3.2 圆心角（知识解读） 讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“圆心角”核心知识点，系统梳理弧、弦、圆心角的关系定理及推论，明确“同圆或等圆中知一推二”的关键原理，衔接圆的基本概念与后续圆周角等知识，构建完整的知识支架。 资料亮点在于题型分层设计，概念辨析题（如例1及变式）通过图形选项强化几何直观（数学眼光），证明题（如题型4）提升推理能力（数学思维），随堂检测助力课后查漏补缺，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固知识薄弱点。

3.2 圆心角（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 圆心角概念辨析及简单运算】 2 【题型2 求圆弧的度数】 3 【题型3 由圆心角、弧、弦之间的关系求解】 4 【题型4 圆心角、弧、弦之间的关系证明】 7 【随堂检测】 10 知识点1 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，①= ⇒ ② ③ABCD 推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 如上图，② ⇒ ①= ③ABCD （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 2. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 【题型1 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 【变式1-1】如图所示，表示圆心角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 【变式1-2】下面图形中的角是圆心角的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．是圆心角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角． 【题型2 求圆弧的度数】 【例2】把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【答案】/144度 【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解． 【详解】解：∵各个扇形面积的比为， 设四个扇形的圆心角分别为，，，， 则， 解得：， 最大圆心角为． 故答案为：． 【变式2-2】如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 【题型3 由圆心角、弧、弦之间的关系求解】 【例3】已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 【变式3-1】如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】 80 【详解】解：， . ， ． 【变式3-2】如图，在中，，若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，根据圆周角写出圆心角是解题的关键． 首先根据圆周角定理得出的度数，进而求解的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，关键是掌握圆心角和它所对的弧的度数相等． 连接，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数． 【详解】解：连接， ∵， ， ， ， ， ∴的度数， 故答案为： 【题型4 圆心角、弧、弦之间的关系证明】 【典例4】如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：， ， ， ． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． （1）连接，求出和度数，求出，即可求出度数，即可求出答案； （2）根据得出，求出，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到． 【详解】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）略 【变式4-1】如图，是的直径，点在上，点是的中点，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】， 理由如下： ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，由圆心角、弧、弦的关系定理得到，由圆周角定理得到，因此，即可证明． 【详解】略 【变式4-2】如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】证明：连接． 在中， ， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 【分析】连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【详解】略 随堂检测 【随堂检测】 1.图中是圆心角的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 2．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 根据平角的定义得到，根据同圆中等弧所对的圆心角相等计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线是解题的关键． 取弧的中点D，连接，，则根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，取弧的中点D，连接，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即, 故选D． 4．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 5．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴①若，则，所以，此说法正确； ②若，则，所以，此说法正确； ③若，则，所以，此说法正确； ④若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 6．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 【答案】60 【分析】画出图形，连接、，可证得是等边三角形，由此得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 7．如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【答案】 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 8．如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：添加， 则． 故答案为：． 9．如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，从而得到，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 圆心角（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 圆心角概念辨析及简单运算】 2 【题型2 求圆弧的度数】 2 【题型3 由圆心角、弧、弦之间的关系求解】 3 【题型4 圆心角、弧、弦之间的关系证明】 3 【随堂检测】 4 知识点1 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，①= ⇒ ② ③ABCD 推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 如上图，② ⇒ ①= ③ABCD （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 2. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等． 【题型1 圆心角概念辨析及简单运算】 【例1】下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，表示圆心角的是（   ） A．B． C． D． 【变式1-2】下面图形中的角是圆心角的是（　　） A．B．C．D． 【题型2 求圆弧的度数】 【例2】把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【变式2-1】如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3 由圆心角、弧、弦之间的关系求解】 【例3】已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【变式3-1】如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【变式3-2】如图，在中，，若，则的度数是_____． 【变式3-3】如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 【题型4 圆心角、弧、弦之间的关系证明】 【典例4】如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式4-1】如图，是的直径，点在上，点是的中点，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 【变式4-2】如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 随堂检测 【随堂检测】 1.图中是圆心角的是（   ） A．B．C．D． 2．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 7．如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 8．如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 9．如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $