四川省达州市渠县三汇中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题

**基本信息** 以2026春晚机器人、电动汽车充电等科技情境为载体，覆盖代数（幂运算）、几何（全等三角形）、概率（随机事件）等七年级核心知识，梯度设计适配八年级开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|幂运算、轴对称、无理数判断|第2题结合企业logo考轴对称，体现文化观察| |填空题|5/20|科学记数法、垂直平分线、勾股定理|第14题机器人走位问题，融合方程与几何应用| |解答题|10/90|几何证明、函数图像、动态几何|第25题旋转几何综合，考查推理与空间观念；第22题函数图像分析，培养数据意识|

四川省达州市渠县三汇中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．下列运算正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．a3+a4＝a7 2．一个企业的logo（标志）代表着一种精神，一种企业文化．以下是深圳市四个公司的logo，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．从2，3，4，5，6这个五个数中，随机选取三个数字构成一个三位数，下列事件是必然事件的是（　　） A．三位数是2的倍数 B．三位数是奇数 C．三位数大于230 D．三位数大于700 4．在，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.这七个数中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，直线l1∥直线l2，直线l3与直线l1，l2分别相交于点A，点B，AC与BC相交于点C，若AC⊥BC，∠1＝∠2，则下列结论正确的个数是（　　） ①∠1+∠3＝90°；②∠2+∠4＝90°；③∠3＝∠4；③∠2＝∠4． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 7．如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 8．某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法错误的是（　　） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量 B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80% C．本次充电持续时间是120分钟 D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 9．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 10．如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为 ． 12．若代数式有意义，则x的取值范围为 ． 13．如图，△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是 ． 14．2026年央视春晚人形机器人秧歌表演广受关注．人形机器人集人工智能、高端制造与新材料等先进技术于一体，展现了未来科技的无限可能．下面是一次机器人的走位测试：如图，甲、乙两个机器人分别在点的正西方向（点处）和正北方向（点处），且与点的距离分别为米，米．甲、乙两个机器人分别从点、点同时出发，沿，行走（，，三点在同一条直线上），要求行走到点处时恰好相遇，并且两个机器人的行走速度相同，则为 米． 15．如图，在等腰△ABC中，AB＝6，BC＝4，AD为BC边上的中垂线，若E为线段AD上的一个动点且满足AE＝CF，则BE+BF的最小值为　　 ． 三．解答题（共10小题，满分90分） 16．（9分）计算：（1）计算：（π﹣4）0+2﹣2﹣（﹣1）2026； （2）（﹣3a﹣2b）2÷a﹣3b﹣2． （3）． 17．（6分）先化简再求值：[（a﹣2b）2+（a+b）（a﹣b）﹣3b2]÷2a，其中a＝﹣3，b＝﹣2． 18．（8分）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元． （1）求转动一次转盘获得购物券的概率； （2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 19．（8分）葫芦岛和平广场是葫芦岛市市民放风筝的最佳场所，某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他进行了如下操作： ①测得人与风筝的水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向竖直上升4米，则他应该继续放线多少米？（结果保留根号） 20．（9分）如图，∠1+∠2＝180°，CE∥BG．（1）求证：AB∥CD；（2）求证：∠3＝∠B． 21．（8分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图中四边形ABCD就是一个“格点四边形”． （1）在图中的方格纸中画一个格点四边形，使该四边形与原四边形ABCD关于直线l成轴对称； （2）在直线l上画出点P，使得PA+PB的值最小； （3）求图中四边形ABCD的面积． 22．（10分）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示． （1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 23．（10分）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似的，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． （1）尝试应用：把（a﹣b）2看成一个整体，合并：3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2； （2）拓展运用：若，求代数式的值：3（x﹣y）2﹣4（x﹣y）2+2（x﹣y）2； （3）迁移运用：已知a﹣2b＝﹣4，2b﹣3c＝﹣2．在数轴上，点A表示的数是3c﹣2b，点B表示的数是a﹣3c，点C表示的数是5．一动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度在数轴上向一个方向运动；同时另一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动．设运动的时间为t秒，当PQ＝2AQ时，求t的值． 24．（10分）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤1＜3）． （1）用含t的代数式表示PC的长度． （2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 25．（12分）将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题． （1）如图1，直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上的一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，作AE平分∠DAF交BC于E，易证明：BD2+CE2＝DE2；若DE2＝2BD2，则以BD、DE、EC为边的三角形的形状是 　　 ； （2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是4cm2，CD＝1cm，求BC的长度； （3）△ABC是以BC为底的等腰直角三角形，点D是△ABC所在平面内一点，且满足AD＝4，BD＝6，CD＝2，请画图并求∠ADC的度数． 参考答案 四川省达州市渠县三汇中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．下列运算正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．a3+a4＝a7 【解答】解：A、a3•a4＝a7，故此选项不符合题意； B、（a2）3＝a6，故此选项符合题意； C、a6÷a3＝a3，故此选项不符合题意； D、a3与a4不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．一个企业的logo（标志）代表着一种精神，一种企业文化．以下是深圳市四个公司的logo，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 3．从2，3，4，5，6这个五个数中，随机选取三个数字构成一个三位数，下列事件是必然事件的是（　　） A．三位数是2的倍数 B．三位数是奇数 C．三位数大于230 D．三位数大于700 【解答】解：从2，3，4，5，6这个五个数中，随机选取三个数字构成一个三位数， A、三位数是2的倍数，是随机事件，不符合题意； B、三位数是奇数，是随机事件，不符合题意； C、三位数大于230，是必然事件，符合题意； D、三位数大于700，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 4．在，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.这七个数中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：是分数，属于有理数； 1.010010001是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； ﹣π是无理数； ﹣2.626626662…是无理数； 0.是循环小数，属于有理数； 所以无理数有﹣π，﹣2.626626662…共2个． 故选：B． 5．如图，直线l1∥直线l2，直线l3与直线l1，l2分别相交于点A，点B，AC与BC相交于点C，若AC⊥BC，∠1＝∠2，则下列结论正确的个数是（　　） ①∠1+∠3＝90°；②∠2+∠4＝90°；③∠3＝∠4；③∠2＝∠4． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：如图所示， ∵AC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∵∠1+∠3+∠C＝90°， ∴∠1+∠3＝90°，故①正确； ∵l1∥l2， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠4＝90°，故②正确； ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠4＝90°， ∵∠1+∠3＝90°， ∴∠3＝∠4，故③正确； 根据题意无法得到∠2＝∠4，故④错误． 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 6．如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 【解答】解：A、∠ACB和∠E分别是AB和CD的对边，不能判定△ABC≌△DCE，故A符合题意； B、由AB∥DE推出∠A＝∠CDE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由AAS判定△ABC≌△DCE，故B不符合题意； C、AC＝DE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由SAS判定△ABC≌△DCE，故C不符合题意； D、∠B＝∠DCE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由ASA判定△ABC≌△DCE，故D不符合题意． 故选：A． 7．如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴ 解得， 故选：B 8．某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法错误的是（　　） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量 B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80% C．本次充电持续时间是120分钟 D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 【解答】解：A、由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量，正确，不符合题意； B、由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意； C、由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意； D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从0%到100%的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， ∴10%到90%的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意， 故选：D． 9．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【解答】解：连接DC，如图， ∵AD，CD，AC是△ACD的三条边， ∴AD+DC≥AC， ∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9， ∴DC＝BD， ∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14， 故选：C． 10．如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　） A． B． C． D． 【详解】解：如图，将长方体的侧面展开，根据两点之间线段最短，连结， 则，． 在中，． 故选C． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为 　4×10﹣10 ． 【解答】解：0.0000000004＝4×10﹣10， 故答案为：4×10﹣10． 12．若代数式有意义，则x的取值范围为 x≥1　 ． 【解答】解：由题意得：x﹣1≥0， 解得x≥1， 故答案为：x≥1． 13．如图，△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若∠BAC+∠DAE＝150°，则∠BAC的度数是 　110°　 ． 【解答】解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E， ∴DA＝DB，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC． ∵∠BAC+∠DAE＝150°①， ∴∠B+∠C+2∠DAE＝150°． ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴180°﹣∠BAC+2∠DAE＝150°， 即∠BAC﹣2∠DAE＝30°②， 由①②组成的方程组， 解得∠BAC＝110°． 故答案为：110°． 14．2026年央视春晚人形机器人秧歌表演广受关注．人形机器人集人工智能、高端制造与新材料等先进技术于一体，展现了未来科技的无限可能．下面是一次机器人的走位测试：如图，甲、乙两个机器人分别在点的正西方向（点处）和正北方向（点处），且与点的距离分别为米，米．甲、乙两个机器人分别从点、点同时出发，沿，行走（，，三点在同一条直线上），要求行走到点处时恰好相遇，并且两个机器人的行走速度相同，则为 米． 【详解】解：由题意可得，， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得， ∴米， 故答案为：． 15．如图，在等腰△ABC中，AB＝6，BC＝4，AD为BC边上的中垂线，若E为线段AD上的一个动点且满足AE＝CF，则BE+BF的最小值为　2　 ． 【解答】解：过C点作CB'⊥BC，截取B'C＝6， ∵AD⊥BC， ∴∠BAE＝∠FCB'， ∵AE＝CF，AB＝CB'＝6， ∴△ABE≌△CB'F（SAS）， ∴BE＝B'F， ∴BE+BF＝B'F+BF≥BB'2， 故答案为：2． 三．解答题（共10小题，满分90分） 16．（9分）计算：（1）计算：（π﹣4）0+2﹣2﹣（﹣1）2026； （2）（﹣3a﹣2b）2÷a﹣3b﹣2． （3）． 【解答】解：（1）原式＝11 ； （2）原式＝9a﹣4b2÷a﹣3b﹣2 ＝9a﹣1b4 ． （3）＝3+232 ＝3+232 ＝3+3． 17．（6分）先化简再求值：[（a﹣2b）2+（a+b）（a﹣b）﹣3b2]÷2a，其中a＝﹣3，b＝﹣2． 【解答】解：原式＝（a2﹣4ab+4b2+a2﹣b2﹣3b2）÷2a ＝（2a2﹣4ab）÷2a ＝a﹣2b， 当a＝﹣3，b＝﹣2时， 原式＝﹣3﹣2×（﹣2）＝﹣3+4＝1． 18．（8分）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元． （1）求转动一次转盘获得购物券的概率； （2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 【解答】解：（1）∵转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况， ∴P（转动一次转盘获得购物券）． （2）∵P（红色），P（黄色），P（绿色）， ∴20010050＝40（元） ∵40元＞30元， ∴选择转转盘对顾客更合算． 19．（8分）葫芦岛和平广场是葫芦岛市市民放风筝的最佳场所，某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他进行了如下操作： ①测得人与风筝的水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向竖直上升4米，则他应该继续放线多少米？（结果保留根号） 【详解】（1）解：根据题意可得，四边形是矩形， ∴米， 在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为17.65米； （2）解：如图，风筝沿方向竖直上升4米到点， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该继续放线米． 20．（9分）如图，∠1+∠2＝180°，CE∥BG．（1）求证：AB∥CD；（2）求证：∠3＝∠B． 【解答】证明：（1）∵∠2+∠CDE＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠CDE＝∠1， ∴AB∥CD； （2）∵CE∥BG， ∴∠B＝∠CEA， ∵AB∥CD， ∴∠CEA＝∠3， ∴∠3＝∠B． 21．（8分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图中四边形ABCD就是一个“格点四边形”． （1）在图中的方格纸中画一个格点四边形，使该四边形与原四边形ABCD关于直线l成轴对称； （2）在直线l上画出点P，使得PA+PB的值最小； （3）求图中四边形ABCD的面积． 【解答】解：（1）如图1，四边形A′B′C′D′即为所求； （2）如图2，P点即为所求： （3）四边形ABCD的面积3×33×1＝6． 22．（10分）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示． （1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【解答】解：（1）设y乙与t之间的函数关系式是y乙＝kt+b， ， 解得， 即y乙与t之间的函数关系式是y乙＝120t﹣600（5≤t≤8）； （2）由图象可得， 甲的工作效率为120÷3＝40（个/时）， a＝120+40×（8﹣4）＝280， 即a的值是280，实际意义是当甲加工8小时时，一共加工了280个零件； （3）设甲组加工c小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个， 120+40（c﹣4）+（120c﹣600）＝480， 解得c＝7， 即甲组加工7小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 23．（10分）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似的，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． （1）尝试应用：把（a﹣b）2看成一个整体，合并：3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2； （2）拓展运用：若，求代数式的值：3（x﹣y）2﹣4（x﹣y）2+2（x﹣y）2； （3）迁移运用：已知a﹣2b＝﹣4，2b﹣3c＝﹣2．在数轴上，点A表示的数是3c﹣2b，点B表示的数是a﹣3c，点C表示的数是5．一动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度在数轴上向一个方向运动；同时另一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动．设运动的时间为t秒，当PQ＝2AQ时，求t的值． 【解答】解：（1）原式＝（3﹣6+2）（a﹣b）2＝﹣（a﹣b）2； （2）原式＝（3﹣4+2）（x﹣y）2＝（x﹣y）2， 当时，原式； （3）解：∵a﹣2b＝﹣4，2b﹣3c＝﹣2， ∴3c﹣2b＝2， a﹣3c＝（a﹣2b）+（2b﹣3c）＝﹣4+（﹣2）＝﹣6， ∴点A表示的数是2，点B表示的数是﹣6， ∵点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在数轴上向左运动，运动时间为t秒， ∴点Q表示的数是5﹣2t，则 AQ＝|（5﹣2t）﹣2|＝|3﹣2t|． ①当点P在数轴上向右运动时，点P表示的数是﹣6+t， 则PQ＝|（5﹣2t）﹣（﹣6+t）|＝|11﹣3t|． 当PQ＝2AQ时，即|11﹣3t|＝2|3﹣2t|， ∴t＝﹣5（不合题意，舍去）或， ②当点P在数轴上向左运动时，点P表示的数是﹣6﹣t， 则PQ＝|（5﹣2t）﹣（﹣6﹣t）|＝|11﹣t|． 当PQ＝2AQ时，即|11﹣t|＝2|3﹣2t|， ∴（不合题意，舍去）或， 综上所述：当PQ＝2AQ时，或． 24．（10分）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤1＜3）． （1）用含t的代数式表示PC的长度． （2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 【解答】解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣2t； （2）△BPD和△CQP全等，理由如下： ∵t＝1秒∴BP＝CQ＝2×1＝2厘米， ∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4厘米， ∵AB＝8厘米，点D为AB的中点， ∴BD＝4厘米． ∴PC＝BD， 在△BPD和△CQP中， ， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； （3）∵点P、Q的运动速度不相等， ∴BP≠CQ， 又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C， ∴BP＝PC＝3cm，CQ＝BD＝4cm， ∴点P，点Q运动的时间t秒， ∴a厘米/秒． ∴当点Q的运动速度a为厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等． 25．（12分）将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题． （1）如图1，直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上的一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，作AE平分∠DAF交BC于E，易证明：BD2+CE2＝DE2；若DE2＝2BD2，则以BD、DE、EC为边的三角形的形状是 　等腰直角三角形　 ； （2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是4cm2，CD＝1cm，求BC的长度； （3）△ABC是以BC为底的等腰直角三角形，点D是△ABC所在平面内一点，且满足AD＝4，BD＝6，CD＝2，请画图并求∠ADC的度数． 【解答】解：（1）∵BD2+CE2＝DE2， ∴以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形， ∵DE2＝2BD2，设BD＝a，则DEa， ∴a2+EC2＝2a2， ∴EC＝a， ∴BD＝EC， ∴以BD、DE、EC为边的三角形的形状是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形； （2）如图2，延长CB至E，使BE＝CD， 在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ABE＝∠ADC， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴AE＝AC，∠BAE＝∠DAC， ∴∠CAE＝∠BAE+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝90°， ∴S△ACEAC2， ∵四边形ABCD的面积为4cm2， ∴S△ABC+S△ACD＝S△ABC+S△AEB＝S△ACE＝4cm2， ∴AC2＝4， ∴AC＝2cm， ∴ECAC＝4cm， ∴BC＝EC﹣BE＝4﹣1＝3（cm）． （3）①当点D在△ABC内时，如图3﹣1中，作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE＝6， ∵DEAD＝4，CD＝2， ∴EC2＝ED2+CD2， ∴∠EDC＝90°， ∵∠ADE＝45°， ∴∠ADC＝45°+90°＝135°． ②当点D在△ABC外，如图3﹣2中，作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE＝6， ∵DEAD＝4，CD＝2， ∴EC2＝ED2+CD2， ∴∠EDC＝90°， ∵∠ADE＝45°， ∴∠ADC＝45°． 综上所述，∠ADC的度数为135°或45°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $