测量，发现弦的长度是，所在圆的半径是，则上的点到弦的距离的最大值是____． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 作交于点C，交弦于点D，点C即为上到弦的距离的最大值的点，由垂径定理求出，结合勾股定理可推出，进而求出上的点到弦的最大距离． 【详解】解：如图，作交于点C，交弦于点D， ∴， 在中，， 即，解得， ∴， ∴上的点到弦的距离的最大值是． 故答案为：5． 9．如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为C，下列结论： ①，②，③，④上述结论中，正确的有_______（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 根据垂径定理对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵在中是直径，是弦，且， ∴，，，故①②③正确； ∵不一定过的中点， ∴与的大小关系不能确定． 故答案为：①②③． 10．如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2)这钢梁圆弧的半径长为 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）在上取一点E，连接，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，的垂直平分线交于点C，交于点D． ， ， ∵， ∴， 在中，则有， 解得， ∴这钢梁圆弧的半径长为． 11．晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $