四川省达州市通川区第八中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题

**基本信息** 融合AI科技、古诗文化等情境，梯度设计覆盖代数几何核心知识，适配八年级开学学情检测与能力衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|轴对称（AI标识）、科学记数法（月季花粉）|结合科技文化素材，考查基础概念| |填空题|10/40|非负性、几何概率、折叠问题|注重空间观念与运算能力| |解答题|8/78|全等证明（16题）、动态几何（26题）、函数应用（24题）|综合考查推理能力与模型意识，体现数学思维与表达|

四川省达州市通川区第八中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（4分）人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A．（3a）2＝6a2 B．2a2•3a＝6a3 C．a2+3a2＝4a4 D．2a3÷a2＝a 3．（4分）宋朝•杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（　　） A．3.52×10﹣5 B．0.352×10﹣5 C．3.52×10﹣6 D．35.2×10﹣6 4．（4分）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．0.213 D． 5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 6．（4分）三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 7．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，点A、E、B、D在同一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，只添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．AE＝DB B．∠C＝∠F C．BC＝EF D．∠ABC＝∠DEF 8．（4分）如图，在七巧板中，可以由3号板和5号板拼成的图形是（　　） A．6号 B．1号，7号 C．1号，2号，4号 D．7号 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若x，y为实数，且满足，则的值是　　 ． 10．一个角的补角比它本身的2倍大15°，则这个角等于　　 度． 11．如图是4×4的正方形地砖，大课间小苏利用该地砖玩起了投掷石子的游戏，假设石子投中每一处是等可能的（投中边界或没有击中该地砖，则重投一次），任意投掷石子一次，石子投中阴影部分的概率是　　 ． 12．如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF．若AB＝4，BC＝5，则△ABF的周长为　　 ． 13．如图1，已知长方形ABCD中，动点M沿长方形ABCD的边以B→C→D→A的路径匀速运动到A处停止，记△ABM的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（12分）小明同学在写作业时，不小心将一滴墨水滴在了卷子上面的数轴上，如图所示．此时同学告诉他，遮住的最大整数是a，最小整数是b． （1）求|2b﹣3a|的值； （2）求﹣2（ab﹣3a2）﹣[a2﹣5（ab﹣a2）+2ab]的值． 15．（8分）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1； （2）在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置； （3）在直线MN上找点Q使|QB﹣QA|最大，直接写出这个最大值． 16．（8分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，CD＝AB，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若∠B＝48°，∠D＝23°，求∠FCD的度数． 17．（10分）已知﹣1的平方等于a，b立方等于﹣27，c的算术平方根为3． （1）写出a，b，c的值； （2）求2c+a+b的平方根． 18．（10分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC上的任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD交AD于点E． （1）如图1，若∠BAD＝15°，CE，CD＝2，求△ACD的面积； （2）如图2，过C作CF⊥BF，且CF＝CE，连接FE并延长FE交AB于M，连接BF，求证：AM＝BM． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．已知x+3y﹣2＝0，那么3x•27y的值为 　　 ． 20．如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，∠EFD的平分线与AB交于点G，过点G作GH⊥EF于点H，∠1＝20°，则∠2＝　　 度． 21．如图，将一张长方形纸条折叠，若4∠ABC＝∠ACD，则∠ACD的度数为　　 度． 22．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2．在斜边AB上取点E，使得AE＝BC，连接CE，将△BCE沿着直线CE翻折，得到△CDE，点D与点B对应，CD交AB于点F．则四边形ACED的面积为 　　 ． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以CD为边在矩形外部作△CDE，且S△CDE＝6，连接BE，则BE+DE的最小值为 　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），已知y与x的函数图象如图所示． （1）填空：A、C两海岛间的距离为 　　 km，a＝ 　　 ； （2）求线段PN所表示的函数关系式； （3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 25．（10分）将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当变形，可以解决很多数学问题． 例如：a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，ab＝1，所以（a+b）2＝9，2ab＝2， 所以a2+b2+2ab＝9，得a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若xy＝5，x﹣y＝8，则x2+y2＝ 　　 ； （2）若（x﹣7）（x﹣9）＝10，求（x﹣7）2+（x﹣9）2的值； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACED和正方形BCFG，若AB＝5，两个正方形的面积和为15，求图中阴影部分的面积． 26．（12分）如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，作∠ACB的平分线CF，交BD于点O，OD＝20cm，点H从点C出发以每秒3cm的速度沿射线CF运动，连接BH，以BH为边，在BH的右侧作等边△BHE，连接OE． （1）求线段OC的长． （2）点H在运动的过程中，BE与CE是否始终保持相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． （3）点H在运动的过程中，连接DE，当DE取得最小值时，求点H的运动时间． 参考答案 四川省达州市通川区第八中学2026-2027学年八年级上学期开学自测数学模拟试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（4分）人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A．（3a）2＝6a2 B．2a2•3a＝6a3 C．a2+3a2＝4a4 D．2a3÷a2＝a 【解答】解：A、（3a）2＝9a2，错误，不符合题意； B、2a2•3a＝6a3，运算正确，符合题意； C、a2+3a2＝4a2，运算错误，不符合题意； D、2a3÷a2＝2a，运算错误，不符合题意． 故选：B． 3．（4分）宋朝•杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（　　） A．3.52×10﹣5 B．0.352×10﹣5 C．3.52×10﹣6 D．35.2×10﹣6 【解答】解：0.0000352＝3.52×10﹣5． 故选：A． 4．（4分）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．0.213 D． 【解答】解：在，，0.213，中，无理数是， 故选：A． 5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【解答】解：∵∠B＝50°，CE∥AB， ∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°， 由折叠可知，∠BCD＝∠ECD65°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝25°． 故选：C． 6．（4分）三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【解答】解：设第三边长为x， ∵一个三角形的两边长分别为2和3， ∴3﹣2＜x＜3+2， 解得：1＜x＜5． 故选：A． 7．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，点A、E、B、D在同一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，只添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．AE＝DB B．∠C＝∠F C．BC＝EF D．∠ABC＝∠DEF 【解答】解：A、∵AE＝DB， ∴AE+EB＝DB+EB， 即AB＝DE， 又∠A＝∠D，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故不符合题意； B、∠C＝∠F，AC＝DF，∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故不符合题意； C、BC＝EF，不能判断△ABC≌△DEF， 故符合题意； D、∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， 故不符合题意， 故选：C． 8．（4分）如图，在七巧板中，可以由3号板和5号板拼成的图形是（　　） A．6号 B．1号，7号 C．1号，2号，4号 D．7号 【解答】解：∵3号板和5号板是两个全等的小等腰直角三角形， 又∵4号板是正方形，3号板和5号板的直角边与4号板正方形的边长相等， ∴3号板和5号板可以拼成4号板的正方形； ∵2号板平行四边形，且3号板和5号板的斜边与2号板的平行四边形的一边相等，直角边与2号板的平行四边形的另一边相等， ∴3号板和5号板可以拼成2号板的平行四边形； ∵1号板是等腰直角三角形的，且3号板和5号板的直角边等于1号板斜边的一半，斜边与1号板的直角边相等， ∴3号板和5号板可以拼成1号板的等腰直角三角形． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．（4分）若x，y为实数，且满足，则的值是　1　 ． 【解答】解：∵， 又∵（x﹣2）2≥0，， ∴x﹣2＝0，y+2＝0， ∴x＝2，y＝﹣2， ∴1， 故答案为：1． 10．（4分）一个角的补角比它本身的2倍大15°，则这个角等于　55　 度． 【解答】解：设这个角的度数为x，它的补角为180°﹣x， 180°﹣x＝2x+15°， 解得：x＝55°， 故答案为：55． 11．（4分）如图是4×4的正方形地砖，大课间小苏利用该地砖玩起了投掷石子的游戏，假设石子投中每一处是等可能的（投中边界或没有击中该地砖，则重投一次），任意投掷石子一次，石子投中阴影部分的概率是　　 ． 【解答】解：阴影部分面积为1×1×8＝4， ∵正方形网格的面积为4×4＝16， ∴任意投掷石子一次，石子投中阴影部分的概率是． 故答案为：． 12．（4分）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF．若AB＝4，BC＝5，则△ABF的周长为　9　 ． 【解答】解：由尺规作图可知：DE是线段AC的垂直平分线， ∴AF＝CF， ∵AB＝4，BC＝5， ∴△ABF＝AB+BF+AF＝AB+BF+CF＝AB+BC＝4+5＝9， 故答案为：9． 13．（4分）如图1，已知长方形ABCD中，动点M沿长方形ABCD的边以B→C→D→A的路径匀速运动到A处停止，记△ABM的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 　7.5　 ． 【解答】解：从图2看，AD＝13﹣8＝5， ∴BC＝5， ∴AB＝CD＝8﹣5＝3， 则当x＝5时，点M在点C处，则m＝yAB•BC3×5＝7.5， 故答案为：7.5． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（12分）小明同学在写作业时，不小心将一滴墨水滴在了卷子上面的数轴上，如图所示．此时同学告诉他，遮住的最大整数是a，最小整数是b． （1）求|2b﹣3a|的值； （2）求﹣2（ab﹣3a2）﹣[a2﹣5（ab﹣a2）+2ab]的值． 【解答】解：∵遮住的最大整数是a，最小整数是b， ∴a＝2，b＝﹣3， （1）|2b﹣3a| ＝|2×（﹣3）﹣3×2| ＝|﹣6﹣6| ＝|﹣12| ＝12； （2）﹣2（ab﹣3a2）﹣[a2﹣5（ab﹣a2）+2ab] ＝﹣2ab+6a2﹣（a2﹣5ab+5a2+2ab） ＝﹣2ab+6a2﹣a2+5ab﹣5a2﹣2ab ＝ab； 当a＝2，b＝﹣3时， 原式＝2×（﹣3） ＝﹣6． 15．（8分）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1； （2）在直线MN上找点P使PB+PC最小，在图形上画出点P的位置； （3）在直线MN上找点Q使|QB﹣QA|最大，直接写出这个最大值． 【解答】解：（1）△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示： （2）如图，作点C关于MN的对称点D，连接BD交MN于一点，该点即为所求作的点P； ∵点C与D关于MN的对称， ∴PC＝PD， ∴PB+PC＝PD+PB， ∵PB+PD≥BD，只有当点P、B、D三点共线时等号成立， ∴当点P、B、D三点共线时，PB+PD最小，即PB+PC最小； （3）先作出A关于直线MN的对称点A1，连接BA1并延长交MN于一点，该点即为点Q，如图所示： ∵QA＝QA1， ∴|QB﹣QA|＝|QB﹣QA1|， 根据三角形的三边关系可得|QB﹣QA1|≤A1B，当Q、A1、B三点共线时取等号， ∴|QB﹣QA|的最大值为A1B＝3． 16．（8分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，CD＝AB，过点C作CE∥AB，且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE； （2）若∠B＝48°，∠D＝23°，求∠FCD的度数． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠B＝∠DCE， 在△ABC和△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△DCE， ∴∠A＝∠D＝23°， ∴∠FCD＝∠A+∠B＝23°+48°＝71°． 17．（10分）已知﹣1的平方等于a，b立方等于﹣27，c的算术平方根为3． （1）写出a，b，c的值； （2）求2c+a+b的平方根． 【解答】解：（1）∵﹣1的平方等于a，b立方等于﹣27，c的算术平方根为3， ∴a＝（﹣1）2＝1，，c＝32＝9； （2）由（1）得：a＝1，b＝﹣3，c＝9， ∴2c+a+b＝2×9+1+（﹣3）＝16， ∴2c+a+b的平方根． 18．