2.2 平方根与立方根（第 1 课时）（导学案）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦算术平方根，涵盖定义、性质、双重非负性及估算方法。通过“温故知新”回顾乘方运算，结合“情境导入”中正方形面积问题，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从已知平方求正数的问题中抽象概念。 资料注重数学核心素养培养，情境导入体现用数学眼光观察现实世界，性质推导与夹逼法估算培养数学思维（推理意识），分层练习（基础与提升题）及易错提醒强化运算能力与应用意识，帮助学生理解概念并解决实际问题，提升学习效率。

2.2 平方根与立方根 （第1课时 算术平方根） 一、学习目标与重难点 【学习目标】 1. 了解算术平方根的定义，会用符号""表示一个非负数的算术平方根。 2. 理解算术平方根的性质，特别是算术平方根的双重非负性。 3. 能熟练求出一个非负数的算术平方根。 4. 会用夹逼法估算一个数的算术平方根的大致范围。 【重点】 算术平方根的概念及求法。 【难点】 理解算术平方根的双重非负性（即 且 ）；估算算术平方根的大小。 二、温故知新 回顾七年级所学的乘方运算，完成下列练习： 1. 计算： （1）______ （2）______ （3）______ （4）______ （5）______ （6）______ 2. 填空： （1）若 ，则 ______； （2）若 ，则 ______； （3）若 ，则 ______。 思考：如果已知一个正数的平方，反过来求这个正数，应该怎么求？ 三、情境导入 问题情境：学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为 25 dm² 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛。这块正方形画布的边长应取多少？ 分析：设正方形画布的边长为 dm，根据正方形面积公式得： 因为 ，所以边长应取 5 dm。 试一试：请你算一算，完成下表： 正方形面积 / dm² 1 9 16 36 0.25 边长 / dm 观察：上面的问题，它们有什么共同特点？ 都是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 四、探究新知 （一）算术平方根的定义 定义：一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫做 的算术平方根。 记作：，读作"根号 "。 被开方数： 中的 叫做被开方数。 规定：0 的算术平方根是 0，即 。 想一想： 1. 为什么 0 的算术平方根是 0？ 2. 负数有算术平方根吗？为什么？ （二）算术平方根的性质 根据算术平方根的定义，我们可以得到以下性质： 性质1：正数的算术平方根是一个正数； 性质2：0 的算术平方根是0； 性质3：负数没有算术平方根。 （三）双重非负性 由算术平方根的定义可知： 双重非负性： ①被开方数非负： ②算术平方根非负： 即：只有非负数才有算术平方根，而且算术平方根一定是非负的。 （四）估算算术平方根 对于像 、、 这样的数，我们不能直接得到精确值，但可以估算它的大小。 方法：夹逼法 例如：估算 的大小 因为 ，，且 ， 所以 。 即 的值在 3 和 4 之间。 方法点拨：估算一个数的算术平方根，就是找两个相邻的整数，使被开方数在这两个整数的平方之间，那么算术平方根就在这两个整数之间。 五、典例精讲 例1（基础运算）：求下列各数的算术平方根 （1）100 （2）0.0001 （3） （4） 解：（1）因为 ，所以 100 的算术平方根是 10，即 。 （2）因为 ，所以 0.0001 的算术平方根是 0.01，即 。 （3）因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 。 （4）因为 ，，所以 的算术平方根是 ，即 。 易错提醒： ①带分数要先化成假分数再求算术平方根。 ②算术平方根一定是非负的，不要写成负数。 ③注意区分"求的算术平方根"和"求"，两者是同一个意思。 例2（求值运算）：求下列各式的值 （1） （2） （3） （4） 解：（1） （2） （3） （4） 例3（估算）：估计下列各数的算术平方根在哪两个相邻整数之间 （1） （2） （3） 解：（1）因为 ，，且 ，所以 。 （2）因为 ，，且 ，所以 。 （3）因为 ，，且 ，所以 。 例4（非负性应用）：已知 ，求 的值 思路点拨：利用"几个非负数的和为0，则每个非负数都为0"的性质。 解：因为 ，，且 ， 所以 且 ， 即 ，， 解得 ，。 所以 。 方法总结：初中阶段常见的非负数有三类： ①绝对值： ②平方数： ③算术平方根： 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。 六、课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？请完成下列填空： 1. 算术平方根的定义：如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么 叫做 的______，记作______。 2. 正数的算术平方根是______数；0 的算术平方根是______；负数______算术平方根。 3. 算术平方根的双重非负性：①被开方数 ______ 0；② ______ 0。 4. 估算算术平方根的方法是______法。 5. 0 的算术平方根是______。 七、分层练习 【基础题】（必做） 一、选择题 1. 下列说法正确的是（　　） A. 5 是 25 的算术平方根 B. 是 16 的算术平方根 C. 是 的算术平方根 D. 0.01 是 0.1 的算术平方根 2. 的值等于（　　） A. 4 B. C. D. 8 3. 下列各数中，没有算术平方根的是（　　） A. 0 B. C. D. 3 二、填空题 4. 64 的算术平方根是______；0.01 的算术平方根是______。 5. ______；______。 6. 若 ，则 ______。 7. 估算： 在整数______和______之间。 三、计算题 8. 求下列各数的算术平方根： （1）81 （2）0.36 （3） （4） 9. 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 【提升题】（选做） 10. 已知 ，求 的值。 11. 若 ，求 的值。 12. 比较大小：______3.1（填">""<"或"="）。 13. 已知 的算术平方根是 3， 的算术平方根是 4，求 的值。 八、达标测试 （满分100分，时间25分钟） 一、选择题（每题10分，共30分） 1. 9 的算术平方根是（　　） A. 3 B. C. D. 81 2. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 若 有意义，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题10分，共30分） 4. 算术平方根等于它本身的数是______。 5. 若 ，则 ______。 6. 已知 ，则 ______。 三、解答题（每题20分，共40分） 7. 求下列各式的值： （1） （2） 8. 已知一个正方形的面积是 50 平方厘米，求这个正方形的边长（结果精确到 0.1 厘米）。 九、课后作业 【教材作业】 完成课本对应章节的练习题（北师大版八年级上册 P26-27 习题2.3）。 【拓展思考】 1. 若 的算术平方根是 2，求 的值。 2. 已知 为实数，求 的值。 3. 探究：观察下列各式： ，，，…… 请你找出其中的规律，并用含自然数 n（n ≥ 1）的等式表示出来。 十、参考答案 【温故知新】 1. （1）9 （2）25 （3）0.04 （4） （5）16 （6）0 2. （1） （2） （3）0 【情境导入】 边长依次为：1，3，4，6，0.5 共同特点：已知一个正数的平方，求这个正数。 【分层练习】 基础题： 1. A 2. A 3. C（提示：，负数没有算术平方根） 4. 8，0.1 5. ， 6. 49 7. 3，4 8. （1）9 （2）0.6 （3） （4）（提示：） 9. （1）12 （2）0.01 （3） （4）5 提升题： 10. 解：由非负性知 且 ，得 ，；。 11. 解：由 且 ，得 ，；。 12. >（提示：，因为 ，所以 ） 13. 解：由题意得 ，解得 ； 又 ，代入 得 ，解得 ； 所以 。 【达标测试】 1. A 2. B 3. B 4. 0 和 1 5. 7 6. 7. （1） （2） 8. 解：设正方形边长为 厘米，则 ，所以 。 因为 ，，所以 （厘米）。 答：这个正方形的边长约为 7.1 厘米。 【课后作业·拓展思考】 1. 解： 的算术平方根是 2，说明 ，所以 。 2. 解：由 得 ，又 ，所以 。 代入原式：。 3. 规律：（n 为正整数）。 学科网（北京）股份有限公司 $