2.3 二次根式（第1课时 二次根式概念和乘除法） 导学案 导学案 2026-2027学年北师大版 八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“二次根式”第1课时，涵盖定义、性质及乘除法法则等核心知识点。通过“温故知新”回顾平方根与算术平方根知识，“情境导入”以长方形面积问题引发思考，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生观察规律形成概念。 资料以探究式学习为主线，设“典例精讲”辨析概念、应用性质，“分层练习”含基础题、提升题及拓展思考，适配不同学生需求。培养学生数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理与运算能力）及数学语言（模型意识），助力学生理解知识本质，提升自主学习与问题解决能力。

年级 学科：_____ 学校导学案 _ ___年____月____日 课题： 二次根式 课型：_____ 备课老师：______审核老师：_____ 第 1 课时 第一组 第二组 第三组 观察每组中两个式子的结果，你发现了什么规律？ 探究新知 （一）二次根式的定义 定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，""称为二次根号，叫做被开方数。 判断二次根式的两个条件： 1. 含有二次根号""； 2. 被开方数是非负数（即 ）。 注意：二次根式的根指数是2，通常省略不写。如简写为。 （二）二次根式的性质 在二次根式中： ① 被开方数；② 二次根式本身。 性质2： 推导：根据算术平方根的定义，如果，那么。所以。 性质3：即：当时，；当时，。 辨析： 与有什么区别？ 比较 运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方 的取值 可以是任意实数 运算结果 学习目标重难点 1. 了解二次根式的定义，能正确识别二次根式，掌握二次根式有意义的条件。 2. 理解二次根式的性质（双重非负性、、，并能运用性质进行简单计算。 3. 掌握二次根式的乘法法则和除法法则，能运用法则进行简单的乘除运算。 4. 理解积的算术平方根和商的算术平方根的性质，会利用其进行二次根式的化简。 重点：二次根式的概念；二次根式的乘除运算法则及其应用。 难点：二次根式性质的理解与灵活运用；利用乘除法则对二次根式进行化简。 温故知新 回顾平方根与算术平方根的知识，完成下列练习： 1. 填空： （1）16 的算术平方根是______，记作______。 （2）5 的算术平方根是______，记作______。 （3）______； ______。 2. 计算： （1）______ （2）______ （3）______ 思考：观察上面第2题的计算结果，你发现了什么规律？ 情境导入 一个长方形的长为m，宽为m，这个长方形的面积是多少？ 分析：长方形面积 = 长 × 宽 =这个结果怎么计算呢？ 等于吗？ （三）二次根式的乘法法则 乘法法则： 即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 应用：利用积的算术平方根的性质，可以将二次根式化简。如： （四）二次根式的除法法则 除法法则：即：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 商的算术平方根（逆用）：即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 注意：除法法则中，分母 必须大于 0，不能等于 0。 典例精讲 例1（概念辨析）：判断下列各式哪些是二次根式 例2（有意义条件）：取何值时，下列各式在实数范围内有意义 例3（性质应用）：计算下列各式 例4（乘法运算）：计算 例5（除法运算）：计算 例6（化简）：化简下列二次根式 课堂小结 通过本节课的学习，请完成下列填空： 1. 形如______的式子叫做二次根式，其中被开方数必须满足______。 2. 二次根式的性质： ____（）； ______。 3. 二次根式的乘法法则： ______（______）。 4. 二次根式的除法法则： ______（______）。 5. 化简二次根式时，要将被开方数中______的因数（或因式）开出来。 分层练习 【基础题】（必做） 一、选择题 1. 下列各式中，是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 若有意义，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 4. 计算：______；______。 5. 计算：______；______。 6. 化简：______；______。 三、计算题 7. 计算： （1） （2） （3） （4） 8. 化简： （1） （2） （3） 【提升题】（选做） 9. 已知，求的值。 10. 已知，求的值。 11. 比较大小：______（填">""<"或"="）。 【拓展思考】 1. 已知，求代数式的值。 2. 观察下列等式： ，，，…… 请你找出其中的规律，并用含自然数 n（n ≥ 1）的等式表示出来。 3. 探究：怎样的二次根式才算"最简二次根式"？请你结合本节课的化简过程，总结出最简二次根式的两个条件。 参考答案 【温故知新】 1. （1）4，（2），;（3）3，0.5 2. （1）4（2）3（3）3 思考：（a≥0），。 【情境导入】 第一组：6，6 第二组：20，20 第三组：50，50 规律：（a≥0，b≥0）。 例1：解：（1）是二次根式，因为被开方数。 （2） 不是二次根式，因为被开方数。 （3） 不是二次根式，因为根指数是3，不是2。 （4）是二次根式，因为被开方数。 （5）不是二次根式，因为被开方数。 例2：解：（1）由，得。 所以当时，有意义。 （2）由题意得，解得。 所以当时，原式有意义。 （3）由题意得，解得且。 所以当且时，原式有意义。 例3：解：（1） （2） （3） （4） 例4：解：（1） （2） （3） 例5：解：（1） （2） （3） 例6：解：（1） （2） （3） 【分层练习】 基础题： 1. C 2. B 3. D 4. 10，7 5. 4，3 6. ， 7. （1）（2）（3）6（4） 8. （1）（2）（3） 提升题： 9. 解：由且，得； ;代入得 ；。 10. 解：。 11. >（提示：，，因为 ，所以 【课后作业·拓展思考】 1. 解：。 2. 规律：（n 为正整数）。 3. 最简二次根式的条件：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 学科网（北京）股份有限公司 $