（10分）在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC上的任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD交AD于点E． （1）如图1，若∠BAD＝15°，CE，CD＝2，求△ACD的面积； （2）如图2，过C作CF⊥BF，且CF＝CE，连接FE并延长FE交AB于M，连接BF，求证：AM＝BM． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∵∠BAD＝45° ∴∠CAD＝45°﹣15°＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝2， ∴AD＝2CD＝4， ∵CE⊥AD， ∴； （2）证明：过点A作AG∥BF交FM的延长线于点G， ∵CF⊥BF，AE⊥CE， ∴∠AEC＝∠CFB＝90°， 又∵AC＝BC，CE＝CF， ∴Rt△ACE≌△Rt△BCF（HL）， ∴AE＝BF，∠ACE＝∠BCF， ∴∠ECF＝90°， 在Rt△ECF中，∠ECF＝90°，EC＝FC， ∴∠CEF＝∠CFE＝45°， ∴∠AEG＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∠BFE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠AEG＝∠BFE， ∵AG∥BF， ∴∠G＝∠BFE，∠GAM＝∠FBM， ∴∠AEG＝∠G， ∴AE＝AG ∵AE＝BF， ∴BF＝AG， 在△AMG和△BMF中， ， ∴△AMG≌△BMF（ASA）， ∴AM＝BM． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）已知x+3y﹣2＝0，那么3x•27y的值为 　9　 ． 【解答】解：∵x+3y﹣2＝0， ∴x+3y＝2， ∴3x•27y＝3x•（33）y＝3x•33y＝3x+3y＝32＝9． 故答案为：9． 20．（4分）如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，∠EFD的平分线与AB交于点G，过点G作GH⊥EF于点H，∠1＝20°，则∠2＝　50　 度． 【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠1＝20°， ∴∠EFD＝2∠1＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠HEB＝∠EFD＝40°， ∵GH⊥EF， ∴∠GHE＝90°， ∴在△EGH中，∠2＝180°﹣90°﹣∠GHE＝180°﹣90°﹣40°＝50°， 故答案为：50． 21．（4分）如图，将一张长方形纸条折叠，若4∠ABC＝∠ACD，则∠ACD的度数为　120　 度． 【解答】解：如图： ∵AB∥CD， ∴∠BCE＝∠ABC， 由折叠可得：∠ACB＝∠BCE＝∠ABC， ∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，4∠ABC＝∠ACD， ∴6∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝30°， ∴∠ACD＝4∠ABC＝120°， 故答案为：120． 22．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2．在斜边AB上取点E，使得AE＝BC，连接CE，将△BCE沿着直线CE翻折，得到△CDE，点D与点B对应，CD交AB于点F．则四边形ACED的面积为 　2　 ． 【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝2， ∴BC＝AC＝2，∠B＝∠CAB＝45°， ∴AE＝BC＝AC＝2， 在△ACE中，AE＝AC，∠CAB＝45°， ∴∠ACE＝∠AEC（180°﹣∠CAB）＝67.5°， ∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°， 由翻折性质得：BD＝BC＝2，∠DCE＝∠BCE＝22.5°， 在△CEF中，∠CFE＝180°﹣（∠DCE+∠AEC）＝180°﹣（22.5°+67.5°）＝90°， ∴AE⊥CD， ∴S△ACDCD•AF，S△ECDCD•EF， ∴S四边形ACED＝S△ACD+S△ECDCD×（AF+EF）CD•AE2． 故答案为：2． 23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以CD为边在矩形外部作△CDE，且S△CDE＝6，连接BE，则BE+DE的最小值为 　　 ． 【解答】解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝4，∠BAD＝90°， ∵S△CDE＝6， ∴E到CD的距离为：6×2÷4＝3， ∴点E在平行于CD，且到CD的距离为3的直线MN上， 作点D关于MN的对称点D'，连接ED'，BD'， 则D'E＝DE， ∴BE+DE＝BE+D'E≥BD'， 即BE+DE的最小值为BD'的长， 在Rt△BAD'中， ∵AB＝4，AD'＝AD+DD'＝2+6＝8， ∴由勾股定理，得BD'， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），已知y与x的函数图象如图所示． （1）填空：A、C两海岛间的距离为 　70　 km，a＝ 　1.4　 ； （2）求线段PN所表示的函数关系式； （3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 【解答】解：（1）由图象可知，A、C两海岛间的距离为20+50＝70（km）； 海巡船的速度为20÷0.4＝50（km/h）， 海巡船从A岛到达C岛用时70÷50＝1.4（h）， ∴a＝1.4． 故答案为：70，1.4． （2）设线段PN所表示的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标N（0.4，0）和P（1.4，50）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴线段PN所表示的函数关系式为y＝50x﹣20（0.4≤x≤1.4）． （3）线段MN所表示的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）． 将坐标M（0，20）和N（0.4，0）分别代入y＝k1x+b1， 得， 解得， ∴线段MN所表示的函数关系式为y＝﹣50x+20（0≤x≤0.4）． 当﹣50x+20＝15时，解得x＝0.1； 当50x﹣20＝15，解得x＝0.7； 0.7﹣0.1＝0.6（h）． 答：该海巡船能接收到该信号的时间有0.6h． 25．（10分）将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当变形，可以解决很多数学问题． 例如：a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为a+b＝3，ab＝1，所以（a+b）2＝9，2ab＝2， 所以a2+b2+2ab＝9，得a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若xy＝5，x﹣y＝8，则x2+y2＝ 　74　 ； （2）若（x﹣7）（x﹣9）＝10，求（x﹣7）2+（x﹣9）2的值； （3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACED和正方形BCFG，若AB＝5，两个正方形的面积和为15，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）∵x﹣y＝8，xy＝5， ∴（x﹣y）2＝64，2xy＝10， ∴x2+y2﹣2xy＝64，得x2+y2＝74， 故答案为：74； （2）设x﹣7＝m，x﹣9＝n， 则m﹣n＝2，mn＝10， ∴m2+n2＝（m﹣n）2+2mn ＝22+2×10 ＝24，即（x﹣7）2+（x﹣9）2＝24； （3）设正方形ACED的边长为a，正方形BCFG的边长为b， 则a+b＝5，a2+b2＝15， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），即2ab＝52﹣15， 解得：ab＝5， ∴． 26．（12分）如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，作∠ACB的平分线CF，交BD于点O，OD＝20cm，点H从点C出发以每秒3cm的速度沿射线CF运动，连接BH，以BH为边，在BH的右侧作等边△BHE，连接OE． （1）求线段OC的长． （2）点H在运动的过程中，BE与CE是否始终保持相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． （3）点H在运动的过程中，连接DE，当DE取得最小值时，求点H的运动时间． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵CF平分∠ACB， ∴∠OCD＝∠BCO＝30°， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴ODOC， ∵OD＝20cm， ∴OC＝40cm； （2）BE＝CE，理由如下： 如图1，连接AH， ∵△ABC和△BEH是等边三角形， ∴∠ABC＝∠EBH＝60°，AB＝BC＝AC，BH＝BE， ∴∠ABH＝∠CBE， ∴△ABH≌△CBE（SAS）， ∴AH＝CE， ∵AC＝BC，∠ACH＝∠BCH，CH＝CH， ∴△ACH≌△BCH（SAS）， ∴AH＝BH， ∴BE＝CE； （3）如图2，过点A作AN⊥BC于N， ∵△ABC是等边三角形， ∴AN是BC的垂直平分线， 由（2）知：BE＝CE， ∴点E在直线AN上， ∴当DE⊥AN时，DE的长最小，如图2所示，连接AH，过点H作HK⊥AN于K， ∴∠AED＝∠DEO＝90°， ∵△BEH是等边三角形， ∴BH＝EH， 由（2）知：AH＝BH， ∴AH＝EH， ∵HK⊥AN， ∴AK＝EK， ∵∠OCD＝∠OCN＝30°，∠CDO＝∠CNO＝90°， ∴∠COD＝∠CON＝60°， ∴∠DOE＝60°， ∴∠ODE＝30°， ∴OEOD＝10cm， Rt△AOD中，∵AB＝AC，AN⊥BC， ∴∠DAO∠BAC＝30°， ∴AO＝2OD＝40cm， ∴AE＝40﹣10＝30（cm）， ∴AK＝EK＝15cm， ∴OK＝10+15＝25（cm）， Rt△HKO中，∠HOK＝∠CON＝60°， ∴∠OHK＝30°， ∴OH＝2OK＝50cm， ∴CH＝OH+OC＝50+40＝90（cm）， ∴点H的运动时间30（秒）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/8 10:43:21；用户：郭立；邮箱：15881890155；学号：43938924 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $